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河南省安阳一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


河南省安阳一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题(每题 5 分共 60 分) 2 1. (5 分)不等式 x +2x﹣3≥0 的解集为() A.{x|x≤﹣1 或 x≥3} B.{x|﹣1≤x≤3} C.{x|x≤﹣3 或 x≥1} D.{x|﹣3≤x≤1} 2. (5 分)若 a>b>c,则下列不等式成立的是() A. > B. <

C.ac>bc D.ac<bc

3. (5 分) 在各项均为正数的等比数列{bn}中,若 b7?b8=3,则 log3b1+log3b2+…+log3b14 等于 () A.5 B. 6 C. 8 D.7 4. (5 分)数列{an}中,对任意自然数 n,a1+a2+…+a n=2 ﹣1,则 A.(2 ﹣1)
n 2 n

+

+…+
n

等于()

B. (2 ﹣1)

n

2

C.4 ﹣1

n

D. (4 ﹣1)

5. (5 分)在△ ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是() A.b=10,A=45°,C=60° B. a=6,c=5,B=60° C. a=7,b=5,A=60° D.a=14,b=16,A=45° 6. (5 分)在△ ABC 中,1+cosA= A.直角三角形 C. 正三角形 ,则三角形的形状为() B. 等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 =()

7. (5 分)已知 a,b,c 彼此不等,并且它们的倒数成等差数列,则 A. B. ﹣
2

C.
*

D.﹣

8. (5 分)已知数列{an}的通项公式是 an=n +λn,且对任意的 n∈N ,不等式 an<an+1 恒成立, 则实数 λ 的取值范围是() A.(﹣ ,+∞) B.(0,+∞) C.(﹣2,+∞) D.(﹣3,+∞)
*

9. (5 分)已知数列{an},a1=1,前 n 项和为 Sn,且点 P(an,an+1) (n∈N )在直线 x﹣y+1=0 上,则 A. B. =() C. D.

10. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a +c ﹣b )tanB= 则角 B 的值为() A. B. C. 或 D. 或

2

2

2

ac,

11. (5 分)若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件

,则实数 m 的最大

值为() A.﹣1 B. 1 C. D.2

12. (5 分)设 a、b、c>0,若(a+b+c) ( + A.1 B. 2

)≥k 恒成立,则 k 的最大值是() C. 3 D.4

二、填空题(每题 5 分共 20 分) 13. (5 分)在△ ABC 中,已知 B=45°,c= ,b= ,则 A 的值是.

14. (5 分)在△ ABC 中,已知 a﹣b=4,a+c=2b,且最大角为 120°,则这个三角形的最长边为. 15. (5 分)把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表(每行比上一行多一 个数) :设 ai,j(i、j∈N )是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数, 如 a4,2=8.若 ai,j=2009,则 i,j 的值分别为, .
*

16. (5 分){an}是由实数构成的无穷等比数列,Sn=a1+a2+…+an,关于数列{Sn},给出下列命 题: (1)数列{Sn}中任意一项均不为 0; (2)数列{Sn}中必有一项为 0; (3)数列{Sn}中或者任意一项均不为 0,或者有无穷多项为 0; (4)数列{Sn}中一定不可能出现 Sn=Sn+2; (5)数列{Sn}中一定不可能出现 Sn=Sn+3; 则其中正确的命题是. (把正确命题的序号都填上)

三、解答题(共 70 分) 2 17. (10 分) (1)已知 f(x)=﹣3x +a(6﹣a)x+6.解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)设 x、y>0,x+y+xy=2,求 x+y 的最小值. 18. (12 分)已知数列{an}是公差为 2 的等差数列,它的前 n 项和为 Sn,且 a1+1,a3+1,a7+1 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)记数列{ }的前 n 项和为 Tn 求证:Tn< .

19. (12 分)已知△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 (1)求 A 的大小; (2)若 a= ,b+c=3,求 b、c 的值. 20. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an= (3n+Sn) 对一切正整数 n 成立 (Ⅰ)求出数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Bn.



21. (12 分)如图,某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西 60°的方向 以每小时 6 千米的速度步行了 1 分钟以后,在点 D 处望见塔的底端 B 在东北方向上,已知沿 途塔的仰角∠AEB=α,α 的最大值为 60°. (1)求该人沿南偏西 60°的方向走到仰角 α 最大时,走了几分钟; (2)求塔的高 AB.

