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2016届湖南省娄底市高三(下)期中数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年湖南省娄底市高三(下)期中数学试卷(理科)

一.选择题:(每题 5 分) 1.若复数 z=i(3﹣2i)(i 是虚数单位),则 =( A.2﹣3i B.2+3i C.3+2i ) D.(﹣∞,1] ) D.3﹣2i

2.设集合 M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则 M∪N=( A.[0,1] B.(0

,1]

C.[0,1)

3.(5 分)(2015 四川)设 a、b 都是不等于 1 的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的 ( ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )的图象,只需将函数 y=sin4x 的图象

A.充要条件 C.必要不充分条件

4.(5 分)(2015 山东)要得到函数 y=sin(4x﹣ ( ) 单位 单位 B.向右平移 D.向右平移 单位 单位

A.向左平移 C.向左平移

5.(5 分)(2015 浙江)命题“?n∈N*,f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定形式是(



A.?n∈N*,f(n)?N*且 f(n)>n C.?n0∈N*,f(n0)?N*且 f(n0)>n0

B.?n∈N*,f(n)?N*或 f(n)>n D.?n0∈N*,f(n0)?N*或 f(n0)>n0

6.(5 分)(2015 湖南)设函数 f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则 f(x)是(



A.奇函数,且在(0,1)上是增函数

B.奇函数,且在(0,1)上是减函数

C.偶函数,且在(0,1)上是增函数

D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

7.(5 分)(2015 新课标 II)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1) =0,当 x>0 时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( )

A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) ﹣1)∪(﹣1,0)

B.(﹣1,0)∪(1,+∞)

C.(﹣∞,

D.(0,1)∪(1,+∞)

8.(5 分)(2015 安徽)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 均为正的常数)的最 小正周期为 π,当 x= 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )

A.f(2)<f(﹣2)<f(0) <f(0)<f(2)

B.f(0)<f(2)<f(﹣2) C.f(﹣2)

D.f(2)<f(0)<f(﹣2) ,若 P 点是△ ABC 所在平面

9.(5 分)(2015 福建)已知

内一点,且 A.13 B.15

,则

的最大值等于( C.19

) D.21

10.(5 分)(2015 福建)若 a,b 是函数 f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零 点,且 a,b,﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于( A.6 ) B.7 C .8 D.9 ,则满足 f(f(a))=2f(a)的

11.(5 分)(2015 山东)设函数 f(x)= a 的取值范围是( A.[ ,1] ) B.[0,1]

C.[ ,+∞)

D.[1,+∞)

12.(5 分)(2015 福建)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=﹣1,其导函数 f′(x) 满足 f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是( A. B. D. C. )

二.填空题:(每题 5 分)

13.(5 分)(2015 江苏)已知 tanα=﹣2,tan(α+β)= ,则 tanβ 的值为



14.在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=25,则 a2+a8= 15.(5 分)(2015 春巫山县校级期末)若非零向量 f(x)满足| |= ,则 与 的夹角为 .

. | |,且

16.(5 分)(2015 天津)曲线 y=x2 与 y=x 所围成的封闭图形的面积为



三.解答题:(第 17 题 10 分,其余的每题 12 分) 17.(10 分)(2015 资阳模拟)已知向量 =(1,3cosα), =(1,4tanα), ,且 (Ⅰ) 求| + |; (Ⅱ) 设向量 与 的夹角为 β,求 tan(α+β)的值. 18.(12 分)(2015 山东)设 f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+ (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f( )=0,a=1,求△ ABC 面积的最大值. 19.(12 分)(2016 春娄底期中)设 a 为实数,给出命题 p:函数 f(x)=(a﹣ )x 是 R 上的减函数,命题 q:关于 x 的不等式( )|x﹣1|≥a 的解集为?. (1)若 p 为真命题,求 a 的取值范围; (2)若 q 为真命题,求 a 的取值范围; (3)若“p 且 q”为假命题,“p 或 q”为真命题,求 a 的取值范围. 20.(12 分)(2015 湖北)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的 公比为 q,已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. ). =5.

21.(12 分)(2015 重庆)设函数 f(x)=

(a∈R)

(Ⅰ)若 f(x)在 x=0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f(x)在[3,+∞)上为减函数,求 a 的取值范围. 22.(12 分)(2015 新余校级模拟)已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a≠0). (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 f(x)+(a+1)x+4﹣e≤0 对任意 x∈[e,e2]恒成立,求实数 a 的取值范围(e 为自 然常数); +ln +ln +…+ln n∈N*) (Ⅲ) 求证 ln (22+1) (32+1) (42+1) (n2+1) <1+2lnn! (n≥2, (n!=1×2×3×…×n) .

