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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 (理)福建版


第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫

做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语
句叫做假命题.

理解此概念应注意: (1)并不是任何陈述句都是命题,只有能判断真假的陈述 句才是命题; (2)一般来说,疑问句、

祈使句、感叹句都不是命题; (3)命题一般都是陈述句.另外,科学猜想也是命题.因 为随着科学技术的发展与时间的推移,总能确定其真假.

例如“在2020年前,将有人类登上火星”等.

2.四种命题及其关系 (1)四种命题 若原命题为“若p,则q”,则其逆命题是若q,则p;否命题 是若?p,则?q;逆否命题是若?q,则?p.

否命题是命题的否定吗? 【提示】 不是,命题的否命题既否定命题的条件,又

否定命题的结论,而命题的否定只否定命题的结论。

(2)四种命题间的关系

“原命题”与“逆否命题”互为逆否 命题.“逆命题”和“否命题”互为逆否命题.互为逆否命题的两个 命题具有相同的真假性,而互逆与互否的两个命题真假性不一定相 同.

3.充要条件 (1)若p?q且q?/p,则p是q的充分不必要条件,q是p 的必要不充分条件; 若p?q且q?p,则p是q的充分必要条件,q也是p的 充分必要条件. (2)若A、B为两个集合,满足A?B,则A是B的充分 不必要条件,B是A的必要不充分条件; 若A=B,则A是B的充分必要条件.

1.(2009年江西卷)下列命题是真命题的为…………… ( A.若 = ,则x=y

)

B.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则 =

D.若x<y,则x2<y2 【解析】 由 = 得x=y,A正确,B、C、D错误. 【答案】 A

2.“x>1”是“x2>x”的………………………………………………( A.充分而不必要条件 C.充要条件 【解析】 【答案】 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

由x>1?x2>x,由x2>x?x<0或x>1, A )

故“x>1”是“x2>x”的充分而不必要条件. 3.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是………( A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 【解析】 原命题的逆命题是:若一个数的平方是正数,则它是负数.

【答案】 B

4.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和 逆否命题中正确命题的个数是________. 【解析】 命题. 【答案】 2 其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假

5.i、j是不共线的单位向量,若a=5i+3j,b=3i-5j,,则a⊥b 的充要条件是________. 【解析】 a⊥b?a·b=0,即(5i+3j)·(3i-5j)=0,

即15i2-16i·j-15j2=0,∵|i|=|j|=1, ∴16i·j=0,即i·j=0,∴i⊥j.

【答案】 i⊥j

命题的关系及真假的判断 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它 们的真假. (1)面积相等的两个三角形是全等三角形. (2)若q<1,则方程x2+2x+q=0有实根. (3)若x2+y2=0,则实数x、y全为零. 【思路点拨】 先确定命题的条件和结论,然后写出其他命题并判断

真假.

【解析】 (1)逆命题:全等三角形的面积相等,真命题.

否命题:面积不相等的两个三角形不是全等三角形,真命题.
逆否命题:两个不全等的三角形的面积不相等,假命题. (2)逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q<1,假命题. 否命题:若q≥1,则方程x2+2x+q=0无实根,假命题. 逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则有q≥1,真命题. (3)逆命题:若实数x,y全为零,则x2+y2=0,真命题. 否命题:若x2+y2≠0,则实数x,y不全为零,真命题. 逆否命题:若实数x,y不全为零, 则x2+y2≠0,真命题.

命题的关系及真假的判断 用“充分条件、必要条件、充要条件”填空: (1)“a+b<0且ab>0”是“a<0且b<0”的________; (2)“x>1”是“ 【解析】 <1”的________; (3)“x=2”是“x2-7x+10=0”的________. (1)∵a+b<0且ab>0, ∴a,b同号且都是负数.

即a+b<0且ab>0?a<0且b<0.
又∵a<0且b<0, ∴a+b<0,ab>0, 即a<0且b<0?a+b<0且ab>0,

∴“a+b<0且ab>0”是“a<0且b<0”的充要条件.

