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重庆高考导数专题训练(2015.1)


重庆高考导数专题训练(一) 姓名
一、导数的运算及几何意义 1、 已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)=________.

1 a 8、 设函数 f(x)= x3- x2+bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=1. 3 2 (1)求 b,c 的值; (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间;

(3)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围. ( )

sinx 1 π 2、 曲线 y= - 在点 M( ,0)处的切线的斜率为 2 4 sinx+cosx 1 1 2 2 A.- B. C.- D. 2 2 2 2

4 3、 已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是( e +1 π π π π 3π 3π A.[0, ) B.[ , ) C.( , ] D.[ ,π) 4 4 2 2 4 4

)

4、 若曲线 f(x)=ax3+lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________.
3 2 9、 已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .

二、导数与函数的单调性 5、 若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f (x)的单调增区间为 A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0)

(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; ( ) (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ...

1 3 6、 若函数 f(x)= x3- x2+ax+4 恰在[-1,4]上单调递减,则实数 a 的值为________. 3 2

1 1 ,+∞?上是增函数,则 a 的取值范围是( 7、 若函数 f(x)=x2+ax+ 在? ? x ?2 A.[-1,0] B.[-1,+∞) C.[0,3] D.[3,+∞)

)

三、导数与函数的极值 10、已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 f(2)等于( A.11 或 18 B.11 C.18 D.17 或 18

)

14、已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? a ln x (a ? R) . 2 (Ⅰ)若 f ( x ) 在 (2, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围; 1 (Ⅱ)若 f ( x ) 在 (0, e) 内有极小值 ,求 a 的值. 2

11、已知 a 为常数,函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点 x1,x2(x1<x2),则( 1 1 A.f(x1)>0,f(x2)>- B.f(x1)<0,f(x2)<- 2 2 1 1 C.f(x1)>0,f(x2)<- D.f(x1)<0,f(x2)>- 2 2

)

a 12、已知函数 f(x)=x-1+ x(a∈R,e 为自然对数的底数). e (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 15、已知函数 f ( x) ? x 3 ? 4ax2 ? 5x ( a ? R ) . (1) 当 a = 1 时, 求函数在区间[0, 2]上的最大值; (2) 若函数 f ( x) 在区间(0, 2]上无极值 , 求 a 的取值范围. ...

13、设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当 a>ln2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1.

重庆高考导数专题训练(二) 姓名
四、导数与函数的最值及零点问题

3、 已知函数 f ? x ? ? ax3 ? 3x2 ?1 ,若 f ? x ? 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是 ( A. ? 2, ??? 4、 已知函数 f ( x ) ? ) B. ?1, ?? ? C. ? ??, ?2? D. ? ??, ?1? 。

1 3 1 2 2 1、 已知函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? ( a ? a) x . 3 2 (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值, 求实数 a 的值; (Ⅱ)若 a ? ?1 , 求 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最大值.

x2 ? m ,若 f ( x ) 有且只有一个零点,则实数 m 的取值范围为 ex 5、 已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x .
(I)求 f ? x ? 的单调区间; (II)若函数 f ? x ? 没有零点,求 a 的取值范围.

2、 已知 f ? x ? ? ax ? ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R 。 (I)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的单调性和极值; 明理由。 (II)是否存在实数 a ,使 f ? x ? 在 x ? ? 0, e? 时的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说

五、任意性、存在性及恒成立问题
2

6、 已知两个函数 f ? x ? ? 8x ? 16x ? k , g ? x ? ? 2x ? 5x ? 4x ,其中 k 为常数。
3 2

(1)对 ?x ???3,3? ,都有 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求 k 的取值范围。

(2)对 ?x ???3,3? ,都有 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求 k 的取值范围。

(3)对 ?x1, x2 ???3,3? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,求 k 的取值范围。

(4)对 ?x1 ???3,3?, 总 ?x2 ?? ?3,3? 使 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,求 k 的取值范围。

7、 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 3 x? , g ? x ? ? x2 ? 2bx ? 4 , 若对任意的 x1 ? ? 0,2? , 存在 x2 ??1,2? , 4 4x 使 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 b 的取值范围。

9、 设函数 f(x)=ex-1-x-ax2. (1)若 a=0,求 f(x)的单调区间; (2)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围.

