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【学案导学设计】高中数学(人教A版,必修五)作业:3 复习课 不等式


第三章

章末复习课

【课时目标】 1.熟练掌握一元二次不等式的解法,并能解有关的实际应用问题. 2.掌握简单的线性规划问题的解法. 3.能用基本不等式进行证明或求函数最值.

— 不等式的性质 ?— 不等关系 —? ? ? ? ?— 实数比较大小 ? 一元二次不 ?— 等式的解法 ? ?— 一元二次不等式 —?— 一

元二次不 ? 等式的应用 ? 不等式 —? 二元一次不等式?组? — ? 与平面区域 ? ? ?— 简单线性规划 —?— 简单线性规划 ? ?— 简单线性规划的应用 ? ?— 算术平均数与几何平均数 ? — 基本不等式 —? ?— 基本不等式的应用 ? ?

一、选择题 1.设 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( ) a A.a-b<0 B.0< <1 b a+b C. ab< D.ab>a+b 2 答案 C 1 1 2.已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解是[- ,- ],则不等式 x2-bx-a<0 的解是( 2 3 A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1 1 1 1 C.( , ) D.(-∞, )∪( ,+∞) 3 2 3 2 答案 A

)

b 5 1 1 解析 由题意知,a<0, =- ,- = , a 6 a 6 ∴a=-6,b=5. ∴x2-5x+6<0 的解是(2,3). 2x+y≤40, ? ?x+2y≤50, 3.若变量 x,y 满足? x≥0, ? ?y≥0, A.90 B.80 C.70 答案 C 解析 作出可行域如图所示 .

则 z=3x+2y 的最大值是(

)

D.40

1 3 由于 2x+y=40、x+2y=50 的斜率分别为-2、- ,而 3x+2y=0 的斜率为- ,故线性目标函数的倾 2 2 斜角大于 2x+y=40 的倾斜角而小于 x+2y=50 的倾斜角,由图知,3x+2y=z 经过点 A(10,20)时,z 有最大 值,z 的最大值为 70. x-1 4.不等式 ≥2 的解为( ) x A.[-1,0) B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]∪(0,+∞) 答案 A x-1 x-1 -x-1 解析 ≥2? -2≥0? ≥0 x x x ? ?x?x+1?≤0 x+1 ? ≤0?? x ?x≠0 ? ?-1≤x<0. 5.设 a>1,b>1 且 ab-(a+b)=1,那么( ) A.a+b 有最小值 2( 2+1) B.a+b 有最大值( 2+1)2 C.ab 有最大值 2+1 D.ab 有最小值 2( 2+1) 答案 A a+b 2 解析 ∵ab-(a+b)=1,ab≤( ), 2 a+b 2 ∴( ) -(a+b)≥1, 2 它是关于 a+b 的一元二次不等式, 解得 a+b≥2( 2+1)或 a+b≤2(1- 2)(舍去). ∴a+b 有最小值 2( 2+1). 又∵ab-(a+b)=1,a+b≥2 ab, ∴ab-2 ab≥1,它是关于 ab的一元二次不等式,

解得 ab≥ 2+1,或 ab≤1- 2(舍去), ∴ab≥3+2 2,即 ab 有最小值 3+2 2. 3x-y-6≤0, ? ? 6.设 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0, ? ?x≥0,y≥0, 最小值为( ) 25 8 A. B. 6 3 答案 A 解析 11 C. 3 D.4 2 3 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 12,则 + 的 a b

不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x -y-6=0 的交点(4,6)时,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值 12, 2 3 2 3 2a+3b 13 b a 13 25 6 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而 + =( + )· = +( + )≥ +2= (a=b= 时取等号). a b a b 6 6 a b 6 6 5 二、填空题 7.已知 x∈R,且|x|≠1,则 x6+1 与 x4+x2 的大小关系是________. 答案 x6+1>x4+x2 解析 x6+1-(x4+x2) =x6-x4-x2+1 =x4(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x4-1) =(x2-1)2(x2+1) ∵|x|≠1,∴x2-1>0,∴x6+1>x4+x2. 8.若函数 f(x)= 2x2-2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为________. 答案 [-1,0] 解析 由 f(x)= 2x2-2ax-a-1的定义域为 R. 可知 2x2-2ax-a≥1 恒成立,即 x2-2ax-a≥0 恒成立,则 Δ=4a2+4a≤0,解得-1≤a≤0. y2 9.若 x,y,z 为正实数,x-2y+3z=0,则 的最小值为____. xz 答案 3 x+3z y2 解析 由 x-2y+3z=0,得 y= ,将其代入 , 2 xz x2+9z2+6xz 6xz+6xz y2 得 ≥ =3,当且仅当 x=3z 时取“=”,∴ 的最小值为 3. 4xz 4xz xz 10.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表: a b/ c/ 万 百 吨 万 元 A 50 1 % 3

