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# 4等效法

2v0 sin θ g

1 2 gd arcsin 2 2 v0

a平 =

a 初 + a末 2

=

a+a+

(n 1)a 3an a (3n 1)a n = = 2 2n 2n
2 2

2 v B = v0 +

(3n 1)aL n

P P = F kx

P P = v1 s1 v 2 s 2

s1 1 v1 = × 20 = 10cm / s s2 2
1 2 1 2 ks 2 ks1 2 2

1 P 2 ( s 2 s12 ) 2 v1 s1

2 ( s 2 s12 ) 2 2 12 = = 7 .5 s 2 s1v1 2 × 1 × 0 .2

r 的 2

1 M ,所以 7 m( M + M ) 8GmM F1 = G = L2 7 L2

F2 = G

mM GmM = r r ( L ) 2 7( L ) 2 2 2 8 7 L2 1 r 7( L ) 2 2

F = F1 F2 = GmM [

]

4 ,求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时,小球总共通过的路程. 5

s = 2( L1 + L2 + + Ln ) + L , 然后用等比数列求和公式求出结果, 但是这种解法很麻烦.

1 2 mv = mgL sin θ 2

1 2 mv1 = mgL1 sin θ 2

L v2 4 4 v, 所以 1 = 12 = ( ) 2 5 L v 5

1 2 1 2 1 2 16 mv mv1 = mv (1 ) 2 2 2 25 9 根据等效性有 f ( L1 + L) = E k 解得等效摩擦力 f = mg sin θ 41

41 L. 9

T ′ = 2π L ′ / g = 2π l sin α / g

1 1 1 ωl (cos β cos α ) = m(ωl ) 2 + m( ) 2 2 2 2 2 1 2 对单摆,得 mgl 0 (cos β cos α ) = m(ωl 0 ) 2 5 联立两式求解,得 l 0 = l 6

l0 5l = 2π . 6g g

a = 0 .4 g

3 mg ,方向水平向右,现 3

(mg ) 2 + (

3 2 3 mg ) 2 = mg 3 3

G′ 2 3 = g m 3

g ′R

1 2 1 2 mv0 = mg ′( R + R cos θ ) + mv B 2 2

v0 = 2( 3 + 1) gR

n

E=

E1 V1 + E 2 V2 + + E n Vn = V1 + V2 + + Vn

∑ E V
i =1 i n

i

∑V
i =1

i

E=

∑ E V
i =1 n i

n

i

=

∑ V
i =1

1 V

∑ Ei Vi = ∑ Ei
i =1 i =1

n

n

n Vi kq Vi =∑ 2 V V i =1 ri

i

q ,则有 V

E=∑
i =1 n

n

n k1 ρVi kq =∑ 2i ri 2 i =1 ri

i =1

kqi kq 为带电球体在 q 所在点产生的场强,因而有 E = 2 ,方向从 O 指向 q. 2 ri R

G ′ (即为合外力)作用下的斜抛运动,而做斜抛运动的物体在其速度方向与 G ′ 垂直时的速

mg Eq

v min = v0 cos θ =

Eqv0 (mg ) 2 + ( Eq) 2

I x1 = 1A;当R x 为R x 2 = 18 时,通过它的电流 I x 2 = 0.6 A.

ε ′ = I x1 ( R x1 + r ′), ε ′ = I x 2 = ( R x 2 + r ′), ε ′ = I x 3 ( R x3 + r ′)

① ② ③

RBC 和 RCA,相应的电阻 Ra,Rb 和 Rc 可确定. 因此在对应点 A 和 a,B 和 b,C 和 c 的电位 是相同的,并且,流入对应点(例如 A 和 a)的电流也相同,利用这些条件 证明: Ra =

R AB

R AB RCA ,并证明对 Rb 和 Rc 也有类似的结果,利用上面的结果求图 + RBC + RCA

4—11 甲中 P 和 Q 两点之间的电阻.

