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湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


湖北省武汉市部分重点中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分;在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. (5 分)cos210°等于() A. B.﹣ C .﹣ D.

2. (5 分)已知△ ABC 是边长为 2 的正三角形,则 A.2 B.﹣2

/>
?

的值为() D.﹣2

C .2

3. (5 分)已知 f(x)=log2x+x﹣2,则零点所在的区间是() A.(0, ) B.( ,1) C.(1, ) D.( ,2)

4. (5 分)为了得到函数 y=2sin(2x+ A.向左平移 B. 向左平移

)的图象,只需把函数 y=2sinx 的图象()

个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) 个单位长度 个单位长度

C. 各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 2 倍,再把所得图象向左平移 D.各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍,再把所得图象向左平移

5. (5 分)非零向量 和 满足 2| |=| |, ⊥( + ) ,则 与 的夹角为() A. B. C. D.

6. (5 分)已知 cos(60°+α)= ,且 α 为第三象限角,则 cos(30°﹣α)+sin(30°﹣α)的值为() A. B. C. D.

7. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,图象与 x 轴交点 A 及图象最高点 B 的坐标分别是 A( ,0) ,B( ,2) ,则 f(﹣ )的值为()

A.﹣

B.﹣

C.

D.

8. (5 分)函数 f(x)=2sinωx 在上单调递增,那么 ω 的取值范围是() A.(0, ] B.(0,2] C. D.

9. (5 分)已知 a=sinl,b=tanl,c=tan ,则 a,b,c 的大小关系正确的是() A.c<b<a B.c<a<b C.a<v<b D.a<b<c

10. (5 分)四边形 ABCD 是单位圆 O 的内接正方形,它可以绕原点 O 转动,已知点 P 的坐标是(3,4) , M、N 分别是边 AB、BC 的中点,则 ? 的最大值为()

A.5

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)已知 =(﹣5,5) , =(﹣3,4) ,则( ﹣ )在 方向上的投影等于.
x 2

12. (5 分)函数 f(x)=2 ﹣x 的零点个数是.

13. (5 分)已知△ ABC 中,|

|=|

|=1,∠ACB=120°,O 为△ ABC 的外心,





,则 λ+μ=.

14. (5 分)如图摩天轮半径 10 米,最低点 A 离地面 0.5 米,已知摩天轮按逆时针方向每 3 分钟转一圈(速 率均匀) ,人从最低点 A 上去且开始计时,则 t 分分钟后离地面米.

15. (5 分)函数 f(x)=|sin +cos |+|sin ﹣cos |﹣

在区间上的零点分别是.

三、解答题 16. (12 分)已知 f(x)=2sin(2x+ )+1

(1)在直角坐标系中用“五点画图法”画出 f(x)一个周期的图象(要求列表、描点) (2)直接写出函数 f(x)的单调递增区间以及 f(x)取最大值时的所有 x 值的集合. 17. (12 分)已知点 A,B,C 的坐标分别是 A( ,0) ,B(0, ) ,C(cosα,sinα)其中 α∈( 且 A,B,C 三点共线,求 sin(π﹣α)+cos(π+α)的值. , ) ,

18. (12 分)在△ OAB 中, (1)求| | +| | 的值; (2)若( +
2 2

= ,

= ,若 ? =| ﹣ |=2:

) ( ﹣ )=0,

=3



=2

,求

?

的值.

19. (12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx﹣

) (ω>0)在(0,

]上单调递增,在(

,2π]上单调递

减, (1)求 ω 的值; (2)当 x∈时,不等式 m﹣3≤f(x)≤m+3 恒成立,求实数 m 的取值范围.

20. (13 分)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在 通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天 时间与水深(单位:米)的关系表: 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)请用一个函数来近似描述这个港口的水深 y 与时间 t 的函数关系; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上认为是安全的(船舶停靠时,船底 只要不碰海底即可) .某船吃水深度(船底离地面的距离)为 6.5 米. Ⅰ)如果该船是旅游船,1:00 进港希望在同一天内安全出港,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出 港所需时间)? Ⅱ)如果该船是货船,在 2:00 开始卸货,吃水深度以每小时 0.5 米的速度减少,由于台风等天气原因该 船必须在 10:00 之前离开该港口,为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口,那么该船在什么 整点时刻必须停止卸货(忽略出港所需时间)? 21. (14 分)已知连续不断函数 f(x)=cosx﹣x,x∈(0, =xsinx+x﹣ ,x∈(0, ) )上有且只有一个零点; )上单调递增,且都只有一个零点(不必证明) ,记三个函数 f ,x∈(0,

) ,g(x)=sinx+x﹣

) ,h(x)

(1)证明:函数 f(x)在区间(0,

(2)现已知函数 g(x) ,h(x)在(0,

(x) ,g(x) ,h(x)的零点分别为 x1,x2,x3. 求证:①x1+x2= ;

②判断 x2 与 x3 的大小,并证明你的结论.

