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直线方程的几种形式(5种)


y

l

o

?

x

点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 )
斜截式: y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 两点式: ? y2 ? y1 x2 ? x1
x y 截 距 式: ? ? 1 a b

>一般式: Ax ? By ? C ? 0

温故知新 1.在平面内,你知道有哪些方法,能确定一 条直线的位置。 2.先画出y=-2x直线,再画经过点A(-1,3), 斜率为-2的直线。
y

A(-1,3)

.
.
O

B(0,1)
x

分析:先找出特殊的 一点B(0,y),根据两点 的斜率公式可求出 B(O,1)

探究新知
问题二: 若直线l过点A(-1,3),斜率为-2,点 P(x,y)在直线l上运动,那么点P的横坐标x和纵坐 标y之间满足什么关系?
y

A(-1,3)

.

分析:点P与定点A(-1,3)所确定的直 线的斜率恒等于-2, 故有:

O

. P(x,y)

x

y ?3 ? ?2 x ? (?1)

y ? 3 ? ?2[ x ? (?1)]


y ? ?2x ?1

问1.直线l上的点的坐标是否都满足方 程 y ? ?2 x ? 1 ?

2.以此方程 y ? ?2 x ? 1 的解为坐标的点是 否在直线l上 ?

结论:如果一条直线l上的任一点坐标 (x,y)都满足一个方程,该方程的每 个实数对(x,y)所确定的点都在直线 l上,称这个方程为直线l的方程
由此,我们得到经过点A(-1,3), 斜率为-2的直线方程是

y ? ?2 x ? 1

问题三:直线l经过点P1(x1,y1),斜率为k,点P 在直线l上运动,那么点P的坐标(x,y)满足什么 条件? 当点P(x,y)在直线l上运动
y

P(x,y) P1(x1,y1)

时,PP1的斜率恒等于k,

.

.

o

x

y ? y1 ?k 即 x?x 1

, .

故 y ? y1 ? k ( x ? x1 )

可以验证:直线l上的每个点(包括点P1 )的坐标 都是这个方程的解; 反过来,以这个方程的解为坐标的点 都在直线l上。

由此,这个方程 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 就是过点 P1 (x1,y1),斜率为k的直线l的方程。

方程

y ? y1 ? k ( x ? x1 )

叫做直线方程的点斜式方程。
问 1)过P1 (x1,y1)所有直线是否都能用点 斜式方程表示?
y

2)那这个时候直线的方程是什么?

. .

P(x,y)

P1(x1,y1)

答 当直线的斜率不存在时, 直线的方程是 x= x1 .

o

例 1: 已知一直线经过点P(-2,3),斜率为2,求这条 直线的点斜式方程。 解:由直线的点斜式方程,得

y ? 3 ? 2( x ? 2)
练习1: 1.已知一直线经过点P(-1,2),斜率为0, 求这条直线的方程。

特殊情况:

(1)当直线的倾斜角为 0 0 时斜率 k ? 0,
y

直线l的方程为 y ? y1 (如图 )

l

P1
O

x

(2)当直线的倾斜角为 900 时斜率 k不存在 , y l 直线l的方程为 x ? x1 (如图 ) P1
O

x

例1

求下列直线的方程 : (1)直 线l 1 : 过 点( 2,1), k ? ?1, (2)直线l 2 : 过点 (?2,1)和点 (3,?3).

解:

(1)直线l1过点 (2,1), k ? ?1,
代入点斜式,得 y ?1 ? ?1( x ? 2), 整理得 l1的方程为 :x? y?3?0 ? 3?1 4 ( 2)直 线l 2的 斜 率 k? ?? , 3 ? ( ?2) 5 又因为过点 (?2,1),由点斜式方程得
4 y ? 1 ? ? [ x ? ( ?2)], 5 整理得 l 2的方程 4x ? 5 y ? 3 ? 0

1 y ? ? 3 x ? 1的 倾 斜 角 的 , 练习 求 倾 斜 角 是 直 线 4 且过点 ( 3 ,?1)的 直 线 方 程 .

解: 直线y ? ?

3 x ? 1的斜率 k ? ? 3,

3 斜 率k1 ? tan30 ? 3 3 又所求直线过点 ( 3 ,?1)? y ? 1 ? 3 ( x ? 3 )
0

1 依 题 意 所 求 直 线 的 倾角 斜? ? ? 1200 ? 300 , 4

? 倾斜角 ? ? 1200 ,

? 所求直线方程为

3x ? 3 y ? 6 ? 0

二.直线的斜截式方程
已知直线 l的 斜 率 为 k , 与y轴 的 交 点 是 (0, b), 求直线的方程 . 解: 由直线的点斜式,得 y ? b ? k ( x ? 0)

即y ? kx ? b
y

方程y ? kx ? b叫做直线方程的斜截式 .方程

b叫做直线 l在y轴上的截距 .

b
?

l

斜---斜率 截---y轴上的截距

o

x

例2

(0,1), 解: (1)因为直线过点

1 求过点 (0,1), 斜 率 为? 的 直 线 的 方 程 . 2

所以直线在 y轴上的截距为 1,
1 y ? ? x ? 1, 由直线的斜截式方程得 2
1 又因为直线的斜率 k?? , 2

即x ? 2 y ? 2 ? 0 为所求

练习 1.直线方程3x ? 2 y ? 6 ? 0求斜率k和直线
在y轴上的截距 b.