2015-2016 学年湖南省娄底市高三 (下) 期中数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一.选择题:(每题 5 分) 1.若复数 z=i(3﹣2i)(i 是虚数单位),则 =( A.2﹣3i B.2+3i C.3+2i ) D.3﹣2i

【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可. 【解答】解:复数 z=i(3﹣2i)=2+3i,则 =2﹣3i, 故选:A. 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念,考查计算能力.

2.设集合 M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则 M∪N=( A.[0,1] B.(0,1]

) D.(﹣∞,1]

C.[0,1)

【分析】求解一元二次方程化简 M,求解对数不等式化简 N,然后利用并集运算得答案.

【解答】解:由 M={x|x2=x}={0,1}, N={x|lgx≤0}=(0,1], 得 M∪N={0,1}∪(0,1]=[0,1]. 故选:A. 【点评】本题考查了并集及其运算,考查了对数不等式的解法,是基础题.

3.(5 分)(2015 四川)设 a、b 都是不等于 1 的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的 ( ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充要条件 C.必要不充分条件

【分析】求解 3a>3b>3,得出 a>b>1, loga3<logb3, 或 根据对数函数的性质求解即可,

再利用充分必要条件的定义判断即可. 【解答】解:a、b 都是不等于 1 的正数, ∵3a>3b>3, ∴a>b>1, ∵loga3<logb3, ∴ 即 , <0,

或 求解得出:a>b>1 或 1>a>b>0 或 b>1,0<a<1 根据充分必要条件定义得出:“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分条不必要件,

故选:B.

【点评】本题综合考查了指数,对数函数的单调性,充分必要条件的定义,属于综合题目, 关键是分类讨论.

4.(5 分)(2015 山东)要得到函数 y=sin(4x﹣ ( ) 单位 单位 B.向右平移 D.向右平移 单位 单位

)的图象,只需将函数 y=sin4x 的图象

A.向左平移 C.向左平移

【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可. 【解答】解:因为函数 y=sin(4x﹣ 要得到函数 y=sin(4x﹣ )=sin[4(x﹣ )], 单位.

)的图象,只需将函数 y=sin4x 的图象向右平移

故选:B. 【点评】本题考查三角函数的图象的平移,值域平移变换中 x 的系数是易错点.

5.(5 分)(2015 浙江)命题“?n∈N*,f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定形式是(



A.?n∈N*,f(n)?N*且 f(n)>n C.?n0∈N*,f(n0)?N*且 f(n0)>n0

B.?n∈N*,f(n)?N*或 f(n)>n D.?n0∈N*,f(n0)?N*或 f(n0)>n0

【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 【解答】解:命题为全称命题, 则命题的否定为:?n0∈N*,f(n0)?N*或 f(n0)>n0, 故选:D. 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.

6.(5 分)(2015 湖南)设函数 f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则 f(x)是(



A.奇函数,且在(0,1)上是增函数

B.奇函数,且在(0,1)上是减函数

C.偶函数,且在(0,1)上是增函数

D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

【分析】求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.

【解答】解:函数 f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),函数的定义域为(﹣1,1),

函数 f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=﹣f(x),所以函数是 奇函数. 排除 C,D,正确结果在 A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0 时,f(0)=0;

x= 时,f( )=ln(1+ )﹣ln(1﹣ )=ln3>1,显然 f(0)<f( ),函数是增函数, 所以 B 错误,A 正确. 故选:A. 【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用,考查计算能力.

7.(5 分)(2015 新课标 II)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1) =0,当 x>0 时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( )

A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) ﹣1)∪(﹣1,0)

B.(﹣1,0)∪(1,+∞)

C.(﹣∞,

D.(0,1)∪(1,+∞) 为

【分析】由已知当 x>0 时总有 xf′(x)﹣f(x)<0 成立,可判断函数 g(x)=

减函数,由已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,可证明 g(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞) 上的偶函数,根据函数 g(x)在(0,+∞)上的单调性和奇偶性,模拟 g(x)的图象,而 不等式 f(x)>0 等价于 xg(x)>0,数形结合解不等式组即可.

