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河南省郑州市盛同学校2014-2015学年高二上学期12月月考数学试卷 Word版含解析


河南省郑州市盛同学校 2014-2015 学年高二上学期 12 月月考数学 试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确答案) 1. (5 分)若命题“p∧q”为假,且?p 为假,则() A.“p∨q”为假 B.q 为假 C.p 为假

D.q 为真

2. (5 分)命题“存在 x0∈R,2 A.不存在 x0∈R,2
x

≤0”的否定是() B. 存在 x0∈R,2 ≥0
x

>0

C. 对任意的 x∈R,2 ≤0

D.对任意的 x∈R,2 >0

3. (5 分)“k>9”是“方程 A.必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 4. (5 分)抛物线 A.(0,﹣4)

表示双曲线”的() B. 充分不必要条件 D.充要条件 的焦点坐标是()

B.(0,﹣2)

C.

D.

5. (5 分)设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0=() A.e
2

B. e

C.

D.ln2

6. (5 分)双曲线 y ﹣ A.y=±2x

2

=1 的渐近线方程为() B.y=±
3

x

C.y=±

x

D.y=± x

7. (5 分)函数 f(x)=3x﹣4x (x∈)的最大值是() A.1 B.
x

C. 0

D.﹣1

8. (5 分)函数 f(x)=e lnx 在点(1,f(1) )处的切线方程是() A.y=2e(x﹣1) B.y=ex﹣1 C.y=e(x﹣1) D.y=x﹣e

9. (5 分)已知两点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是() A. B.

C.

D.

10. (5 分)椭圆 的面积为() A.20

=1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 的连线互相垂直,则△ PF1F2

B.22

C.24

D.28

11. (5 分)双曲线



=1 的两个焦点分别是 F1,F2,双曲线上一点 P 到 F1 的距离是 12,

则 P 到 F2 的距离是() A.17 B. 7
2

C.7 或 17

D.2 或 22

12. (5 分)过抛物线 y=2x 的焦点的直线与抛物线交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)则 x1x2=() A.﹣2 B. C . ﹣4 D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13. (5 分)若直线 ax﹣y+1=0 经过抛物线 y =4x 的焦点,则实数 a=. 14. (5 分)若点(a,b)在直线 x+3y=1 上,则 2 +8 的最小值为. 15. (5 分)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,则抛物线的方程是. 16. (5 分)已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y=± ,则此双曲线的离心率为.
a b 2

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)已知△ ABC 中,已知 a=3

,c=2,B=150°,求 b 及 S△ ABC.

18. (12 分)在等差数列{an}中,已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8. 19. (12 分)已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(﹣3,m)到焦点 的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值.

20. (12 分) (文)已知函数 f(x)=x (x﹣a) . (1)若 f(x)在(2,3)上单调,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)在(2,3)上不单调,求实数 a 的取值范围. 21. (12 分)已知函数 f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x +x) . (1)若 ,求 F(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间;
2

2

(2)若 a≥1 恒成立,求证:f(x)≤g(x) . 22. (12 分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元, 月平均销售 a 件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果 表明,如果产品的销售价提高的百分率为 x(0<x<1) ,那么月平均销售量减少的百分率为 2 x .记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y(元) . (Ⅰ)写出 y 与 x 的函数关系式; (Ⅱ)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.

河南省郑州市盛同学校 2014-2015 学年高二上学期 12 月月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确答案) 1. (5 分)若命题“p∧q”为假,且?p 为假,则() A.“p∨q”为假 B.q 为假 C.p 为假

D.q 为真

考点: 命题的真假判断与应用. 分析: 根据复合命题的真值表,先由“≦p”为假,判断出 p 为真;再根据“p∧q”为假,判断 q 为假. 解答: 解:因为“≦p”为假, 所以 p 为真; 又因为“p∧q”为假, 所以 q 为假. 对于 A,p∨q 为真, 对于 C,D,显然错, 故选 B. 点评: 本题考查复合命题的真假与构成其两个简单命题的真假的关系:“p∧q”全真则真; : “p∧q”全假则假;“≦p”与 p 真假相反.