8、 已知函数 f ( x) ? x ln x .(1)求 f ( x ) 的最小值; (2)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围. 学科网

10、设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围.

重庆高考导数专题训练(一) 姓名
一、导数的计算与几何意义 1、 已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)=________. 解析:∵f′(x)=2x+2f′(1),∴f′(1)=2+2f′(1),即 f′(1)=-2. ∴f′(x)=2x-4.∴f′(0)=-4.答案:-4 sinx 1 π 2、 曲线 y= - 在点 M( ,0)处的切线的斜率为 ( ) 4 sinx+cosx 2 1 1 2 2 A.- B. C.- D. 2 2 2 2 cosx?sinx+cosx?-sinx?cosx-sinx? 1 π 1 解析:y′= = ,把 x= 代入得导数值为 .答案:B 4 2 ?sinx+cosx?2 1+sin2x 4 3、 已知点 P 在曲线 y= x 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是( ) e +1 π π π π 3π 3π A.[0, ) B.[ , ) C.( , ] D.[ ,π) 4 4 2 2 4 4 解析:设曲线在点 P 处的切 线斜率为 k, -4ex -4 -4 则 k=y′= ,因为 ex>0,所以由均值不等式得 k≥ ,又 k<0, x 2= 1 ?1+e ? 1 x ex+ x+2 2 e × x+2 e e 3π ∴-1≤k<0,即-1≤tanα<0,所以 ≤α<π.答案:D 4 3 4、 若曲线 f(x)=ax +lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 1 解析:f′(x)=3ax2+ ,∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线, x 1 1 ∴f′(x)=0 有解,即 3ax2+ =0 有解,∴3a=- 3,而 x>0,∴a∈(-∞,0).答案:(-∞,0) x x 二、导数与函数的单调性 5、 若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f (x)的单调增区间为 ( ) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 4 2?x-2??x+1? 解析:令 f ′(x)=2x-2- = >0,利用数轴标根法可解得-1<x<0 或 x>2, x x 又 x>0,所以 x>2.答案:C 1 3 6、 若函数 f(x)= x3- x2+ax+4 恰在[-1,4]上单调递减,则实数 a 的值为________. 3 2 1 3 3 2 解析:∵f(x)= x - x +ax+4,∴f′(x)=x2-3x+a,又函数 f(x)恰在[-1,4]上单调递减, 3 2 ∴-1,4 是 f′(x)=0 的两根,∴a=(-1)×4=-4.答案:-4 1 1 ,+∞?上是增函数,则 a 的取值范围是( 7、 若函数 f(x)=x2+ax+ 在? ) ? x ?2 A.[-1,0] B.[-1,+∞) C.[0,3] D.[3,+∞) 1 1 ? ?1 ? 解析:选 D f′(x)=2x+a- 2,因为函数在?2,+∞? ?上是增函数,所以 f′(x)≥0 在?2,+∞? x 1 1 1 2 2 ? 上恒成立,即 a≥ 2-2x 在? ?2,+∞?上恒成立,设 g(x)=x2-2x,g′(x)=-x3-2,令 g′(x)=-x3- x 1 1 ,+∞?时,g′(x)<0,故 g(x)max=g? ?=4-1=3,所以 a≥3,故选 D. 2=0,得 x=-1,当 x∈? ?2 ? ?2? 1 3 a 2 8、 设函数 f(x)= x - x +bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=1. 3 2

(1)求 b,c 的值;(2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围. 解:(1)f′(x)=x2-ax+b, ? ? ?f?0?=1, ?c=1, 由题意得? 即? ?f′?0?=0, ?b=0. ? ? 2 (2)由(1)得,f′(x)=x -ax=x(x-a)(a>0), 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a). (3)g′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在 x∈(-2,-1),使不等式 g′(x)=x2-ax+2<0 成立, 2? 2 即 x∈(-2,-1)时,a<? ?x+x?max=-2 2,当且仅当“x=x”即 x=- 2时等号成立, 所以满足要求的 a 的取值范围是(-∞,-2 2). 9、 已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ... 解析 又? (Ⅰ )由题意得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 (Ⅱ )函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于 因为: f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2) ?
令 f ' ? x ? ? ? x ? a ? ? ? 3 x ? a ? 2 ? ? 0,? x1 ? a , x2 ? ?

