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2013年全国高中联赛福建省预赛试题及参考答案


2013 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试题
(2013 年 9 月 7 日上午 9:00-11:30) 一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 32 , an ? 1 ? an ? 2n ( n ? N * ) ,则
an 的最小值为 n

>。

2 . 对 于 函 数 y ? f ( x) , x ? D , 若 对 任 意 的 x1 ? D , 存 在 唯 一 的 x2 ? D , 使 得

x??1,? ,则函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 1 在 ?1, ? 上的几何平均数 M ? 2 2

f ( x1 ) f ( x2 ) ? M , 则 称 函 数 f ( x) 在 D 上 的 几 何 平 均 数 为 M 。 已 知 f ( x) ? x3 ? x2 ? 1 ,


1 1 2 3.若三个非零且互不相等的实数 a 、 b 、 c 满足 ? ? ,则称 a 、 b 、 c 是调和的;若 a b c

满足 a ? c ? 2b ,则称 a 、 b 、 c 是等差的。已知集合 M ? ? x

x ? 2013 , ? Z ? ,集合 P 是集 x

合 M 的三元子集,即 P ? ? a ,, ? ? M 。若集合 P 中元素 a 、 b 、 c 既是调和的,又是等差 b c 的,则称集合 P 为“好集” 。则不同的“好集”的个数为 为 。 5.如图,在四面体 ABCD 中, AB ? 平面 BCD , △BCD 是边长 为 3 的等 边 三角 形。 若 AB ? 2 , 则 四 面体 ABCD 外 接 球 的 面 积 为 。 6.在正十边形的 10 个顶点中,任取 4 个点,则以这 4 个点为顶 点的四边形为梯形的概率为 。 。
2)最小值 的

4 . 已 知 实 数 x , y 满 足 xy ? 1 ? 4 x ? y , 且 x ? 1 , 则 ( x ? 1 )y(?

? x ? x 7.方程 sin ? x ? ? ? ? ?2 ?2


? 1 ?? 2 ?

? 2 ? 在区间 ?0 ,? ? 内的所有实根之和 ?

。 (符号 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数) 。
) 8. 已知 f ( x) 为 R 上增函数, 且对任意 x ? R , 都有 f ? f ( x) ? 3x ? ? 4 , f 2 ? 则 ( ? ?



9.已知集合 A 的元素都是整数,其中最小的为 1,最大的为 200。且除 1 以外, A 中每 一个数都等于 A 中某两个数(可以相同)的和。则 A 的最小值为 表示集合 A 中元素的个数) 。 (符号 A

? x ,若 x 为无理数 ? 10.已知函数 f ( x) ? ? q ? 1 ,则函数 f ( x) 在 q , x? , 若 其中 p , ? N * , p 、互质, ? q q 且 q p ? p p ?
7 8 区间 ( , ) 上的最大值为 8 9



1

下标小的数排在左边) bn 表示数阵中,第 n 行、第 1 列的数。已知数列 ?bn ? 为等比数列,且 。

二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11. 将各项均为正数的数列 ?an ? 排成如下所示的三角形数阵 (第 n 行有 n 个数, 同一行中,

从第 3 行开始,各行均构成公差为 d 的等差数列(第 3 行的 3 个数构成公差为 d 的等差数列; 第 4 行的 4 个数构成公差为 d 的等差数列,??) a1 ? 1 , a12 ? 17 , a18 ? 34 。 , (1)求数阵中第 m 行、第 n 列的数 A(m , ) (用 m 、 n 表示) (2)求 a2013 的值; 。 n (3)2013 是否在该数阵中?并说明理由。

a1 a2 a4 a7
? ? ?

a3 a5 a6 a9
?

a8

a10
?

