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湖北省武汉科技大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破:计数原理


武汉科技大学附中 2014 版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破:计数原理 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.(ax ?1)
n

共 60 分)

一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题

给出的四个选项中,只有一

? an xn ? an?1xn?1 ??? a1x ? a0 (n ? N * ), ,点列 Ai (i, ai )(i ? 0,1, 2,?n) 的部分
)

图象如图所示,则实数 a 的值为(

A.1 【答案】C

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 4

2.现从甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学中选四位安排参加志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、 礼仪、司机四项工作之一,每项工作有一人参加。甲不会开车、乙不会翻译,但都能从事其 他三项工作,而丙丁戌能胜任全部四项工作,则不同安排方案的种数是( A.108 【答案】B 3.若直角坐标平面内 A、B 两点满足条件:①点 A、B 都在 f(x)的图象上;②点 A、B 关于原点 对称,则对称点对(A,B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A,B)与(B,A)可看作一个“姊 B.78 C.72 D.60 )

?x 2 ? 2 x x ? 0 ? 妹点对”). 已知函数 f(x)= ? 2 ,则 f(x)的“姊妹点对”有( x?0 ?e x ?
A.1 【答案】C B.3 C.2 D.4

)个

4. 6 位选手依次演讲,其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲,则不同的演讲次序共有 ( ) A. 240 种 【答案】C 5.12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,每个路口 4 人,则不同的分配方案共有 ( )
4 4 A. C12 C8 C 4 4

B. 360 种

C. 480 种

D. 720 种



4 4 B.3 C12 C8 C 4 4



4 4 C. C12 C8 A 3 种 3

4 4 C12 C8 C 4 4 D. 3 A3



【答案】A 6. 若从 1,2,3, 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数, ?, 其和为偶数, 则不同的取法共有( A.60 种 【答案】D 7.从单词“equation”中选取 5 个不同的字母排成一排,含有“qu”(其中“qu”相连且顺序 B.63 种 C.65 种 D.66 种 )

不变)的不同排列共有( A.120 个 【答案】B

) C.720 个 D.840 个

B.480 个

8.已知集合 A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐 标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( A.33 【答案】A 9.某团支部进行换届选举,从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记、组织委 员,规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职,则不同的任职方案有( A.10 【答案】B 10.某班级要从 4 名男士、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女生, 那么不同的选派方案种数为( A.14 B.24 ) C.28 D.48 B.11 C.12 D.13 ) B.34 C.35 ) D.36

【答案】A 11.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( ) A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种 【答案】B 12.从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览, 每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有( A.300 种 【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) B.240 种 C.144 种 D.96 种 )

m? ? 2 13.二项式 ? x ? ? 的展开式中 x 的系数为 60,则实数 m 等于____________. x? ?
【答案】 ?2 14. ( x ?

6

1 6 ) 展开式的常数项为 x

【答案】-20 15.用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有____________ 个. (用数字作答) 【答案】14 16.若 ( ax 【答案】1 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知圆的方程 ( x ? a)
2
2

1 9 ) 的展开式的常数项为 84,则 a 的值为 x

.

? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) ,从 0, 3,4,5,6,7,8,9,10 这九个

数中选出 3 个不同的数,分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径。问: (1)可以作多少个不同的圆? (2)经过原点的圆有多少个? (3)圆心在直线上 x ? y ? 10 ? 0 的圆有多少个?

【答案】(1)可分两步完成:第一步,先选 r 有 A8 中选法,第二步再选 a,b 有 A8 中选法 所以由分步计数原理可得有 A8 . A8 =448 个不同的圆
1 2

1

2

? b 2 ? r 2 ,?满足题意的 , b, r共有3,5与6,10两组 a 4, 8, 2 所以符合题意的圆有 2 A2 ? 4 8分 (3) 圆心在直线 x ? y ? 10 ? 0 上,所以圆心 ( a, b) 有三组:0,10; 3,7;4,6。 2 1 2 1 所以满足题意的圆共有 A2 . A7 ? 2 A2 A6 ? 38 个 4
(2)圆经过原点满足 a
2