22. (12 分)已知正项数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满足 (Ⅰ)求证:{ (Ⅱ)记数列{ 实数 a 的取值范围. }为等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(n≥2) .

}的前 n 项和为 Tn,若对任意的 n∈N ,不等式 4Tn<a ﹣a 恒成立,求

*

2

河南省安阳一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每题 5 分共 60 分) 2 1. (5 分)不等式 x +2x﹣3≥0 的解集为() A.{x|x≤﹣1 或 x≥3} B.{x|﹣1≤x≤3} C.{x|x≤﹣3 或 x≥1} D.{x|﹣3≤x≤1} 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 把不等式的左边分解因式后,根据两数相乘的取符号法则:同号得正,异号得负, 转化为两个一元一次不等式组,求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集. 解答: 解:不等式 x +2x﹣3≥0, 因式分解得: (x+3) (x﹣1)≥0, 解得:x≥﹣或 x≤﹣3, 则原不等式的解集为{x|x≥1 或 x≤﹣3}. 故选 C. 点评: 此题考查了一元二次不等式的解法,考查了转化的数学思想,是一道基础题. 2. (5 分)若 a>b>c,则下列不等式成立的是() A. > B. < C.ac>bc D.ac<bc
2

考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用不等式的基本性质即可得出. 解答: 解:∵a>b>c,∴a﹣c>b﹣c>0,∴ 故选 B. 点评: 熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键. 3. (5 分) 在各项均为正数的等比数列{bn}中,若 b7?b8=3,则 log3b1+log3b2+…+log3b14 等于 () A.5 B. 6 C. 8 D.7 考点: 数列与函数的综合. 分析: 根据等比中项的性质 可知 b1b14=b2b13=b3b12=…=b7?b8=3,代入 log3b1+log3b2+…+log3b14,根据对数的运算法则即可求的答案. 解答: 解:∵数列{bn}为等比数列 ∴b1b14=b2b13=b3b12=…=b7?b8=3, 7 ∴log3b1+log3b2+…+log3b14=log3 (b1b14b2b13…b7?b8)=log33 =7 .

故选 D. 点评: 本题考查等比数列的性质和对数的运算性质,等比中项的性质.若 m、n、p、q∈N , 且 m+n=p+q,则 aman=apaq.是一个基础题, 4. (5 分)数列{an}中,对任意自然数 n,a1+a2+…+an=2 ﹣1,则 A.(2 ﹣1)
n 2 n *

+

+…+
n

等于()

B. (2 ﹣1)

n

2

C.4 ﹣1

n

D. (4 ﹣1)

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意易得 an=2 ,可判{an }是 1 为首项,4 为公比的等比数列,由等比数列的求 和公式可得. 1 解答: 解:当 n=1 时,可得 a1=2 ﹣1=1, 当 n≥2 时,an=(a1+a2+…+an)﹣(a1+a2+…+an﹣1) n n﹣1 n﹣1 =(2 ﹣1)﹣(2 ﹣1)=2 , n﹣1 当 n=1 时上式也适合,∴an=2 , ∴
2 n﹣1 2

=

=4

∴{an }是 1 为首项,4 为公比的等比数列, ∴ + +…+ = = (4 ﹣1)
n

故选:D 点评: 本题考查等比数列的求和公式,涉及等比数列的判定,属基础题. 5. (5 分)在△ ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是() A.b=10,A=45°,C=60° B. a=6,c=5,B=60° C. a=7,b=5,A=60° D.a=14,b=16,A=45° 考点: 解三角形. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 原式各项利用正弦定理或余弦定理,利用三角形的三边关系判断即可得到结果. 解答: 解:A.B=75°,由正弦定理可得 B.利用余弦定理可得,有唯一解; C.由正弦定理可得 ,∴sinB= ,∵B<A,∴有唯一解; ,∴a 唯一;

D.由正弦定理可知,有两解. 故选:D. 点评: 此题考 查了正弦定理,特殊角的三角函数值,以及三角形的边角关系,熟练掌握正 弦定理是解本题的关键.