【解答】解:设 g(x)=

,则 g(x)的导数为:g′(x)=



∵当 x>0 时总有 xf′(x)<f(x)成立, 即当 x>0 时,g′(x)恒小于 0, ∴当 x>0 时,函数 g(x)= 又∵g(﹣x)= = 为减函数, = =g(x),

∴函数 g(x)为定义域上的偶函数 又∵g(﹣1)= =0,

∴函数 g(x)的图象性质类似如图: 数形结合可得,不等式 f(x)>0?xg(x)>0 ? 或 ,

?0<x<1 或 x<﹣1. 故选:A.

【点评】 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性, 并由函数的奇偶性和单调性解不等式, 属于综合题.

8.(5 分)(2015 安徽)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 均为正的常数)的最 小正周期为 π,当 x= 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )

A.f(2)<f(﹣2)<f(0) <f(0)<f(2)

B.f(0)<f(2)<f(﹣2) C.f(﹣2)

D.f(2)<f(0)<f(﹣2) 时,函数 f(x)取得最小值,可解得 φ,从而可求

【分析】依题意可求 ω=2,又当 x= 解析式 f(x)=Asin(2x+

),利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小.

【解答】解:依题意得,函数 f(x)的周期为 π, ∵ω>0, ∴ω= =2. 时,函数 f(x)取得最小值, ,k∈Z,可解得:φ=2kπ+ )=Asin(2x+ )=Asin( ). ,k∈Z,

又∵当 x= ∴2×

+φ=2kπ+

∴f(x)=Asin(2x+2kπ+ ∴f(﹣2)=Asin(﹣4+ f(2)=Asin(4+ f(0)=Asin 又∵ >

﹣4+2π)>0.

)<0, >0, > ,而 f(x)=Asinx 在区间( , )是单调递减的,

=Asin ﹣4+2π>

∴f(2)<f(﹣2)<f(0). 故选:A. 【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,三角函数的图象与性质,用诱导公式 将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键,属于中档题.

9.(5 分)(2015 福建)已知

,若 P 点是△ ABC 所在平面

内一点,且 A.13 B.15

,则

的最大值等于( C.19

) D.21

【分析】建系,由向量式的几何意义易得 P 的坐标,可化 =17﹣( +4t),由基本不等式可得. 【解答】解:由题意建立如图所示的坐标系, 可得 A(0,0),B( ,0),C(0,t),

=﹣( ﹣1)﹣4(t﹣4)



,∴P(1,4),

∴ ∴

=( ﹣1,﹣4),

=(﹣1,t﹣4),

=﹣( ﹣1)﹣4(t﹣4)=17﹣( +4t), =4,

由基本不等式可得 +4t≥2 ∴17﹣( +4t)≤17﹣4=13, 当且仅当 =4t 即 t= 时取等号, ∴ 的最大值为 13,

故选:A.

【点评】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.

10.(5 分)(2015 福建)若 a,b 是函数 f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零 点,且 a,b,﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于( A.6 ) B.7 C .8 D.9

【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到 a+b=p,ab=q,再由 a,b,﹣2 这三个数可适 当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列列关于 a,b 的方程组,求得 a,b 后得答 案. 【解答】解:由题意可得:a+b=p,ab=q, ∵p>0,q>0, 可得 a>0,b>0, 又 a,b,﹣2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,

可得 解①得:

①或 ;解②得:

②. .

∴p=a+b=5,q=1×4=4, 则 p+q=9. 故选:D. 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,考查了等差数列和等比数列的性质,是 基础题.

11.(5 分)(2015 山东)设函数 f(x)= a 的取值范围是( A.[ ,1] ) B.[0,1]

,则满足 f(f(a))=2f(a)的

C.[ ,+∞)

D.[1,+∞)

【分析】令 f(a)=t,则 f(t)=2t,讨论 t<1,运用导数判断单调性,进而得到方程无解, 讨论 t≥1 时,以及 a<1,a≥1,由分段函数的解析式,解不等式即可得到所求范围.

【解答】解:令 f(a)=t, 则 f(t)=2t, 当 t<1 时,3t﹣1=2t, 由 g(t)=3t﹣1﹣2t 的导数为 g′(t)=3﹣2tln2, 在 t<1 时,g′(t)>0,g(t)在(﹣∞,1)递增, 即有 g(t)<g(1)=0,

则方程 3t﹣1=2t 无解; 当 t≥1 时,2t=2t 成立, 由 f(a)≥1,即 3a﹣1≥1,解得 a≥ ,且 a<1; 或 a≥1,2a≥1 解得 a≥0,即为 a≥1. 综上可得 a 的范围是 a≥ . 故选 C. 【点评】本题考查分段函数的运用,主要考查函数的单调性的运用,运用分类讨论的思想方 法是解题的关键.

