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6.4特殊数列的求和






数学

年级

高三

备课人

高三数学组

第 课时 考纲定位

6.4 特殊数列的求和

熟练掌握等差、等比数列求和公式;熟练掌握数列求和的几种方法,如:倒序相加、 错位相减、裂项相消

以及分组求和等. 【考点整合】 1、等差数列前 n 项和公式: ; 等比数列前 n 项和公式: . 2、其他常用求和公式: (1) 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n =
2 2 2 2

; (2) 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n =
3 3 3 3

.

【典型例题】 一、分组求和 例 1、在等比数列 {an } 中, a1 ? 1, q ? 2 ,若数列 {bn } 满足 bn ? an ? log 2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

变式训练: 1、数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? (?1)n?1 ? n ,则 S15 =( ) A.9 B.8 C.16
n

D.15 . .

2、数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 an ? (?1) (2n ?1) ,则 S2014 = 3、(2012 福建)数列 {an } 的通项公式 an ? n sin

n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 S2012 = 2

小结:形如: an ? (?1)n f (n) 类型,常采用两项合并求和.此外如果数列 {an } 为周期函数时,也用 分组求和. 二、裂项相消求和 例 2、已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

3 ,求数列 {an } 的前 n 项和 Sn . (2n ? 1)(2n ? 1)

变式训练: 1、已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 an ? A.

2 5

B.

1 30

1 ,则 S8 =( ) (n ? 1)(n ? 2) 7 5 C. D. 30 6

2、 1 ?

1 1 1 =( ) ? ? ... ? 2 ?1 3? 2 n ? n ?1 A. n ? 1 B. n ?1 ?1 C. n

D. n ? 1 ?1

小结:常见的拆项公式有:

1 = n(n ? 1) 1 (3) = n(n ? 1)(n ? 2) (5) n ? n! ? (n ? 1)!? n!
(1) 三、错位相减求和



1 = (2n ? 1)(2n ? 1) 1 ; (4) = a? b
(2)

; ;

例 3、已知 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,且通项公式为 an =n ? 2n ,求 Sn .

小结: 推广:已知数列 {an } 是首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列,{bn } 是首项为 b1 ,公比为 q 的等比数列, 设数列 {cn } 满足 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

变式训练: 1、已知数列 {an } 是各项都是正数的等比数列,且 a1 ? 4, a3 ? 64 ,若 bn ? an log 2 an ,求数列 {bn } 前 n 项和 Sn .

【上本作业】 (2013 四川)已知函数 f ( x) ? sin( x ? (1)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; (2)已知 cos( ? ? ? ) ?

7? 3? ) ? cos( x ? ), x ? R 4 4

4 4 ? , cos( ? ? ? ) ? ? , 0 ? ? ? ? ? .求证: [ f ( ? )]2 ? 2 . 5 5 2

【课后反思】

6.4 特殊数列的求和 【考点整合】

参考答案

n(n ? 1)(2n ? 1) n 2 (n ? 1) 2 1、略;2、 (1) ; (2 ) 6 4
【典型例题】 例 1、略 变式训练:1、B; 2、2014; 3、3018; 例 2、略 变式训练:1、A; 2、C;

小结: (1)

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ; (2) n(n ? 1) n n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3)

1 1 1 1 1 1 ? ( ? ); ? ( a ? b) (4) n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) a ? b a ?b

例 3、略 变式训练:略 【上本作业】 解析: (1) f ( x) ? sin( x ?

? sin x cos

?
4

7? 3? ? ? ) ? cos( x ? ) ? sin( x ? ) ? cos( x ? ) 4 4 4 4
? cos x sin

?

4

? cos x cos

?

? 2 sin x ? 2 cos x ? 2 sin( x ? ) 4
?Tmin ? 2? , f ( x) min ? ?2
(2)由 cos( ? ? ? ) ?

?

4

? sin x sin

?

4

4 4 , cos( ? ? ? ) ? ? 得: 5 5 4 4 c o s? c o s ? ?s i n ?sin ? ? , cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ,两式相加得: 5 5

cos ?co? s ? 0 ,又 0 ? ? ? ? ?

?

? f ( ? ) ? f ( ) ? 2 s i n ( ? ) ? 2 s i n ? 2 ,?[ f ( ? )]2 ? 2 。 2 2 4 4

?

?

?

2

,所以 cos ? ? 0 ,? ? ?

?

?

2


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