导函数 f ?( x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数

a?2 3

??1 ? a ? 1或- 1< -

a?2 a?2? ? ? 1? 但a ? ? ? 3 3 ? ?

解得? ?5 ? a ? 1且a ?

1 2

三、导数与函数的极值 10、已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10,则 f(2)等于( A.11 或 18 B.11 C.18 D.17 或 18 3 2 2 解析:选 C ∵函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值 10, ∴f(1)=10,且 f′(1)=0, 2 ? ? ? ?1+a+b+a =10, ?a=-3, ?a=4, ? 即 解得? 或? ? ? ? ?3+2a+b=0, ?b=3, ?b=-11.

)

?a=-3, ? 而当? 时,函数在 x=1 处无极值,故舍去.∴f(x)=x3+4x2-11x+16, ?b=3 ? 11、已知 a 为常数,函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点 x1,x2(x1<x2),则( ) 1 1 1 1 A.f(x1)>0,f(x2)>- B.f(x1)<0,f(x2)<- C.f(x1)>0,f(x2)<- D.f(x1)<0,f(x2)>- 2 2 2 2 解析:本题主要考查函数与导数的基础知识与基本运算,意在考查考生分析问题、处理问题的能力. ∵f(x)=x(ln x-ax), ∴f′(x)=ln x-2ax+1.又函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点 x1,x2, ∴f′(x)=ln x-2ax+1 有两个零点 x1, x2, 即函数 g(x)=ln x 与函数 h(x)=2ax-1 有两个交点. ∴a>0,

且 0<x1<x2. 设经过点(0,-1)的曲线 g(x)=ln x 的切线与曲线 g(x)=ln x 相切于点(x0, 1 ln x0),则切线方程为 y-ln x0= (x-x0),将点(0,-1)代入,得 x0=1,故切 x0 点为(1,0).此时,切线的斜率 k=1,∴要使函数 g(x)=ln x 与函数 h(x)=2ax 1 -1 的图象有两个交点,结合图象可知,0<2a<1,即 0<a< 且 0<x1<1<x2.由函 2 数的单调性得: x1 x2 (0,x1) (x1,x2) (x2,+∞) 0 0 f′(x) - + - f(x) 极小值 极大值 1 ∴f(x1)<0,f(x2)>f(1)=-a>- .故选 D. 2 a 12、已知函数 f(x)=x-1+ x(a∈R,e 为自然对数的底数). e (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求 a 的值;(2)求函数 f(x)的极值. a a [解] (1)由 f(x)=x-1+ x,得 f′(x)=1- x.又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴, e e a 得 f′(1)=0,即 1- =0,解得 a=e. e a (2)f′(x)=1- x, e ①当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数 f(x)无极值. ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 ex=a,即 x=ln a. x∈(-∞,ln a),f′(x)<0;x∈(ln a,+∞),f′(x)>0, 所以 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增, 故 f(x)在 x=ln a 处取得极小值,且极小值为 f(ln a)=ln a,无极大值. 综上,当 a ≤0 时,函数 f(x)无极值;当 a>0 时,f(x)在 x=ln a 处取得极小值 ln a,无极大值. 13、设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当 a>ln2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1. 解:(1)由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R 知 f′(x)=ex-2,x∈R. 令 f′(x)=0,得 x=ln2. 于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x ln2 (-∞,ln2) (ln2,+∞) 0 f′(x) - + f(x) 单调递减 2(1-ln2+a) 单调递增 故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞), f(x)在 x=ln2 处取得极小值,极小值为 f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). (2)证明:设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R, 于是 g′(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln2-1 时,g′(x)最小值为 g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0. 于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0,所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln2-1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),g(x)>0. 即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1.