6. (5 分)在△ ABC 中,1+cosA= A.直角三角形 C. 正三角形

,则三角形的形状为() B. 等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 已知等式先利用正弦定理,余弦定理化简,整理后利用勾股定理的逆定理判断即可 得到结果. 解答: 解:∵1+cosA= ∴cosA= , ,


2

= ,
2 2 2 2 2 2

去分母得:b +c ﹣a =2b ,即 a +b =c , 则△ ABC 为直角三角形. 故选:A 点评: 题考查了正弦、余弦定理,以及勾股定理的逆定理,熟练掌握定理是解本题的关键.

7. (5 分)已知 a,b,c 彼此不等,并且它们的倒数成等差数列,则 A. B. ﹣ C.

=()

D.﹣

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 此可得 =﹣ . = , = ,即 ab+bc=2ac,再化简可得 c(a﹣b)=a(b﹣c) ,由

解答: 解:∵已知 a,b,c 彼此不等,并且它们的倒数成等差数列,∴

∴b(a+c)=2ac,即 ab+bc=2ac,化简可得 ac﹣bc=ab﹣ac,即 c(a﹣b)=a(b﹣c) , ∴ =﹣ ,

故选 B. 点评: 本题主要考查等差数列的性质的应用,式子的变形是解题的关键和难点,属于中档 题. 8. (5 分)已知数列{an}的通项公式是 an=n +λn,且对任意的 n∈N ,不等式 an<an+1 恒成立, 则实数 λ 的取值范围是()
2 *

A.(﹣ ,+∞) (﹣3,+∞)

B.

(0,+∞)

C. (﹣2,+∞) D.

考点: 数列的函数特性. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: 根据对任意的 n∈N ,不等式 an<an+1 恒成立,判断单调性,结合对称轴大小判断, 注意 n∈N 的特殊性, 2 解答: 解:∵数列{an}的通项公式是 an=n +λn. ∴关于 n 的函数,对称轴 n= ∵对任意的 n∈N ,不等式 an<an+1 恒成立 ∴数列{an}为单调 递增数列, ∴ < ,
* *

即 λ>﹣3 故选:D 点评: 本题考查了数列的函数性,利用单调性,结合 n∈N 的特殊性,求解;属于容易错的 题目. 9. (5 分)已知数列{an},a1=1,前 n 项和为 Sn,且点 P(an,an+1) (n∈N )在直线 x﹣y+1=0 上,则 A. B. =() C. D.
*

考点: 数列的求和. 专题: 计算题;转化思想. * 分析: 由“P(an,an+1) (n∈N )在直线 x﹣y+1=0 上”可得到数列的类型,再求其通项,求 其前 n 项和,进而得到新数列的规律,选择合适的方法求新数列的和. 解答: 解:∵点 P(an,an+1) (n∈N )在直线 x﹣y+1=0 上 ∴an﹣an+1+1=0 ∴数列{an}是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列. ∴an=n ∴ ∴ = = 故选 C 点评: 本题主要是通过转化思想将解析几何问题转化为数列问题,来考查数列的通项公式 及前 n 项和的求法.
*

10. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a +c ﹣b )tanB= 则角 B 的值为() A. B. C. 或 D. 或

2

2

2

ac,

考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 通过余弦定理及 进而求出 B. 解答: 解:由 , 求的 sinB 的值, 又因在三角形内,



,即 ,又在△ 中所以 B 为





故选 D 点评: 本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦.很多人会考虑对于角 B 的取舍问题,而 此题两种都可以,因为我们的过程是恒等变形.条件中也没有其它的限制条件,所以有的同学 就多虑了.虽然此题没有涉及到取舍问题,但在平时的练习过程中一定要注意此点

11. (5 分)若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件

,则实数 m 的最大

值为() A.﹣1 B. 1 C. D.2

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 根据 ,确定交点坐标为(1,2)要使直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约

束条件

,则 m≤1,由此可得结论.

解答: 解:由题意,

,可求得交点坐标为(1,2)

要使直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件

,如图所示.可得 m≤1

∴实数 m 的最大值为 1 故选 B.

点评: 本题考查线性规划知识的运用,考查学生的理解能力,属于基础题.

12. (5 分)设 a、b、c>0,若(a+b+c) ( + A.1 B. 2

)≥k 恒成立,则 k 的最大值是() C. 3 D.4

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 将( a+b+c ) ( + 解答: 解:a,b,c∈R , ∵(a+b+c ) ( +
+ +

)展开,利用基本不等式求出其最小值,即得 k 的最大值.