12.(5 分)(2015 福建)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=﹣1,其导函数 f′(x) 满足 f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是( A. B. D. 【分析】 根据导数的概念得出 > ,即可判断答案. >k>1, 用 x= 代入可判断出 f ( ) C. )

【解答】解;∵f′(x)= f′(x)>k>1, ∴ 即 当 x= 即 f( 故 f( 所以 f( 故选:C. >k>1, >k>1, 时,f( ) )> )< )+1> ﹣1= , ,一定出错, ×k= ,

【点评】 本题考查了导数的概念, 不等式的化简运算, 属于中档题, 理解了变量的代换问题.

二.填空题:(每题 5 分) 13.(5 分)(2015 江苏)已知 tanα=﹣2,tan(α+β)= ,则 tanβ 的值为 3 .

【分析】直接利用两角和的正切函数,求解即可. 【解答】解:tanα=﹣2,tan(α+β)= , 可知 tan(α+β)= 即 解得 tanβ=3. 故答案为:3. 【点评】本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查. = , = ,

14.在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=25,则 a2+a8= 10 . 【分析】根据等差数列的性质,化简已知的等式即可求出 a5 的值,然后把所求的式子也利 用等差数列的性质化简后,将 a5 的值代入即可求出值. 【解答】解:由 a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=25, 得到 a5=5, 则 a2+a8=2a5=10. 故答案为:10. 【点评】本题主要考查了等差数列性质的简单应用,属于基础试题

15.(5 分)(2015 春巫山县校级期末)若非零向量 f(x)满足| |= ,则 与 的夹角为 .

| |,且

【分析】由 的运算,并带入

,便得到 即可得到 ,从而得出

,进行数量积 .

【解答】解:根据条件, = ∴ ∴ ∴ 与 的夹角为 故答案为: . . ; ; ;

【点评】考查数量积的运算及其计算公式,向量夹角的概念及范围,以及已知三角函数值求 角.

16.(5 分)(2015 天津)曲线 y=x2 与 y=x 所围成的封闭图形的面积为



【分析】先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限为 0,积分上限为 1,从而利用 定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可. 【解答】解:先根据题意画出图形,得到积分上限为 1,积分下限为 0 直线 y=x 与曲线 y=x2 所围图形的面积 S=∫01(x﹣x2)dx 而∫01(x﹣x2)dx=( ∴曲边梯形的面积是 . 故答案为: . )|01= ﹣ =

【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力,以及考查了数形结合的思想,同时会利 用定积分求图形面积的能力,解题的关键就是求原函数.

三.解答题:(第 17 题 10 分,其余的每题 12 分) 17.(10 分)(2015 资阳模拟)已知向量 =(1,3cosα), =(1,4tanα), ,且 (Ⅰ) 求| + |; (Ⅱ) 设向量 与 的夹角为 β,求 tan(α+β)的值. 【分析】(Ⅰ)由向量的数量积的坐标公式化简即得 sinα,由同角公式,求得 cosα,tanα, 得到向量 m,n,再由模的公式即可得到所求的值; (Ⅱ)运用向量的夹角公式,求得 cosβ,进而得到 sinβ,tanβ,再由两角和的正切公式,即 可得到所求的值. 【解答】解:(Ⅰ)由 =(1,3cosα), =(1,4tanα), 则 因为 则 =(1,2 则 即有| = |= = ), =(1, , ; ), =(1, = , ), =1+12cosαtanα=5,解得 ,所以 ) , , . =5.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 =(1,2 则 cosβ=cos< >=

即有

,所以



所以



【点评】 本题考查平面向量的运用和两角和的正切公式及运用, 考查向量的数量积的坐标公 式和性质及运用,考查运算能力,属于中档题.

18.(12 分)(2015 山东)设 f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+ (Ⅰ)求 f(x)的单调区间;

).

