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广东省揭阳一中2014-2015学年高二下学期第一次段考数学试卷(文科) Word版含解析


广东省揭阳一中 2014-2015 学年高二下学期第一次段考数学试卷 (文科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1.设全集 U 是实数集 R,集合 A={y|y=3 ,x>0},B={x|y= 所表示的集合是()
x

},则图中阴影部分

/>
A.{x|0≤x<1}
2

B.{x|0≤x≤1}

C.{x|1<x<2}

D.{x|1<x≤2}

2.命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是() 2 2 A.若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤﹣1 B. 若﹣1<x<1,则 x <1 2 2 C. 若 x>1 或 x<﹣1,则 x >1 D.若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1 3.如图所示的框图输出结果为() A.1023 B.1024
2 x

C.511

D.2047

4.函数 f(x)=(x ﹣2x)e 的图象大致是() A. B. C.

D.

5.设 M= A.M<N<P B.N<P<M
2 2

(其中 0<x<y) ,则 M,N,P 的大小关系为() C.P<M<N
2

D.P<N<M
2

6.观察下列各式:1=1 ,2+3+4=3 ,3+4+5+6+7=5 ,4+5+6+7+8+9+10=7 ,…,可以得出 的一般结论是() 2 A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=n B. n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n 2 ﹣1) 2 C. n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣1)=n D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣1)=(2n 2 ﹣1)

7.在平面直角坐标系中,不等式

(a 为常数)表示平面区域的面积为 9,则

的最小值为()

A.﹣1

B.

C.

D.﹣

8.已知 F1、F2 是双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左右焦点,P 是双曲线 C 上一点,

且|PF1|+|PF2|=6a,△ PF1F2 的最小内角为 30°,则双曲线 C 的离心率 e 为() A.
3

B. 2

C.

D.

9.若方程 x ﹣3x+m=0 在[0,2]上有解,则实数 m 的取值范围是() A.[﹣2,2] B.[0,2] C.[﹣2,0] D.(﹣∞, ﹣2) ∪ (2, +∞) 10.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,给出定义:设 f′(x)是函数 y=f(x)的导 数,f″(x)是 f′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函 数 y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都 有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数 g(x)= +g( A.2011 )+…+g( ) () B.2012 C.2013 D.2014 ,则 g( )
3 2

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上). 11.已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i) (1+i)=bi,则 a+bi=.

12.若函数 f(x)=

在 x=1 处取极值,则 a=.

13.已知双曲线 x ﹣

2

=1 与抛物线 y =2px(p>0)有一个公共的焦点 F,且两曲线的一个

2

交点为 M,若|MF|=5,则点 M 的横坐标为.

14.记等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,利用倒序求和的方法得: 似地,记等比数列{bn}的前 n 项的积为 Tn,且

;类

,试类比等差数列求和的

方法,将 Tn 表示成首项 b1,末项 bn 与项数 n 的一个关系式,即 Tn=.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.已知函数 f(x)=2cos2x+sin x﹣4cosx. (Ⅰ)求 的值;
2

(Ⅱ)求 f(x)的最大值和最小值. 16. 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ∠BAD=60°, 已知 PB=PD=2, PA= . (1)证明:PC⊥BD; (2)若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 E﹣ABC 的体积.

17.研究某新药的疗效,利用简单随机抽样法给 100 个患者服用此药,跟踪调查后得如下表 的数据. 无效有效 合计 男性患者15 35 50 女性患者4 46 50 合计 19 81 100 请问: (1)请分别估计服用该药品男患者和女患者中有效者所占的百分比? (2)是否有 99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关?(写出必要过程) (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来更准确估计服用该药的患者中有效者所 占的比例?说明理由. 参考附表:K = P(K2≥k0) k0 P(K2≥k0) k0 0.50 0.455 0.05 3.841 0.40 0.708 0.025 5.024 0.25 1.323 0.010 6.635 0.15 2.072 0.005 7.879
2

,期中 n﹣a+b+c+d 0.10 2.706 0.001 10.828

18.已知数列{an}为等差数列,a3=5,a7=13,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且有 Sn=2bn﹣1. 1)求{an}、{bn}的通项公式; 2)若 cn=anbn,{cn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn.

