tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> 数学 >>

空间向量及其运算2012-12-1


空间向量及其运算
编写:张乐平 审核:周显明 时间:2012-12-1 一、考纲要求 1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 2.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理 及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示, 能运用数量积判断向量的共线与垂直。 二、 【2013 年高考会这样考】 : 从近两年高考试题来看,空间向量的概念

及其运算在解答题中单独命题较少,多置于解答题中作 为一种方法进行考查,难度中等.多考查空间向量的坐标运算及数量积的应用,注重考查学生的 运算能力. 三、[知识梳理]1.空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量(平行向量) 共面向量 共线向量定理 共面向量定理 表示空间向量的有向线段所在的直线 平行于 的向量. . 对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b?存在λ ∈R,使 a= .

若两个向量 a、b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面?存在唯一的有 序实数对(x,y),使 p= . (1)定理:如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存 在有序实数组{x,y,z}使得 p= . (2)推论:设 O、A、 B、C 是不共面的四点,则对空间一点 P 都存在唯一的三个有序实数 uuu r uur uuu r uuu r x、y、z 使 OP =x OA +y OB +z OC 且 x+y+z= .

空间向量基本定理

2.向量的坐标运算 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) 向量和 向量差 向量积 共线 垂直 夹角公式 a+b= a-b= a· b= a // b ? a ? b? cos〈a,b〉= . . . . . (λ ∈R)

3. (a· b)c=a(b· c)成立吗? 四、基础自测 1.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是( → 1→ 1→ 1→ → → → B. OM= OA+ OB+ OC C. MA+MB+MC=0 5 3 2 ) → → → → A. OM=2OA-OB-OC → → → → D. OM+OA+OB+OC=0

2.已知向量 a=(1,-1,1),b=(-1,2,1),且 ka-b 与 a-3b 互相垂直,则 k 的值是_____. 3.若 a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则 a·(b+c)的值为________. → → → → 4.设 OABC 是四面体,G1 是△ABC 的重心,G 是 OG1 上一点,且 OG=3GG1,若OG=xOA+yOB+zOC, 则(x,y,z)为________。
1

5.已知向量 a=(-1,2,3),b=(1,1,1),则向量 a 在 b 方向上的投影为________. → → → → 6.已知 G 是△ABC 的重心, 是空间与 G 不重合的任一点, OA+OB+OC=λ OG, =________. O 若 则λ 7.如果三点 A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)共线,那么 a-b=________。 五、典型例题

1.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 和 BD 的交点, ????? ????? ????? 若 A B =a, A D =b, A A =c,
1 1

1

则下列式子中与 B 1 1 A.- a + b + c 2 2 1 1 D.- a- b+c 2 2

1 1 1 ????? ? 相等的是( 1 M1

) 1 1 C. a - b + c 2 2

1 1 B. a + b + c 2 2

??? ? ??? ? ??? ? 2.已知空间四边形 OABC 中, OA =a, OB =b, OC =c,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC ???? ? 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 中点,则 MN =( )A. a- b+ c B.- a+ b+ c C. a+ b- c D. a+ b- c 2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3 2 ???? 3.如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,设 AA =a,
1 ??? ? ??? ? AB =b, AD =c,M、N、P 分别是 AA1、BC、C1D1 的中点,

试用 a,b,c 表示以下各向量: (1)

??? ? ? ???? ? ???? ???? ;(2) A N ;(3) MP + NC . AP 1 1

[归纳领悟]用已知向量表示未知向量时要注意: 1. 把要表示的向量置于封闭图形中,利用三角形法则或多边形法则进行基向量代换. 2. 用基向量表示一个向量时,如果此向量的起点是从基底的公共点出发的,一般考虑用加法, 否则考虑用减法,如果此向量与一个易求的向量共线,可用数乘.

1.若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果 a 与 b 为共线向量,则 ( ) 1 1 1 3 1 3 A.x=1,y=1 B.x= ,y=- C.x= ,y=- D.x=- ,y= 2 2 6 2 6 2 2.有以下命题:①如果向量 a,b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么 a,b 的关系 是不共线;②O,A,B,C 为空间四点,且向量 OA ,OB ,OC 不构成空间的一个基底,那么点 O,A,B,C 一定共面;③已知向量 a,b,c 是空间的一个基底,则向量 a+b,a-b,c 也是空 间的一个基底.其中正确的命题是 ( )A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
2

??? ?

? ??? ??? ?

3.与向量 a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是( ) 1 1 3 A.( ,1,1) B.(-1,-3,2) C.(- , ,-1) 3 2 2 4.如图所示,已知 ABCD 是平行四边形, P 点是 ABCD 所在平面外一点,连接 PA、PB、PC、PD. 设点 E、F、G、H 分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 的重心. (1)试用向量方法证明 E、F、G、H 四点共面; (2)试判断平面 EFGH 与平面 ABCD 的位置关系, 并用向量方法证明你的判断.

D.( 2,-3,-2 2)

[归纳领悟] 应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较: 三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面

对空间任一点 O , OP = x OA +(1- x)

??? ??? ? PA=λ PB 且同过点 P ??? ?