2. (5 分)命题“存在 x0∈R,2

≤0”的否定是()

A.不存在 x0∈R,2
x

>0

B. 存在 x0∈R,2

≥0
x

C. 对任意的 x∈R,2 ≤0 考点: 专题: 分析: 解答:

D.对任意的 x∈R,2 >0

特称命题;命题的否定. 简易逻辑. 根据特称命题的否定是全称命题,直接写出该命题的否定命题即可. 解:根据特称命题的否定是全称命题,得; ≤0”的否定是
x

命题“存在 x0∈R,2

“对任意的 x∈R,都有 2 >0”. 故选:D. 点评: 本题考查了全称命题与特称命题的应用问题,解题时应根据特称命题的否定是全称 命题,写出答案即可,是基础题.

3. (5 分)“k>9”是“方程 A.必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件

表示双曲线”的() B. 充分不必要条件 D.充要条件

考点: 双曲线的标准方程;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 可直接求出方程 谁,即可进行选项比对. 解答: 解:方程 表示双曲线的充要条件是(k﹣4) (9﹣k)<0,即 k>9 或 表示双曲线的充要条件,在看与条件“k>9”谁能推出

k<4. 由于“k>9”?“k>9 或 k<4”;反之不成立. 故选 B. 点评: 本小题主要考查双曲线的标准方程、必要条件、充分条件与充要条件的判断、不等 式的解法等基础知识,考查运算求解能力.方程 <0,n>0 即 mn<0.属于基础题. 4. (5 分)抛物线 A.(0,﹣4) 的焦点坐标是() B.(0,﹣2) C. D. 表示双曲线则须 m>0,n<0 或 m

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 把抛物线的方程化为标准方程,求出 p 值,再根据开口方向求得焦点坐标. 解答: 解:抛物线 的标准方程为 x =﹣8y,p=4,∴ =2,开口向下,
2

故焦点坐标为 (0,﹣2) , 故选 B. 点评: 本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,把抛物线的方程化为标准方程 是解题的关键. 5. (5 分)设 f(x)=xlnx,若 f′(x0)=2,则 x0=() A.e
2

B. e

C.

D.ln2

考点: 导数的乘法与除法法则. 分析: 利用乘积的运算法则求出函数的导数,求出 f'(x0)=2 解方程即可. 解答: 解:∵f(x)=xlnx ∴ ∵f′(x0)=2 ∴lnx0+1=2 ∴x0=e, 故选 B. 点评: 本题考查两个函数积的导数及简单应用.导数及应用是 2015 届高考中的常考内容, 要认真掌握,并确保得分.
2

6. (5 分)双曲线 y ﹣ A.y=±2x

=1 的渐近线方程为() B.y=± x C.y=± x D.y=± x

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 令方程的右边为 0,即可得到渐近线方程. 解答: 解:∵双曲线 ∴渐近线方程为 ,即

故选 C. 点评: 本题考查双曲线的渐近线方程,考查学生的计算能力,属于基础题. 7. (5 分)函数 f(x)=3x﹣4x (x∈)的最大值是() A.1 B. C. 0 D.﹣1
3

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 先求导数,根据函数的单调性研究出函数的极值点,连续函数 f(x)在区间(0,1) 内只有一个极值,那么极大值就是最大值,从而求出所求. 2 解答: 解:f'(x)=3﹣12x =3(1﹣2x) (1+2x) 令 f'(x)=0,解得:x= 或 (舍去)