12.已知 A 、 B 为抛物线 C : y 2 ? 4x 上的两个动点,点 A 在第一象限,点 B 在第四象限。 l1 、 l2 分别过点 A 、 B 且与抛物线 C 相切, P 为 l1 、 l2 的交点。 (1)若直线 AB 过抛物线 C 的焦点 F ,求证:动点 P 在一条定直线上,并求此直线方程; (2)设 C 、 D 为直线 l1 、 l2 与直线 x ? 4 的交点,求 △PCD 面积的最小值。

2

13.如图,在 △ABC 中, ?B ? 90? ,它的内切圆分别与边 BC 、 CA 、 AB 相切于点 D 、 E 、 F ,连接 AD ,与内切圆相交于另一点 P ,连接 PC 、 PE 、 PF 、 FD 、 ED 。 FP EP ? (1)求证: ; FD ED (2)若 PE∥BC ,求证: PC ? PF 。

1 ? 1。 x( x ? 1) (1)求 f ( x) 在区间 ?1, ?? 上的最小值; ?

14.已知 f ( x) ? 2 ln( x ? 1) ?

(2) 利用函数 f ( x) 的性质,求证:ln1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? (3)求证: ln 2 1 ? ln 2 2 ? ln 2 3 ? ? ? ln 2 n ?

(n ? 1)2 ( n ? N * ,且 n ? 2 ) ; 2n

(n ? 1)4 ( n ? N * ,且 n ? 2 ) 。 3 4n

3

其中 a , , 为不超过 6 的正整数 ? 。x1 ,x2 , b c 15. 已知集合 P ? ? x x ? 73 ? a ? 7 2 ? b ? 7 ? c ,

x3 ,?, xn 为集合 P 中构成等差数列的 n 个元素。求 n 的最大值。

4

2013 年福建省高中数学竞赛 暨 2013 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷参考答案
(考试时间:2013 年 9 月 7 日上午 9:00-11:30,满分 160 分) 一、填空题(共 10 小题,每小题 6 分,满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上) 1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 32 , an ? 1 ? an ? 2n ( n ? N * ) ,则 【答案】
31 3 an 的最小值为 n



【解答】由 a1 ? 32 , an ? 1 ? an ? 2n 知,

an ? an ? 1 ? 2(n ?1) , an ?1 ? an ? 2 ? 2(n ? 2) ,??, a2 ? a1 ? 2 ?1 , a1 ? 32 。
上述 n 个等式左右两边分别相加,得 an ? n(n ?1) ? 32 。 ∴ ∴
an a a 32 52 31 ? n ? 1 ? ,又 n ? 5 时, n ? ; n ? 6 时, n ? 。 n n n 5 n 3
n ? 6 时,

an 31 取最小值 。 3 n

2 . 对 于 函 数 y ? f ( x) , x ? D , 若 对 任 意 的 x1 ? D , 存 在 唯 一 的 x2 ? D , 使 得

x??1,? ,则函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 1 在 ?1, ? 上的几何平均数 M ? 2 2
【答案】 ∴

f ( x1 ) f ( x2 ) ? M , 则 称 函 数 f ( x) 在 D 上 的 几 何 平 均 数 为 M 。 已 知 f ( x) ? x3 ? x2 ? 1 ,


5
当 1 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 3x2 ? 2x ? x(3x ? 2) ? 0 ,

【解答】 ∵

f ( x) ? x3 ? x2 ? 1 在区间 ?1, ? 上为增函数,其值域为 ?1,? 。 2 5

∴ 根据函数 f ( x) 几何平均数的定义知, M ? 5 。
1 1 2 3.若三个非零且互不相等的实数 a 、 b 、 c 满足 ? ? ,则称 a 、 b 、 c 是调和的;若 a b c

满足 a ? c ? 2b ,则称 a 、 b 、 c 是等差的。已知集合 M ? ? x

x ? 2013 , ? Z ? ,集合 P 是集 x

合 M 的三元子集,即 P ? ? a ,, ? ? M 。若集合 P 中元素 a 、 b 、 c 既是调和的,又是等差 b c 的,则称集合 P 为“好集” 。则不同的“好集”的个数为 【答案】 1006 。