Ra + Rb = (

R R + R AB RBC 1 1 + ) 1 = AB CA R AB R AC + RBC R AB + RBC + RCA R R + RBC RCA 1 1 + ) 1 = AB CA RCA R AB + RBC R AB + RBC + RCA R R + RBC RCA 1 1 + ) 1 = AB BC RBC R AB + RCA R AB + RBC + RCA R AB RCA + RBC + RCA

Ra + Rc = (

Rb + Rc = (

R AB

Rb =

R AB

R AB RBC + RBC + RCA

Rc =

R AB

RBC R AC + RBC + RCA

4—12 甲

4—12 乙

4—12 丙

R PQ = (

1 1 1 + + ) 1 = 4 36 18 6

4 时,电路图可等效 5

ε = BLV = (0.6 × 0.5 × 10) = 3V
RaE = 4, REb = 1, Rbc = 3

R=r+

RaE ( REb + Rbc ) = 3 RaE + ( REb + Rbc )

ε
R

= 1A.

∴通过 aE 的电流为 I aE = 0.5 A 例 15 有一薄平凹透镜,凹面半径为 0.5m,玻璃的折射 率为 1.5,且在平面上镀一层反射层,如图 4—14 所示,在此 系统的左侧主轴上放一物 S,S 距系统 1.5m,问 S 成像于何处? 解析 本题可等效为物点 S 先经薄平凹透镜成像,其像为 平面镜的物,平面镜对物成像又为薄平凹透镜成像的物,根据 成像规律,逐次求出最终像的位置. 根据以上分析,首先考虑物 S 经平凹透镜的成像 S ′ , 根据公式 图 4—14

1 1 1 + = ′ P f1 P1

1 1 1 1 1 = (n 1)( ) = (1.5 1)( ) = 1(m 1 ) f1 R R2 0 .5 ∞

1 1 + = 1 ′ 1.5 P1

′ P1 = 0.6m

′ ′ P2 = P2 = P1 = 0.6m

1 1 1 1 ′ + = , 其中P3 = P2 = 0.6m, = 1(m 1 ) ′ P3 P f f 3

1 1 + = 1 ′ 0.6 P3

′ P3 = 0.375m 成虚像于系统右侧 0.375m 处

1.半径为 R 的金属球与大地相连,距球心 L 处有一带 电量为+q 的点电荷如图 4—15 所示. 求 (1)球上感应电荷的总电量; (2)q 受到的库仑力. 2 . 如 图 4 — 16 所 示 , 设 图 4—15

R1 = 40, R2 = 80, R3 = 5, R4 = 10, R5 = 40, R6 = 99 R7 = 101, R8 = 20 ,求 AB 之间的电阻.

3.电路如图 4—17 所示, R1 = R3 = R4 = R5 = 3 时, R2 = 1 ,求 AB 间的等效电 阻. 4.有 9 个电阻联成如图 4—18 电路,图中数字的单位是 ,求 PQ 两点间的等效电阻.

5.如图 4—19 所示电路,求 AB 两点间的等效电阻.

6.如图 4—20 所示,由 5 个电阻联成的网络,试求 AB 两点间的等效电阻. 7.由 7 个阻值均为 r 的电阻组成的网络元如图 4—21 甲所示.由这种网络元彼此连接形 成的无限梯形网络如图 4—21 乙所示.试求 P,Q 两点之间的等效电阻.

8.图 4—22 表示一交流电的电流随时间而变化的图像,此交流电流有效值是( A. 5 2 A B. 5 A C. 3.5 2 A D. 3.5 A

9.磁流体发电机的示意图如图 4—23 所示,横截面为距形的管道长为 L,宽为 a,高 为 b,上下两个侧面是绝缘体,相距为 a 的两个侧面是电阻可忽略的导体,此两导体侧面与 负载电阻 RL 相连.整个管道放在一个匀强磁场中,磁感应强度的大小为 B,方向垂直于上下 侧面向上. 现有电离气体(正,负带电粒子)持续稳定的流经管道,为了使问题简化,设横 截面上各点流速相同. 已知流速与电离气体所受的压力成正比;且无论有无磁场存在时,都 维持管道两端电离气体的压强差皆为 p. 设无磁场存在时电离气体的流速为 v0 . 求有磁场存 在时流体发电机的电动势的大小 ε . 已知电离气体的平均电阻率为 ρ .