湖北省武汉市部分重点中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分;在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1. (5 分)cos210°等于() A. B. ﹣ C. ﹣ D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 解答: 解:cos210°=cos(180°+30°)=﹣cos30°=﹣ .

故选:C. 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

2. (5 分)已知△ ABC 是边长为 2 的正三角形,则 A.2 考点: 专题: 分析: 值. 解答: 则 ? B. ﹣2 C. 2

?

的值为() D.﹣2

平面向量数量积的运算. 计算题;平面向量及应用. 运用向量的数量积的定义,结合正三角形的定义,注意向量的夹角为 π﹣B,计算即可得到所求 解:由于△ ABC 是边长为 2 的正三角形, =| |?| |?cos(π﹣B)=﹣2×2×cos60°

=﹣4× =﹣2. 故选 B. 点评: 本题考查向量的数量积的定义,注意向量夹角的定义是解题的关键. 3. (5 分)已知 f(x)=log2x+x﹣2,则零点所在的区间是() A.(0, ) B.( ,1) C.(1, ) D.( ,2)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据解析式判断 f(x)在(0,+∞)单调递增,计算特殊函数值,f(1)=﹣1<0,f( )=log2 ﹣2=log23 >0,f(2)=1>0,根据函数零点的判断定理可得出区间.

解答: 解:∵f(x)=log2x+x﹣2, ∴可以判断 f(x)在(0,+∞)单调递增, ∵f(1)=﹣1<0,f( )=log2 f(2)=1>0, ∴?根据函数零点的判断定理可得:零点所在的区间是(1, ) 故选:C 点评: 本题考查了函数的零点的判断方法,对于基本函数的解析式的求解,属于中档题. ﹣2=log23 >0

4. (5 分)为了得到函 数 y=2sin(2x+ A.向左平移 B. 向左平移

)的图象,只需把函数 y=2sinx 的图象()

个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)

C. 各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 2 倍,再把所得图象向左平移 D.各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍,再把所得图象向左平移

个单位长度 个单位长度

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:把函数 y=2sinx 的图象向左平移 个单位长度,得到的函数解析式为:y=2sin(x+ ) , ) ,

再把所得各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) ,得到的函数解析式为:y=2sin(2x+ 故选:B. 点评: 本题考查的知识要点:函数图象的变换问题平移变换和伸缩变换,属于基础题型.

5. (5 分)非零向量 和 满足 2| |=| |, ⊥( + ) ,则 与 的夹角为() A. B. C. D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 运用向量垂直的条件:数量积为 0,以及向量的数量积的定义和向量的平方即为模的平方,结合 夹角的定义,即可得到所求. 解答: 解:由 2| |=| |, ⊥( + ) , 则 ?( + )=0, 即为 +
2

=0,

即为| | +| |?| |?cos< , >=0, 即| | +2| | cos< , >=0, 即 cos< , >=﹣ , 由 0≤< , >≤π, 则 与 的夹角为 .
2 2

故选 D. 点评: 本题考查向量数量积的定义和性质,主要考查向量垂直的条件:数量积为 0,考查运算能力,属 于基础题.

6. (5 分)已知 cos(60°+α)= ,且 α 为第三象限角,则 cos(30°﹣α)+sin(30°﹣α)的值为()

A.

B.

C.

D.

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意和同角三角函数基本关系可得 sin (60°+α) =﹣ ﹣α)+cos(30°﹣α) ,代值计算即可. 解答: 解:∵cos(60°+α)= ,且 α 为第三象限角, ∴sin(60°+α)=﹣ ∴cos(30°﹣α)+sin(30°﹣α) =cos+sin =sin(30°﹣α)+cos(30°﹣α)= 故选:C 点评: 本题考查三角函数求值,涉及同角三角函数基本关系和诱导公式,属基础题. 7. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,图象与 x 轴交点 A 及图象最高点 B 的坐标分别是 A( ,0) ,B( ,2) ,则 f(﹣ )的值为() =﹣ , , 由诱导公式可得原式=cos+sin=sin (30°

A.﹣

B. ﹣

C.