?1 1 2 ? ? ? 【解答】若 a 、 b 、 c 既是调和的,又是等差的,则 ? a b c , a ? ?2b , c ? 4b 。 ? a ? c ? 2b ?
即“好集”为形如 ? ? 2b ,,b ? ( b ? 0 )的集合。 b 4 由“好集”是集合 M 的三元子集知, ?2013 ? 4b ? 2013 , b ? Z ,且 b ? 0 。
5



?503 ? b ? 503 , b ? Z ,且 b ? 0 。符合条件的 b 可取 1006 个值。

∴ “好集”的个数为 1006。 4 . 已 知 实 数 x , y 满 足 xy ? 1 ? 4 x ? y , 且 x ? 1 , 则 ( x ? 1 )y(? 为 【答案】 27 【解答】由 xy ? 1 ? 4 x ? y 知, y ? ∴
( x ? 1 )y(? 2 ) x ?( ? 4x ? 1 1) ( ? x ?1 4x ?1 。 x ?1 3x(? ? 2) 1) ( 2 x? 1) 。 x ?1

的 2)最小值



设 x ? 1 ? t ,则 t ? 0 ,
( x ? 1)( y ? 2) ? 3( x ? 1)(2 x ? 1) 3(t ? 2)(2t ? 1) 1 ? ? 6(t ? ) ? 15 ? 27 。 x ?1 t t

1 当且仅当 t ? ,即 t ? 1 , x ? 2 , y ? 7 时等号成立。 t



( x ? 1 )y(?

2) 的最小值为 27。

5.如图,在四面体 ABCD 中, AB ? 平面 BCD , △BCD 是边长 为 3 的等 边 三角 形。 若 AB ? 2 , 则 四 面体 ABCD 外 接 球 的 面 积 为 【答案】 16? 【解答】如图,设正 △BCD 的中心为 O1 ,四面体 ABCD 外接球的
2 3 球心为 O 。则 OO1 ? 平面 BCD , OO1∥AB , BO1 ? ? ?3 ? 3 。 3 2



取 AB 中点 E 。 由 OA ? OB 知, OE ? AB , OE∥O1B , OO1 ? EB ? 1 。 于是, OA ? OB ? 2 。 ∴ 四面体 ABCD 外接球半径为 2,其面积为 16? 。

6.在正十边形的 10 个顶点中,任取 4 个点,则以这 4 个点为顶点的四边形为梯形的概 率为 【答案】
2 7



【解答】设正十边形为 A1 A2 ? A10 。则 以 A1 A2 为底边的梯形有 A1 A2 A3 A10 、 A1 A2 A4 A9 、 A1 A2 A5 A8 共 3 个。同理分别以 A2 A3 、 A3 A4 、
6

A4 A5 、?、 A9 A10 、 A10 A1 为底边的梯形各有 3 个。这样,合计有 30 个梯形。
以 A1 A3 为底边的梯形有 A1 A3 A4 A10 、 A1 A3 A5 A9 共 2 个。同理分别以 A2 A4 、 A3 A5 、 A4 A6 、?、

A9 A1 、 A10 A2 为底边的梯形各有 2 个。这样,合计有 20 个梯形。
以 A1 A4 为底边的梯形只有 A1 A4 A5 A10 1 个。 同理分别以 A2 A5 、A3 A6 、A4 A7 、 ?、A9 A2 、A10 A3 为底边的梯形各有 1 个。这样,合计有 10 个梯形。 所以,所求的概率 P ?
30 ? 20 ? 10 2 ? 。 4 C10 7

? x ? x ? 1 7.方程 sin ? x ? ? ? ? ? ? ?2 ?2? 2
号 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数) 。 【答案】 12

? 2 ? 在区间 ?0 ,? ? 内的所有实根之和为 ?

。 (符

? x ? x ? x ? ? x ? 【解答】设 ? ? ? ? ? ? ,则对任意实数 x , 0 ? ? ? ? 1 。 ?2? 2 ? 2? ?2?

