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(新课标)高中数学《2.1.2椭圆的简单几何性质》课件


2.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质

【课标要求】 1.掌握椭圆的简单几何性质. 2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响. 【核心扫描】 1.椭圆的简单几何性质.(重点) 2.求椭圆的离心率.(难点) 3.常结合几何图形、方程、不等式、平面向量等内容命题.

自学导引 椭圆的简单几何性质

/>焦点的位 置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

x2 y2 + =1 a2 b2

y2 x2 a2+b2=1

(a>b>0)
范围

(a>b>0)

-a≤x≤a 且-b≤y≤b A1(-a,0)、A2(a,0) B1(0,-b)、B2(0,b)

-b≤x≤b且-a≤y≤a

顶点

A1(0,-a)、A2(0,a) B1(-b,0)、B2(b,0)

轴长 焦点 焦距

短轴长= 2b

,长轴长= 2a

F1(-c,0)、F2(c,0) F1(0,-c)、F2(0,c)
|F1F2|= 2c

对称性 对称轴 x轴和y轴 ,对称中心 (0,0) 离心率 c e= a(0<e<1)

想一想:能否用 a 和 b 表示椭圆的离心率 e?
2 2 2 a - b c c 提示 可以由 e=a得,e2=a2= a2 ,

∴e=

?b?2 1-?a? ,∴e= ? ?

b2 1-a2.

名师点睛 1.椭圆几何性质的应用 (1)椭圆的焦点决定椭圆的位置,范围决定椭圆的大小,离心率 决定了椭圆的扁圆程度,对称性是椭圆的重要特征,顶点是椭 圆与对称轴的交点,是椭圆重要的特殊点;若已知椭圆的标准 方程,则根据 a、b 的值可确定其性质. (2)明确 a,b 的几何意义,a 是长半轴长,b 是短半轴长,不要 与长轴长、短轴长混淆,由 c2=a2-b2,可得“已知椭圆的四 个顶点,求焦点”的几何作图法,只要以短轴的端点 B1(或 B2) 为圆心,以 a 为半径作弧交长轴于两点,这两点就是焦点.

(3)如图所示椭圆中的△OF2B2 找出 a,b,c,e 对应的线段或量 为 a=|F2B2|,b=|OB2|,c=|OF2|, c |OF2| e=a=|F B |=cos∠OF2B2. 2 2 x2 y2 (4)若椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), 则椭圆与 x 轴的交点 a b A1, A2 到焦点 F2 的距离分别最大和最小, 且|A1F2|=a+c, |A2F2| =a-c.

2.椭圆的离心率对椭圆形状的影响 2c 椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率,记作 e=2a= c .∵a>c>0,∴0<e<1. a e 越接近于 1,则 c 就越接近于 a,从而 b= a2-c2越小,因此椭 圆越扁;反之,e 越接近于 0,c 就越接近于 0,从而 b 越接近于 a, 这时椭圆就越接近于圆,当且仅当 a=b 时,c=0,这时两个焦点 重合,这时图形就变为圆,此时方程即为 x2+y2=a2.

题型一 由椭圆方程求椭圆的几何性质 【例 1】 求椭圆 9x2+16y2=144 的长轴长、短轴长、离心率、 焦点和顶点坐标. [思路探索] 先将椭圆方程化为标准形式,再利用 a、b、c 之间 的关系求解.

x2 y2 解 已知方程化成标准方程为 + =1, 16 9 于是 a=4,b=3,c= 16-9= 7, ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a=8 和 2b=6, c 7 离心率 e=a= 4 ,又知焦点在 x 轴上, ∴两个焦点坐标分别是 F1(- 7,0)和 F2( 7,0), 四个顶点坐标分别是 A1(-4,0),A2(4,0),B1(0,-3)和 B2(0, 3).

规律方法

解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形

式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,再利用 a,b,c 之间的关系和定义,求椭圆的基本量.

【变式 1】 求椭圆 4x2+9y2=36 的长轴长和焦距、焦点坐标、 顶点坐标和离心率. x2 y2 解 将椭圆方程变形为 9 + 4 =1, ∴a=3,b=2,∴c= a2-b2= 9-4= 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a=6,2c=2 5, 焦点坐标为 F1(- 5,0),F2( 5,0), 顶点坐标为 A1(-3,0),A2(3,0),B1(0,-2),B2(0,2),离 c 5 心率 e= = . a 3

题型二

由椭圆的几何性质求标准方程

【例 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: 4 (1)长轴长是 10,离心率是 ; 5 (2)在 x 轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且 焦距为 6. [ 思路探索 ] 解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并 设出标准方程,再利用待定系数法求参数 a,b,c.