18.已知

?x ? 1?n ? a0 ? a1 ?x ?1? ? a2 ?x ? 1?2 ? ?? an ?x ?1?n ( n ? 2,
? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值;

n ? N * ),

(1)当 n ? 5 时,求 a1

(2)设 bn

?

a2 , Tn ? b2 ? b3 ? ? ? bn ,试用数学归纳法证明:当 n ? 2 时, 2 n ?3

Tn ?

n?n ? 1??n ? 1? 。 3
5 f ?x ? ? ?x ? 1? ,

【答案】(1)记 则 a1

? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? f ?2? ? f ?1? ? 35 ? 25

(2)设 x ?1 ? y ,则原展开式变为: 则 a2
2 ? Cn 2 n ? 2

? y ? 2?n ? a0 ? a1 y ? a2 y 2 ? ... ? an y n ,

所以 bn

?

a2 ? n?n ? 1? 2 n ?3

当 n ? 2 时, T2

? 2, b2 ? 2 ,结论成立
k ?k ? 1??k ? 1? 3

假设 n ? k 时成立,即 Tk ? 那么 n ? k ? 1 时,

Tk ?1 ? Tk ? bk ?1 ?

k ?k ? 1??k ? 1? ? ?k ? 1?k 3

? k ? 1 ? k ?k ? 1??k ? 2? ? k ?k ? 1?? ? 1? ? 3 ? 3 ?
?

?k ? 1???k ? 1? ? 1???k ? 1? ? 1? ,结论成立。
3 n?n ? 1??n ? 1? 。 3

所以当 n ? 2 时, Tn ? 19.已知二项式 ( x ?

2 n ) (n∈N * )的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 56:3 . 2 x

(1)求 n 的值;(2)求展开式中的常数项

【答案】(1) n ? 10 20.二项式 (

(2)180

1
3

x ? ) n 展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的 4 倍. x 2

求:(1)n ; (2)展开式中的所有的有理项。
1 4 ? n? r 1 n?r x r r 1 r 【答案】 (1)二项式的通项 Tr ?1 ? C ( ) (? ) ? (?1) r Cn x 3 3 3 2 2 x r n

依题意, Cn ? 4( ?1)
4

r

1 2 Cn 2r

解得 n=6 (2)由(1)得 Tr ?1

? (?1) r

1 r ? 1 (6?4 r ) C6 x 3 ,当 r=0,3,6 时为有理项, r 2

故有理项有 T1 ?

x6 1 5 2 , T4 ? ? x , T7 ? x2 2 64

21.从

?? 4,?3,?2,?1,0,1,2,3,4?中任选三个不同元素作为二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的系数,

问能组成多少条图象为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?

?c ? 0 ? 1 1 【答案】若顶点在第一象限,则 ?a ? 0 ,? 共有C 4 C 4 ? 16种 ?b ? 0 ?
?c ? 0 ? 2 若顶点在第三象限,则 ?a ? 0 ,? 共有A4 ? 12种 ?b ? 0 ?
所以满足题意的直线共有 16+12=28 种。 22. 男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人,从中选 5 人外出比赛,下列情形各有多少 种选派方法(结果用数字作答). ⑴男 3 名,女 2 名 ⑶至少 1 名女运动员 ⑵队长至少有 1 人参加 ⑷既要有队长,又要有女运动员
3
2

【答案】⑴从 10 名运动员中选 5 人参加比赛,其中男 3 人,女 2 人的选法有 C 6 C 4 =120 (种) ⑵从 10 名运动员中选 5 人参加比赛,其中队长至少有 1 人参加的选法有 C 2 C 8 +C 2 C 8 =140+56=196
1
4

2

3

(种)

⑶从 10 名运动员中选 5 人参加比赛,其中至少有 1 名女运动员参加的选法有 C 10 -C 6 =2461
5

5

(种)

⑷从 10 名运动员中选 5 人参加比赛,既要有队长又要有女运动员的选法有 C 10 -C 8 -C 5 =191
5

5

4

(种)


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