(2)∵x>1时, <1成立,即x>1?<1,

又∵


<1时,x未必大于1(如x=-3),
<1?/ x>1, <1”的充分条件.

∴“x>1”是“

(3)∵当x=2时,x2-7x+10=4-14+10=0,
∴x=2?x2-7x+10=0, 当x2-7x+10=0时,则x1=2,x2=5, ∴x2-7x+10=0?/ x=2, ∴“x=2”是“x2-7x+10=0”的充分条件. 【答案】 (1)充要条件 (2)充分条件 (3)充分条件

判断p是q的什么条件,其实质是判断“若p则q”及其逆
命题“若q则p”是真是假,原命题为真而逆命题为假,p是q 的充分不必要条件;原命题为假而逆命题为真,则p是q的必 要不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则p是q的充要条 件;原命题为假,逆命题为假,则p是q的既不充分也不必要

条件,同时要注意反例法的运用.

1.给出以下命题,判断p是q的什么条件?

(1)p∶A=B,q∶sin A=sin B;
(2)p∶x>2且y>3,q∶x+y>5; (3)p∶正方形,q∶菱形; (4)p∶a>b,q∶. 【解析】 等于B,如 所以p是q的充分不必要条件. (1)当A=B时,sin A=sin B;当sin A=sin B时,A不一定

(2)当x>2且y>3时,x+y>5成立;
当x+y>5时,不一定有x>2且y>3成立.如x=0,y=6. 所以p是q的充分不必要条件. (3)正方形一定是菱形,菱形不一定是正方形, 所以p是q的充分而不必要条件.

(4)当a>b时,


不一定成立,如a=2,b=-1.

时,a>b不一定成立,如a=-3,b=2.

所以p是q的既不充分也不必要条件.

充要条件的应用 求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件 为a≤0或a=1.

【解析】 充分性:
当a=0时,方程变为2x+1=0,其根为x=- ,方程只有一负根. 当a=1时, 方程为x2+2x+1=0, 其根为x=-1, 方程只有一负根. 当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且 <0,方程 有一正一负根.

必要性: 若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根. 当a=0时,适合条件. 当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根, 则Δ=4-4a≥0,∴a≤1, 当a=1时,方程有一负根x=-1. 若方程有且仅有一负根,则 综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为

a≤0或a=1.

(1)条件已知证明结论成立是充分性.结论已知推出条件成立
是必要性; (2)证明分为两个环节,一是充分性;二是必要性.证明时,

不要认为它是推理过程的“双向书写”,而应该进行由条件
到结论,由结论到条件的两次证明; (3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形,这就要分清哪

是条件,哪是结论.

2.已知“|x-a|<1”是“x2-6x<0”的充分不必要条件,求实

数a的取值范围.
【解析】 ∵|x-a|<1,∴a-1<x<a+1. ∵x2-6x<0,∴0<x<6.

又∵|x-a|<1是x2-6x<0的充分不必要条件,
∴1≤a≤5. 经检验,当1≤a≤5时,由x2-6x<0不能推出|x-a|<1. 所以所求实数a的取值范围为1≤a≤5.

本节主要考查充分必要条件的推理判断以及四种命题的 相互关系问题. 本部分内容在高考试题中多以选择题、填空题的形式出 现,大多是以其他数学知识为载体,具有较强的综合性, 属于中档题目;有时也在解答题中出现,考查对概念的理 解与应用,难度不会太大.

1.(2009年湖南卷)对于非零向量a、b,“a+b=0”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

【解析】 当a+b=0时,a=-b,∴a∥b; 当a∥b时,不一定有a=-b. ∴“a+b=0”是“a∥b”的充分不必要条件. 【答案】 A 2.(2009年浙江卷)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下命题正确 的是…………………………………………………………………………( ) A.若l⊥α,α⊥β,则l?β B.若l∥α,α∥β,则l?β C.若l⊥α,α∥β,则l⊥β D.若l∥α,α⊥β,则l⊥β 【解析】 若两平面平行,一直线垂直于其中一个平面,则它垂直于另 一个平面,故选C. 【答案】 C

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