解 (1)设椭圆的方程为 x2 y2 y2 x2 + =1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0). a2 b2 a b c 4 由已知得,2a=10,a=5.e=a=5,∴c=4. ∴b2=a2-c2=25-16=9. x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 25 9 9 25

x2 y2 (2)依题意,可设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0). 如图所示,△A1FA2 为一等腰直角三角形,OF 为斜边 A1A2 的中 线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b, ∴c=b=3,∴a2=b2+c2=18, x2 y2 故所求椭圆的方程为18+ 9 =1.

规律方法

利用性质求椭圆的标准方程, 通常采用待定系数法,

而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参 数的关系式,利用解方程(组)求解,同时注意 a、b、c、e 的内 在联系以及对方程两种形式的讨论.

【变式 2】 求满足下列各条件的椭圆的标准方程. 1 (1)已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,若其离心率为2, 焦距为 8. (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶 点的距离为 3. c 4 1 解 (1)由题意知,2c=8,c=4,∴e=a=a=2, ∴a=8,从而 b2=a2-c2=48, y2 x2 ∴椭圆方程是 + =1. 64 48

? ? ?a=2c, ?a=2 3, (2)由已知? ∴? 从而 b2=9, ? ?a-c= 3, ? ?c= 3.

x2 y2 x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为12+ 9 =1 或 9 +12=1.

题型三 求椭圆的离心率 【例 3】 (12 分)如图所示,椭圆的中心在 原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,A,B 是椭圆 的顶点,P 是椭圆上一点,且 PF1⊥x 轴, PF2∥AB,求此椭圆的离心率. 审 题 指 导 PF1⊥F1F2,PF2∥AB ? △PF1F2∽△AOB ?

a、c关系式 ? 离心率

x2 y2 [规范解答] 设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 则有 F1(-c,0),F2(c,0),A(0,b),B(a,0), 直线 PF1 的方程为 x=-c, x2 y2 b2 代入方程 2+ 2=1,得 y=± , a b a
? b2? ∴P?-c, a ?.又 ? ?

(3 分)

(6 分)

PF2∥AB, (8 分)

∴△PF1F2∽△AOB.

|PF1| |AO| b2 b ∴ = ,∴ = ,∴b=2c. |F1F2| |OB| 2ac a ∴b2=4c2,∴a2-c2=4c2, c2 1 ∴a2=5. 1 5 ∴e =5,即 e= 5 ,
2

(10 分)

5 所以椭圆的离心率为 . 5

(12 分)

【题后反思】 (1)求离心率 e 时,除用关系式 a2=b2+c2 外,还 c 要注意 e=a的代换,通过方程思想求离心率. (2)在椭圆中涉及三角形问题时,要充分利用椭圆的定义、正弦 定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识.

【变式 3】 如图所示,F1,F2 分别为 椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐 标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短 2 半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3 解 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a,b,c. 则焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),M 则△MF1F2 为直角三角形. 在 Rt△MF1F2 中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2, 4 2 即 4c +9b =|MF1|2.
2

? 2 ? 点的坐标为?c,3b?, ? ?

而|MF1|+|MF2|=

4 2 2 4c + b + b=2a, 9 3
2

整理得 3c2=3a2-2ab.又 c2=a2-b2,所以 3b=2a.
2 2 2 2 a - b b2 4 c b 5 5 2 所以a2=9.∴e =a2= a2 =1-a2=9,∴e= 3 .

误区警示 忽略椭圆焦点位置的讨论致误 【示例】 已知在椭圆中,长轴长为 2a,焦距为 2c,且 a+c= 10,a-c=4,求椭圆的标准方程. [错解]
? ?a+c=10, 因为? 所以 ? ?a-c=4,

a=7,c=3,

所以 b2=a2-c2=72-32=40. x2 y2 所以椭圆的标准方程为 + =1. 49 40 由于题目中没有告诉我们焦点的位置, 所求标准方程 有两种情况:①焦点在 x 轴上;②焦点在 y 轴上.

x2 y2 [正解] (1)焦点在 x 轴上时,设方程为a2+b2=1(a>b>0),
? ?a+c=10, 则有? 解得 ? ?a-c=4,

a=7,c=3.

所以 b2=a2-c2=72-32=40. x2 y2 所以椭圆的标准方程为49+40=1.

(2)焦点在 y 轴上时,设标准方程为 y2 x2 + =1(a>b>0), a2 b2
? ?a+c=10, 则有? 解得 ? ?a-c=4,

a=7,c=3,

所以 b2=a2-c2=72-32=40. y2 x2 所以标准方程为 + =1. 49 40 x2 y2 y2 x2 综上所述,椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 49 40 49 40

(1)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标 准,定参数”,一般步骤是:①求出 a2,b2 的值;②确定焦点 所在的坐标轴;③写出标准方程. (2)当所求椭圆焦点不确定时一定要注意分类讨论. (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用.


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