当 x∈(0, )时,f'(x)>0,当 x∈( ,1)时,f'(x)<0, ∴当 x= 时 f(x) (x∈)的最大值是 f( )=1 故选 A. 点评: 本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值,连续函数在区间(a,b)内只有一个极 值,那么极大值就是最大值,属于基础题. 8. (5 分)函数 f(x)=e lnx 在点(1,f(1) )处的切线方程是() A.y=2e(x﹣1) B.y=ex﹣1 C.y=e(x﹣1) D.y=x﹣e 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的综合应用. 分析: 求导函数,切点切线的斜率,求出切点的坐标. ,即可得到切线方程. 解答: 解:求导函数,可得 f′(x)= ∴f′(1)=e, ∵f(1)=0,∴切点(1,0) x ∴函数 f(x)=e lnx 在点(1,f(1) )处的切线方程是 y﹣0=e(x﹣1) ,即 y=e(x﹣1) 故选 C. 点评: 本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题. 9. (5 分)已知两点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是() A. B.
x

C.

D.

考点: 椭圆的定义. 专题: 计算题. 分析: 根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,得到 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=4,得到 点 P 在以 F1,F2 为焦点的椭圆上,已知 a,c 的值,做出 b 的值,写出椭圆的方程. 解答: 解:∵F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,

∴|F1F2|=2, ∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项, ∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, 即|PF1|+|PF2|=4, ∴点 P 在以 F1,F2 为焦点的椭圆上, ∵2a=4,a=2 c=1 ∴b =3, ∴椭圆的方程是 故选 C. 点评: 本题考查椭圆的方程,解题的关键是看清点所满足的条件,本题是用定义法来求得 轨迹,还有直接法和相关点法可以应用.
2

10. (5 分)椭圆 的面积为() A.20

=1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 的连线互相垂直,则△ PF1F2

B.22

C.24

D.28

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据椭圆的标准方程求出焦点坐标,利用点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 的连线互相 垂直以及点 P 在椭圆上, 求出点 P 的纵坐标,从而计算出△ PF1F2 的面积. 解答: 解:由题意得 a=7,b=2 ,∴c=5,两个焦点 F1 (﹣5,0) ,F2(5,0) ,设点 P (m,n) , 则 由题意得 则△ PF1F2 的面积为 =﹣1, + =1,n =
2

,n=±



×2c×|n|= ×10×

=24,

故选 C. 点评: 本题考查两直线垂直时斜率之积等于﹣1,以及椭圆的简单性质的应用,考查计算能 力.

11. (5 分)双曲线



=1 的两个焦点分别是 F1,F2,双曲线上一点 P 到 F1 的距离是 12,

则 P 到 F2 的距离是() A.17 B. 7

C.7 或 17

D.2 或 22

考点: 双曲线的简单性质;双曲线的定义.

专题: 计算题. 分析: 由双曲线的方程,先求出 a=5,再利用双曲线的定义可求. 解答: 解:由题意,a=5,则由双曲线的定义可知 PF1﹣PF2=±10,∴PF2=2 或 22, 故选 D. 点评: 本题主要考查双曲线的定义,应注意避免增解. 12. (5 分)过抛物线 y=2x 的焦点的直线与抛物线交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)则 x1x2=() A.﹣2 B. C . ﹣4 D.
2

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题. 分析: 抛物线 y=2x 的标准方程是
2

,它的焦点 F(0, ) ,设过焦点 F(0, )的直

线是

,由

,得
2

,由此能得到



解答: 解:∵抛物线 y=2x , ∴抛物线的标准方程是 ,它的焦点 F(0, ) , ,

设过焦点 F(0, )的直线是



,得



∵直线与抛物线交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∴ .