B 70 0.5 6 %

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为 ________(百万元). 答案 15 解析 设购买 A、B 两种铁矿石分别为 x 万吨、y 万吨,购买铁矿石的费用为 z 百万元,则 z=3x+6y. 由题意可得约束条件为

? ?x+1y≤2, ? 2 x≥0, ? ?y≥0.
15.

1 7 x+ y≥1.9, 2 10

作出可行域如图所示,由图可知,目标函数 z=3x+6y 在点 A(1,2)处取得最小值,zmin=3×1+6×2=

三、解答题 ax-5 11.已知关于 x 的不等式 2 <0 的解集为 M. x -a (1)若 3∈M,且 5?M,求实数 a 的取值范围. (2)当 a=4 时,求集合 M. 3a-5 5 解 (1)∵3∈M,∴ <0,解得 a< 或 a>9; 3 9-a 5a-5 若 5∈M,则 <0, 25-a 解得 a<1 或 a>25. 则由 5?M,知 1≤a≤25, 5 因此所求 a 的范围是 1≤a< 或 9<a≤25. 3 4x-5 (2)当 a=4 时, 2 <0. x -4
?4x-5>0 ?4x-5<0 ? ? 4x-5 <0?? 2 或? 2 . 2 x -4 ?x -4<0 ?x -4>0 ? ?

5 5 ? ? ?x>4 ?x<4 ?? 或? ? ? ?-2<x<2 ?x<-2或x>2 5 ? <x<2 或 x<-2. 4 5 ∴M={x|x<-2 或 <x<2}. 4 12.当 x>3 时,求函数 y= 解 ∵x>3,∴x-3>0.

2x2 的值域. x-3

2 2x2 2?x-3? +12?x-3?+18 ∴y= = x-3 x-3 18 18 =2(x-3)+ +12≥2 2?x-3?· +12 x-3 x-3 =24. 18 当且仅当 2(x-3)= , x-3 即 x=6 时,上式等号成立, 2x2 ∴函数 y= 的值域为[24,+∞). x-3 【能力提升】 1 1 13.设 a>b>0,则 a2+ + 的最小值是( ) ab a?a-b? A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 1 1 1 1 1 1 解析 a2+ + =a2-ab+ab+ + =a(a-b)+ +ab+ ≥2+2=4. ab a?a-b? ab a?a-b? ab a?a-b? 2 当且仅当 a(a-b)=1 且 ab=1,即 a= 2,b= 时取等号. 2 14.若关于 x 的不等式(2x-1)2<ax2 的解集中的整数恰有 3 个,则实数 a 的取值范围是________. 25 49 答案 ( , ] 9 16 解析 由(2x-1)2<ax2 成立可知 a>0,整理不等式可得(4-a)x2-4x+1<0,由于该不等式的解集中的整 2- a 2+ a 数恰有 3 个,则有 4-a>0,即 a<4,故 0<a<4,解得不等式有 <x< , 4-a 4-a 2- a 2+ a 即 <x< , ?2+ a??2- a? ?2+ a??2- a? 1 1 1 1 亦即 < <x< ,要使该不等式的解集中的整数恰有 3 个,那么 3< ≤4, 4 2+ a 2- a 2- a 25 49 解得 <a≤ . 9 16

1.不等式是高中数学的重要内容,其中蕴含着许多重要的思想方法,是高考考查的重点. 2.本章内容主要有以下四个方面:①不等式的性质,②一元二次不等式的解法,③简单的线性规划问 题,④基本不等式及应用.


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