D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由图象可得:A=2, = ,从而解得 ω 的值,由 B( )的值. = =2. ,2)在函数图象上,|φ|<π,

可解得 φ 的值,从而求得函数解析式,从而可求 f(﹣ 解答: 解:由图象可得:A=2, 由因为:B( =

,从而解得:T=π.所以 ω=

,2)在函数图象上. +φ)=2,

所以可得:2sin(2×

可解得:2× ∵|φ|<π, ∴φ=﹣ ,

+φ=2kπ+

,k∈Z,即有 φ=2kπ﹣

,k∈Z,

∴f(x)=2sin(2x﹣ ∴f(﹣ )=2sin(﹣2×

) , ﹣ )= ,

故选:C. 点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,属于基础题. 8. (5 分)函数 f(x)=2sinωx 在上单调递增,那么 ω 的取值范围是() A.(0, ] B.(0,2] C. D.

考点: 正弦函数的图象. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 根据正弦型函数的性质,可得在 ω>0 时,区间是函数 y=2sinωx 的一个单调递增区间,结合已知 中函数 y=2sinωx(ω>0)在上单调递增,推出一个关于 ω 的不等式组,解不等式组,即可求出实数 ω 的 取值范围. 解答: 解:由正弦函数的性质,在 ω>0 时, 当 x=﹣ ,函数取得最小值,x= 函数取得最大值,

所以,区间是函数 y=2sinωx 的一 个单调递增区间, 若函数 y=2sinωx(ω>0)在上单调递增 则﹣ ≤﹣ 且 ≥

解得 0<ω≤2 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是正弦型函数的单调性,其中根据正弦型函数的性质,得到 ω>0 时,区间是 函数 y=2sinωx 的一个单调递增区间,进而结合已知条件构造一个关于 ω 的不等式组,是解答本题的关键, 属于中档题.

9. (5 分)已知 a=sinl,b=tanl,c=tan ,则 a,b,c 的大小关系正确的是() A.c<b<a B.c<a<b C.a<v<b D.a<b<c

考点: 正切函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的单调性分别判断 a,b,c 的范围进行判断即可得到结论. 解答: 解:∵ 即 <sin1< <1< , ,∴sin <sin1<sin ,

tan

<tan1<tan ,



即 1<tan1<

tan =tan( ﹣π) , ∵1< ﹣π< ,

∴tan( ﹣π)>tan1,即 tan >tan1, 故 a<b<c, 故选:D 点评: 本题主要考查函数值的大小比较, 根据三 角函数的图象和性质结合函数的单调性是解决本题的关 键. 10. (5 分)四边形 ABCD 是单位圆 O 的内接正方形,它可以绕原点 O 转动,已知点 P 的坐标是(3,4) , M、N 分别是边 AB、BC 的中点,则 ? 的最大值为()

A.5

B.

C.

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由于 M、N 分别是边 AB、BC 的中点,且 AB⊥BC,则 OM⊥ON,运用向量的三角形法则,可 得 ? =﹣ ? ,

再由向量的数量积的定义,结合余弦函数的值域即可得到最大值. 解答: 解:由于 M、N 分别是边 AB、BC 的中点, 且 AB⊥BC,则 OM⊥ON, ? =0﹣ =( ? ﹣ =﹣ )? ? , = ? ﹣ ?

由四边形 ABCD 是单位圆 O 的内接正方形, 即有正方形的边长为 ,则| |= ,

由|

|= ?

=5, =﹣| |?| |?cos∠POM

即有﹣ =﹣

cos∠POM, .

当 OP,OM 反向共线时,取得最大值 故选 C.

点评: 本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义,主要考查向量垂直的条件和余弦函数的值 域,属于中档题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)已知 =(﹣5,5) , =(﹣3,4) ,则( ﹣ )在 方向上的投影等于 2.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 求出向量 的差以及向量 的模,和( )? ,由( ﹣ )在 方向上的投影为

,代入计算即可得到.

解答: 解:由 =(﹣5,5) , =(﹣3,4) , 则 ﹣ =(﹣2,1) , ( | |= )? =(﹣2)×(﹣3)+1×4=10, =5,

则( ﹣ )在 方向上的投影为

=

=2.