)=2+

+

≥2+2=4,等号当且仅当 )≥k 恒成立,

=

时成立

又 a,b,c∈R ,若(a+b+c) ( +

∴k≤4, ∴k 的最大值是 4 故选:D. 点评: 本题考查基本不等式在最值问题中的应用,解题的关键是对不等式左边进行恒等变 形构造出积为定值的形式, 利用基本不等式求出左侧的最小值, 根据恒成立的关系得到参数的 最大值 二、填空题(每题 5 分共 20 分) 13. (5 分)在△ ABC 中,已知 B=45°,c= ,b= ,则 A 的值是 15°或 75°.

考点: 正弦定理.

专题: 计算题.

分析: 由正弦定理可得 A=π﹣B﹣C 求出 A 的值. 解答: 解:由正弦定理可得

,求出 sinC=

,可得 C=60° 或 C=120°,由

,∴sinC=

,∴C=60° 或 C=120°,

故 A=π﹣B﹣C=75° 或 15°, 故答案为:15°或 75°. 点评: 本题考查正弦定理,三角形内角和定理,求出 C=60° 或 C=120°,是解题的关键. 14. (5 分)在△ ABC 中,已 知 a﹣b=4,a+c=2b,且最大角为 120°,则这个三角形的最长边 为 14. 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由已知等式变形得出 a,b,c 的大小关系,用 b 表示出 a 与 c,确定出 A 为最大角, 利用余弦定理列出关系式,将 cosA 的值代入求出 b 的值,即可确定出最大边 a 的长. 解答: 解:由 a﹣b=4,a+c=2b,得 a>b>c,且 a=b+4,c=b﹣4, ∵最大角 A=120°, ∴cosA= = =﹣ ,

解得:b=10, 则最大边 a=b+4=14. 故答案为:14 点评: 此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 15. (5 分)把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表(每行比上一行多一 个数) :设 ai,j(i、j∈N )是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数, 如 a4,2=8.若 ai,j=2009,则 i,j 的值分别为 63,56.
*

考点: 归纳推理;等差数列的通项公式. 专题: 综合题.

分析: 第一行有一个数,第二行有两个数…,第 n 行有 n 个数字,这样每一行的数字个数组 成一个等差数列,表示出等差数列的前项和,使得和大于或等于 2009,解出不等式,求出 n 的值,在满足条件的数字附近检验,得到结果. 解答: 解:由题意可知,第一行有一个数,第二行有两个数,第三行有三个数,…,第 62 行有 62 个数,第 63 行有 63 个数,第 n 行有 n 个数字,这样每一行的数字个数组成一个等差 数列, ∴前 n 项的和是 ∴ ∵当 n=63 时, , =2016>2009,n≤62 时,

∴第 62 行的最后一个数为 1+2+3+…+62=1953,第 63 行第一个数为 1954 ∴2009 为第 63 行,第 56 个数 即 a63,56=(1+2+3+…+62)+56= =2009.

故答案为:63;56 点评: 本题的考点是归纳推理,主要考查数列的性质和应用,本题解题的关键是看出所形 成的数列是一个等差数列,利用等差数列的前项和,使得和大于或等于 2009 求解. 16. (5 分){an}是由实数构成的无穷等比数列,Sn=a1+a2+…+an,关于数列{Sn},给出下列命 题: (1)数列{Sn}中任意一项均不为 0; (2)数列{Sn}中必有一项为 0; (3)数列{Sn}中或者任意一项均不为 0,或者有无穷多项为 0; (4)数列{Sn}中一定不可能出现 Sn=Sn+2; (5)数列{Sn}中一定不可能出现 Sn=Sn+3; 则其中正确的命题是③④. (把正确命题的序号都填上) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 推理和证明. 分析: 对于①举反例 即可.对于②举反例 an=n 即可.对于③是正确的命

题,q≠1 时可证 Sn≠0 恒成立, q=﹣1 时 Sn 有有无穷多项为 0;对于④利用③的结论即可反证.对于⑤利用反证即可 解答: 解:{an}是由实数构成的无穷等比数列,Sn=a1+a2+…+an n 对于①,令 an=(﹣1) ,则 n=2k 时 Sn=S2k=0,故结论是不正确的 对于②令 an=1,则 Sn=n>0 恒成立,故结论不正确 对于③,当 q=1 时,S =na1≠0 恒成立,

当 q≠1 且 q≠﹣1 时,Sn=

≠0 恒成立

当 q=﹣1 时,n=2k 时,Sn=0,n=2k﹣1 时,Sn=a1≠0 恒成立.

