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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.3 课时1 坐标系 理


课时 1

坐标系

1.平面直角坐标系 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ :?
? ?x′=λ ?x ?y′=μ ?y ?

?λ >0?, ?μ >0?



作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面

直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换. 2.极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 Ox,同时确定一个长度单位 和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个 极坐标系.点 O 称为极点,射线 Ox 称为极轴.平面内任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从射线 Ox 到射线 OM 的角度 θ 来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ ,θ ) 称为点 M 的极坐标.ρ 称为点 M 的极径,θ 称为点 M 的极角.由极径的意义可知 ρ ≥0.当 极角 θ 的取值范围是[0,2π )时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ ,θ ) (ρ ≠0)建立 一一对应的关系.我们设定,极点的极坐标中,极径 ρ =0,极角 θ 可取任意角. (2)极坐标与直角坐标的互化 设 M 为平面内的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ ,θ ).由图可 知下面关系式成立:
? ?x=ρ cos θ , ? ?y=ρ sin θ ?

ρ =x +y , ? ? 或? y tan θ = ?x≠0? ? x ?

2

2

2

.

这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点,半径为 r 的圆 图形 极坐标方程 ρ =r(0≤θ <2π ) π π ρ =2rcos_θ (- ≤θ < ) 2 2

圆心为(r,0),半径为 r 的圆

1

π 圆心为(r, ),半径为 r 的圆 2

ρ =2rsin_θ (0≤θ <π ) θ =α (ρ ∈R) 或 θ =π + α (ρ ∈R) π π ρ cos θ =a(- <θ < ) 2 2

过极点,倾斜角为 α 的直线

过点(a,0),与极轴垂直的直线

π 过点(a, ),与极轴平行的直线 2

ρ sin_θ =a(0<θ <π )

π 1.求在极坐标系中,过点(2, )且与极轴平行的直线方程. 2 π π π 解 点(2, )在直角坐标系下的坐标为(2cos ,2sin ),即(0,2). 2 2 2 ∴过点(0,2)且与 x 轴平行的直线方程为 y=2. 即为 ρ sin θ =2. π π 2.在极坐标系中,已知两点 A、B 的极坐标分别为(3, )、(4, ),求△AOB(其中 O 为极 3 6 点)的面积. π π 1 解 由题意知 A、 B 的极坐标分别为(3, )、 (4, ), 则△AOB 的面积 S△AOB= OA?OB?sin∠AOB 3 6 2 1 π = ?3?4?sin =3. 2 6 3.在以 O 为极点的极坐标系中,圆 ρ =4sin θ 和直线 ρ sin θ =a 相交于 A,B 两点.当 △AOB 是等边三角形时,求 a 的值. 解 由 ρ =4sin θ 可得 x +y =4y,即 x +(y-2) =4. 由 ρ sin θ =a 可得 y=a. 设圆的圆心为 O′,y=a 与 x +(y-2) =4 的两交点 A,B 与 O 构成等边 三角形,如图所示. 由对称性知∠O′OB=30°,OD=a. 在 Rt△DOB 中,易求 DB= ∴B 点的坐标为( 3 a, 3
2 2 2 2 2 2

3 a,a). 3

2

又∵B 在 x +y -4y=0 上,∴(

2

2

3 2 2 a) +a -4a=0, 3

4 2 即 a -4a=0,解得 a=0(舍去)或 a=3. 3

题型一 极坐标与直角坐标的互化 例 1 (1)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求线段 y=1-

x(0≤x≤1)的极坐标方程.
(2)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρ sin θ =cos θ 和 ρ sin θ =1.以极点为平 面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线 C1 和 C2 交点的直 角坐标. 解 (1)∵?
? ?x=ρ cos θ , ?y=ρ sin θ , ?
2

∴y=1-x 化成极坐标方程为 ρ cos θ +ρ sin θ =1, 1 即ρ = . cos θ +sin θ ∵0≤x≤1,∴线段在第一象限内(含端点), π ∴0≤θ ≤ . 2 (2)因为 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ ,由 ρ sin θ =cos θ ,得 ρ sin θ =ρ cos θ ,所以 曲线 C1 的直角坐标方程为 y =x.由 ρ sin θ =1,得曲线 C2 的直角坐标方程为 y=1.由
?y =x, ? ? ?y=1 ?
2 2 2 2 2

得?

?x=1, ? ?y=1, ?

故曲线 C1 与曲线 C2 交点的直角坐标为(1,1).