?? x ? 1? 原方程化为 sin ? x ? ? ? ? ? ? 。 ??2? 2? ?? x? 1? ? x ? 1 ① 若 0 ? ? ? ? ,则 sin ? x ? ? ? ? ? ? ? 0 , ? x ? k? ( k ? Z ) 。 ?2? 2 ??2? 2?

x ? k (k ?Z ) 。结合 x ??0 ,? ? 知, x ? 0 ,1,2,3,4,5,6。 2

经检验, x ? 0 ,2,4,6 符合要求。 ② 若
1 ?? x ? 1? 1 ? x ? 。 ? ? ? ? 1 ,则 sin ? x ? ? ? ? ? ? ? 1 , ? x ? 2k? ? ? ( k ? Z ) 2 2 ?2? ??2? 2?



1 1 5 9 x ? 2k ? ( k ? Z ) 。结合 x ??0 ,? ? 知, x ? , , 。 2 2 2 2 2 1 5 9 , , 均不符合要求。 2 2 2

经检验, x ?

∴ 符合条件的 x 为 0,2,4,6,它们的和为 12。
) 8. 已知 f ( x) 为 R 上增函数, 且对任意 x ? R , 都有 f ? f ( x) ? 3x ? ? 4 , f 2 ? 则 ( ? ?



【答案】 10 【解答】依题意, f ( x) ? 3x 为常数。设 f ( x) ? 3x ? m ,则 f (m) ? 4 , f ( x) ? 3x ? m 。 ∴ ∴
3m ? m ? 4 , 3m ? m ? 4 ? 0 。易知方程 3m ? m ? 4 ? 0 有唯一解 m ? 1 。
x f ( x )? 3? , f (2) ? 32 ? 1 ? 10 。 1

9.已知集合 A 的元素都是整数,其中最小的为 1,最大的为 200。且除 1 以外, A 中每 一个数都等于 A 中某两个数(可以相同)的和。则 A 的最小值为 表示集合 A 中元素的个数)
7

。 (符号 A

【答案】 10 【解答】易知集合 A ? ? 1,,,, , , , , , ? 符合要求。此时, A ? 10 。 2 3 5 10 20 40 80 160 200 下面说明 A ? 9 不符合要求。 假设集合 A ? ? 1,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 , ? , x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ? x7 符合要求。 x x x x x x x 200 则 x1 ? 1 ? 1 ? 2 , x2 ? 2 ? 2 ? 4 , x3 ? 8 , x4 ? 16 , x5 ? 32 , x6 ? 64 , x7 ? 128 。 由于 x6 ? x7 ? 64 ? 128 ? 192 ? 200 ,因此, 200 ? x7 ? x7 , x7 ? 100 。 同理,由 x5 ? x6 ? 32 ? 64 ? 96 ? 100 ,知, x7 ? 100 ? x6 ? x6 , x6 ? 50 。 由 x4 ? x5 ? 16 ? 32 ? 48 ? 50 ,知, x6 ? 50 ? x5 ? x5 , x5 ? 25 。 由 x3 ? x4 ? 8 ? 16 ? 24 ? 25 ,知, x5 ? 25 ? x4 ? x4 , x4 ? ∴
25 与 x4 为整数矛盾。 2

A ? 9 不符合要求, A ? 9 。同理, A ? 8 也不符合要求。

因此, A 的最小值为 10。

? x ,若 x 为无理数 ? 10.已知函数 f ( x) ? ? q ? 1 ,则函数 f ( x) 在 q 若 其中 p , ? N * , p 、互质, ? q q 且 q p ? p , x ? p, ?
7 8 区间 ( , ) 上的最大值为 8 9



【答案】

16 17

7 8 a 7 8 ?( , ) ( a , ? ? N* ) 【解答】若 x 为有理数,且 x ? ( , ) 。设 x ? , 8 9 a?? 8 9



? 9a ? 8a ? 8? 7 a 8 ? ? 知, ? , 7? ? a ? 8? 。 8 a?? 9 7a ? 7? ? 8a ?