1 2 x ? (a ? 1) x ? a ln x (a ? R) . 2 (Ⅰ)若 f ( x ) 在 (2, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围; 1 (Ⅱ)若 f ( x ) 在 (0, e) 内有极小值 ,求 a 的值. 2 x 2 ? (a ? 1) x ? a ≥ 0 在 (2, ??) 恒成立 解: (Ⅰ)∵ f ( x ) 在 (2, ??) 上单调递增,∴ f ?( x) ? x 即 x2 ? (a ? 1) x ? a ≥ 0 在 (2, ??) 恒成立,即 (1 ? x)a ? x2 ? x ≥ 0 在 (2, ??) 恒成立 即 (1 ? x)a ≥ x ? x2 在 (2, ??) 恒成立,即 a ≤ x 在 (2, ??) 恒成立 ∴实数 a 的取值范围是 (??, 2]
14、已知函数 f ( x) ?

x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? a)( x ? 1) ? x x ①当 a ? 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,结合 f ( x ) 定义域解得 0 ? x ? 1 或 x ? a ∴ f ( x ) 在 (0,1) 和 (a, ??) 上单调递增,在 (1, a ) 上单调递减 1 2 此时 f ( x) 极小值 ? f (a ) ? ? a ? a ? a ln a 2 1 1 2 1 若 f ( x ) 在 (0, e) 内有极小值 ,则 1 ? a ? e ,但此时 ? a ? a ? a ln a ? 0 ? 矛盾 2 2 2 ②当 a ? 1 时,此时 f ?( x ) 恒大于等于 0 ,不可能有极小值 1 ③当 a ? 1 时,不论 a 是否大于 0 , f ( x ) 的极小值只能是 f (1) ? ? ? a 2 1 1 令 ? ? a ? ,即 a ? ?1 ,满足 a ? 1 综上所述, a ? ?1 2 2 3 2 15、已知函数 f ( x) ? x ? 4ax ? 5x ( a ? R ) .
(Ⅱ) f ( x ) 定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? (1) 当 a = 1 时, 求函数在区间[0, 2]上的最大值; (2) 若函数 f ( x) 在区间(0, 2]上无极值 , 求 a 的取值范围. ... 解:(1) a = 1 时, f ? x ? ? x ? 4 x ? 5 x
3 2

f ' ? x ? ? 3 x2 ? 8 x ? 5 ? ? x ? 1?? 3 x ? 5? 令 f ' ? x ? ? 0,? x1 ? 1, x2 ?
由 f ? 0 ? ? 0, f ?1? ? 2, f ? (2) f ' ? x ? ? 3 x ? 8ax ? 5
2
2

5 3

850 ? 5? ?? , f ? 2 ? ? 2 ,所以在区间[0, 2] 上 f ? x ?max ? 2 ? 27 ? 3?

2 因为函数 f ( x) 在区间(0, 2]上无极值等价于 f ' ? x ? ? 3 x ? 8ax ? 5 ? 0, x ? ? 0,2

或者 f ' ? x ? ? 3 x ? 8ax ? 5 ? 0, x ? ? 0,2

因为 f ' ? 0? ? 5 及二次函数的连续性知只能是 f ' ? x ? ? 3 x ? 8ax ? 5 ? 0, x ? ? 0,2
2

?

?

?

? 3 x2 ? 5 ? 15 由a ? ? ? , x ? ? 0, 2? 得 a ? 4 。 ? 8 x ?min

重庆高考导数专题训练(二) 姓名
四、导数与函数的最值与零点 1、 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (2a ? 1) x 2 ? (a 2 ? a) x . (Ⅰ) 若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值, 求实数 a 3 2 的值; (Ⅱ)若 a ? ?1 , 求 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最大值.

解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? (a2 ? a) ? ( x ? a)[ x ? (a ? 1)] 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? (a ? 1) , x2 ? a 所以 f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x) f ( x) 所以 a ? 1

(??, a)

a
0 极大值

?

