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§1.1集合的概念与运算


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课标版 § 1.1

文数

集合的概念与运算

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知识梳理
1.元素与集合 (1)元素与集合的关系有且仅有两种:① ② 不属于
(2)集合中元素的特性

属于

(用符号“∈”表示)和


(用符号“?”表示).如a∈A,a?B.

确 定 性 互 异 性

集合中的元素必须是确定的.即一个集合一旦确定,某一个元素属于或不属 于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一.这 个特性通常被用来判断涉及的总体能否构成集合 集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是 不同的.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的 未知元素

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无 序 性

集合与其中元素的排列顺序无关,如{a,b,c}与{b,c,a}是相同的集合.这个特 性通常被用来判断两个集合的关系

(3)我们把不含有任何元素的集合叫做③ 空集 ,记作?.
(4)常用数集及其表示符号

名称

非负整数集 (自然数集)

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

④ N

⑤ N*或N+

⑥ Z

⑦ Q

⑧ R

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(5)集合的表示方法:⑨ 2.集合间的关系 (1)集合间的运算关系
名称 子集

列举法

;⑩

描述法

;?

韦恩图法

.

自然语言描述 如果集合A中所有元素都是集 合B中的元素,则称集合A为集 合B的子集

符号表示

Venn图表示

A?B(或B?A)

?
?

真子集 如果集合A?B,但存在元素a∈ B,且a?A,则称集合A 集合B的 真子集

?

A?B

(或B?A)

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集合A与集合B中元素相 集合相等 同,那么就说集合A与集 合B相等

A=B

?

对于两个给定集合A、B, 并集 由所有属于集合A或属 于集合B的元素组成的 集合 A∪B={x|x∈A,或x ∈B}

?

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对于两个给定集合A、B,由 交集

?

A∩B={x|x

所有属于集合A且属于集合 ∈A,且x∈B} B的元素组成的集合

?

对于一个集合A,由全集U中 ?UA={x|x∈U,且x 补集 不属于集合A的所有元素组 ?A} 成的集合称为集合A相对于 全集U的补集,记作?UA

?

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(2)集合间的逻辑关系

交集:A∩B?A;A∩B?B;A∩B?U;A∩A=A;A∩?=?.
并集:A∪B?A;A∪B?B;A∪U=U;A∪A=A;A∪?=A. 补集:?U(?UA)=A;?UU=?;?U?=U;A∩(?UA)=?; A∪(?UA)=U. 3.设有限集合A,card(A)=n(n∈N*),则 (1)A的子集个数是? (2)A的真子集个数是? (3)A的非空子集个数是? (4)A的非空真子集个数是? 2n ; 2n-1 ; ; .

2n-1

2n-2

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1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则?U(A∪B)=? (
A.{1,6} C.{2,3,7}
? 答案

)

B.{4,5} D.{2,3,4,5,7}

A 由题意得A∪B={2,3,4,5,7},又U={1,2,3,4,5,6,7},∴?U(A∪B)=

{1,6},故选A.

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2.设集合M={1,2},则满足条件M∪N={1,2,3,4}的集合N的个数是? ( A.1
? 答案

)

B.3

C.4

D.8

C 因为M∪N={1,2,3,4},M={1,2},所以一定有3∈N,4∈N,故符合

题意的集合N为{3,4},{1,3,4},{2,3,4}或{1,2,3,4},共4个.选C.

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?1? 3.已知集合A={y|y=log2x,x>1},B=? y? y= ? ? ,0<x<1? ,则A∩B为( 2 ? ?

?

x

)

A.? ? 0, ? 2
?

? ?

1?

? ? B.? ? , ?? ? 1 ?2 ?

? ? C.? ? ,1? 1 ?2 ?

D.(0,2)
1 2

?

? ? 答案 C 由题意得A={y|y>0},B=? ,? ?y | ? y ?1 ? ? 1 2

? ? 所以A∩B=? ? y | ? y ? 1? ,故选C. ? ?

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4.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B?A,则实数m=
? ?

.

答案 1 解析 ∵B?A,显然m2≠-1且m2≠3,∴m2=2m-1,即(m-1)2=0,∴m=1.