当 ? ? 1 时, a 不存在; 当 ? ? 2 时,存在唯一的 a ? 15 ,此时 x ?
15 16 , f ( x) ? 。 17 17 7? ? m ? 1 。 8? ? m

当 ? ? 3 时,设 a ? 7? ? m ,其中 1 ? m ? ? ? 1,且 m ? N * ,此时 f ( x ) ? ∵
1 6 7 ? m ? 1 ? ?m ? 1 7 ? ( ? ? 9 m ? ?( 8 ) ? 17) ? ? ? ?, 0 17 ??m 8 1 7? 8 m ) (? 1?7?(m 8 )
15 16 时, f ( x) 取最大值 。 17 17

∴ 若 x 为有理数,则 x ?

7 8 8 16 又 x 为无理数,且 x ? ( , ) 时, f ( x) ? x ? ? 。 8 9 9 17

8

7 8 16 综合以上可知, f ( x) 在区间 ( , ) 上的最大值为 。 8 9 17

二、解答题(共 5 小题,每小题 20 分,满分 100 分。要求写出解题过程) 11. 将各项均为正数的数列 ?an ? 排成如下所示的三角形数阵 (第 n 行有 n 个数, 同一行中, 下标小的数排在左边) bn 表示数阵中,第 n 行、第 1 列的数。已知数列 ?bn ? 为等比数列,且 。 从第 3 行开始,各行均构成公差为 d 的等差数列(第 3 行的 3 个数构成公差为 d 的等差数列; 第 4 行的 4 个数构成公差为 d 的等差数列,??) a1 ? 1 , a12 ? 17 , a18 ? 34 。 , (1)求数阵中第 m 行、第 n 列的数 A(m , ) (用 m 、 n 表示) 。 n (2)求 a2013 的值; (3)2013 是否在该数阵中?并说明理由。

a1 a2 a4 a7
? ? ? 【解答】 (1)设 ?bn ? 的公比为 q 。 依题意, a12 为数阵中第 5 行、第 2 列的数; a18 为数阵中第 6 行、第 3 列的数。 ∴ ∴ ∴

a3 a5 a6 a9
?

a8

a10
?

b1 ? 1 , bn ? qn ? 1 , a12 ? q4 ? d ? 17 , a18 ? q5 ? 2d ? 34 。
q ? 2 , d ? 1 , bn ? 2n ? 1 。

??………

5分

A( m,n ? mb ? ( n 1 ) d m ? 1 ) ? ? 2

? n。1 ?

…………………

10 分

(2)由 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 62 ? 1953 , 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 62 ? 63 ? 2016 , 2013 ? 1953 ? 60 知,

a2013 为数阵中第 63 行,第 60 列的数。


a2013 ? 262 ? 59 。

…………………

15 分

(3)假设 2013 为数阵中第 m 行、第 n 列的数。 ∵ 第 m 行中,最小的数为 2 m ? 1 ,最大的数为 2 m ? 1 ? m ? 1 , ∴
2 m ? 1 ? 2013 ? 2 m ? 1 ? m ? 1
m ?1 9

????? ① 。

由于 m ? 10 时, 2

? m ? 1 ? 2 ? 9 ? 512 ? 2013 ,因此 m ? 10 不符合①;

由于 m ? 11 时, 2 m ? 1 ? 210 ? 1024 ? 2013 ,因此 m ? 11 不符合①; ∴ 上述不等式①无正整数解。 ∴ 2013 不在该数阵中。 ………………… 20 分

9

12.已知 A 、 B 为抛物线 C : y 2 ? 4x 上的两个动点,点 A 在第一象限,点 B 在第四象限。

l1 、 l2 分别过点 A 、 B 且与抛物线 C 相切, P 为 l1 、 l2 的交点。
(1)若直线 AB 过抛物线 C 的焦点 F ,求证:动点 P 在一条定直线上,并求此直线方程; (2)设 C 、 D 为直线 l1 、 l2 与直线 x ? 4 的交点,求 △PCD 面积的最小值。
2 y12 y2 y y 【解答】 (1)设 A( , 1 ) , B ( , 2 ) ( y1 ? 0 ? y2 ) 。 4 4

