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3.1.5空间向量运算的坐标表示教案


高二数学教学设计——3.1.5 空间向量运算的坐标表示 设计人:董永兴 教材分析:
引入空间直角坐标系,为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点,为 培养学生思维提供了更广阔的空间,在学生学习了空间向量的几何形式和运算, 以及基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律, 是平面向量的 坐标运算在空间推广和拓展, 为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方

法基础。

学情分析:
学生在必修 2 中学习了立体几何初步以及在必修 4 中学习了平面向量的基础 上学习空间向量及其运算, 并利用空间向量解决立体几何中直线、平面位置关系 的问题, 本节课由平面向量推广到空间向量这一过程中,应注意维数增加对学生 带来的影响,让学生感受数学概念推广可能带来很多更好的性质。

教学方法:
根据教材的特点和学生的实际情况, 本节课采用 “启发探究” 式的教学方法: 从教材内容来看,空间向量的坐标运算无论是结构还是内容都与平面向量相似, 因此在教学中运用类比作为思维的主线进行教学, 从空间向量的坐标运算问题提 出到空间直角坐标系的建立, 从向量坐标的确定到向量坐标运算规律的探索、证 明和记忆都与平面向量作类比, 让学生经历向量坐标运算由平面向量向空间向量 的推广的全过程,充分体会数学知识的发生和发展过程。

学习目标:
1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。 2、会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直。 3、掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式;并会应 用这些知识解决简单的立体几何问题。

过程与方法:
让学生经历向量坐标运算由平面向空间向量推广的全过程, 充分体会数学知 识的发生和发展过程。

情感态度与价值观:
通过空间直角坐标系的建立和空间向量的坐标运算规律的探索, 发展学生的 空间想象能力、探索能力,提高学生的科学思维素养。

学习重点:
1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。 2、掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式;

学习难点:引入空间直角坐标系后,应用空间向量解决简单的立体几何问题。
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教学过程: 一、情境引入
1.一块巨石从山顶坠落,挡住了前面的路,抢修队员紧急赶到,从三个方向拉巨 石,这三个力为 F1 、 F2 、 F3 ,它们两两垂直,且 F1 ? 3000N 、 F2 ? 2000N 、

F3 ? 2000 3N .若以 F1 、 F2 、 F3 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空
间直角坐标系, 巨石受合力的坐标是什么?怎样求巨石受到的合力的大小?这就 需要用到空间向量运算的坐标表示。

2.复习回顾 平面向量坐标运算 已知 a =( x1 , y1 ), b =( x2 , y2 ),写出下列向量的坐标表示
? ? a + b =( x1 + x2 , y1 + y2 ) ? ? a - b =( x1 - x2 , y1 - y2 ) ? ? a =( ? x1 , ? y1 ) ? ? a ? b = x1x2 ? y1 y2 ? ? a // b ? x1 y2 ? x2 y1 =0
? ? a ⊥ b ? x1x2 ? y1 y2 =0

?

?

设 a ? ( x, y) ,则 | a |2 ? x2 ? y2 或 | a |? x 2 ? y 2 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、
? 2 2 ( x2 , y2 ) ,那么 | a |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) (平面内两点间的距离公式)

?

?

?

?

? ? a ?b cos? = ? ? ? | a |?| b |

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2

2

2

(0 ?? ? ? )

二、新课讲授: 我们知道,向量 a 在平面上可用有序实数对(x,y)表示,在空间 则可用有序实数组 ?x, y, z? 表示。类似平面向量的坐标运算,我们可以
2

?

得出空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示。 空间向量的直角坐标运算: ? ? 1.设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 ? ? ⑴ a + b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ? ? ⑵ a - b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ? ⑶λ a = (?a1 , ?a2 , ?a3 ) (? ? R) ; ? ? ⑷ a · b = a1b1 ? a2b2 ? a3b3 . ? ? ? ? ? ? ? 上述运算法则怎样证明呢? (将 a = a1 i + a2 j + a3 k 和 b = b1 i + b2 j + ? b3 k 代入即可) 2.两个向量共线或垂直的判定:设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴ a // b ? a =λ b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 , (? ? R) ? ⑵ a ⊥ b ? a · b =0 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 练习 1:已知 a ? ? ?3,2,5? , b ? ?1,5, ?1? ,求: ? ? ? ? ? ? ? ⑴ a +b ⑵3 a - b ⑶6 a ⑷a ·b ? ? ? ? 练习 2:已知 a ? ? 2, ?1,3? , b ? ? ?4,2, x ? ,且 a ? b ,则 x= . ? ? ? ?? ? ? ? 练习 3: 已知 a ? ?1,2, ? y ? , b ? ? x,1,2? , 且 (a ? 2b) //(2a ? b) ,则( ) A. C.
1 x ? , y ?1 3

?

?

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?

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?

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a1 a2 a3 ? ? b1 b2 b3



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B.
1 4

1 x ? , y ? ?4 2
x ? 1, y ? ?1

x ? 2, y ? ?

D.

3.向量的模:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,则|a|= a12 ? a22 ? a32 利用向量的长度公式,我们还可以得出空间两点间的距离公式: 4.空间两点间的距离公式: 在空间直角坐标系中,已知点 A(a1, b1, c1 ), B(a2 , b2 , c2 ) ,则 A,B 两点间的 距离

??? ? d AB ? AB ? (a2 ? a1 )2 ? (b2 ? b1 )2 ? (c2 ? c1 )2

5、两个向量夹角公式 ? ? ? ? a ?b a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 cos ? a, b ?? ? ? ? | a |?| b | a12 ? a2 2 ? a32 ? b12 ? b2 2 ? b32 这个公式成为两个向量的夹角公式.利用这个公式,我们可以求 出两个向量的夹角,并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关
3

系: ? ? ? ? 当 cos< a 、 b >=1 时, a 与 b 同向; ? ? ? ? 当 cos< a 、 b >=-1 时, a 与 b 反向; ? ? ? ? 当 cos< a 、 b >=0 时, a ⊥ b . ??? ? ??? ? 练习: 已知 A ? ? 3,5, ?7 ? , B ? ? ?2,4,3? ,求 AB, BA, 线段 AB 的中点坐标及 线段 AB 的长度. 三、典型例题 四、课堂小结 1.基本知识: (1)空间向量坐标表示及其运算 (2)向量的长度公式与两点间的距离公式; (3)求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系 中找出两个向量的坐标,然后再用公式计算. 2.思想方法: 用向量计算或证明几何问题时, 可以先建立直角坐标系, 然后把向量、 点坐标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。 五.巩固练习 课本 P97 2、3 题和 P98 7 题。 六、作业 课本 P98 5、8、10 题。

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