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甘肃省天水市第三中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


天水三中 2015-2016 学年度第二学期高二级期中考试 数 学 试 题(文科)
考试时间:120 分钟 第 I 卷(选择题) 一、选择题(共 12 题,每题 5 分,共 60 分) 1. i 为虚数单位,则 (1 ? i)(1 ? i) ? A、2 i B、 -2 i C、2 ) B.若 a ? c 2 ? b ? c 2 ,则 a ? b D.若 a ? b ?

0 , c ? d ,则 a ? c ? b ? d
x x

( D、 -2



2.下列命题正确的是(

1 1 A.若 a ? b ,则 ? a b 2 2 C.若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c
x

?1? ?1? 3.对于三段论“因为指数函数 y ? a 是增函数,而 y ? ? ? 是指数函数,所以 y ? ? ? 是 ?2? ?2?
增函数”,下列说法正确的是( A. 是一个正确的推理 C. 小前提错误导致结论错误 4.下列命题中正确的是( ) B.演绎推理的结论一定是正确的 ) B. 大前提错误导致结论错误 D. 推理形式错误导致结论错误

A.类比推理是一般到特殊的推理 C.合情推理的结论一定是正确的

D.演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定是正确的

5.极坐标方 程 ? ? cos( A.双曲线
6

?
4

? ? ) 表示的曲线是(

) D.圆 ) D.c<a<b

B.椭圆
0.7

C.抛物线

6.三个数 a ? 0.7 , b ? 6 A.a<c<b 7.若 f(n)=1 ? A. 1

, c ? log 0.7 6 的大小关系为( C.c<b<a

B.a<b<c

1 1 1 ? ? ... ? (n ? N ? ), 则当n ? 1时,f (n) ? ( 2 3 2n ?1 1 1 1 B. C. 1 ? ? D.都不正确 3 2 3
) C. ?5, ??? ? ? ??, ?1?
3 3

)

8.不等式 x ? 2 ? 3 的解集为( A. ? ?1,5? B. ? ?5,1?

D. ? ??, ?5? ??1, ??? )

9.用反证法证明命题"如果 a>b,那么 a >b "时,下列假设正确的是( A、a <b
3 3

B、a <b 或 a =b

3

3

3

3

1

C、a <b 且 a =b

3

3

3

3

D、a >b
^

3

3

10. (实验班)线性回归方程表示的直线y=a+bx, 必定过( A.(0,0)点
2

)

B.( , ) 点

C.(0, )点

D.( ,0)点 )

11.经过对 K 的统计量的研究,得到了若干个临界值,当 K 2 ? 3.841 时,我们( A.有 95%的把握认为 A 与 B 有关. C.没有充分理由说事件 A 与 B 有关 12.已知 x>0,y>0,且 2x+y=1,则 A.6 B.4 C.3+2 B.有 99%的把握认为 A 与 B 有关

D.有 97.5%的把握认 为 A 与 B 有关 的最小值是( )

D.3+4

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为____________. 14.观察下列各式:
1 ? 12 ,
2 ? 3 ? 4 ? 32 ,

3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 , 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 7 2 ,

?????? 第 n 个式子是 15.已知 a ? 0.32 , b ? 20.3 , c ? log 0.3 2 ,则这三个数从小到大 排列为 .... 16. 13、复数z ?
? 3?i 则 z ? ________. 1? i

. .

三、解答题(题型注释) 17. (10 分)已知复数 z 满足: | z |? 5 且 (3 ? 4i ) ? z 是纯虚数,求复数 z .

18. (12 分)求证: a ? b ? c ? ab ? ac ? bc ;
2 2 2

19. (12 分)设 函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 4 | . (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若 f ( x) ? 3| x ? 4 |? m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.

2

?? ?? 20. (12 分)在极坐标系中,已知三点 M ? 、P ? ? 2,? ? 、N(2,0) ? 2 3, ? .
? 3? ? 6?

(1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标; (2)判断 M、N、P 三点是否在一 条直线上.