易知 l1 斜率存在,设为 k1 ,则 l1 方程为 y ? y1 ? k1 ( x ?

y12 )。 4

? y2 ? y ? y1 ? k1 ( x ? 1 ) 2 2 由? 4 得, k1 y ? 4 y ? 4 y1 ? k1 y1 ? 0 ? y2 ? 4x ?

?????



由直线 l1 与抛物线 C 相切,知 △ ? 16 ? 4k1 (4 y1 ? k1 y12 ) ? 0 。 于是, k1 ?
2 2 1 , l1 方程为 y ? x ? y1 。 y1 y1 2 2 1 x ? y2 。 y2 2
y1 y2 y1 ? y2 , ) 4 2

同理, l2 方程为 y ?

联立 l1 、 l2 方程可得点 P 坐标为 P (
k AB ?

……………………

5分



y1 ? y2 4 y2 4 ? , AB 方程为 y ? y1 ? ( x ? 1 ) , AB 过抛物线 C 的焦点 2 y12 y2 y1 ? y2 y1 ? y2 4 ? 4 4

F (1, 。 0)



? y1 ?

y2 4 (1 ? 1 ) , y1 y2 ? ?4 。 y1 ? y2 4
…………………… 10 分

∴ xP ?

y1 y2 ? ?1 ,点 P 在定直线 x ? ?1 上。 4

或解:设 A( x1 ,1 ) , B( x2 ,2 ) ,则 l1 方程为 y1 y ? 2( x ? x1 ) , l2 方程为 y2 y ? 2( x ? x2 ) 。 y y …………………… 设 P( x0 ,0 ) ,则 y1 y0 ? 2( x0 ? x1 ) , y2 y0 ? 2( x0 ? x2 ) 。 y ∴ 点 A( x1 ,1 ) , B( x2 ,2 ) 坐标满足方程 yy0 ? 2( x0 ? x) 。 y y ∴ 直线 AB 方程为 yy0 ? 2( x0 ? x) 。
0) 由直线 AB 过点 F (1, ,知 0 ? 2( x0 ? 1) 。

5分



x0 ? ?1 。点 P 在定直线 x ? ?1 上。

……………………

10 分

10

8 1 8 1 (2)由(1)知, C 、 D 的坐标分别为 C (4 , ? y1 ) 、 D(4 , ? y2 ) 。 y1 2 y2 2

∴ ∴

CD ? ( S△PCD ?

( y1 y 2? 16)( y 1 y )2 ? 8 1 8 1 。 ? y1 ) ? ( ? y2 ) ? y1 2 y2 2 2 y1 y2
…………………… 15 分

yy ( y y ? 16)( y ?1y ) 2 1 1 2 。 4? 1 2 ? 2 4 2 y1 y2

设 y1 y2 ? ?t 2 ( t ? 0 ) y1 ? y2 ? m , , 由 ( y1 ? y2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? m2 ? 4t 2 ? 0 知,m ? 2t , 当且仅当 y1 ? y2 ? 0 时等号成立。 ∴

S△P C D?

1 t2 ( t2 ? 1 6m ? ) m? 2t ? 1 26 ) ( 4? ? ? ? 2 2 2 4 ? t 2 1t6

t? 2 2t ( ? 2 16 t

2

1 6 ) t2 ? ( 2 1 6 ) 。 ? t8

设 f (t ) ? ∴

(t 2 ? 16)2 2(t 2 ? 16) ? 2t ? t ? (t 2 ? 16)2 (3t 2 ? 16)(t 2 ? 16) ? ,则 f ?(t ) ? 。 8t 2 8t 2 8t
? 4 3? 4 3 4 3 时, f ?(t ) ? 0 ;t ? 时, f ?(t ) ? 0 。 f (t ) 在区间 ? 0 , ? 上为减函数; ? 3 ? 3 3 ?