思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件: ①极点与原点重合; ②极轴与 x 轴的正半 轴重合;③取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式 x =ρ cos θ 及 y=ρ sin θ 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困 难一些,解此类问题常通过变形,构造形如 ρ cos θ ,ρ sin θ ,ρ 的形式,进行整体代 换. (1)曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程. (2)求在极坐标系中,圆 ρ =2cos θ 垂直于极轴的两条切线方程. 解 (1)将 x +y =ρ ,x=ρ cos θ 代入 x +y -2x=0,得 ρ -2ρ cos θ =0,整理得 ρ =2cos θ .
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(2)由 ρ =2cos θ ,得 ρ =2ρ cos θ ,化为直角坐标方程为 x +y -2x=0,即(x-1) +

2

2

2

2

y2=1,其垂直于 x 轴的两条切线方程为 x=0 和 x=2,相应的极坐标方程为 θ = (ρ ∈R)
和 ρ cos θ =2. 题型二 求曲线的极坐标方程 例 2 将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出曲线 C 的方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 解 (1)设(x1, y1)为圆上的点, 在已知变换下变为曲线 C 上的点(x, y), 依题意, 得?
? ?x=x1, ?y=2y1. ?
2 2

π 2

由 x1+y1=1 得 x +( ) =1, 2 即曲线 C 的方程为 x + =1. 4
2

2

2

2

y

2

y2

y ? ?x2+ =1, 4 (2)由? ? ?2x+y-2=0,

2

解得?

? ?x=1, ?y=0, ?

或?

? ?x=0, ?y=2. ?

1 1 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为( ,1),所求直线斜率为 k= , 2 2 1 1 于是所求直线方程为 y-1= (x- ), 2 2 化为极坐标方程,并整理得 2ρ cos θ -4ρ sin θ =-3, 3 即ρ = . 4sin θ -2cos θ 思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设 P(ρ ,θ )是曲线上任 意一点; (2)由曲线上的点所适合的条件, 列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关 系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程. π? π 3 ? 在极坐标系中, 已知圆 C 经过点 P( 2, ), 圆心为直线 ρ sin?θ - ?=- 3? 4 2 ? 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. π? 3 ? 解 在 ρ sin?θ - ?=- 中, 3? 2 ? 令 θ =0,得 ρ =1, 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). 如图所示,因为圆 C 经过点
4

π? ? P? 2, ?,

?

4?

所以圆 C 的半径

PC=

? 2? +1 -2?1? 2cos

2

2

π =1, 4

于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ =2cos θ . 题型三 极坐标方程的应用 例 3 (2015?课标全国Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1) +(y-2) =1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ = (ρ ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面积. 4 解 (1)因为 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ ,所以 C1 的极坐标方程为 ρ cos θ =-2,
2 2

C2 的极坐标方程为 ρ 2-2ρ cos θ -4ρ sin θ +4=0.
π 2 (2)将 θ = 代入 ρ -2ρ cos θ -4ρ sin θ +4=0, 4 得 ρ -3 2ρ +4=0,解得 ρ 1=2 2,ρ 2= 2. 故 ρ 1-ρ 2= 2,即|MN|= 2. 由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 为等腰直角三角形, 1 所以△C2MN 的面积为 . 2 思维升华 (1)已知极坐标系方程讨论位置关系时,可以先化为直角坐标方程;(2)在曲线的 方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性. π (2015?广州调研)在极坐标系中, 求直线 ρ sin(θ + )=2 被圆 ρ =4 截得的 4 弦长. π 2 解 由 ρ sin(θ + )=2,得 (ρ sin θ +ρ cos θ )=2 可化为 x+y-2 2=0.圆 ρ =4 4 2 可化为 x +y =16,由圆中的弦长公式得:2 r -d =2 为 4 3.
2 2 2 2 2

2 2 2 2 4 -? ? =4 3.故所求弦长 2

在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时,将极坐标方程化为直角坐标方程,有助于 对方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用.

5

A 组 专项能力提升 (时间:50 分钟) π? ? 1 .(2015?广东 ) 已知直线 l 的极坐标方程为 2ρ sin ?θ - ? = 2 ,点 A 的极坐标为 4? ?

?2 2,7π ?,求点 A 到直线 l 的距离. ? ? 4 ? ?
π? 7π ? ? ? 解 依题可知直线 l:2ρ sin?θ - ?= 2和点 A?2 2, ?可化为 l:x-y+1=0 和 A(2, 4 4 ? ? ? ? |2-?-2?+1| 5 2 -2),所以点 A 到直线 l 的距离为 d= = . 2 2 2 1 +?-1? 2.在极坐标系(ρ ,θ )(0≤θ <2π )中,求曲线 ρ (cos θ +sin θ )=1 与 ρ (sin θ -cos θ )=1 的交点的极坐标. 解 曲线 ρ (cos θ +sin θ )=1 化为直角坐标方程为 x+y=1,ρ (sin θ -cos θ )=1 化为直角坐标方程为 y-x=1.联立方程组?
? ?x+y=1, ?y-x=1, ?