??? ?

??? ? OB

???? ???? ???? MP =x MA+y MB???? ??? ? ??? ? 对空间任一点 O, OP =x OM +y OA + ??? ? (1-x-y) OB
) B.

1.在空间四边形 ABCD 中,下列各式正确的是(

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? A. AB · + AC · + AD · ??? CD ??? ??? ??? ??? =0 ? ??? ? ? BC ? ? ? DB C. AB · CD = AC · + AD · BC DB

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? · + AC · = AD · BC AB CD DB

D.以上都不对 ??? ??? ? ? 2.已知 A(-1,-2,6),B(1,2,-6),O 为坐标原点,则向量OA 与 OB 的夹角是________. 3.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,G 为△BC1D 的重心. (1)试证 A1、G、C 三点共线; (2)试证 A1C⊥平面 BC1D.

3

[归纳领悟] 1.应用数量积解决问题时一般有两种方法:一是取空间向量的一组基底,一般来讲该基底最好已知相互之间的 夹角及各向量的模;二是建立空间直角坐标系利用坐标系运算来解决,后者更为简捷. 2.在求立体几何中线段的长度时,转化为求 a· a=|a|2,或利用空间两点间的距离公式.

六、当堂检测

1.已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a= AB ,b= AC ,则 cos〈a,b〉__. 2.设空间四点 O,A,B,P 满足 OP = OA +t AB ,其中 0<t<1,则有( ) A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的延长线上 C.点 P 在线段 BA 的延长线上 D.点 P 不一定在直线 AB 上 ? ??? 1 ??? ??? ? ? 3.已知空间四边形 ABCD 中,G 为 CD 的中点,则 AB + ( BD + BC )等于( ) 2 ???? ???? ??? ? ? 1 ??? A. AG B. AG C. BC D. BC 2 4. 已知 a=(2, -1,3), b=(-1,4, -2), c=(7,5, 若 a、 c 三个向量共面, λ), b、 则实数 λ=________. 5.设 A、B、C、D 是空间不共面四个点,且满足 AB · AB AC =0, AD · =0, AD · =0, AC 则△BCD 的形状是________三角形 6. 在四面体 O-ABC 中,OA =a,OB =b,OC =c, 为 BC 的中点, 为 AD 的中点, OE D E 则 = .(用 a,b,c 表示) 7.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以 AB , AC 为边的平行四边形的面积; (2)若|a|= 3,且 a 分别与 AB , AC 垂直,求向量 a 的坐标.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ??? ?

? ??? ??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

8.直三棱柱 ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′, ∠ACB=90° ,D、E 分别为 AB、BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值.

4


推荐相关:

空间向量及其运算练习题含详细答案

空间向量及其运算练习题含详细答案_数学_高中教育_教育专区。高二理科数学 空间向量及其运算一、选择题 1、与向量 a=(12,5)平行的单位向量是( A. ? 12 , 5...


空间向量及其运算

大不列疯疯癫癫贡献于2012-12-28 0.0分 (0人评价)暂无用户评价 我要评价 ...简单几何体 空间向量及其运算 高考要求 1 理解空间向量的概念,掌握空间向量的...


空间向量及其运算

2.从点 A(2,-1,7)沿向量 a=(8,9,-12)的方向取线段长|AB| =34,则...3. (2012· 济宁模拟)空间四点 A(2,3,6), B(4,3,2), C(0,0,1)...


空间向量及其运算

huangmin123733贡献于2012-02-08 0.0分 (0人评价....1 .. 空间向量及其运算 空间向量的线性运算 一、...12.如图所示,已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1,点 ...


空间向量及其运算

空间向量及其运算一、梳理知识 1.向量的直角坐标运算...:变式 2: (2012 广东理)如图 5 所示,在四棱锥...12、如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂 ...


62§12-2一.空间向量的概念和运算

§ 12-2 空间向量 § 12-2 一.空间向量的概念和运算 空间向量 ? ? ? ?...贡献时间:2012-11-07 贡献者: a0a0a0a0a0624 初试锋芒 二级 文档关键词 文档...


空间向量及其运算

ayu410523贡献于2012-01-30 0.0分 (0人评价)暂无...空间向量及其运算学案一、基本知识点 1.向量与平面平行.... 8.与向量 a = (16, ?15,12) 平行,方向...


空间向量性质及其运算

圆梦教育 2012 个性化辅导教案 课题 授课教师 空间向量及其运算(一)授课时间 1....OC ? 0 2.与向量 a=(12,5)平行的单位向量是( A. ? 12 ? C. ? 12...


18-空间向量及其运算

1/2 相关文档推荐 2006.12.18空间向量及其... ...18.空间向量及其运算【知识要点】 1.空间向量的有...答案 3.(2012· 福州质检)a=λb(λ 是实数)是...


空间向量的基本运算

xfyzpfq1966贡献于2012-12-09 0.0分 (0人评价)暂无用户评价 我要评价 ...空间向量及其运算 14页 免费 空间向量及其运算 39页 1财富值 空间向量运算 30...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com