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高一数学 函数y=Asin(wx+a)+b的图像和性质


高一 学生姓名:
专 目 题 标

年级 数学 授课教师:

科辅导讲义(第

讲) 12.20

授课时间:

函数 y ? A sin(wx ? ? ) 的图像性质及应用 掌握函数的图像和性质 函数图像的平移和伸缩变换;根据求函数的解析式; 根据图像求函数的解析式

r />
重 难 点 常 考 点

函数 y ? A sin(wx ? ? ) 的图像性质及应用
第一部分 知识梳理 1.函数 y ? A sin( wx ? ? )( x ? 0 )的物理概念,振幅 A :表示震动时离开平位置的大距离;频率 w : 表示单位时间内往返震动的次数;初像: ? ;相位: wx ? ? 2. 作函数 y ? A sin( wx ? ? ) 的图像 (1) 用 “五点法” 作图, 用 “五点法” 作 y ? A sin( wx ? ? ) 的简图, 主要是通过变量代换, 设 z ? wx ? ? , 由 z 取 0,

?

3 , ? , ? , 2? 来求出相应的 x ,同过列表,计算出五点坐标,描点后得出图像 2 2

(2) 由函数 y ? sin x 的图像通过变换得到 y ? A sin( wx ? ? ) 的图像,有两种主要途径: “先平移后 伸缩”与“先伸缩后平移” 3. 函数 y ? sin x 的图象得到 y ? A sin(wx ? ? )(w ? 0, ? ? 0) 的图象主要有下列两种方法 ① y ? sin x (相位变换) ? _______(周期变换) ? ________(振幅变换) ? _________ ② y ? sin x (周期变换) ? ________(相位变换) ? ________(振幅变换) ? _________

4. 函数 y ? A sin( wx ? ? ) 的性质 ① 函数 y ? A sin( wx ? ? ) 的周期可利用 T ?

2? w

② 判断函数 y ? A sin( wx ? ? ) ( A? ? 0 )是否具备奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转化为
1

y ? A sin wx( Aw ? 0) 或 y ? A cos wx( Aw ? 0) 的形式。
③ 求 y ? A sin(wx ? ? )( A ? 0, w ? 0) 的单调区间,一般将 wx ? ? 看成一个整体,代入 y ? sin x 相 关的单调区间对应的不等式,解之即得。 ④ 讨论 y ? A sin(wx ? ? )( A ? 0, w ? 0) 的对称性,一般将 wx ? ? 看成是一个整体,令

wx ? ? ? k? ?

?
2

可得对称轴。令 wx ? ? ? k? 解出 x 可得对称点的横坐标。

⑤ 两条相邻对称轴之间的间隔为

1 个周期,函数在对称轴处取得最大值或最小值;两个相邻最大值 2

之间为一个周期,两个相邻最小值之间为一个周期。 第二部分 例题解析 考点 1 函数 y ? A sin( wx ? ? ) 的图像应用 例 1、作出函数 y ? 2sin(2 x ?

?
6

) 的图像,并且指出其频率、相位、初相、最值。

例 2、试述如何由 y ?

1 ? sin(2 x ? ) 的图像得到 y ? sin x 的图像。 3 3

考点 2 函数 y ? A sin( wx ? ? ) 的性质及应用 例 3、已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0)的图象如图所示,则ω =________.
2

例 4、函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0)的部分图象如图所示,则 f(0)的值是 ________.

变式练习 1.已知函数 y=Asin(ω x+ ? ), 在同一周期内, 当 x= 当 x=

? ) 6 x ? C y=2sin( + ) 3 6
A y=2sin(3x-
王新敞
奎屯 新疆

4? 时函数取得最小值-2,则该函数的解析式为( 9
B y=2sin(3x+
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? 时函数取得最大值 2, 9
)

王新敞
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新疆

? 6 x ? D y=2sin( - ) 3 6
王新敞
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2.已知函数 y ? A sin(wx ? ? )( A ? 0, w ? 0) 的图像过点 P (

?
12

, 0) ,图像与 P 点最近的一个最高点坐标为

( ,5) ,① 求函数解析式;② 指出函数的增区间;③ 求使 y ? 0 的 x 的取值范围 3

?

第三部分 巩固练习 一、选择题:

3

1.将函数 y ? sin( x ? 左平移

?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得的图象向


?
3

个单位,得到的图象对应的僻析式是( B. y ? sin( x ? D. y ? sin(2 x ?

1 x 2 1 ? C. y ? sin( x ? ) 2 6
A. y ? sin

1 2

?
2 )

)

?
6

2.要得到 y ? sin 2 x 的图象,只需将 y ? cos 2 x 的图象(



? 单位 2 ? C.向右平移个 单位 4
A.向右平移个

? 单位 2 ? D.向左平移个 单位 4
B.向左平移个

3.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 f ( A. 2 或 0 B. ?2 或 2 C. 0

?
6

? x) ? f (

?
6

? x), 则 f ( ) 等于(

? 6



D. ?2 或 0

4. 将函数 y=f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,再把所得的图 x 轴向左平 移

?

2

个单位,这样所得曲线与 y=3sinx 的图象相同,则函数 y=f(x)的表达式是 (



A. f ( x ) ? 3sin( ?

x ? ) 2 2

B. f ( x ) ? 3sin( ?

x 2

?
4

)

C.f(x)=-3sin2x

D. f ( x) ? ? cos 2 x

5.要得到 y ? 3 sin(2x ? ) 的图象,只需将 y=3sin2x 的图象(

? 3



? 个单位 3 ? C.向右平移 个单位 3
A.向左平移

? 个单位 6 ? D.向右平移 个单位 6
B.向左平移

6. 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的一部分图象如右图所示,如果 A ? 0, ? ? 0,| ? |? A. A ? 4 C. ? ? B. ? ? 1 D. B ? 4

?
2

,则(



?

6

二、填空题: 7.已知函数 y ? f ( x) 的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4

4

倍,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把所得的图象沿 x 轴向左平移

?
2

,这样得到的曲线和 y ? 2 sin x 的图

象相同,则已知函数 y ? f ( x) 的解析式为_______________________________. 8. 已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在同一周期内,当 x ? 的解析式为_______________. 9.函数 y=Asin(ω x+φ )在一个周期上的图象为上图所示.则函数的解析 式是_______________.
o -2 y
2
2π 3 4π - 3 8π 3

?
3

时有最大值 2,当 x=0 时有最小值-2,那么函数

x

三、解答题: 10.已知函数y=Asin(ω x+φ )+b(A>0,|φ |<π ,b为常数)的 一段图象(如图)所示. ①求函数的解析式; ②求这个函数的单调区间.

11.利用“五点法”画出函数 y ? sin(

1 ? x ? ) 在长度为一个周期的闭区间的简图,并说明该函数图象可 2 6

由 y=sinx(x ? R)的图象经过怎样平移和伸缩变换得到的。

12. 已知函数 y=3sin(

1 π x- ). 2 4
5

(1)用“五点法”作函数的图象; (2)说出此图象是由 y=sinx 的图象经过怎样的变化得到的; (3)求此函数的周期、振幅、初相; (4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.

13.如图,某地一天从 6 时到 11 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b (1) 求这段时间最大温差; (2) 写出这段曲线的函数解析式.

6


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