得?

? ?x=0, ?y=1, ?

则交点为(0,1),对应

? π? 的极坐标为?1, ?. 2? ?
3.在极坐标系中,已知圆 ρ =3cos θ 与直线 2ρ cos θ +4ρ sin θ +a=0 相切,求实数

a 的值.
解 圆 ρ =3cos θ 的直角坐标方程为 x +y =3x,
2 2

? 3?2 2 9 即?x- ? +y = , 4 ? 2?
直线 2ρ cos θ +4ρ sin θ +a=0 的直角坐标方程为 2x+4y+a=0. 3 |2? +4?0+a| 2 3 因为圆与直线相切,所以 = , 2 2 2 2 +4 解得 a=-3±3 5. π 4.在极坐标系中,求曲线 ρ =2cos θ 关于直线 θ = 对称的曲线的极坐标方程. 4 解 以极点为坐标原点,极轴为 x 轴建立直角坐标系, 则曲线 ρ =2cos θ 的直角坐标方程为(x-1) +y =1, 且圆心为(1,0).
2 2

6

π 直线 θ = 的直角坐标方程为 y=x, 4 因为圆心(1,0)关于 y=x 的对称点为(0,1), 所以圆(x-1) +y =1 关于 y=x 的对称曲线为 x +(y-1) =1. π 所以曲线 ρ =2cos θ 关于直线 θ = 对称的曲线的极坐标方程为 ρ =2sin θ . 4 π 5.在极坐标系中,P 是曲线 C1:ρ =12sin θ 上的动点,Q 是曲线 C2:ρ =12cos(θ - ) 6 上的动点,求 PQ 的最大值. 解 对曲线 C1 的极坐标方程进行转化: ∵ρ =12sin θ ,∴ρ =12ρ sin θ ,∴x +y -12y=0, 即 x +(y-6) =36. 对曲线 C2 的极坐标方程进行转化: π ∵ρ =12cos(θ - ), 6 π π 2 ∴ρ =12ρ (cos θ cos +sin θ sin ), 6 6 ∴x +y -6 3x-6y=0, ∴(x-3 3) +(y-3) =36, ∴PQmax=6+6+ ?3 3? +3 =18. π 5π 6.在极坐标系中,O 是极点,设 A(4, ),B(5,- ),求△AOB 的面积. 3 6 π 5π 5π 解 如图所示,∠AOB=2π - - = , 3 6 6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

OA=4,OB=5,

1 5π 故 S△AOB= ?4?5?sin =5. 2 6 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 2π 7.已知 P(5, ),O 为极点,求使△POP′为正三角形的点 P′的坐标. 3 解 设 P′点的极坐标为(ρ ,θ ).

7

∵△POP′为正三角形,如图所示, π ∴∠POP′= . 3 2π π π 2π π ∴θ = - = 或 θ = + =π . 3 3 3 3 3 π 又 ρ =5,∴P′点的极坐标为(5, )或(5,π ). 3 8.在极坐标系中,判断直线 ρ cos θ -ρ sin θ +1=0 与圆 ρ =2sin θ 的位置关系. 解 直线 ρ cos θ -ρ sin θ +1=0 可化成 x-y+1=0,圆 ρ =2sin θ 可化为 x +y = |0-1+1| 2 2 2y,即 x +(y-1) =1.圆心(0,1)到直线 x-y+1=0 的距离 d= =0<1.故直线与 2 圆相交. π? π? ? ? 9.在极坐标系中,已知三点 M?2,- ?、N(2,0)、P?2 3, ?. 3? 6? ? ? (1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标; (2)判断 M、N、P 三点是否在一条直线上. 解 (1)由公式?
? ?x=ρ cos θ , ?y=ρ sin θ ?
2 2

得 M 的直角坐标为(1,- 3);

N 的直角坐标为(2,0);P 的直角坐标为(3, 3).
3 3-0 (2)∵kMN= = 3,kNP= = 3. 2-1 3-2 ∴kMN=kNP,∴M、N、P 三点在一条直线上. 10.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标 π 方程为 ρ cos(θ - )=1,M,N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点. 3 (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. π 解 (1)由 ρ cos(θ - )=1 3 1 3 得 ρ ( cos θ + sin θ )=1. 2 2 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2 即 x+ 3y=2. 当 θ =0 时,ρ =2,所以 M(2,0).

8

π 2 3 2 3 π 当 θ = 时,ρ = ,所以 N( , ). 2 3 3 2 (2)M 点的直角坐标为(2,0).

N 点的直角坐标为(0,

2 3 ). 3 3 ). 3

所以 P 点的直角坐标为(1,

2 3 π 则 P 点的极坐标为( , ), 3 6 π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ = (ρ ∈R). 6

9


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