(a, a ? 1) ?

a ?1
0 极小值

(a ? 1, ??)

?
3、 已知函数 f ? x ? ? ax3 ? 3x2 ?1 , 若 f ? x ? 存在唯一的零点 x0 , 且 x0 ? 0 , 则 a 的取值范围是 ( ) A. ? 2, ??? 答案:C 4、 已知函数 f ( x ) ? B. ?1, ?? ? C. ? ??, ?2? D. ? ??, ?1?

??????5 分 ? (II) 因为 a ? ?1, 所以 a ? 1 ? 0, 当 a ? 1 时, f ( x) ? 0 对 x ? [0,1] 成立 1 2 所以当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最大值 f (1) ? a ? 6 ? x ? (0, a ) f ( x ) ? 0 f ( 当 0 ? a ? 1 时, 在 时, , x ) 单调递增 在 x ? (a,1) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减 1 3 1 2 所以当 x ? a 时, f ( x ) 取得最大值 f (a ) ? a ? a 3 2 当 a ? 0 时, 在 x ? (0,1) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减 所以当 x ? 0 时, f ( x ) 取得最大值 f (0) ? 0 当 ?1 ? a ? 0 时,在 x ? (0, a ? 1) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减 在 x ? ( a ? 1,1) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增
1 又 f (0) ? 0, f (1) ? a ? , 6 1 6 2 当 ?1 ? a ? ? 时, f ( x ) 在 x ? 1 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6 6 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 当? 6 6 当a ? ? 时, f ( x ) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 . 6
2

x2 ? m ,若 f ( x ) 有且只有一个零点,则实数 m 的取值范围为 ex ? 4 ? 答案: ?0? ? 2 , ?? ? ?e ? 5、 已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x .
(I)求 f ? x ? 的单调区间; (II)若函数 f ? x ? 没有零点,求 a 的取值范围.



x?a ( x ? 0) 所以,当 a ? 0 时,在 x ? (0, ??) 时 f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的单调增区 x 间是 (0, ??) ;当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 与 f '( x ) 在定义域上的情况如下: x ?a (0, ?a ) ( ?a, ??) ? 0 + f '( x )
解: (I) f '( x) ? 综上所述,

f ( x)
(II)由(I)可知



极小值
? 1 a) ? 1 a



2、 已知 f ? x ? ? ax ? ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R 。 (I)当 a ? 1 时,求 f ? x ? 的单调性和极值; 明理由。

当 a ? 0 时, (0, ??) 是函数 f ( x) 的单调增区间,且有 f (e

?e

? 1 ? 1 ? 1 ? 0 , f (1) ? 1 ? 0 ,所以,

(II)是否存在实数 a ,使 f ? x ? 在 x ? ? 0, e? 时的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说

此时函数有零点,不符合题意; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在定义域 (0, ??) 上没零点; 当 a ? 0 时, f (?a) 是函数 f ( x) 的极小值,也是函数 f ( x) 的最小值, 所以,当 f ( ?a ) ? a(ln( ?a ) ? 1) ? 0 ,即 a ? ?e 时,函数 f ( x) 没有零点 综上所述,当 ?e ? a ? 0 时, f ( x) 没有零点. 五、任意性、存在性及恒成立问题
2 3 2

6、 已知两个函数 f ? x ? ? 8x ? 16x ? k , g ? x ? ? 2x ? 5x ? 4x ,其中 k 为常数。 (1)对 ?x ???3,3? ,都有 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求 k 的取值范围。 答案: k ? 45

(2)对 ?x ???3,3? ,都有 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求 k 的取值范围。 答案: k ? ? 7 (3)对 ?x1, x2 ???3,3? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,求 k 的取值范围。 答案: k ? 141 答案: k ? 9 7、 已知函数 f ? x ? ? ln x ? (4)对 ?x1 ???3,3?, 总 ?x2 ?? ?3,3? 使 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,求 k 的取值范围。