综上可得结论是正确的. 对于④,由①可知结论是不正确的. 对于⑤,若 Sn=Sn+3,则 an+1+an+2+an+3=0,∴an(1+q+q )=0,∵an≠0,1+q+q ≠0 可知结论是正确的. 故答案为:③④ 点评: 本题借助数列的前 n 项和以命题的形式考查数列的概念,属于基础题易错题. 三、解答题(共 70 分) 2 17. (10 分) (1)已知 f(x)=﹣3x +a(6﹣a)x+6.解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)设 x、y>0,x+y+xy=2,求 x+y 的最小值. 考点: 基本不等式在最值问题中的应用;一元二次不等式的解法. 专题: 综合题;不等式的解法及应用. 2 分析: (1)f(1)=﹣a +6a+3>0,再解不等式; (2)先根据均值不等式可知 xy≤ 等式进去求得 x+y 的最小值. 2 解答: 解: (1)f(1)=﹣a +6a+3>0, ∴ <a<3+2 即不等式的解集为{x| + (2)∵x,y∈R , ∴xy≤ , <a<3+2 }; ,代入 x+y+xy=2 中,得到关于 x+y 的一元二次不
2 2

(当且仅当 x=y 时成立)

∵x+y+xy=2, ∴xy=2﹣(x+y) ∴2﹣(x+y)≤ 解得 x+y≥2 ﹣2 或 x+y≤﹣2﹣2 (舍去) ∴x+y 的最小值为 2 ﹣2. 点评: 本题考查了基本不等式的性质和一元二次不等式的解法,属于中档题. 18. (12 分)已知数列{an}是公差为 2 的等差数列,它的前 n 项和为 Sn,且 a1+1,a3+1,a7+1 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)记数列{ }的前 n 项和为 Tn 求证:Tn< .

考点: 数列的求和;等差数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 a1+1,a3+1,a7+1 成等比数列,结合等差数列及等比数列的性质可 ,解方程求 a1,进而可求通项

(2)由(1)可求 sn,进而可求

,然后利用裂项相消法求解数列的和即可证明

解答: 解: (1)数列{an}是公差为 2 的等差数列, ∴a3=a1+5,a7=a1+13 ∵a1+1,a3+1,a7+1 成成等比数列, ∴ 解之得 a1=3, 所以 an=2n+1…(6 分) (2)证明:由(1)得 an=2n+1,sn=n(n+2) ∴ ∴Tn= (1﹣ = …(13 分) ,…(9 分) ) …(3 分)

点评: 本题主要考查了等差数列与等比数列的性质的简单应用,数列的裂项求和方法的应 用在证明不等式中的应用. 19. (12 分)已知△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 (1)求 A 的大小; (2)若 a= ,b+c=3,求 b、c 的值. 考点: 余弦定理的应用;正弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)利用三角形内角和和诱导公式以及二倍角公式把题设等式整理成关于 cosA 的 一元二次方程求得 cosA,进而求得 A. (2)先 利用余弦定理和 b+c,a 的值求得 bc,进而与 b+c 联立求得 b 和 c. 解答: 解: (1)∵ ∴4cos A﹣4cosA+1=0, ∴A=60°
2



(2)∵A=60°,cosA= ∴bc=2, 联立 ∴ 或

=

=

点评: 本题主要考查了余弦定理的应用,二倍角公式和诱导公式的化简求值.考查了灵活 运用知识解决实际问题的能力.

20. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an= (3n+Sn) 对一切正整数 n 成立 (Ⅰ)求出数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Bn.

