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第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


第三节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

题号 答案

1

2

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6

1.(2014· 湖北卷)命题“?x∈R,x2≠x”的否定是( A.?x?R,x2≠x B.?x∈R,

x2=x C.?x?R,x2≠x D.?x∈R,x2=x

)

解析:全称命题的否定方法是先改变量词,然后否定结论,故所 求的命题是“? x∈ R,x2=x”.故选 D. 答案:D 2 . (2013· 湖北黄冈上学期期末 ) 命题“所有实数的平方都是正 数”的否定为( )

A.所有实数的平方都不是正数 B.有的实数的平方是正数 C.至少有一个实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方不是正数 答案:D 3. (2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知命题 p: ?x∈R, 2x<3x; 命题 q: ?x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( A.p∧q B.(綈 p)∧q C.p∧(綈 q) D.(綈 p)∧(綈 q) 解析:由指数函数的性质知,命题 p 是错误的.而命题 q 是正 确的.故选 B. 答案:B 4 . “ 命 题 ‘ ? x ∈ R , x2 + ax - 4a < 0’ 为 假 命 题”是 “ - )

16≤a≤0”的( A.充要条件

)

B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:因为“? x∈ R,x2+ax-4a<0”为假命题,所以“? x∈ R, x2+ax-4a≥0”为真命题.所以 Δ=a2+16a≤0,即-16≤a≤0.故选 A. 答案:A 5.已知命题 p:函数 y=sin 4x 是周期函数,命题 q:函数 y=
?π ? tan x 在? ,π ?上单调递减,则下列命题为真命题的是( ?2 ?

)

A.p∧q B.(綈 p)∨q C.(綈 p)∧(綈 q) D.p∨q 解析:本题先判断命题 p,q 的真假,再依真值表来判断复合命 π 题的真假.因为函数 y=sin 4x 的最小正周期为 ,故命题 p 为真命 2
?π ? 题;因为函数 y=tan x 在?2,π?上单调递增,故命题 q 为假命题,所 ? ?

以 p∧ q 为假命题,(綈 p)∨ q 为假命题,(綈 p)∧ (綈 q)为假命题,排 除 A,B,C 三项,故选 D. 答案:D 6.给出如下四个判断: ①?x0∈R,ex0≤0; ②?x∈R+,2x>x2; ③设 a,b 是实数,a>1,b>1 是 ab>1 的充要条件; ④命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若綈 q,则綈 p”. 其中正确的判断个数是( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个 D.4 个

解析:对任意 x∈ R,ex>0,故① 不正确;当 x=2 时,2x=x2, 故② 不正确;由 ab>1 不能得到 a>1,b>1,故③ 不正确;④ 正确, 故选 A. 答案:A 7.若命题“?x∈R,使得 x2+(1-a)x+1<0”是真命题,则实 数 a 的取值范围是______________. 解析:由题意可知,Δ=(1-a)2-4>0,解得 a<-1 或 a>3. 答案:(-∞,-1)∪ (3,+∞) 8.(2013· 辽宁五校协作体摸底文改编)命题 p:?x∈R,使 sin x 3 +cos x= ;命题 q:?x∈R,都有 2x2+x+2>0.则下列说法正确的 4 是____________(把正确的序号都填上). ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(綈 q)”是假命题;③ 命题“(綈 p)∨q”是假命题;④命题“(綈 p)∨(綈 q)”是假命题. 解析:命题 p 是真命题,命题 q 是真命题,所以綈 p 是假命题, 綈 q 是假命题.从而可以判断① 、② 、④ 说法正确. 答案:① ② ④ 9.已知命题 p:f(x)=x3-ax 在(2,+∞)为增函数,命题 q:g(x) =x2-ax+3 在(1,2)为减函数,若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命 题,求 a 的取值范围. 解析:p:f′(x)=3x2-a≥0 在(2,+∞)上恒成立, 则 a≤3×22=12; a q: ≥2,得 a≥4. 2 由“p 或 q 为真,p 且 q 为假”知:

?a≤12, ? p 真 q 假时,有? 得 a<4; ?a<4, ? ? ?a>12, p 假 q 真时,有? 得 a>12. ?a≥4, ?

综上所述,a 的取值范围为(-∞,4)∪ (12,+∞). 10.已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 x2 0+2ax0+2a≤0,若命题“p∨q” 是假命题,求实数 a 的取值范围. 解析:由 2x2+ax-a2=0 得(2x-a)(x+a)=0, a ∴ x= 或 x=-a, 2
?a? ∴ 当命题 p 为真命题时?2?≤1 或|-a|≤1,∴ |a|≤2. ? ?
2 又“只有一个实数 x0 满足 x0 +2ax0+2a≤0”,

即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴ Δ=4a2-8a=0,∴ a=0 或 a=2. ∴ 当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ∴ 命题“p∨ q”为真命题时,|a|≤2. ∵ 命题“p∨ q”为假命题,∴ a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为(-∞,-2)∪ (2,+∞).


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