10.一匀质细导线圆环,总电阻为 R,半径为 a,圆环内充满方向垂直于环面的匀强磁 场,磁场以速率 K 均匀地随时间增强,环上的 A,D,C 三点位置对称. 电流计 G 连接 A, C 两点,如图 4—24 所示,若电流计内阻为 RG,求通过电流计的电流大小. 11.固定在匀强磁场中的正方形导线框 abcd,各边长为 L1, 其中 ab 是一端电阻为 R 的均匀电阻丝,其余三边均为电阻可忽 略的铜线,磁场的磁感应强度为 B,方向垂直纸面向里,现有一 与 ab 段的材料,粗细,长度都相同的电阻丝 PQ 架在导线框上, 如图 4—25 所示,以恒定的速度 v 从 ad 滑向 bc,当 PQ 滑过 1/3L 的距离时,通过 aP 段电阻丝的电流是多大?方向如何? 12.如图 4—26 所示,一根长的薄导体平板沿 x 轴放置,板面位于水平位置,板的宽 度为 L,电阻可忽略不计,aebcfd 是圆弧形均匀导线,其电阻为 3R,圆弧所在的平面与 x 轴垂 直, 圆弧的两端 a 和 d 与导体板的两个侧面相接解, 并可在其上滑动. 圆弧 ae=eb=cf=fd= 1/8) ( 圆周长,圆弧 bc=(1/4)圆周长,一内阻 Rg=nR 的体积很小 的电压表位于圆弧的圆心 O 处,电压表的两端分别用电阻可 以忽略的直导线与 b 和 c 点相连,整个装置处在磁感应强度 为 B,方向竖直向上的匀强磁场中. 当导体板不动而圆弧导 线与电压表一起以恒定的速度 v 沿 x 轴方向平移运动时 (1)求电压表的读数; (2)求 e 点与 f 点的电势差(Ue-Rf). 13.如图 4—27 所示,长为 2πa,电阻为 r 的均 匀细导线首尾相接形成一个半径为 a 的圆.现将电阻为 R 的电压表,以及电阻可以忽略的导线,按图 a 和图 b 所示的方式分别与圆的两点相连接. 这两点之间的弧线 所对圆心角为θ.若在垂直圆平面的方向上有均匀变化 的匀强磁场,已知磁感应强度的变化率为 k,试问在图 a,b 两种情形中,电压表的读数各为多少? 14.一平凸透镜焦距为 f,其平面上镀了银,现在其凸面一侧距它 2f 处,垂直于主轴主 置一高为 H 的物,其下端位于透镜的主轴上如图 4—28 所示. (1)用作图法画出物经镀银透镜所成的像,并标明该像是虚,是实; 图 4—27 图 4—26 图 4—25

(2)用计算法求出此像的位置和大小. 15.如图 4—29 所示,折射率 n=1.5 的全反射棱镜上方 6cm 处放置一物体 AB,棱镜直 角边长为 6cm,棱镜右侧 10cm 处放置一焦距 f1=10cm 的凸透镜,透镜右侧 15cm 处再放置 一焦距 f2=10cm 的凹透镜,求该光学系统成像的位置和放大率.

1.

R KRL2 q q, 2 L (L R 2 )2
9.

2.

120 11

3.

7 3

4. 4

5. .5 0

6. .4 1

7. 1.32r

8.C

p p BL + Bv0 a ρa + R1 Lb
(2) ( 2

10.

3πa 2 K qRG + 2 R

11.

6 BL1v 11R

a向P

12. (1)

nR 2 Bav 3nR + 2 R

2+

n +1 2 ) Bav 3n + 2

13.0,

2π 2 a 2 k sin θ r θ (2π θ ) + 4π 2 R

14. (1)图略 (2)距光心

2 1 f, H 3 3

15.凹透镜的右侧 10cm 处,放大率为 2

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