解:若对任意 x1 ? (0 , 2) , x2 ? ?1 , 2? ,不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立, 问题等价于 f ( x)min ? g( x)min

1 3 x? , g ? x ? ? x2 ? 2bx ? 4 , 若对任意的 x1 ? ? 0,2? , 存在 x2 ??1,2? , 4 4x 使 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求实数 b 的取值范围。

1 f ( x) min ? f (1) ? ? ; 2 2 g ( x) ? ?x ? 2bx ? 4 , x ? ?1, 2? 3 时, g ( x)min ? g (2) ? 4b ? 8 ; 2 3 当 b ? 时, ; g ( x)min ? g (1) ? 2b ? 5 2 3 3 ? ? b? b? ? ? 9 ? ? 2 2 问题等价于 ? 或? 所以实数 b 的取值范围是 b ? 4 ?? 1 ? 4b ? 8 ?? 1 ? 2b ? 5 ? ? ? 2 ? 2
当b ? 8、 已知函数 f ( x) ? x ln x .(1)求 f ( x ) 的最小值; (2)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围. 学科网

f ( x) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x . 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . e e ? 1? ?1 ? 从而 f ( x ) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递增 ? e? ?e ? 1 1 所以,当 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . 学科网 e e ? ?) 上恒成立, (2)依题意,得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1, 1 , ? ?) 恒成立 . 即不等式 a ? ln x ? 对于 x ? [1 x 1 1 1 1? 1? 令 g ( x) ? ln x ? , 则 g ?( x) ? ? 2 ? ?1 ? ? . x x x x? x? 1? 1? 当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ? ?1 ? ? ? 0 , x? x? ? ?) 上的增函数, 故 g ( x) 是 (1,
解: (1) f ( x ) 的定义域为(0,+?),

1] . 所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1,所以 a 的取值范围是 (??, x 2 9、 设函数 f(x)=e -1-x-ax . (1)若 a=0,求 f(x)的单调区间; (2)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围. 解:(1)a=0 时,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1. 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故 f(x)在(-∞,0)单调减少,在(0,+∞)单调增加. (2)f′(x)=ex-1-2ax. 由(1)知 ex≥1+x,当且仅当 x=0 时等号成立. 故 f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,从而当 1-2a≥0, 1 即 a≤ 时,f′(x)≥0(x≥0),而 f(0)=0, 2 于是当 x≥0 时,f(x)≥0. 1 - - - 由 ex>1+x(x≠0)可得 e x>1-x(x≠0),从而当 a> 时,f′(x)<ex-1+2a(e x-1)=e x(ex-1)(ex- 2 2a), 故当 x∈(0,ln2a)时, f′(x)<0,而 f(0)=0,于是当 x∈(0,ln2a)时,f(x)<0,综合得 a 的取值范 1 围为(-∞, ]. 2 10、设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围. 解:本题主要考查利用导数求解曲线的切线,利用函数的导数研究函数的最值,进而解答不等式 恒成立问题,意在考查考生综合运用导数这一重要工具解答函数与不等式问题的综合能力. (1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4. 而 f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),故 b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. (2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1). 设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2, 则 F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1). 由题设可得 F(0)≥0,即 k≥1. 令 F′(x)=0 得 x1=-lnk,x2=-2. (ⅰ)若 1≤k<e2,则-2<x1≤0,从而当 x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当 x∈(x1,+∞)时,F′(x) >0 , 即 F(x)在(-2, x1)上单调递减, 在(x1, +∞)上单调递增, 故 F(x)在[-2, +∞)的最小值为 F(x1). 而 F(x1)=2x1+2-x2 1-4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. - (ⅱ)若 k=e2,则 F′(x)=2e2(x+2)(ex-e 2).从而当 x>-2 时,F′(x)>0,即 F(x)在(-2,+ ∞)上单调递增.而 F(-2)=0,故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. - - (ⅲ)若 k>e2,则 F(-2)=-2ke 2+2=-2e 2(k-e2)<0.从而当 x≥-2 时,f(x)≤kg(x)不可能恒 成立. 综上,k 的取值范围是[1,e2].


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