解: 由3 x ? 2 y ? 6 ? 0 3 3 y ? ? x ? 3? k ? ? , b ? ?3. 2 2 2.求与直线 3 x ? 2 y ? 6 ? 0的截距相同 , 斜率为? 3的直线方程式 . 解: 依题意 b ? ?3, k ? ? 3 ,
所求直线方程为 y ? ? 3x ? 3

三.直线的两点式

y 2 ? y1 ,k ? ( x1 ? x 2 ). 解: 依 题 意 x 2 ? x1
代入点斜式,得

已知直线 l经过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y2 ), 且x1 ? x 2 , 求直线的方程 .

y 2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x 2 ? x1 y ? y x ? x 1 1 当y 2 ? y1时, 可以得 ? y 2 ? y1 x 2 ? x 1

y ? y1 x ? x1 方程 ? 叫做 直线的两 点式 y 2 ? y1 x 2 ? x 1
练习 已知直线经过两点 P1 (2,1), P2 (0,?3)

则直线的方程为
y ?1 x?2 ? 即2 x ? y ? 3 ? 0 ? 3?1 0? 2

四.直线的截距式方程
已知直线 l与x轴的交点为 (a,0),与y轴的交点为 (0, b),其中a ? 0, b ? 0, 求直线 l的方程 .

解: 把点 (a,0),(0, b)代入两点式方程 ,得

y?0 x?a ? b?0 0?a

x y ? ?1 a b

x y ? ? 1称 直 线 方 程 式 的 截 距 式 a b

a ? ? x轴 上 的 截 距 b ? ? y轴 上 的 截 距

A(?5,0), B(3,?3),C(0,2) 例3 三角形的顶点是
求这个三角形三边所在 的直线方程 .

解: 把A, B代入两点式 ,得
y?0 x ? (?5) ? ? 3 ? 0 3 ? (?5)

3x ? 8 y ? 15 ? 0
把B, C代入两点式 ,得
y ?3 x ?3 ? 2?3 0?3

5x ? 3 y ? 6 ? 0

A(?5,0), B(3,?3), C (0,2) 例3三角形的顶点是
求这个三角形三边所在 的直线方程 .

解: 把A, C代入两点式 ,得 y ? 0 x ? (?5) ? 2 ? 0 0 ? (?5)

2 x ? 5 y ? 10 ? 0

AC在x, y轴 另解: 由A, C两点的坐标得直线

上的截距为 a ? ?5, b ? 2. 由 截 距 式 得

x y ? ?1 ?5 2

2 x ? 5 y ? 10 ? 0

五.直线方程的一般式

在平面直角坐标系中 , 对于任何一条直线 , 都有一

个表示这条直线的关于 x, y的二元一次方程 形式为 证明: 关于x, y的二元一次方程的一般

Ax ? By ? C ? 0( A, B不同时为 0)

A C A 1)当B ? 0时, 有y ? ? x ? , 这 是 斜 率 为 ? , BC B B 在y轴 上 的 斜 距 为 ? 的直线方程 . B C 2)当B ? 0时,因A, B不 同 时 为 0, 故A ? 0, x ? ? . A 它表示一条与 y轴平行或重合的直线 .

在平面直角坐标系中 ,任何关于 x , y的 二 元 一 次 方 程 都 表 示 一 条线 直.

Ax ? By ? C ? 0
叫做直线方程的一般式(A,B不同时为0)

求直线的点斜式和一般 式方程 . 4 解: 点 斜 式 方 程 式 为 : y ? 4 ? ? ( x ? 6) 3

4 例4.已 知 直 线 经 过 点 A(6,?4), 斜 率 为? , 3

化成一般式得 : 4 x ? 3 y ? 12 ? 0

例5:

把直线方程 2 x ? 3 y ? 6 ? 0化成斜截式 , 截距 式, 求出它的斜率和它在 x, y轴上的截距 .

2 y ? x ? 2. 解: 斜 截 式 为 3 x y 2 截距式为 ? ? 1斜 . 率k ? . ?3 2 3 x轴上的截距为 a ? ?3, y轴上的截距为 b ? 2.

小结
1.点斜式方程: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 2.斜截式方程: y ? kx ? b

y ? y1 x ? x1 ? 3.两点式方程: y 2 ? y1 x 2 ? x 1 x y ? ?1 4.截距式方程: a b
5.一般式方程: Ax ? By ? C ? 0






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