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椭圆双曲线复习(含答案)


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圆锥曲线复习
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一、知识梳理
1.椭圆的图象和性质: 定义式 图象

标准方程

焦点坐标 顶点坐标

a,b,c关系
长轴长\短轴长\焦距 离心率

2.

双曲线的图象与性质

定义式 图象

标准方程

焦点坐标 顶点坐标 渐近线

a,b,c关系
实轴长\虚轴长\焦距 离心率

二.例题分析
类型一:概念与基本性质 例 1: ( 1 ) 过点 (2,? 3)且与椭圆 9 x 2 ? 4 y 2 ? 36 有共同的焦点的椭圆的标准方程为
_____________

y 2 x2 ? ?1 15 10

(2) 椭圆两焦点为 F1 (?4, 0) ,F2 (4, 0) , P 在椭圆上, 若 △ PF1 F2 的面积的最大值为 12, 则椭圆方程为( B )

A.

x2 y2 ? ?1 16 9

B.

x2 y 2 ? ?1 25 9

C.

x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 25 16 D . 25 4

(3) .双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双 曲线的标准方程为( A ) y2 x2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 4 4 4 4 y2 x2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 4 9 8 4 2 2 (4)椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 等于( D ) 1 A. B.2 2 1 C.4 D. 4 x2 y2 (5) .双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为( A ) 4 12 A.2 3 B.2 C. 3 D.1 (6) 如图: 从椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线, 恰好通过椭圆的左焦点 F1 , 且它的长轴端点 A

? ??? ? ???? 及短轴的端点 B 的连线 AB ∥ OM ,
则该椭圆的离心率等于_____________

y

M

B

2 2

F1

O

A

x

x2 y2 3 (7)若双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的焦点坐标是__(± 7,0) 4 m 2 x2 y2 (8) .若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 4 3 → → OP· FP的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8

2 x2 y2 x0 0 0 解析:选 C.由题意,F(-1,0),设点 P(x0,y0),则有 + =1,所以 y2 0=3(1- )(- 4 3 4 2≤x0≤2), → → 因为FP=(x0+1,y0),OP=(x0,y0),所以 x2 1 → → 0 OP· FP=x0(x0+1)+y2 = +x0+3= (x0+2)2+2. 0 4 4 → → 因为-2≤x0≤2,所以当 x0=2 时,OP· FP取得最大值为 6.

x2 y2 例 2:4.设 P 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2 是其左、右焦点.已知∠F1PF2= a b 60° ,求椭圆离心率的取值范围. 解:

法一:根据椭圆的定义, 有|PF1|+|PF2|=2a,① 在△F1PF2 中,由余弦定理得 cos 60° = 2 |PF1| +|PF2|2-|F1F2|2 1 = , 2|PF1||PF2| 2 2 2 2 即|PF1| +|PF2| -4c =|PF1||PF2|.② ①式平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2.③ 4b2 由②③得|PF1||PF2|= .④ 3 由①和④运用基本不等式, |PF1|+|PF2| 2 4b2 得|PF1||PF2|≤( ) ,即 ≤a2. 2 3 4 c 1 由 b2=a2-c2,故 (a2-c2)≤a2,解得 e= ≥ . 3 a 2 1 又因 e<1,所以该椭圆离心率的取值范围为[ ,1). 2 类型二:直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 例 3. (1)直线 y=x+1 被椭圆 + =1 所截得的弦的中点坐标是( 4 2 2 5 4 7 A.( , ) B.( , ) 3 3 3 3 2 1 13 17 C.(- , ) D.(- ,- ) 3 3 2 2 ?y=x+1 ? 解析:选 C.由? 2 ,消去 y, 2 ?x +2y =4 ? 得 3x2+4x-2=0, 设弦的两端点坐标为(x1,y1),(x2,y2), 中点坐标为(x 中,y 中), 4 则 x1+x2=- , 3 2 ∴x 中 =- . 3 )

2 1 从而 y 中=x 中+1=- +1= , 3 3 2 1 ∴中点坐标为(- , ). 3 3 x2 2 (2)椭圆 +y =1 被直线 x-y+1=0 所截得的弦长|AB|=__________. 3 x-y+1=0 ? ? 解析:由?x2 2 ? ? 3 +y =1 则|AB|= 3 2 答案: 2 3 1? 得交点为(0,1),? ?-2,-2?,