(Ⅱ)在锐角△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f( )=0,a=1,求△ ABC 面积的最大值. 【分析】(Ⅰ)由三角函数恒等变换化简解析式可得 f(x)=sin2x﹣ ,由 2k ≤2x≤2k ,k∈Z 可解得 f(x)的单调递增区间,由 2k ≤2x≤2k ,k∈Z 可

解得单调递减区间. (Ⅱ)由 f( )=sinA﹣ =0,可得 sinA,cosA,由余弦定理可得:bc 时等号成立,从而可求 bcsinA≤ ,从而得解. ,且当 b=c

【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,f(x)= sin2x﹣

= sin2x﹣ =sin2x﹣ 由 2k 由 2k ≤2x≤2k ≤2x≤2k ,k∈Z 可解得:k ,k∈Z 可解得:k ,k ≤ x≤ k ≤ x≤ k ,k∈Z; ,k∈Z; ,

所以 f(x)的单调递增区间是[k k ],(k∈Z);

], (k∈Z);单调递减区间是:[k

(Ⅱ)由 f( )=sinA﹣ =0,可得 sinA= , 由题意知 A 为锐角,所以 cosA= 由余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA, 可得:1+ bc=b2+c2≥2bc,即 bc , . ,且当 b=c 时等号成立. ,

因此 S= bcsinA≤

所以△ ABC 面积的最大值为

【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质,余弦定理,基本不等式的应用,属于基本 知识的考查.

19.(12 分)(2016 春娄底期中)设 a 为实数,给出命题 p:函数 f(x)=(a﹣ )x 是 R 上的减函数,命题 q:关于 x 的不等式( )|x﹣1|≥a 的解集为?. (1)若 p 为真命题,求 a 的取值范围; (2)若 q 为真命题,求 a 的取值范围; (3)若“p 且 q”为假命题,“p 或 q”为真命题,求 a 的取值范围. 【分析】(1),(2)根据指数函数的性质求出 a 的范围即可;(3)通过讨论 p,q 的真假, 求出 a 的范围即可. 【解答】解:(1)命题 p:“函数 f(x)=(a﹣ )x 是 R 上的减函数”为真命题,

得 0<a﹣ <1,∴ <a< ; (2)由 q 为真命题,则由 0<
|x﹣1|

≤1,得 a>1;

(3)∵p 且 q 为假,p 或 q 为真,∴p、q 中一真一假, 若 p 真 q 假,则 a 不存在; 若 p 假 q 真,则 1<a≤ 或 a≥ ; 综上,a 的取值范围为:1<a≤ 或 a≥ . 【点评】本题考查了指数函数的性质,考查复合命题的判断,是一道基础题.

20.(12 分)(2015 湖北)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的 公比为 q,已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

【分析】(1)利用前 10 项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可; (2)当 d>1 时,由(1)知 cn= 数列的求和公式,计算即可. 【解答】解:(1)设 a1=a,由题意可得 , ,写出 Tn、 Tn 的表达式,利用错位相减法及等比

解得

,或





时,an=2n﹣1,bn=2n﹣1; 时,an= (2n+79),bn=9





(2)当 d>1 时,由(1)知 an=2n﹣1,bn=2n﹣1, ∴cn= = ,

∴Tn=1+3 +5 ∴ Tn=1 +3 ∴ Tn=2+ + ∴Tn=6﹣

+7 +5 + .

+9 +7 +

+…+(2n﹣1) +…+(2n﹣3) +…+

, +(2n﹣1) =3﹣ , ,

﹣(2n﹣1)

【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法 的积累,属于中档题.

21.(12 分)(2015 重庆)设函数 f(x)=

(a∈R)

(Ⅰ)若 f(x)在 x=0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f(x)在[3,+∞)上为减函数,求 a 的取值范围. 【分析】(I)f′(x)= ,由 f(x)在 x=0 处取得极值,可得 f′(0)

=0,解得 a.可得 f(1),f′(1),即可得出曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方 程; (II)解法一:由(I)可得:f′(x)= ,令 g(x)=﹣3x2+(6﹣a)

x+a,由 g(x)=0,解得 x1=

,x2=

.对 x 分类讨论:当 x

f x) +∞) x2= <x1 时; 当 x1<x<x2 时; 当 x>x2 时. 由( 在[3, 上为减函数, 可知: ≤3,解得即可. +∞) “分离参数法”: ′ x) ≤0, 解法二: 由f (x) 在[3, 上为减函数, 可得 f( 可得 a≥ ,

在[3,+∞)上恒成立.令 u(x)=

,利用导数研究其最大值即可.