21. (12 分)试比较下列各式的大小(不写过程) (1) 1 ? 2 与 2 ? 3 (2) 2 ? 3 与 3 ? 4 通过上式请你推测出 n ? 1 ? n 与 n ? n ? 1(n ? 2 且 n ? N ) 的大小,并用分析法加以证明。

22. (12 分)在边长是 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, E , F 分别为 AB, AC 的中点. 1

D1

C

A (1)求 EF 的长; (2)证明: EF // 平面 AA1D1D ; (3)证明: EF ? 平面 ACD . 1

3

数学参考答案(文) 1.C 【解析】解:因为 (1 ? i)(1 ? i) ? 2,选 C 2.B 【解析】

1 1 ? ,比如 a ? 1, b ? ?1 ;有 a ? c 2 ? b ? c 2 ,说明 c ? 0 ,所以有 a ? b ; a b 有 a ? b 推不出 a ? c 2 ? b ? c 2 ,因为 c 可能为 0 ;由 a ? b ? 0 , c ? d ,推不出 a ? c ? b ? d ,因为 c , d 的符号
试题分析:由 a ? b ,推不出 不确定. 考点:本小题主要考查不等式的性质和实数大小的比较等,考查学生的推理能力. 点评:本考点的内容经常与命题 、充要条件等结合在一起进行考查,题型主要以选择题、填空题为主,难 度不大,属于中低档题. 3.B 【解析】解:因为大前提:因为指数函数 y ? a x 是增函数是错误的,因此三段论的结论错误,选 B 4.D. 【解析】类比推理是特殊到特殊的推理,A 错;演绎推理的结论在大前提和小前提以及推理形式都正确的前 提下,得到的结论一定是正确的.B 错。D 对。合情推理得到的结论不一定正确。 5.D 【解析】 试 题 分 析 : 方 程 ? ? cos(

?

? 2 2 ? ? ) 可 化 为 ? 2 ? ? cos( ? ? ) ? ? cos ? ? ? sin ? , 又 因 为 4 4 2 2
2 2
2 2

? 2? ? 2? 1 2 2 x ? ? y ? x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以 x ? y ? x? y ? 0 即? ? ? ? ? ,所以所给方程 ? ? 4 ? 4 ? 4 2 2 ? ? ? ?
表示圆,故选 D. 考点:圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化. 【方法点晴】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,属于基础题.判断曲线的极坐标方程形状时,

? ? ) 利用两角 4 2 2 2 差的余弦公式展开,得到极角的正弦和余弦,然后方程两边同乘以极径 ? ,左边 ? ? x ? y ,这样就达
通常依据关系 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 把极坐标方程化成直角坐标方程, 本题中需要把 cos( 到了化成直角坐标方程的目的,曲线形状就一目了然了. 6.D 【解析】
6 试题分析:令 y1 ? 0.7 x , y2 ? 6 x , y3 ? log0.7 x, 当 x ? 6 时, y1 ? 0.7 ? a 所以 0 ? a ? 1. 当 x ? 0.7 时,

?

y2 ? 60.7 ? b, 所以 b ? 1. 当 x ? 6 时, y3 ? log0.7 6 ? c, 所以 c ? 0, 综上 c ? a ? b, 故选 D.
考点:1、指数函数;2、对数函数. 【方法点晴】 本题主要考查的是 比较数的大小, 属于容易题, 这里面用到的方法为中间量比较法, 即比较 a, b,c 与 0 和 1 的大小关系,由于 c<0,a<1 且 b>1,所以很容易看出 a,b,c 的大小关系,比较两个数的 大小关系还有作差法,作商法,单调性法,直接求值等. 7.C 【解析】解:因为 f(n)=1 ? 1 ? 1 ? ... ?

2 3

1 (n ? N ? ), 则当n ? 1时,f (n) ? 1? 1 ? 1 ,选 C 2n ?1 2 3

8.A 【解析】 9.B 【解析】解:因为反证法证明命题时,就是对结论加以否定即可。 3 3 3 3 3 3 那么用反证法证明命题"如果 a>b,那么 a >b "时,应该假设为 a <b 或 a =b 选B 10.B 【解析】略



4

11.A. 【解析】 考点:独立性检验的应用. 2 分析:根据所给的观测值,同临界值表中的临界值进行比 较,根据 P( K > 3.841 ) =0.05 ,得到我们有 1-0.05=95%的把握认为 A 与 B 有关系. 2 解答:解:∵K >3.841, 2 P(K >3.841)=0.05 ∴我们有 1-0.05=95%的把握认为 A 与 B 有关系, 故选 A. 12.C 【解析】 试题分析:由题意可得 =( ) (2x+y)=3+ + ,由基本不等式求最值可得.