19.已知椭圆

的右焦点为 F(2,0) ,M 为椭圆的上顶点,O 为坐

标原点,且△ MOF 是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B 两点,设两直线的斜率分别为 k1,k2, 且 k1+k2=8,证明:直线 AB 过定点( ) .

20.已知函数 f(x)=lnx﹣kx+1(k∈R) (Ⅰ)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)≤0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明: + + +…+ < (n∈N 且 n>1)
*

广东省揭阳一中 2014-2015 学年高二下学期第一次段考 数学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1.设全集 U 是实数集 R,集合 A={y|y=3 ,x>0},B={x|y= 所表示的集合是()
x

},则图中阴影部分

A.{x|0≤x<1}

B.{x|0≤x≤1}

C.{x|1<x<2}

D.{x|1<x≤2}

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 集合. 分析: 欲求出图中阴影部分所表示的集合,先要弄清楚它表示的集合是什么,由图知,阴 影部分表示的集合中的元素是在集合 B 中的元素但不在集合 A 中的元素组成的, 即 B∩CRA. 解答: 解:由图可知,图中阴影部分所表示的集合是 B∩CRA, x ∵A={y|y=3 ,x>0}=(1,+∞) , ∴CRA=(﹣∞,1], B={x|y= ∴2x﹣x ≥0, 解得 0≤x≤2,
2

},

即 B=[0,2], ∴B∩CRA=[0,1] 故选:B. 点评: 本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识, 属于基础题. 2.命题“若 x <1,则﹣1<x<1”的逆否命题是() 2 2 A.若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤﹣1 B. 若﹣1<x<1,则 x <1 2 2 C. 若 x>1 或 x<﹣1,则 x >1 D.若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1 考点: 四种命题. 分析: 根据逆否命题的定义,直接写出答案即可,要注意“且”形式的命题的否定. 解答: 解:原命题的条件是““若 x <1”,结论为“﹣1<x<1”, 2 则其逆否命题是:若 x≥1 或 x≤﹣1,则 x ≥1. 故选 D. 点评: 解题时,要注意原命题的结论“﹣1<x<1”,是复合命题“且”的形式,否定时,要 用“或”形式的符合命题. 3.如图所示的框图输出结果为() A.1023 B.1024
2 2

C.511

D.2047

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:当 i=1 时,满足进行循环的条件,执行循环体后:S=1,i=1; 当 i=1 时,满足进行循环的条件,执行循环体后:S=3,i=2; 当 i=2 时,满足进行循环的条件,执行循环体后:S=7,i=3; 当 i=3 时,满足进行循环的条件,执行循环体后:S=15,i=4; 当 i=4 时,满足进行循环的条件,执行循环体后:S=31,i=5; 当 i=5 时,满足进行循环的条件,执行循环体后:S=63,i=6; 当 i=6 时,满足进行循环的条件,执行循环体后:S=127,i=7; 当 i=7 时,满足进行循环的条件,执行循环体后:S=255,i=8; 当 i=8 时,满足进行循环的条件,执行循环体后:S=511,i=9; 当 i=9 时,满足进行循环的条件,执行循环体后:S=1023,i=10; 当 i=10 时,不满足进行循环的条件, 故输出的 S 值为:1023, 故选:A 点评: 本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的方法解答. 4.函数 f(x)=(x ﹣2x)e 的图象大致是() A. B. C.
2 x

D.

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 数形结合. 分析: 本题是选择题,可采用排除法进行逐一排除,根据 f(0)=0 可知图象经过原点, 以及根据导函数大于 0 时原函数单调递增,求出单调增区间,从而可以进行判定. 2 0 解答: 解:因为 f(0)=(0 ﹣2×0)e =0,排除 C; 2 x 因为 f'(x)=(x ﹣2)e ,解 f'(x)>0, 所以 或 时 f(x)单调递增,排除 B,D. 故选 A. 点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性, 以及函数的图象等基础知识, 考查了 排除法,属于基础题.