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5.某班有学生55人,其中体育爱好者43人,音乐爱好者34人,还有4人既不爱 好体育也不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为
? 答案

.

26

解析 全班分4类人:设既爱好体育又爱好音乐的人数为x,则仅爱好体育 的人数为(43-x);仅爱好音乐的人数为(34-x);既不爱好体育又不爱好音乐 的人数为4,∴43-x+34-x+x+4=55,∴x=26.

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典例题组
集合的基本概念 典例1 (1)(2014河北保定高三调研,16)已知集合M={1,2,3,4},集合A、B为 集合M的非空子集,若?x∈A、y∈B,x<y恒成立,则称(A,B)为集合M的一个 “子集对”,则集合M的“子集对”共有 个;

(2)已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则实数a的取值集合为

.
?

答案 (1)17 (2){0}

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? 解析

(1)当A={1}时,B有23-1=7种情况,

当A={2}时,B有22-1=3种情况, 当A={3}时,B有1种情况,

当A={1,2}时,B有22-1=3种情况,
当A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况, ∴满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+1+1+1=17(个). (2)①若a+2=1,则a=-1,(a+1)2=0,a2+3a+3=1-3+3=1,元素重复. ②若(a+1)2=1,则a=-2或a=0. 当a=-2时,a+2=0,a2+3a+3=4-6+3=1,元素重复; 当a=0时,a+2=2,a2+3a+3=3,满足题意.
③若a +3a+3=1,解得a=-1或a=-2,由①②可知均不符合题意. 所以实数a的取值集合为{0}.
2

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研究集合需要注意的两个问题:
1.正确理解集合的概念 研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制条件,当

集合用描述法表示时,注意弄清元素表示的意义.注意区分{x|y=f(x)}、{y|
y=f(x)}、{(x,y)|y=f(x)}三者的不同.

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集合 {x|f(x)=0} {x|f(x)>0} {x|y=f(x)} {y|y=f(x)} {(x,y)|y=f(x)}

含义 方程f(x)=0的解 不等式f(x)>0的解集 函数y=f(x)的定义域 函数y=f(x)的值域 函数y=f(x)图象上的点集

2.集合中元素的互异性 对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中元素是否满足 互异性.

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1-1 (1)设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数为? ( A.9 B.8 C.7
3 (2)-? 2

)

D.6 .

(2)已知集合A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,则a=
?

答案 (1)B

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? 解析

(1)∵P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},P={0,2,5},Q={1,2,6},∴当a=0时,a+b

的值为1,2,6;当a=2时,a+b的值为3,4,8;当a=5时,a+b的值为6,7,11,∴P+Q= {1,2,3,4,6,7,8,11},∴P+Q中有8个元素.

(2)∵-3∈A,
∴-3=a-2或-3=2a2+5a. ∴a=-1或a=-? .
3 当a=-1时,a-2=-3,2 a2+5a=-3, 2

与元素互异性矛盾,应舍去.
3 7 当a=-? 时,a-2=-? ,2a2+5a=-3. 2 2 3 ∴a= -? . 2 满足条件。

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集合间的基本关系
? ? 典例2 已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B=? ? x | ? ? x ? 2? . ? 1 2 ?

(1)若A?B,求实数a的取值范围;
(2)若B?A,求实数a的取值范围; (3)A、B能否相等?若能,求出a的值;若不能,试说明理由.
? 解析

集合A应分三种情况讨论:

①若a=0,则A=R;
1 ?; ? 4 ②若a<0,则A=? x | ? x ? ? ? ? ? ? a a? a? 1 4? ? ③若a>0,则A=? ? x | ? ? x ? ?. a

(1)当a=0时,若A?B,此种情况不存在.

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当a<0时,若A?B,如图,

?
1 ?4 ? ? , ? a ? ?8, ? ?a ? 2 则? ∴? 1 ∴a<-8. 1 a ? ? , ? ? ? 2, ? 2 ? ? ? a

?

?

当a>0时,若A?B,如图,

?

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1 ? 1 ? ? ? , ? ? a 2 则? ? 4 ? 2, ? ?a

?

∴a≥2.