解:∵x>0,y>0,且 2x+y=1, ∴ =3+ + =( ≥3+2 ) (2x+y)
y 2x ? =3+2 x y

当且仅当 =

即 x=

且 y=1+

时取等号,

故选:C 考点:基本不等式. 13. (2, 2k? ?

2? ), (k ? Z ) 3
2 2 2

(? 1)? ( 3) ? 4,? ? 2.tan ? ? 【解析】解:因为 ? ?
2

3 2? ? ? 3,? ? 2k? ? .(k ? Z ) ?1 3

14. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 3n ? 2 ? (2n ? 1) 【解析】 试题分析: 观察 可知, 第 1 行左 端 1 个数, 第 2 行左端 3 个数, 第 3 行左端 5 个数, 第 4 行左端 7 个数. . . . . . , 按照此规律,第 n 行左端应为 2n-1 个数,同时第 n 行的第一个数为 n,且从第 1 行开始,末尾数构成以 1 为首项,3 为公差的等差数列,则第 n 行最后一个数为 1+3(n-1)=3n-2;而等号右边为奇数 2n-1 的平方, 所以根据观察推出第 n 个式子为: n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 3n ? 2 ? (2n ? 1) 考点:推理与证明. 15. c ? a ? b 【解析】 试题分析: a ? 0.3 ? ? 0,1?,b ? 2
2 0.3
2

? 1, c ? log0.3 2 ? 0? c ? a ? b

考点:比较大小 16.2-i
? 3 ? i (3 ? i )(1 ? i ) 4 ? 2i = = =2+i 则 z ? 2 ? i 1? i 2 2 17. z ? 4 ? 3i 或者 z ? ?4 ? 3i .

【解析】解:因为 复数z ?

【解析】 试题分析:求复数 z ,从复数实数化的方法考虑,即求复数 z 的实部和虚部,这样就必须建立关于实部和虚 部的方程组,而题目中恰好提供了建立方程的两个条件,只要设 z ? x ? yi ( x, y ? R ) ,等价转化一下, 即可解决问题. 试题解析:设 z ? x ? yi ( x, y ? R ) 1分

? x2 ? y 2 ? 25 ① ? | z |? 5 又? (3 ? 4i) ? z ? (3 ? 4i) ? ( x ? yi) ? (3x ? 4 y) ? (4 x ? 3 y)i 是纯虚数 ?3x ? 4 y ? 0 ,且 4 x ? 3 y ? 0 ②

3分 5分 7分
5

?x ? 4 ? x ? ?4 或者 ? ?y ? 3 ? y ? ?3 ? z ? 4 ? 3i 或者 z ? ?4 ? 3i
解①②可得 ? 考点:复数的概念及运算
2 2 2

11 分 12 分
2

18. (1)根据均值不等式来得到证明,根据 a 2 ? b 2 ? 2ab , a ? c ? 2ac , b ? c ? 2bc 相加得到。 (2)利用分析法两边平方,结合有理数的大小来判定。 【解析】 试题分析:证明: (1) ∵ a 2 ? b 2 ? 2ab , a ? c ? 2ac , b ? c ? 2bc 将此三式相加得
2 2 2 2

2(a2 ? b2 ? c2 ) ? 2ab ? 2ac ? 2bc ,∴原式成立
2

5分
2

(2)要证原不等式成立,只需证( 6 + 7 ) >(2 2 + 5 )

即证 2 42 ? 2 40 。∵上式显然成立, ∴原不等式成立. 10 分 考点:分析法和综合法 点评:主要是考查了不等式证明,运用分析法和综合法来加以证明,属于基础题。 19. (1) {x | x ? 1或x ? ?5} (2) ( ??,9] 【解析】 试题分析: (1)解含绝对值不等式,一般利用绝对值定义,分段讨论求解:当 x ? 4 时,