故选 D. 点评: 本题考查直线和抛物线的位置关系,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注 意韦达定理的合理运用. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13. (5 分)若直线 ax﹣y+1=0 经过抛物线 y =4x 的焦点,则实数 a=﹣1. 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先求出抛物线的焦点坐标,然后代入即可求出 a. 2 解答: 解:直线 ax﹣y+1=0 经过抛物线 y =4x 的焦点 F(1,0) ,则 a+1=0∴a=﹣1. 故答案为:﹣1 点评: 本题主要考查抛物线的性质.属基础题.
2

14. (5 分)若点(a,b)在直线 x+3y=1 上,则 2 +8 的最小值为 2 考点: 基本不等式. 专题: 计算题.

a

b



分析: 由题意可得 a+3b=1,则 2 +8 =2 +2 ,利用基本不等式求出它的最小值. a b 1﹣3b 3b 解答: 解:∵点(a,b)在直线 x+3y=1 上,∴a+3b=1,则 2 +8 =2 +2 ≥2 ,当且仅 ﹣ 1 3b 3b 当2 =2 时,等号成立, 故答案为 2 . 点评: 本题主要考查基本不等式的应用,注意检验等号成立的条件,式子的变形是解题的 关键,属于基础题. 15. (5 分)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,则抛物线的方程是 y =8x. 考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题. 2 分析: 根据抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2,可设抛物线的方程为 y =2px(p>0) , 从而可求抛物线的方程. 解答: 解:∵抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=﹣2 2 ∴可设抛物线的方程为 y =2px(p>0) ∵ ∴2p=8 ∴抛物线的方程为 y =8x 2 故答案为:y =8x 点评: 本题重点考查抛物线的方程,解题的关键是根据抛物线的性质,设出抛物线的方程.
2 2

a

b

1﹣3b

3b

16. (5 分)已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y=±

,则此双曲线的离心率为 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y=± ,知双曲线的标准方程为

,由此能求出此双曲线的离心率. 解答: 解:∵焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y=± ,

∴设双曲线方程为

,λ>0,

∴双曲线的标准方程为



∴a =16λ,c =25λ, ∴此双曲线的离心率 e= 故答案为: . 点评: 本题考查双曲线的离心率的求法,是基础题.解题时要认真审题,注意双曲线渐近 线方程的合理运用. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (10 分)已知△ ABC 中,已知 a=3 = .

2

2

,c=2,B=150°,求 b 及 S△ ABC.

考点: 余弦定理;三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 2 分析: 利用余弦定理表示出 b 的式子,把 a,c 以及 cosB 的值代入即可得到关于 b 的方程, 开方后得到 b 的值;利用三角形的面积公式表示出 S△ ABC,把 a,c 及 sinB 的值代入即可求出 值. 解答: 解:由 a=3 ,c=2,cosB=cos150°=﹣ ,根据余弦定理得: , ∴b=7, 又 sinB=sin150°= , 则 .

点评: 此题的关键是利用余弦定理建立已知与未知的关系,从而列出关于 b 的方程.要求 学生熟练掌握余弦定理及三角形的面积公式,牢记特殊角的三角函数值. 18. (12 分)在等差数列{an}中,已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由 a6=10,S5=5,结合等差数列的通项公式及求和公式可求 a1,d,然后代入等差数 列的通项公式及求和公式 a8=a1+7d,S8=8 解答: 解:∵a6=10,S5=5, ∴ 解方程可得,a1=﹣5,d=3 ∴a8=a1+7d=16; S8=8 =8×(﹣5)+28×3=44 即可求解

点评: 本题主要考查了利用基本量表示等差数列的项及和,解题的关键是通项公式及求和 公式的简单应用 19. (12 分)已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(﹣3,m)到焦点 的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值. 考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 先设抛物线的标准方程,把点 M 代入抛物线方程求得 m 和 p 的关系,根据 M 到焦 点的距离求得 m 和 p 的另一个关系式,联立方程求得 m 和 p. 解答: 解:设抛物线方程为 y =﹣2px(p>0)点 F(﹣ ,0)由题意可得
2

,解之得
2





故所求的抛物线方程为 y =﹣8x,m 的值为±2 点评: 本题主要考查抛物线的标准方程,考查了对抛物线基础知识的理解和应用. 20. (12 分) (文)已知函数 f(x)=x (x﹣a) . (1)若 f(x)在(2,3)上单调,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)在(2,3)上不单调,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求出原函数的导函数,得到导函数为 0 的 x 值是 0 和 上单调,则说明其中的一个根 根据 f(x)在(2,3)
2

不在(2,3)内,由此列不等式可解实数 a 的取值范围; 在(2,3)内,由此列不等式可解实

(2)f(x)在(2,3)上不单调,说明其中的一个根 数 a 的取值范围.