5.设 M= A.M<N<P B.N<P<M

(其中 0<x<y) ,则 M,N,P 的大小关系为() C.P<M<N D.P<N<M

考点: 基本不等式. 分析: 由基本不等式可得 N>P 且 M>N,可得答案. 解答: 解:由基本不等式可得 ∵0<x<y,∴ ∴N>P, 再由基本不等式可得 M= > > , ≥ ,

=

=

=

=N,

∴P<N<M, 故选:D. 点评: 本题考查基本不等式比较式子的大小,属基础题. 6.观察下列各式:1=1 ,2+3+4=3 ,3+4+5+6+7=5 ,4+5+6+7+8+9+10=7 ,…,可以得出 的一般结论是() 2 A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=n B. n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n 2 ﹣1) 2 C. n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣1)=n D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣1)=(2n 2 ﹣1) 考点: 归纳推理. 专题: 规律型. 2 2 2 2 分析: 分析已知中 1=1 ,2+3+4=3 ,3+4+5+6+7=5 ,4+5+6+7+8+9+10=7 ,…,各式子左 右两边的形式,包括项数,每一个式子第一数的值等,归纳分析后,即可得到结论. 2 解答: 解:1=1 ,
2 2 2 2

2+3+4=3 , 2 3+4+5+6+7=5 , 2 4+5+6+7+8+9+10=7 , …, 由上述式子可以归纳: 左边每一个式子均有 2n﹣1 项,且第一项为 n,则最后一项为 3n﹣2 右边均为 2n﹣1 的平方 故选 B 点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的 相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) .

2

7.在平面直角坐标系中,不等式

(a 为常数)表示平面区域的面积为 9,则

的最小值为() A.﹣1 B. C. D.﹣

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用平面区域的面积求出 a, 区域内的点到定点 D(﹣4,2)的斜率,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图:则 a>0, 由 ,解得 ,即 C(a,﹣a) , 的几何意义为



,解得

,即 A(a,a) ,

则对应的平面区域的面积 S= 即 A(3,3) ,C(3,﹣3) , 则

,解得 a=3,

的几何意义为区域内的点到定点 D(﹣4,2)的斜率, = ,

由图象知,CD 的斜率最小,此时

故选:D 点评: 本题主要考查线性规划的应用以及斜率的求解, 根据面积公式求出 a 的取值是解决 本题的关键.

8.已知 F1、F2 是双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左右焦点,P 是双曲线 C 上一点,

且|PF1|+|PF2|=6a,△ PF1F2 的最小内角为 30°,则双曲线 C 的离心率 e 为() A. B. 2 C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|,|PF2|,进而确定最小内角,再利用余弦定 理和离心率计算公式即可得出. 解答: 解:设|PF1|>|PF2|,则|PF1|﹣|PF2|=2a, 又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a. 则∠PF1F2 是△ PF1F2 的最小内角为 30°, ∴(2a) =(4a) +(2c) ﹣2×4a×2c× ∴ ,解得 e= .
2 2 2



故选:C. 点评: 熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键. 9.若方程 x ﹣3x+m=0 在[0,2]上有解,则实数 m 的取值范围是() A.[﹣2,2] B.[0,2] C.[﹣2,0] D.(﹣∞, ﹣2) ∪ (2, +∞) 考点: 函数在某点取得极值的条件;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 因为是方程有解,转化为函数在[0,2]的函数值,利用导数求解即可. 3 3 解答: 解:由题意方程 x ﹣3x+m=0 在[0,2]上有解,则﹣m=x ﹣3x,x∈[0,2] 求函数的值域即得实数 m 的取值范围 令 y=x ﹣3x,x∈[0,2] 2 y'=3x ﹣3 令 y'>0,解得 x>1,故此函数在[0,1]上减,在[1,2]上增, 又 x=1,y=﹣2;x=2,y=2;x=0,y=0 3 ∴函数 y=x ﹣3x,x∈[0,2]的值域是[﹣2,2] 故﹣m∈[﹣2,2], ∴m∈[﹣2,2], 故选 A 点评: 本题考查学生对一元三次方程的图象的认识, 以及对函数值正负与图象关系的利用 10.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,给出定义:设 f′(x)是函数 y=f(x)的导 数,f″(x)是 f′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函 数 y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都
3 2 3 3

有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数 g(x)= +g( A.2011 )+…+g( ) () B.2012 C.2013

,则 g(



D.2014

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求出原函数的导函数,再求出导函数的导函数,由导函数的导函数等于 0 求出 x 的值,可得 g(1﹣x)+g(x)=2,从而得到 g( 解答: 解:∵g(x)=
2 ″

)+g(

)+…+g(

)的值.