1 1 x?? ? ? x? 4 f ( x) ? 2 x? 1? (x ? 4 )? x ? 5? 0 2 2 时, ,当 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 4 ? 3x ? 3 ? 0 ,当
f ( x) ? ? x ? 5 ? 0 ,最后求三段解集的并集得原不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? ?5} .(2)不等式恒成立问
题 , 一 般 转 化 为 求 对 应 函 数 最 值 问 题 : m ? f ( x) ? 3 | x ? 4 | 的 最 小 值 , 而

f ( x) ? 3| x ? 4 |?| 2 x ? 1| ?2 | x ? 4 |?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 8) |? 9 ,因此 m ? 9
试题解析:解: (1)当 x ? 4 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ? ( x ? 4) ? x ? 5 ? 0 , 得 x ? ?5 ,所以 x ? 4 成立;

1 ?x?4 当 2 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 4 ? 3x ? 3 ? 0 , 得 x ? 1 ,所以 1 ? x ? 4 成立; 1 x?? 2 时, f ( x) ? ? x ? 5 ? 0 ,得 x ? ?5 ,所以 x ? ?5 成立. 当 ?
综上,原不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? ?5} . (2)令 F ( x) ? f ( x) ? 3| x ? 4 |?| 2 x ?1| ?2 | x ? 4 | ?| 2 x ?1 ?(2 x ?8) | ? 9 ,

1 ?x?4 当 2 时等号成立. F ( x ) 即有 的最小值为 9, ?
所以 m ? 9 . 即 m 的取值范围为 ( ??,9] . 考点:解含绝对值不等式,不等式恒成立 20. (1)M 的直角坐标为(1,- 3 ); N 的直角坐标为(2,0) ;P 的直角坐标为(3, 3 ) , (2)M、N、P 三点在一条直线上 【解析】 (1)由公式 ?
?x ? ? cos? ,得 M 的直角坐标为(1,- 3 ); ? y ? ? sin ?

N 的直角坐标为(2,0) ;P 的直角坐标为(3, 3 ). (2)∵kMN=
3 3 ?0 = 3 ,kNP= = 3. 2 ?1 3? 2
6

∴kMN=kNP,∴M、N、P 三点在一条直线上. 21.(1) 1 ?

2 < 2 ? 3 (2)

2 ? 3< 3 ? 4
1 1 进 ? 3? 4 ?? 2? 3 3? 4
(2 分) (4 分)

【解析】 (1)可以直接作差比较. (2) 可以通过分子有理化 2 ? 3 ? ? 行比较.

2 < 2 ? 3 (2) 2 ? 3 < 3 ? 4 猜想: n ? 1 ? n < n ? n ? 1(n ? 2 且 n ? N )
证明:要证: n ? 1 ? n < n ? n ? 1

(1) 1 ?

即证: ( n ? 1 ? n ) 2 > ( n ? n ? 1)2 整理得: 2n-1>2 n 2 ? n 平

整理得: n 2 ? n > n 2 ? n ? 1 即证:( n 2 ? n ) 2 > ( n 2 ? n ? 1) 2 方并整理得:1>0而此不等式一定成立,故猜想正确。 22. (1) 2 ; (2)见解析; (3)见解析 【解析】

试题分析: (1)建立适当的空间直角坐标系,求出向量 EF 的坐标表示,代入长度公式求解; (2)求出 AD1 的坐标表示,关键坐标关系判断 EF ? AD1 ,再利用线面平行的判定定理证明; (3)利用 CD ? EF ? 0, EF ? A1D ? 0 ,可证直线 EF 垂直于 CD、A1D,再利用线面垂直的判定定理证明. 试题解析: (1)如图建立空间直角坐标系 z

??? ?

???? ?

??? ? ??? ?

??? ? ???? ?

y

x

A1 ? (2,0, 2) , A ? (2,0,0) , B ? (2, 2,0) , C ? (0, 2,0) , D1 ? (0,0, 2)

E ? (2,1, 0) , F ? (1,1,1) ??? ? EF ? (?1,0,1) ,| EF |? 2 ???? ? (2)? AD1 ? (?2,0, 2) ? AD1 ? EF ,而 EF ? 面ADD1A1 ? EF / / 平面 AA1D1D ??? ??? ? ??? ???? ? (3)?EF ? CD ? 0, EF ? A1D=0 ?EF ? CD, EF ? A1D 又 CD ? A1D=D ? EF ? 平面 ACD . 1
考点:向量方法证明线、面的位置关系定理;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.

7


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