tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

空间向量及其运算2012-12-1


空间向量及其运算
编写:张乐平 审核:周显明 时间:2012-12-1 一、考纲要求 1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 2.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理 及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示, 能运用数量积判断向量的共线与垂直。 二、 【2013 年高考会这样考】 : 从近两年高考试题来看,空间向量的概念

及其运算在解答题中单独命题较少,多置于解答题中作 为一种方法进行考查,难度中等.多考查空间向量的坐标运算及数量积的应用,注重考查学生的 运算能力. 三、[知识梳理]1.空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量(平行向量) 共面向量 共线向量定理 共面向量定理 表示空间向量的有向线段所在的直线 平行于 的向量. . 对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b?存在λ ∈R,使 a= .

若两个向量 a、b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面?存在唯一的有 序实数对(x,y),使 p= . (1)定理:如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存 在有序实数组{x,y,z}使得 p= . (2)推论:设 O、A、 B、C 是不共面的四点,则对空间一点 P 都存在唯一的三个有序实数 uuu r uur uuu r uuu r x、y、z 使 OP =x OA +y OB +z OC 且 x+y+z= .

空间向量基本定理

2.向量的坐标运算 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 向量和 向量差 向量积 共线 垂直 夹角公式 a+b= a-b= a· b= a // b ? a ? b? cos〈a,b〉= . . . . . (λ ∈R)

3. (a· b)c=a(b· c)成立吗? 四、基础自测 1.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是( → 1→ 1→ 1→ → → → B. OM= OA+ OB+ OC C. MA+MB+MC=0 5 3 2 ) → → → → A. OM=2OA-OB-OC → → → → D. OM+OA+OB+OC=0

2.已知向量 a=(1,-1,1),b=(-1,2,1),且 ka-b 与 a-3b 互相垂直,则 k 的值是_____. 3.若 a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则 a·(b+c)的值为________. → → → → 4.设 OABC 是四面体,G1 是△ABC 的重心,G 是 OG1 上一点,且 OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC, 则(x,y,z)为________。
1

5.已知向量 a=(-1,2,3),b=(1,1,1),则向量 a 在 b 方向上的投影为________. → → → → 6.已知 G 是△ABC 的重心, 是空间与 G 不重合的任一点, OA+OB+OC=λ OG, =________. O 若 则λ 7.如果三点 A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)共线,那么 a-b=________。 五、典型例题

1.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 和 BD 的交点, ????? ????? ????? 若 A B =a, A D =b, A A =c,
1 1

1

则下列式子中与 B 1 1 A.- a + b + c 2 2 1 1 D.- a- b+c 2 2

1 1 1 ????? ? 相等的是( 1 M1

) 1 1 C. a - b + c 2 2

1 1 B. a + b + c 2 2

??? ? ??? ? ??? ? 2.已知空间四边形 OABC 中, OA =a, OB =b, OC =c,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC ???? ? 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 中点,则 MN =( )A. a- b+ c B.- a+ b+ c C. a+ b- c D. a+ b- c 2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3 2 ???? 3.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设 AA =a,
1 ??? ? ??? ? AB =b, AD =c,M、N、P 分别是 AA1、BC、C1D1 的中点,

试用 a,b,c 表示以下各向量: (1)

??? ? ? ???? ? ???? ???? ;(2) A N ;(3) MP + NC . AP 1 1

[归纳领悟]用已知向量表示未知向量时要注意: 1. 把要表示的向量置于封闭图形中,利用三角形法则或多边形法则进行基向量代换. 2. 用基向量表示一个向量时,如果此向量的起点是从基底的公共点出发的,一般考虑用加法, 否则考虑用减法,如果此向量与一个易求的向量共线,可用数乘.

1.若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果 a 与 b 为共线向量,则 ( ) 1 1 1 3 1 3 A.x=1,y=1 B.x= ,y=- C.x= ,y=- D.x=- ,y= 2 2 6 2 6 2 2.有以下命题:①如果向量 a,b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么 a,b 的关系 是不共线;②O,A,B,C 为空间四点,且向量 OA ,OB ,OC 不构成空间的一个基底,那么点 O,A,B,C 一定共面;③已知向量 a,b,c 是空间的一个基底,则向量 a+b,a-b,c 也是空 间的一个基底.其中正确的命题是 ( )A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
2

??? ?

? ??? ??? ?

3.与向量 a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是( ) 1 1 3 A.( ,1,1) B.(-1,-3,2) C.(- , ,-1) 3 2 2 4.如图所示,已知 ABCD 是平行四边形, P 点是 ABCD 所在平面外一点,连接 PA、PB、PC、PD. 设点 E、F、G、H 分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 的重心. (1)试用向量方法证明 E、F、G、H 四点共面; (2)试判断平面 EFGH 与平面 ABCD 的位置关系, 并用向量方法证明你的判断.

D.( 2,-3,-2 2)

[归纳领悟] 应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较: 三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面

对空间任一点 O , OP = x OA +(1- x)

??? ??? ? PA=λ PB 且同过点 P ??? ?

??? ?

??? ? OB

???? ???? ???? MP =x MA+y MB???? ??? ? ??? ? 对空间任一点 O, OP =x OM +y OA + ??? ? (1-x-y) OB
) B.