?3?2+?1+1?2=3 2. ?2? ? 2? 2

x2 π (3)F1,F2 是椭圆 +y2=1 的两个焦点,过 F2 作倾斜角为 的弦 AB,则△F1AB 的面 2 4 积为________. 解析:不妨设椭圆的右焦点为 F2(1,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线 AB 的方程为 y=x -1. y=x-1 ? ? 由?x2 2 得 3x2-4x=0, ? ? 2 +y =1, 4 ∴x1=0,x2= . 3 根据弦长公式得 4 2 |AB|= 1+k2|x1-x2|= . 3 椭圆的左焦点为 F1(-1,0)到直线 AB 的距离 |-1-0-1| d= = 2, 1+1 1 1 4 2 4 ∴S△F1AB= d|AB|= × 2× = . 2 2 3 3 4 答案: 3 x2 (4)椭圆 +y2=1 上的点到直线 x-y+6=0 的距离的最小值为 3 |6-2| d= =2 2. 2 x2 y2 a2 3 例 4.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 3,且 = . a b c 3 (1)求双曲线 C 的方程; (2)已知直线 x-y+m=0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆 x2 2 +y =5 上,求 m 的值.

解:(1)由题意得

? ?c ?a=

a2 3 = c 3 3



?a=1 解得? ?c= 3

.

所以 b2=c2-a2=2.

y2 所以双曲线 C 的方程为 x2- =1. 2 (2)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0). x-y+m=0 ? ? 由? 2 y2 , ?x - 2 =1 ? x2-2mx-m2-2=0(判别式 Δ>0). x1+x2 所以 x0= =m, 2 y0=x0+m=2m. 因为点 M(x0,y0)在圆 x2+y2=5 上, 所以 m2+(2m)2=5. 故 m=± 1. x2 y2 例 5. 已知椭圆 + =1 过点 M(2,1),O 为坐标原点,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的 8 2 截距为 m(m≠0). (1)当 m=3 时,判断直线 l 与椭圆的位置关系; (2)当 m=3 时,P 为椭圆上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最小值. 1 y= x+3 2 1 1 解:(1)由题可知 kl=kOM= ,当 m=3 时,直线 l 的方程为 y= x+3.由 2 2 2 2 x y + =1, 8 2

? ? ?

得 x2+6x+14=0. ∵Δ=36-4×14=-20<0, ∴原方程组无解,即直线 l 和椭圆无交点, 此时直线 l 和椭圆相离. 1 (2)设直线 a 与直线 l 平行,且直线 a 与椭圆相切,设直线 a 的方程为 y= x+b, 2 1 y= x+b 2 联立 2 2 得 x2+2bx+2b2-4=0, x y + =1, 8 2

? ? ?

∴Δ=(2b)2-4(2b2-4)=0, 解得 b=± 2, 1 ∴直线 a 的方程为 y= x± 2. 2 1 所求 P 到直线 l 的最小距离等于直线 l 到直线 y= x+2 的距离 d= 2 3-2 1 12+? ?2 2 2 5 = . 5

例 6.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0, 3)、(0,- 3)的距离之和等于 4. 设点 P 的轨迹为 C. (1)写出 C 的方程; → → → (2)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A、B 两点,k 为何值时OA⊥OB?此时|AB|的值是多少? 解:(1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- 3),(0, 3)为焦点, 长半轴为 a=2 的椭圆,它的短半轴 b= 22-? 3?2=1, y2 故曲线 C 的方程为 x2+ =1. 4

y ? ?x2+ 4 =1 (2)由? ? ?y=kx+1, 消去 y 并整理得(k2+4)x2+2kx-3=0, Δ=(2k)2-4×(k2+4)×(-3)=16(k2+3)>0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2k 3 则 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +4 k +4 → → 由OA⊥OB,得 x1x2+y1y2=0. 而 y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1, -4k2+1 3 3k2 2k2 于是 x1x2+y1y2=- 2 - 2 - 2 +1= 2 . k +4 k +4 k +4 k +4 -4k2+1 1 → → 由 2 =0,得 k=± ,此时OA⊥OB. 2 k +4 1 4 12 当 k=± 时,x1+x2=? ,x1x2=- . 2 17 17 → |AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2= ?1+k2??x2-x1?2, 而(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2 2 42 12 4 ×52 = 2+4× = , 17 17 172 → 4 65 所以|AB|= . 17 例 7.过点 P(2,?2) 的直线被双曲线 (1) 直线 MN 的方程; (2) 弦 MN 的长

2

x2 y2 ? ? 1 截得的弦 MN 的中点恰好为 P,求: 8 4


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