故答案为:2. 点评: 本题考查向量的加减和数量积的坐标运算,主要考查向量的投影的求法,考查运算能力,属于基 础题. 12. (5 分)函数 f(x)=2 ﹣x 的零点个数是 3. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. x 2 分析: 可以转化为;g(x)﹣2 ,h(x)=x 图象的交点个数,运用图象判断即可.注意(2,4)点. x 2 解答: 解:∵函数 f(x)=2 ﹣x 的图象, x 2 ∴可以转化为;g(x)﹣2 ,h(x)=x 图象的交点个数,
x 2

据图象可判断;有 3 个交点, x 2 所以函数 f(x)=2 ﹣x 的零点个数是 3. 故答案为:3

点评: 本题考查了指数函数,幂函数的图象,运用图象解决函数零点的个数问题,难度很小,属于容易 题,但是特别容易出错,图象没画完,漏掉(2,4)点.

13. (5 分)已知△ ABC 中,|

|=|

|=1,∠ACB=120°,O 为△ ABC 的外心,





,则 λ+μ=0.

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 如图所示,| |=| |=1,∠ACB=120°,O 为△ ABC 的外心,可得四边形 OACB 为菱形,再利用

向量的平行四边形法则及其向量基本定理即可得出. 解答: 解:如图所示, ∵| |=| |=1,∠ACB=120°,O 为△ ABC 的外心,

∴四边形 OACB 为菱形, ∴ 又 =λ +μ , ,

则 λ+μ=0. 故答案为:0.

点评: 本题考查了向量的平行四边形法则、向量基本定理、菱形的性质,考 查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 14. (5 分)如图摩天轮半径 10 米,最低点 A 离地面 0.5 米,已知摩天轮按逆时针方向每 3 分钟转一圈(速 率均匀) ,人从最低点 A 上去且开始计时,则 t 分分钟后离地面 10sin( ( πt)米. t )+10.5 或 10.5﹣10cos

考点: 在实际问题中建立三角函数模型. 专题: 三角函数的求值.

分析: 本题先算出每分钟摩天轮转的角度,再算出 t 分钟转的角度,利用三角函数很容易求出答案. 解答: 解:设 t 分钟后相对于地面的高度为 y 米, 由于摩天轮按逆时针方向每 3 分钟转一圈(即 2π) , 所以每分钟转 π 弧度,t 分钟转 πt 弧度 ∴y=10sin( t )+10.5 或 10.5﹣10cos( πt) t )+10.5 或 10.5﹣10cos( πt) .

故答案为:10sin(

点评: 本题考查了在实际问题中学生建立三角函数模型的能力,属于基础题.

15. (5 分)函数 f(x)=|sin +cos |+|sin ﹣cos |﹣

在区间上的零点分别是

或﹣

或﹣





考点: 余弦函数的图象;三角函数的周期性及其求法. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 令 f(x)=|sin +cos |+|sin ﹣cos |﹣ =0,可解得:|cosx|= ,由 x∈即可解得在区间上的零点. =0

解答: 解:令 f(x)=|sin +cos |+|sin ﹣cos |﹣ 可得: + =

两边平方,得:2+2|cosx|=3,可解得:|cosx|= ,即 cosx= ∵x∈ ∴x= 或﹣ 或﹣ 或﹣ 或 或﹣ 或 .

故答案为:

点评: 本题主要考察了三角函数的图象与性质,函数的性质及应用,属于基本知识的考查. 三、解答题 16. (12 分)已知 f(x)=2sin(2x+ )+1

(1)在直角坐标系中用“五点画图法”画出 f(x)一个周期的图象(要求列表、描点) (2)直接写出函数 f(x)的单调递增区间以及 f(x)取最大值时的所有 x 值的集合. 考点: 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;正弦函数的图象. 专题: 作图题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)列表、描点即可用五点法作出函数 y=Asin(ωx+φ)的图象; (2)结合函数图象即可直接写出函数 f(x)的单调递增区间以及 f(x)取最大值时的所有 x 值的集合. 解答: 解: (1)列表:…(3 分) 2x+ x 0 π 2π

y 1 描点、画图:

3

1

﹣1

1

…(8 分) (2)f(x)的单调增区间是: (k∈Z) (可写开区间) f(x) 取得最大值时的所有 x 值的集合为:{x|x=kπ+ ,k∈Z}…(12 分) .