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ) 由已知得 Sn=2an﹣3n, Sn+1=2an+1﹣3 (n+1) , 所以 an+1=2an+3, 3+an+1=2 (3+an) , 由此能求出 an. n n 2 3 n 2 3 (Ⅱ)bn=n(2 ﹣1)=n2 ﹣n,设 Tn=1×2+2×2 +3×2 ++n×2 (1) ,2Tn=1×2 +2×2 ++(n﹣1) 2 +n×2
n n+1

,Tn=﹣(2+2 +2 +…+2 )+n2

2

3

n

n+1

=

,由此能

求出数列{bn}的前 n 项和 Bn. 解答: 解: (Ⅰ)由已知得 Sn=2an﹣3n, Sn+1=2an+1﹣3(n+1) ,两式相减并整理得:an+1=2an+3(2 分) 所以 3+an+1=2(3+an) ,又 a1=S1=2a1﹣3,a1=3 可知 3+a1=6≠0, 进而可知 an+3≠0 所以 ,

故数列{3+an}是首相为 6,公比为 2 的等比数列, n﹣1 n 所以 3+an=6?2 ,即 an=3(2 ﹣1) (6 分) n n (Ⅱ)bn=n(2 ﹣1)=n2 ﹣n 2 3 n 设 Tn=1×2+2×2 +3×2 ++n×2 (1) , 2 3 n n+1 2Tn=1×2 +2×2 ++(n﹣1)2 +n×2 (2) 由(2)﹣(1)得 Tn=﹣(2+2 +2 +…+2 )+n2 ∴
2 3 n n+1

=



(12 分)

点评: 第(Ⅰ)题考查求解数列通项公式的方法,解题时要注意迭代法的运用;第(Ⅱ) 题考查数列前 n 项和的求法,解题时要注意错位相减法的运用. 21. (12 分)如图,某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西 60°的方向 以每小时 6 千米的速度步行 了 1 分钟以后,在点 D 处望见塔的底端 B 在东北方向上,已知沿 途塔的仰角∠AEB=α,α 的最大值为 60°. (1)求该人沿南偏西 60°的方向走到仰角 α 最大时,走了几分钟; (2)求塔的高 AB.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题. 分析: (1)要顺利求解本题,其关键是确定沿 AB 测塔的仰角,其最大仰角在何处达到, 该处与塔底间的距离是多少? (2)求得该距离,则在相应的直角三角形中,就不难求得塔高. 解答: 解: (1)依题意知在△ DBC 中∠BCD=30°,∠DBC=180°﹣45°=135° CD=6000× =100(m) ,∠D=180°﹣135°﹣30°=15°,﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分)

由正弦定理得 ∴

=

(m)﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

在 Rt△ ABE 中, ∵AB 为定长∴当 BE 的长最小时,α 取最大值 60°,这时 BE⊥CD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣(8 分) 当 BE⊥CD 时, 在 Rt△ BEC 中 EC=BC?cos∠BCE= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) 设该人沿南偏西 60°的方向走到仰角 α 最大时,走了 t 分钟, 则 = (分钟) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣ (m) ,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) (2)由(1)知当 α 取得最大值 60°时,BE⊥CD,在 Rt△ BEC 中,BE=BC?sin∠BCD ∴AB=BE? tan60°=BC?sin∠BCD?tan60°= (m)

即所求塔高为 m.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分)

点评: 解本题的关键是确定何处测得最大仰角,然后转化成解三角形问题来解决. 22. (12 分)已知正项数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满足 (Ⅰ)求证:{ (Ⅱ)记数列{ 实数 a 的取值范围. 考点: 等差数列与等比数列的综合;等差关系的确定. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (I)由已知可得, 进而可求 an (II)由 = = ,利用裂项求和可求 Tn,求 ,结合等差数列的通项公式可求 sn, }为等差数列,并求数列{an}的通项公式; }的前 n 项和为 Tn,若对任意的 n∈N ,不等式 4Tn<a ﹣a 恒成立,求
* 2

(n≥2) .

出 Tn 的范围可求 a 的范围 解答: 解: (I)∵ ∴ ∴ ∴数列{ ∴ ∴ ∴ =n+n﹣1=2n﹣1(n≥2) }是首项为 1,公差为 1 的等差数列 =n

当 n=1 时,a1=1 也适合 ∴an=2n﹣1 (II)∵ = =

∴ = ∴Tn

=

∵4Tn<a ﹣a 恒成立 2 ∴2≤a ﹣a,解得 a≥2 或 a≤﹣1 点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求数列的通项公式,及数列的裂 项求和方法的应用及恒成立与最值求解的应用.

2


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