0?t ?

?4 3 ? , ? ? 上为增函数。 ? ? 在区间 ? ? 3 ?



t?

4 3 128 3 时, f (t ) 取最小值 。 3 9
16 4 4 128 3 , y1 ? 即 , y2 ? ? 时,△PCD 面积取最小值 。 3 9 3 3

∴ 当 y1 ? y2 ? 0 , y1 y2 ? ?

…………………

20 分

11

13.如图,在 △ABC 中,?B ? 90? ,它的内切圆分别与边 BC 、CA 、AB 相切于点 D 、E 、
F ,连接 AD ,与内切圆相交于另一点 P ,连接 PC 、 PE 、 PF 、 FD 、 ED 。

(1)求证:

FP EP ? ; FD ED

(2)若 PE∥BC ,求证: PC ? PF 。

【解答】 (1)由条件知, ?AFP ? ?ADF ,又 ?FAP ? ?FAD 。 ∴
△AFP ∽△ADF ,
AP FP ? 。 AF DF

…………………

5分

同理,由 ?AEP ? ?ADE , ?PAE ? ?EAD 知,
△AEP ∽△ADE ,
EP AP ? 。 DE AE

∵ ∴

AF ? AE ,

EP AP AP FP ? ? ? 。 DE AE AF DF FP EP ? 。 FD ED



………………… (2)∵ ∴ ∴ ∴
PE BC ∥ , ?PED ? ?EDC ? ?DPE ? ?CED 。

10 分

△DPE ∽△CDE 。
EP PD ? ED DC FP DP ? 。 FD DC

…………………

15 分

结合(1)可知, 又 ∴ ∴ 又 ∴

?PFD ? ?PDC ,

△PFD ∽△PDC , ?PCB ? ?PDF ? ?PFA 。
P 、 F 、 B 、 C 四点共圆。

?B ? 90? , ?FPC ? 90? , PC ? PF 。

…………………

20 分

12

14.已知 f ( x) ? 2 ln( x ? 1) ?

1 ? 1。 x( x ? 1)

(1)求 f ( x) 在区间 ?1, ?? 上的最小值; ? (2) 利用函数 f ( x) 的性质,求证:ln1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? (3)求证: ln 2 1 ? ln 2 2 ? ln 2 3 ? ? ? ln 2 n ? 【解答】 (1)∵ ∴ ∴
(n ? 1)2 ( n ? N * ,且 n ? 2 ) ; 2n

(n ? 1)4 ( n ? N * ,且 n ? 2 ) 。 4n 3

f ?( x) ?

2 2x ?1 2 x3 ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 (2 x3 ? 1) ? 2 x( x ? 1) 。 ? 2 ? ? x ? 1 x ( x ? 1)2 x 2 ( x ? 1)2 x 2 ( x ? 1)2

x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在区间 ?1, ?? 上为增函数。 ?

1 f ( x) 在区间 ?1, ?? 上的最小值为 f (1) ? 2 ln 2 ? 。 ? 2

……………

5分

(2)由(1)知,对任意的实数 x ? 1 , 2ln( x ? 1) ? ∴ 对任意的正整数 k , 2 ln(k ? 1) ?

1 1 ? 1 ? 2ln 2 ? ? 0 恒成立。 x( x ? 1) 2

1 1 1 ) 恒成立。 ? 1 ? 0 ,即 2 ln(k ? 1) ? 1 ? ( ? k k ?1 k (k ? 1)

……………… ∴ ∴
1 1 1 1 1 1 2 ln 2 ? 1 ? ( ? ) , 2 ln 3 ? 1 ? ( ? ) ,??, 2 ln n ? 1 ? ( ? )。 1 2 2 3 n ?1 n

10 分

1 1 ? 2ln 2 ? 2ln 3 ? ? ? 2ln n ? ? 1 ? ( ? ) 1 2 ?
2 ln ? 2 2 l? ? ? n3

1 1 ? ? ? ? ? 1 ? ( 2 ? 3) ? ?