∴g′(x)=x ﹣x﹣3,由 g (x)=2x﹣1=0,得 x= . ∴g( )=1 ∴g(x)的对称中心为( ,1) , ∴g(1﹣x)+g(x)=2, ∴g( ∴g( )+g( )+g( )=g( )+…+g( )+g( )=2013 )=…=2g( )=2g( )=2.

故选 C. 点评: 本题是新定义题,考查了函数导函数的零点的求法,考查了函数的性质,解答的关 键是寻找函数值所满足的规律,是中档题. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上). 11.已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i) (1+i)=bi,则 a+bi=1+2i. 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的乘法展开等式的左边,通过复数的相等,求出 a,b 的值即可得到结果. 解答: 解:因为(a+i) (1+i)=bi, 所以 a﹣1+(a+1)i=bi, 所以 ,解得 a=1,b=2,

所以 a+bi=1+2i. 故答案为:1+2i. 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,复数相等条件的应用,考查计算能力.

12.若函数 f(x)=

在 x=1 处取极值,则 a=3.

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先求出 f′(x) ,因为 x=1 处取极值,所以 1 是 f′(x)=0 的根,代入求出 a 即可. 解答: 解:f′(x)= = .

因为 f(x)在 1 处取极值, 所以 1 是 f′(x)=0 的根, 将 x=1 代入得 a=3. 故答案为 3 点评: 考查学生利用导数研究函数极值的能力.

13.已知双曲线 x ﹣

2

=1 与抛物线 y =2px(p>0)有一个公共的焦点 F,且两曲线的一个

2

交点为 M,若|MF|=5,则点 M 的横坐标为 3. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线和考查抛物线的性质,求出 p,再根据抛物线的定义,到焦点的距离与 到准线的距离相等,得到 x0+ =5,解得即可.
2 2

解答: 解:∵抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F( ,0) .双曲线 x ﹣ 0)或(﹣2,0) , ∴ =2, ∵两曲线的一个交点为 M,设点 M 的横坐标 x0,|MF|=5, ∴x0+ =5, ∴x0=5﹣ =3,

=1 的焦点为(2,

故答案为:3. 点评: 本题考查双曲线和考查抛物线的焦点, 以及抛物线的定义, 到焦点的距离与到准线 的距离相等,考查学生的计算能力,比较基础.

14.记等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,利用倒序求和的方法得: 似地,记等比数列{bn}的前 n 项的积为 Tn,且

;类

,试类比等差数列求和的 .

方法,将 Tn 表示成首项 b1,末项 bn 与项数 n 的一个关系式,即 Tn=

考点: 类比推理. 专题: 探究型. 分析: 等差数列与等比数列的定义的区别在于差与比, 故类比倒序相加求和, 可知倒序相 乘求积,再利用等比数列的性质,即可得到结论. 解答: 解:由题意,Tn=b1b2…bn①,倒序为 Tn=bnbn﹣1…b1②, ①×②可得 ∵ ∴ 故答案为: 点评: 本题考查类比推理,解题的关键是类比解题的方法,类比倒序相加求和,可知倒序 相乘求积. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 2 15.已知函数 f(x)=2cos2x+sin x﹣4cosx. (Ⅰ)求 的值; =(b1b2…bn) (bnbn﹣1…b1)=

(Ⅱ)求 f(x)的最大值和最小值. 考点: 三角函数的最值;二倍角的余弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)把 x= 代入到 f(x)中,利用特殊角的三角函数值求出即可;
2 2

(Ⅱ)利用同角三角函数间的基本关系把 sin x 变为 1﹣cos x,然后利用二倍角的余弦函数 2 公式把 cos2x 变为 2cos x﹣1,得到 f(x)是关于 cosx 的二次函数,利用配方法把 f(x)变 成二次函数的顶点式,根据 cosx 的值域,利用二次函数求最值的方法求出 f(x)的最大值 和最小值即可. 解答: 解: (Ⅰ) (Ⅱ)f(x)=2(2cos x﹣1)+(1﹣cos x)﹣4cosx 2 =3cos x﹣4cosx﹣1
2 2

=



= 因为 cosx∈[﹣1,1],



所以当 cosx=﹣1 时,f(x)取最大值 6;当

时,取最小值﹣ .