【解答】解:(I)f′(x)=

=



∵f(x)在 x=0 处取得极值,∴f′(0)=0,解得 a=0. 当 a=0 时,f(x)= ,f′(x)= ,

∴f(1)= ,f′(1)= , ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 ,化为:3x﹣ey=0;

(II)解法一:由(I)可得:f′(x)= x+a, 由 g(x)=0,解得 x1= ,x2=

,令 g(x)=﹣3x2+(6﹣a)



当 x<x1 时,g(x)<0,即 f′(x)<0,此时函数 f(x)为减函数; 当 x1<x<x2 时,g(x)>0,即 f′(x)>0,此时函数 f(x)为增函数; 当 x>x2 时,g(x)<0,即 f′(x)<0,此时函数 f(x)为减函数. 由 f(x)在[3,+∞)上为减函数,可知:x2= ≤3,解得 a≥﹣ .

因此 a 的取值范围为:



解法二:由 f(x)在[3,+∞)上为减函数,∴f′(x)≤0, 可得 a≥ ,在[3,+∞)上恒成立.

令 u(x)=

,u′(x)=

<0,

∴u(x)在[3,+∞)上单调递减, ∴a≥u(3)=﹣ . 因此 a 的取值范围为: .

【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函 数的单调性极值,考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力,属于难 题.

22.(12 分)(2015 新余校级模拟)已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a≠0). (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 f(x)+(a+1)x+4﹣e≤0 对任意 x∈[e,e2]恒成立,求实数 a 的取值范围(e 为自 然常数);

+ln +ln +…+ln n∈N*) (Ⅲ) 求证 ln (22+1) (32+1) (42+1) (n2+1) <1+2lnn! (n≥2, (n!=1×2×3×…×n) .

【分析】(Ⅰ)求导 f′(x)=

(x>0),从而判断函数的单调性;

(Ⅱ)令 F(x)=alnx﹣ax﹣3+(a+1)x+4﹣e=alnx+x+1﹣e,从而求导 F′(x)=

,再由

导数的正负讨论确定函数的单调性, 从而求函数的最大值, 从而化恒成立问题为最值问题即 可; (Ⅲ)令 a=﹣1,此时 f(x)=﹣lnx+x﹣3,从而可得 f(1)=﹣2,且 f(x)=﹣lnx+x﹣3 在(1,+∞)上单调递增,从而可得﹣lnx+x﹣1>0,即 lnx<x﹣1 对一切 x∈(1,+∞)成 n∈N*, 立, 从而可得若 n≥2, 则有 ln ( +1) < < = ﹣ , 从而化 ln (22+1) +1)+ln( +1)

+ln(32+1)+ln(42+1)+…+ln(n2+1)<1+2lnn!(n≥2,n∈N*)为 ln( +…+ln( +1)<1(n≥2,n∈N*);从而证明. (x>0),

【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=

当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],单调减区间为[1,+∞); 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+∞),单调减区间为(0,1]; (Ⅱ)令 F(x)=alnx﹣ax﹣3+(a+1)x+4﹣e=alnx+x+1﹣e,则 F′(x)= ,

若﹣a≤e,即 a≥﹣e, F(x)在[e,e2]上是增函数, F(x)max=F(e2)=2a+e2﹣e+1≤0, a≤ ,无解.

若 e<﹣a≤e2,即﹣e2≤a<﹣e, F(x)在[e,﹣a]上是减函数;在[﹣a,e2]上是增函数, F(e)=a+1≤0,即 a≤﹣1. F(e2)=2a+e2﹣e+1≤0,即 a≤ ,

∴﹣e2≤a≤



若﹣a>e2,即 a<﹣e2, F(x)在[e,e2]上是减函数, F(x)max=F(e)=a+1≤0,即 a≤﹣1, ∴a<﹣e2, 综上所述,a≤ .

(Ⅲ)证明:令 a=﹣1,此时 f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以 f(1)=﹣2, 由(Ⅰ)知 f(x)=﹣lnx+x﹣3 在(1,+∞)上单调递增, ∴当 x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),即﹣lnx+x﹣1>0, ∴lnx<x﹣1 对一切 x∈(1,+∞)成立, ∵n≥2,n∈N*,则有 ln( +1)< < = ﹣ ,

要证 ln(22+1)+ln(32+1)+ln(42+1)+…+ln(n2+1)<1+2lnn!(n≥2,n∈N*),

只需证 ln( ln(

+1)+ln(

+1)+…+ln( +1)

+1)<1(n≥2,n∈N*);

+1)+ln(

+1)+…+ln(

<(1﹣ )+( ﹣ )+…+( 所以原不等式成立.

﹣ )=1﹣ <1;

【点评】本题考查了导数的综合应用,放缩法证明不等式,裂项求和法等的应用,同时考查 了恒成立问题及分类讨论的数学思想应用,属于难题.


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