1 1 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ( n ?1 ? n ) ? ?

? ?。 ?

∴ ∴

2 1 ( ? 1) n n2 ln ? ? ? 1 ? 1 ? n ( ) 。 n n

n ? N * ,且 n ? 2 时, ln1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ?

(n ? 1)2 。 2n

……………

15 分

(3)由柯西不等式知,

(ln 2 1 ? ln2 2 ? ln 2 3 ? ?? ln 2 n)(12 ? 12 ? 12 ? ?? 12 ) ? (ln1 ? ln 2 ? ln 3 ? ?? ln n)2 。
结合(2)的结论可知,
1 (n ? 1)4 (n ? 1) 4 ? 当 n ? N ,且 n ? 2 时, ln 1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? ? 。 n 4n 2 4n 3
*

2

2

2

2

………………

20 分

13

其中 a , , 为不超过 6 的正整数 ? 。x1 ,x2 , b c 15. 已知集合 P ? ? x x ? 73 ? a ? 7 2 ? b ? 7 ? c ,

x3 ,?, xn 为集合 P 中构成等差数列的 n 个元素。求 n 的最大值。
【解答】 (1)显然 1,2,3,4,5,6 这 6 个数在集合 P 中,且构成等差数列。 ………………… (2)下面证明集合 P 中任意 7 个不同的数都不能构成等差数列。用反证法。 设 x1 , x2 , x3 ,?, x7 为集合 P 中构成等差数列的 7 个不同的元素,其公差为 d ,d ? 0 。 由集合 P 中元素的特性知,集合 P 中任意一个元素都不是 7 的倍数。 ∴ 由抽屉原理知, x1 , x2 , x3 ,?, x7 这 7 个数中,存在 2 个数,它们被 7 除的余数 相同, 其差能被 7 整除。 xi ? x( i , ?? 1,,,,,, ? , ? j ) 设 能被 7 整除。 7 ( j ? i)d 。 则 j 2 3 4 5 6 7 i j ∴ 5分

7 d。

…………………

10 分

设 d ? 7m ( m 为正整数) , 设 x1 ? 73 ? a1 ? 72 ? a2 ? 7 ? a3 ( a1 , a2 , a3 为不超过 6 的正整数) 。 则 xi ? 73 ? a1 ? 72 ? a2 ? 7 ? a3 ? 7(i ?1)m ,其中 i ? 2 ,3,?,7。 ∵ ∴ ∵ ∴

x7 ? 73 ? 6 ? 72 ? 6 ? 7 ? 6 , x7 ? 73 ? 1? 72 ?1? 7 ?1 ? 7(7 ?1)m ,
1 ? m ? 6 ,即公差 d 只能为 7 ?1 , 7 ? 2 ,?, 7 ? 6 。 1 ? m ? 6 , (7 , ) ? 1 。 m

…………………

15 分

m , 2m ,?, 6m 除以 7 以后的余数各不相同,分别为 1,2,?,6 中的一个。

因此, 存在 k ?? 1,,,,, ? , 使得 a2 ? km 能被 7 整除, a2 ?k ? t7 ( t 为正整数) 设 。 m 2 3 4 5 6 则 xk ? 1 ? 73 ? a1 ? 72 ? a2 ? 7 ? a3 ? 7km ? 73 ? a1 ? 72 ? (a2 ? km) ? 7 ? a3 ? 73 ? (a1 ? t ) ? 72 ? a3 这样, xk ? 1 的 7 进制表示中,7 的系数(即从左到右第 2 位)为 0,与 xk ? 1 ? P 矛盾。 ∴ 集合 P 中任意 7 个不同的数都不能构成等差数列。 ∴

n 的最大值为 6。

…………………

20 分

14


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