解答: 解:由 f(x)=x ﹣ax ,得 f′(x)=3x ﹣2ax=3x(x﹣ (1)若 f(x)在(2,3)上单调,则 ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,3]∪ (2)若 f(x)在(2,3)上不单调,则有 2< ∴实数 a 的取值范围是(3, ) . ≤2,或

3

2

2

) .

≥3,解得:a≤3,或 a≥ .

<3,解得:3<a< .

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数在某一区间上单调,说明其导函数在 该区间内无解, 若一个函数的导函数是二次函数, 函数在某一区间内不单调的条件是导函数有 不等根且至少有一根在该区间内,此题是中档题.

21. (12 分)已知函数 f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x +x) . (1)若 ,求 F(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间;

2

(2)若 a≥1 恒成立,求证:f(x)≤g(x) . 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)把 a 的值代入,求出函数 F(x)的定义域,求其导函数,由导函数大于 0 求解 x 的取值范围,得函数的增区间,由导函数小于 0 求解 x 的取值范围,得其减区间; (2)构造辅助函数 h(x)=f(x)﹣g(x) ,利用导数求该函数在其定义域内的最大值,由 a 的范围得到其最大值小于等于 0,从而问题得证. 解答: (1)解:当 时, (x>0) ,

∵x>0,∴当 0<x<2 时,F'(x)>0,当 x>2 时,F'(x)<0, ∴F(x)的增区间为(0,2) ,减区间为(2,+∞) ; 2 (2)证明:令 h(x)=f(x)﹣g(x)=lnx+2x﹣a(x +x) (x>0) , 则由 解得 ∴当 x∈ 当 x∈ ∴当 . 时,h (x)>0,h(x)在 时,h (x)<0,h(x)在 时,h(x)有极大值, , ,∴ .
′ ′



上增, 上减.

∵a≥1,∴

而 h(x)在(0,+∞)上的极大值也就是最大值. ∴ ,所以 f(x)≤g(x) .

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了利用构造函数法比较两个函数的函 数值大小,在公共定义域范围内,两个函数的差函数的函数恒小于 0,说明被减函数的函数值 恒小于减函数的函数值,此题是中档题. 22. (12 分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元, 月平均销售 a 件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果 表明,如果产品的销售价提高的百分率为 x(0<x<1) ,那么月平均销售量减少的百分率为 2 x .记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是 y(元) . (Ⅰ)写出 y 与 x 的函数关系式;

(Ⅱ)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 考点: 函数的表示方法;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 应用题. 2 分析: (I)由题易知每件产品的销售价为 20(1+x) ,则月平均销售量为 a(1﹣x )件,利 润则是二者的积去掉成本即可. (II)由(1)可知,利润函数是一元三次函数关系,可以对其求导解出其最值. 解答: 解: (I)改进工艺后,每件产品的销售价为 20(1+x) ,月平均销售量为 a(1﹣x ) 件, 2 则月平均利润 y=a(1﹣x )?, 2 3 ∴y 与 x 的函数关系式为 y=5a(1+4x﹣x ﹣4x ) . 2 3 故函数关系式为:y=5a(1+4x﹣x ﹣4x ) (0<x<1) (II)由 y'=5a(4﹣2x﹣12x )=0 得 当 时 y'>0;
2 3 2 2



(舍)

时 y'<0, 取得最大值 =30 元时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润

∴函数 y=5a(1+4x﹣x ﹣4x ) (0<x<1)在 故改进工艺后,产品的销售价为

最大 点评: 利润最值问题是高中数学应用的重点考查内容,要知道利润=收入﹣成本.并且,一 元三次函数求最值,通常对其求导解出其最值


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