1.在空间四边形 ABCD 中,下列各式正确的是(

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? A. AB · + AC · + AD · ??? CD ??? ??? ??? ??? =0 ? ??? ? ? BC ? ? ? DB C. AB · CD = AC · + AD · BC DB

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? · + AC · = AD · BC AB CD DB

D.以上都不对 ??? ??? ? ? 2.已知 A(-1,-2,6),B(1,2,-6),O 为坐标原点,则向量OA 与 OB 的夹角是________. 3.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,G 为△BC1D 的重心. (1)试证 A1、G、C 三点共线; (2)试证 A1C⊥平面 BC1D.

3

[归纳领悟] 1.应用数量积解决问题时一般有两种方法:一是取空间向量的一组基底,一般来讲该基底最好已知相互之间的 夹角及各向量的模;二是建立空间直角坐标系利用坐标系运算来解决,后者更为简捷. 2.在求立体几何中线段的长度时,转化为求 a· a=|a|2,或利用空间两点间的距离公式.

六、当堂检测

1.已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a= AB ,b= AC ,则 cos〈a,b〉__. 2.设空间四点 O,A,B,P 满足 OP = OA +t AB ,其中 0<t<1,则有( ) A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的延长线上 C.点 P 在线段 BA 的延长线上 D.点 P 不一定在直线 AB 上 ? ??? 1 ??? ??? ? ? 3.已知空间四边形 ABCD 中,G 为 CD 的中点,则 AB + ( BD + BC )等于( ) 2 ???? ???? ??? ? ? 1 ??? A. AG B. AG C. BC D. BC 2 4. 已知 a=(2, -1,3), b=(-1,4, -2), c=(7,5, 若 a、 c 三个向量共面, λ), b、 则实数 λ=________. 5.设 A、B、C、D 是空间不共面四个点,且满足 AB · AB AC =0, AD · =0, AD · =0, AC 则△BCD 的形状是________三角形 6. 在四面体 O-ABC 中,OA =a,OB =b,OC =c, 为 BC 的中点, 为 AD 的中点, OE D E 则 = .(用 a,b,c 表示) 7.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以 AB , AC 为边的平行四边形的面积; (2)若|a|= 3,且 a 分别与 AB , AC 垂直,求向量 a 的坐标.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ??? ?

? ??? ??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

8.直三棱柱 ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′, ∠ACB=90° ,D、E 分别为 AB、BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值.

4


推荐相关:

【山东省新人教B版数学(理科)2012届高三单元测试17:选修2-1第三章3.1《空间向量及其运算》)

(理科)2012届高三单元测试17:选修2-1第三章3.1《空间向量及其运算》)_数学_...(?2,1,3) ,则 a, b 为邻边的平行四边形的面积为 . 12.已知空间四边形...


山东省德州市2012-2013学年高二月考数学热身系列之空间向量及其坐标运算 Word版含答案

hgdsfkjf贡献于2012-12-21 0.0分 (0人评价)暂无用户评价 我要评价 ...高二月考热身系列练习---空间向量及其坐标运算一.选择题 1.若 a=(2x,1,3)...


数学:新人教A版选修2-1 3.1空间向量及其运算(教案)

mingkeller贡献于2012-01-01 0.0分 (0人评价)暂无用户评价 我要评价 ...选修2-1第三章空间向量与立... 12页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉...


高考总复习_空间向量及其坐标运算(B)[1]

2012届高三数学一轮复习基... 11页 1财富值 空间向量的坐标运算(高三复......y12 ? z12 x2 ? y 2 ? z 2 . λ a=(λ x1 ,λ y1 ,λ z1 )...


选修2-1第三章3.1.1空间向量及其加减运算学案及作业

laoban100贡献于2012-09-25 0.0分 (0人评价)暂无...选修2-1第三章3.1.1空间向量及其加减运算学案及作业...A A1 ? ___; B. C. 12. 四棱锥 P-ABCD 的...


空间向量性质及其运算

圆梦教育 2012 个性化辅导教案 课题 授课教师 空间向量及其运算(一)授课时间 1....OC ? 0 2.与向量 a=(12,5)平行的单位向量是( A. ? 12 ? C. ? 12...


选修2-1第三章空间向量与立体几何教案

温梦606贡献于2012-02-03 0.0分 (0人评价)暂无...数学《选修2-1》第三章:空... 12页 免费 数学...第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算(...


河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训9-6空间向量及其运算(理)试题

2012年高考新课标理科数学... 2012年高考全国卷(新...高三高考数学闯关密练特训9-6空间向量及其运算(理)...x-1? +5y+6=0, x-1? +y-12=0, ?x=40,...


《走向高考》2013 高三数学(人教A版)总复习同步练习9-6空间向量及其运算(理)

1/3 同系列文档 2012大纲全国卷高考数学(理... ...数学(人教A版)总复习同步练习9-6空间向量及其运算(...则? ? ?3?x-1?+y-12=0, ) 40 15 B. 7...


空间向量及其运算第一课时练习题含详细答案

空间向量及其运算(11 月 22 日)一、选择题 1....→→→ 12.在空间四边形 OABC 中, OA+AB-CB...文档贡献者 水晶梦_ 贡献于2012-11-27 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com