点评: 本题主要考查了五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,正弦函数的图象和性质,属于基础题. 17. (12 分)已知点 A,B,C 的坐标分别是 A( ,0) ,B(0, ) ,C(cosα,sinα)其中 α∈( 且 A,B,C 三点共线,求 sin(π﹣α)+cos(π+α)的值. 考点: 直线的斜率;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用向量共线定理可得 sinα+cosα= ,再利用同角三角函数基本关系式可得 sinα,cosα,利用诱 导公式即可得出. 解答: 解:∵ ∴ 化为 sinα+cosα= , ∵α∈( , ) ,sin α+cos α=1, ,
2 2



) ,

= =﹣ ,



=

,A,B,C 三点共线,

∴sinα= ,

sin(π﹣α)+cos(π+α) =sinα﹣cosα = = . 点评: 本题考查了向量共线定理、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题.

18. (12 分)在 △ OA B 中, (1)求| | +| | 的值; (2)若( +
2 2

= ,

= ,若 ? =| ﹣ |=2:

) ( ﹣ )=0,

=3



=2

,求

?

的值.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: (1)运用向量数量积的性质:向量的平方即为模的平方,计算即可得到; (2)通过条件( + )?( ﹣ )=0,化简整理可得| |=| |,由(1)的结论即有△ OAB 为正三角

形,再由向量垂直的条件,即可计算得到所求值. 解答: 解: (1)由于| ﹣ |=2,则| ﹣ | =( 又 =2,
2 2 2

)=

2

+

﹣2

=4,

则有| | +| | = (2)由( +

+

=8; )?( ﹣ )=0,



+





=| |﹣| |+



=(| |﹣| |) (1+

)=0,

则有| |=| |,由(1)的结论得| |=| |=2, 又| 则 |=| =( |=2,所以△ OAB 为正三角形, + )? ,

因为 N 为 AB 的中点,ON⊥AB, 从而 则有 ? =0,| =( |=
2

×2=



) =3.

点评: 本题考查向量的数量积的性质,考查正三角形的性质,考查运算能力,运用向量垂直的条件是解 题的关键.

19. (12 分)已知函数 f(x)=sin(ωx﹣

) (ω>0)在(0,

]上单调递增,在(

,2π]上单调递

减, (1)求 ω 的值; (2)当 x∈时,不等式 m﹣3≤f(x)≤m+3 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 正弦函数的图象. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)由 x= 可得 0 时 f(x)取得最大值 1,从而有 8ω=12K+4,k∈z,又由题意 且 ,

,从而可求 ω 的值;

(2)令 t=

,可求 f(x)的值域为,由题意可得

,从而解得实数 m 的取值范围. =2kπ ,k∈Z,

解答: 解: (1)由已知条件知,x= 即 8ω=12K+4,k∈z…(3 分)

时 f(x)取得最大值 1,从而有

又由题意可得该函数的最小正周期 T 满足: 于是有 T 于是 ,0 …(6 分) ,因为 x∈,得 t∈,





,满足 0<12K+4≤6 的正整数 k 的值为 0,

(2)令 t=

由 y=sint,t∈得 y∈,即 f(x)的值域为, 由于 x∈时,不等式 m﹣3≤f(x)≤m+3,恒成立, 故有 ,

解得﹣2≤m



即 m 的取值范围是…(12 分) 点评: 本题主要考查了正弦函数的周期性和复合函数的值域,考查了不等式的解法,属于中档题. 20. (13 分)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在 通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天 时间与水深(单位:米)的关系表: 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)请用一个函数来近似描述这个港口的水深 y 与时间 t 的函数关系; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上认为是安全的(船舶停靠时,船底 只要不碰海底即可) .某船吃水深度(船底离地面的距离)为 6.5 米. Ⅰ)如果该船是旅游船,1:00 进港希望在同一天内安全出港,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出 港所需时间)?

Ⅱ)如果该船是货船,在 2:00 开始卸货,吃水深度以每小时 0.5 米的速度减少,由于台风等天气原因该 船必须在 10:00 之前离开该港口,为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口,那么该船在什么 整点时刻必须停止卸货(忽略出港所需时间)? 考点: 在实际问题中建立三角函数模型. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)设出函数解析式,据最大值与最小值的差的一半为 A;最大值与最小值和的一半为 h;通过 周期求出 ω,得到函数解析式. (2)Ⅰ)据题意列出不等式,利用三角函数的周期性及单调性解三角不等式求出 t 的范围. Ⅱ)设 f(x)=3sin x+10,x∈,g(x)=11.5﹣0.5(x﹣2) (x≥2)对它们进行比较从而得到答案.