综上知,当A?B时,a的取值范围是a<-8或a≥2.
(2)当a=0时,显然B?A. 当a<0时,若B?A,如图,

?

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1 ?4 ? ? , ? ?a 2 则? ? ? 1 ? 2, ? ? a ? a ? ?8, 1 ? ∴? <a<0. 1 ∴-? a ? ? , 2 ? 2 ?

?
?

当a>0时,若B?A,如图,

?
1 ? 1 ? ? ? , ? ? a 2 则 ? ? 4 ? 2, ? ?a

?

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∴0<a≤2. 综上知,当B?A时,a的取值范围是-? <a≤2. (3)当且仅当A、B两个集合互相包含时,A=B,由(1)、(2)知,a=2.
1 2

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解决集合间的基本关系的方法: (1)解答集合间的关系问题的一般步骤:先正确理解两个集合的含义,认清 集合元素的属性,再依据元素的不同属性采用不同的方法进行解答: ①若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解; ②若给定的集合是点集,则用数形结合法求解; ③若给定的集合是抽象集合,则用Venn图求解. (2)当题目中有条件B?A时,不要忽略B=?的情况. (3)要熟练掌握几个重要结论: ①A∪B=A?B?A; ②A∩B=A?A?B; ③A∩B=A∪B?A=B.

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2-1 设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.
1 (1)若a=? ,试判断集合A与B的关系; 5

(2)若B?A,求实数a组成的集合C.

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? 解析

(1)由x2-8x+15=0,得x=3或x=5,∴A={3,5}.
1 5

若a=? ,由ax-1=0,得? x-1=0,即x=5,∴B={5}, ∴B ? A . (2)A={3,5},又B?A, 故若B=?,则方程ax-1=0无解,有a=0;

1 5

1 若B≠?,则a≠0,由ax-1=0得x=? , a
1 1 ∴? =3或? =5, a a

1 1 即a=? 或 a= ? . 3 5

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集合的基本运算 典例3 若集合A={x||2x-1|<3},B=? ?x
? 1 ? x ? 1 ? x ? ? 或 2 ? x ? 3 A. ? ? 2 ? ?
? 2x ? 1 ? ? 0 ? ,则A∩B=( ? 3? x ?

)

?
?

B.{x|2<x<3} C.? ? x ? ? x ? 2?
? ? 1? D. ? ? x ?1 ? x ? ? ? 2? ? 1 2 ?

?

? 答案

D

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?

解析

2x ? 1 |2x-1|<3?-3<2x-1<3?-1<x<2,∴A={x|-1<x<2};? 3 ? x <0?(2x+1)(3-

? ? x | x ? ? 或x ? 3? . x)<0?(2x+1)(x-3)>0?x<-? 或x>3,∴B=? ?

1 2

?

1 2

?

结合数轴(如图):

?
1? ? ∴A∩B=? x | ? 1 ? x ? ? ? ?. ? 2?

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1.在深刻理解集合的交、并、补集概念的基础上,用Venn图解决有关集合 问题可一目了然.
2.两个集合都是不等式的解集时,求它们的交、并、补集,通常用数轴直观 表示,解题较方便,但要注意开、闭区间的表示;含字母参数的不等式注意 对字母参数进行讨论.

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3-1 若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=? ?x |

? ?

x?2 ? ? 0 ?,则A∩B=? ( x ?

)

A.{x|-1≤x<0}
C.{x|0≤x≤2}
? 答案 ? 解析

B.{x|0<x≤1}
D.{x|0≤x≤1}

B 化简A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2},则A∩B={x|0<x≤1},故选B.

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3-2 已知集合A={x∈R|0<x<1},B={x∈R|(2x-1)(x+1)>0},则A∩B=? ( A.? ? 0, ? 2
? ? 2? ? 1? C.(-∞,-1)∪? ? 0, ?
? 答案

)

? ?

1?

? ? B.? ,1 ? ? 1 ?2 ? 1 ?2 ? ? ? D.(-∞,-1)∪? ,1 ? ?

B
1 1? ? ? ? x ? R | ? x ? 1 x ? R | x ? ? 1 或 x ? ? ? .故选B. ? ? B =? 2 2 ? ,∴A∩B=? ? ? ?

?

解析


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