点评: 考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的余弦函数公式化间求值, 此题以三角函数为平台,考查二次函数求最值的方法. 16. 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ∠BAD=60°, 已知 PB=PD=2, PA= . (1)证明:PC⊥BD; (2)若 E 为 PA 的中点,求三棱锥 E﹣ABC 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;棱锥的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 BD,AC 交于 O 点,由已知得 PO⊥BD,BD⊥AC,从而 BD⊥面 PAC, 由此能证明 BD⊥PC. (2)由 VE﹣ABC=VB﹣AEC,利用等积法能求出三棱锥 E﹣ABC 的体积. 解答: (1)证明:连接 BD,AC 交于 O 点, ∵PB=PD,∴PO⊥BD, 又∵ABCD 是菱形,∴BD⊥AC, 而 AC∩PO=O,∴BD⊥面 PAC, ∴BD⊥PC. (2)解:由(1)知 BD⊥面 PAC, = ∴VE﹣ABC=VB﹣AEC= = =3, = .

点评: 本题考查异面直线垂直的证明, 考查三棱锥的体积的求法, 解题时要注意空间思维 能力的培养. 17.研究某新药的疗效,利用简单随机抽样法给 100 个患者服用此药,跟踪调查后得如下表 的数据. 无效有效 合计 男性患者15 35 50 女性患者4 46 50

合计 19 81 100 请问: (1)请分别估计服用该药品男患者和女患者中有效者所占的百分比? (2)是否有 99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关?(写出必要过程) (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来更准确估计服用该药的患者中有效者所 占的比例?说明理由. 参考附表:K = P(K2≥k0) k0 P(K2≥k0) k0 0.50 0.455 0.05 3.841 0.40 0.708 0.025 5.024 0.25 1.323 0.010 6.635 0.15 2.072 0.005 7.879
2

,期中 n﹣a+b+c+d 0.10 2.706 0.001 10.828

考点: 独立性检验的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)根据列联表可求得服用该药品男患者和女患者中有效者所占的人数,再求比 例; 2 (2)计算 K ,同临界值表进行比较,得到有多大把把握认为服用此药的效果与患者的性别 有关; (3)计算服用该药的患者中有效者无效者的比例,来判断分层抽样是否更切合实际. 解答: 解: (1)利用简单随机抽样法给 50 个患者服用此药,男性有 35 位有效,因此服用 该药品男患者中有效者所占的百分比= =70%.

给 50 个患者服用此药,女性有 46 位有效,因此服用该药品男患者中有效者所占的百分比 =92%. (2)根据所给的数据代入求观测值的公式得到 K=
2

≈7.86

由于 93967>6.635,所以有 99%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关. (3)由(2)得结论知,服用此药的效果与患者的性别有关,并且从样本数据中能看出该地 区男性比女性有效的比例有明显差异,因此在调查时,先确定此病的患者中男、女的比例, 再把患者分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样的方法更好. 点评: 本题考查独立性检验的应用及分层抽样.本题解题的关键是正确代入所给的数据, 求出观测值,这里不需要把观测值同临界值进行比较,是一个基础题. 18.已知数列{an}为等差数列,a3=5,a7=13,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且有 Sn=2bn﹣1. 1)求{an}、{bn}的通项公式; 2)若 cn=anbn,{cn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (1)由已知条件利用等差数列的通项公式能求出首项和公差,由此能求出 an=2n * ﹣1(n∈N ) ;由 Sn=2bn﹣1 ,能推导出{bn}是首项为 1 公比为 2 的等比数列,由此求出 (2)由 (n∈N ) .
*

,利用错位相减法能求出{cn}的前 n 项和为 Tn.

解答: 解: (1)∵{an}是等差数列,且 a3=5,a7=13,设公差为 d. ∴ ,解得
*

∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1(n∈N ) 在{bn}中,∵Sn=2bn﹣1 当 n=1 时,b1=2b1﹣1,∴b1=1 当 n≥2 时,由 Sn=2bn﹣1 及 Sn﹣1=2bn﹣1﹣1, 得 bn=2bn﹣2bn﹣1,∴bn=2bn﹣1 ∴{bn}是首项为 1 公比为 2 的等比数列 ∴ (2)∵ ∴ (n∈N ) , ① ② ①﹣②得
*

= =1+4(2 ∴
n﹣1

﹣1)﹣(2n﹣1)?2 =﹣3﹣(2n﹣3)?2 (n∈N )
*

n

n

点评: 本题考查数列的前 n 项和的求法, 解题时要认真审题, 注意错位相减法的合理运用.