解答: (1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图.如图. 根据图象,可考虑用函数 y=Asin(ωx+φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系. 从数据和图象可以得出 A=3,h=10,T=12,φ=0, 由 T= =12,得 ω= ,所以这个港口水深与时间的关系可用 y=3sin t+10 近似描述…(4 分)

(2)Ⅰ)由题意,y≥11.5 就可以进出港,令 sin 函数 y=3sin

t= ,如图,在 区间内, t= 或 ,

t+10 与直线 y=11.5 有两个交点,由 sin

得 xA=1,xB=5,由周期性得 xC=13,xD=17, 由于该船从 1:00 进港,可以 17:00 离港,所以在同一天安全出港,在港内停留的最多时间是 16 小时… (8 分) Ⅱ)设在时刻 x 货船航行的安全水深为 y,那么 y=11.5﹣0.5(x﹣2) (x≥2) . 设 f(x)=3sin x+10,x∈,

g(x)=11.5﹣0.5(x﹣2) (x≥2) 由 f(6)=10>g(6)=9.5 且 f(7)=8.5<g(7)=9 知, 为了安全,货船最好在整点时刻 6 点之前停止卸货…(13 分)

点评: 本题考查通过待定系数法求函数解析式、利用三角函数的单调性及周期性解三角不等式. 21. (14 分)已知连续不断函数 f(x)=cosx﹣x,x∈(0, =xsinx+x﹣ ,x∈(0, ) )上有且只有一个零点; )上单调递增,且都只有一个零点(不必证明) ,记三个函数 f ,x∈(0,

) ,g(x)=sinx+x﹣

) ,h(x)

(1)证明:函数 f(x)在区间(0,

(2)现已知函数 g(x) ,h(x)在(0,

(x) ,g(x) ,h(x)的零点分别为 x1,x2,x3. 求证:①x1+x2= ;

②判断 x2 与 x3 的大小,并证明你的结论. 考点: 函数零点的判定定理;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由零点存在性定理知 f(x)在区间(0, )上是单调递减函数. )上有零点,运用单调性定义证明;f(x)在(0,

(2)将其变形为:cos( 而有 ﹣x2=x1,x1+x2=

﹣x2)﹣( ,

﹣x2)=0,即 f(

﹣x2)=0,在(0,

)上有唯一零点,从

Ⅰ)因为 x2 是 g(x)的零点,所以有 sinx2+x2

=0,

Ⅱ)判断 x2<x3,运用零点存在性定理和定义判断证明即可. 解答: 解: (1)先证明 f(x)在区间(0, 由零点存在性定理知 f(x)在区间(0, 再证明 f(x)在(0, 设 0<x1<x2 , )上有零点:由于 f(0)=1>0,f( )=﹣ ,

)上有零点,

)上是单调递减函数:

f(x1)﹣f(x2)=(cosxx﹣x1)﹣(cosx2﹣x2)=(cosx1﹣cosx2)﹣(x1﹣x2) 由于 y=cosx 在(0, )上递减,

所以 cosx1﹣cosx2>0 又﹣(x1﹣x2)>0 从而 f(x1)>f(x2) , 即 f(x)在(0, )上是单调递减函数. )有且只有一个零点, =0, ﹣x2)=0,

故函数 f(x)在(0,

(2)Ⅰ)因为 x2 是 g(x)的零点,所以有 sinx2+x2 将其变形为:cos( 从而有 f( 又因为 在(0, 从而有 ﹣x2)﹣( ﹣x2)=0,即 f(

﹣x2)=f(x1)=0, ) ,且由(1)的结论 f(x)

﹣x2,x1∈(0,

)上有唯一零点, ﹣x2=x1,x1+x2= , <0,h(1)=sin1=1 ﹣ >sin = +1 ,

Ⅱ)判断 x2<x3,证明如下:由于 h(0)= 由零点存在性定理和已知得 0<x3<1, 从而 有 0=x3sin x3+x3 <sinx3+x3

=g(x3) ,g(x2)=0

所以有 g(x2)<g(x3) , 又由已知 g(x)在(0, )上单调递增,所以 x2<x3.

点评: 本题综合考查了函数的性质,零点问题,分类转化,不等式问题,综合性较强,难度较大,属于 难题.


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