19.已知椭圆

的右焦点为 F(2,0) ,M 为椭圆的上顶点,O 为坐

标原点,且△ MOF 是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B 两点,设两直线的斜率分别为 k1,k2, 且 k1+k2=8,证明:直线 AB 过定点( ) .

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.

专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)由△ MOF 是等腰直角三角形,得 c =b =4,再根据 a =b +c 可求得 a; (Ⅱ)分情况讨论: (1)当直线 AB 的斜率存在时,设 AB 的方程为:y=kx+m,联立直线 AB 方程与椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方程,由韦达定理及 k1+k2=8 可得关于 k,m 的关系 式,消 m 代入直线 AB 方程可求得定点坐标; (2)若直线 AB 的斜率不存在,设 AB 方程为 x=x0,由已知可求得 AB 方程,易验证其过定点; 2 2 2 解答: (Ⅰ)解:由△ MOF 是等腰直角三角形,得 c =b =4,a =8, 故椭圆方程为: =1.
2 2 2 2 2

(Ⅱ)证明: (1)若直线 AB 的斜率存在,设 AB 的方程为:y=kx+m,依题意得 m≠±2, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 ,得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣8=0,
2 2 2





由已知 k1+k2=8,可得



所以

,即



所以

,整理得

. ,即 y=k( ) . )﹣2.

故直线 AB 的方程为 所以直线 AB 过定点(

(2)若直线 AB 的斜率不存在,设 AB 方程为 x=x0, 设 A(x0,y0) ,B(x0,﹣y0) , 由已知 ,得 .

此时 AB 方程为

,显然过点( ) .

) .

综上,直线 AB 过定点(

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解,考查分类讨论思想, 考查学生分析问题解决问题的能力. 20.已知函数 f(x)=lnx﹣kx+1(k∈R)

(Ⅰ)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)≤0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明: + + +…+ < (n∈N 且 n>1)
*

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)由函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′(x)= .能求出函数 f(x)的

单调区间. (Ⅱ)由(1)知 k≤0 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数,而 f(1)=1﹣k>0,f(x)≤0 不成立,故 k>0,又由(1)知 f(x)的最大值为 f( ) ,由此能确定实数 k 的取值范围. (Ⅲ)由(2)知,当 k=1 时,有 f(x)≤0 在(0,+∞)恒成立,且 f(x)在(1,+∞)上 是减函数,f(1)=0,即 lnx<x﹣1 在 x∈[2,+∞)上恒成立,由此能够证明 + + +…+ < (n∈N 且 n>1)
*

解答: 解: (Ⅰ)易知 f(x)的定义域为(0,+∞) , 又 f′(x)= 当 0<x<1 时,f′(x)>0; 当 x>1 时,f′(x)<0 ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数. (Ⅱ)当 k≤0 时,f(1)=1﹣k>0,不成立, 故只考虑 k>0 的情况 又 f′(x)= 当 k>0 时,当 0<x< 时,f′(x)>0; 当 在 此时 要使 f(x)≤0 恒成立,只要﹣lnk≤0 即可 解得:k≥1. (Ⅲ)当 k=1 时, 有 f(x)≤0 在(0,+∞)恒成立, 且 f(x)在(1,+∞)上是减函数,f(1)=0, 即 lnx<x﹣1 在 x∈(1,+∞)上恒成立, 2 2 2 令 x=n ,则 lnn <n ﹣1, 时,f′(x)<0 上是增函数,在 时减函数,

即 2lnn<(n﹣1) (n+1) , ∴ ∴ 即: + + + + (n∈N 且 n>1) +…+ +…+ < < = (n∈N 且 n>1)成立.
* *

点评: 本题考查函数单调区间的求法,确定实数的取值范围,不等式的证明.考查化归与 转化、分类与整合的数学思想,培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和 创新意识.


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