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江苏省泰州市泰兴中学2015-2016学年高一(上)期中数学试卷(解析版)


江苏省泰州市泰兴中学高一期中数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应 位置上. 1.设集合 A={3,m},B={3m,3},且 A=B,则实数 m 的值是 . 2 2.已知函数 f(2x﹣1)=4x ,则 f(1)= . 2 3.函数 f(x)=x +2(a﹣1)x+2 的减区间为(﹣∞,4],则 a= . 4.函数 f(x)= 5.函数 f(x)= 的定义域为 +2x 的值域为 . .

6.将指数函数 y=2x 的图象向右平移 2 个单位长度后,得到函数 y=f(x)的图象,则 f(x) = .

7.函数 f(x)= 8.计算:lg4+lg5?lg20+(lg5)2=

,且 f(1)+f(a)=﹣2,则 a 的取值集合为





9. f x) f 2) =0, 已知函数 ( 是定义在 (0, +∞) 上的函数, ( 且当 0<x1<x2 时有 >0,则不等式 f(x)<0 的解集是 . 10.若函数 y=|log2x|在区间(0,a]上单调递减,则实数 a 的取值范围是 . 2 11.若函数 y=x ﹣4x 的定义域为[﹣4,a],值域为[﹣4,32],则实数 a 的取值范围为 12.已知函数 f(x)=alog2x﹣blog3x+2,若 f( )=4,则 f=



,若函

数 f(x)的值域为 R,则实数 a 的取值范围是 . 14.函数 f(x)=ax2﹣2014x+2015(a>0) ,在区间[t﹣1,t+1](t∈R)上函数 f(x)的最 大值为 M,最小值为 N.当 t 取任意实数时,M﹣N 的最小值为 1,则 a= . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.已知集合 A={1,3,x2},B={1,2﹣x},且 B? A. (1)求实数 x 的值; (2)若 B∪C=A,且集合 C 中有两个元素,求集合 C. 16.二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求 a 的取值范围. 17.已知函数 f(x)=2|x﹣1|﹣x+1. (1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数 f(x)的图象; (2)根据函数 f(x)的图象回答下列问题: ①求函数 f(x)的单调区间;
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②求函数 f(x)的值域; ③求关于 x 的方程 f(x)=2 在区间[0,2]上解的个数. (回答上述 3 个小题都只需直接写出结果,不需给出演算步骤)

18.某厂生产某种产品 x(百台) ,总成本为 C(x) (万元) ,其中固定成本为 2 万元,每生 产 1 百台,成本增加 1 万元,销售收入 该产品产销平衡. (1)若要该厂不亏本,产量 x 应控制在什么范围内? (2)该厂年产多少台时,可使利润最大? (3)求该厂利润最大时产品的售价. 19.设函数 . (万元) ,假定

(1)当 a=b=2 时,证明:函数 f(x)不是奇函数; (2)设函数 f(x)是奇函数,求 a 与 b 的值; (3)在(2)条件下,判断并证明函数 f(x)的单调性,并求不等式 的解集.

20.已知函数 f(x)=|x﹣a|,g(x)=ax, (a∈R) . (1)若函数 y=f(x)是偶函数,求出符合条件的实数 a 的值; (2)若方程 f(x)=g(x)有两解,求出实数 a 的取值范围; (3)若 a>0,记 F(x)=g(x)?f(x) ,试求函数 y=F(x)在区间[1,2]上的最大值.

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2015-2016 学年江苏省泰州市泰兴中学高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应 位置上. 1.设集合 A={3,m},B={3m,3},且 A=B,则实数 m 的值是 0 . 【考点】集合的相等. 【分析】由 A=B 从而得到 m=3m,从而解出 m=0. 【解答】解:A=B; ∴m=3m; ∴m=0; 故答案为:0. 2.已知函数 f(2x﹣1)=4x2,则 f(1)= 4 . 【考点】函数的值. 【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可. 【解答】解:函数 f(2x﹣1)=4x2,则 f(1)=f(2×1﹣1)=4×12=4. 故答案为:4. 3.函数 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2 的减区间为(﹣∞,4],则 a= ﹣3 . 【考点】二次函数的性质. 【分析】求出函数的对称轴,结合函数的单调性求出 a 的值即可. 【解答】解:f﹙x)=x2+2﹙a﹣1﹚x+2 =x2+2﹙a﹣1﹚x+﹙a﹣1﹚2﹣﹙a﹣1﹚2+2 =[x+﹙a﹣1﹚]2﹣﹙a﹣1﹚2+2, f﹙x)是以 x=1﹣a 为对称轴,开口向上的抛物线, 函数 f(x)在区间﹙﹣∞,4﹚上是减函数, 故 4=1﹣a 解得:a=﹣3, 故答案为:3,

4.函数 f(x)=

的定义域为 (0,

]



【考点】对数函数的定义域. 【分析】根据开偶次方被开方数要大于等于 0,真数要大于 0,得到不等式组,根据对数的 单调性解出不等式的解集,得到结果. 【解答】解:函数 f(x)= ∴ ,x>0 要满足 1﹣2 ≥0,且 x>0

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∴ ∴

,x>0, ,x>0,

∴0 , 故答案为: (0,

]

5.函数 f(x)=

+2x 的值域为 [2,+∞) .

【考点】函数的值域. 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0 求出函数的定义域,再由函数的单调性求得答案. 【解答】解:由 x﹣1≥0,得 x≥1, 又 y= ∴f(x)= 为[1,+∞)上的增函数,y=2x 在[1,+∞)上也是增函数, +2x 是[1,+∞)上的增函数, +2x 的值域为[2,+∞) .

则 f(x)min=2,∴函数 f(x)= 故答案为:[2,+∞) .

6.将指数函数 y=2x 的图象向右平移 2 个单位长度后,得到函数 y=f(x)的图象,则 f(x) = 2x﹣2 . 【考点】指数函数的图象与性质. 【分析】直接根据图象的平移变换性质:左加右减,即可得到答案. 【解答】解:∵函数 y=2x 的图象经过的定点坐标是(0,1) , x ∴函数 y=2 的图象经过向右平移 2 个单位后,经过的定点坐标是(2,1) , x﹣2 ∴函数为 y=2 故答案为:2x﹣2

7.函数 f(x)=

,且 f(1)+f(a)=﹣2,则 a 的取值集合为 {﹣1,1} .

【考点】分段函数的应用. 【分析】由已知可得:f(a)=﹣1,结合已知中分段函数的解析式分类讨论满足条件的 a 值, 可得答案.

【解答】解:∵f(x)=



∴f(1)=﹣1, 若 f(1)+f(a)=﹣2,则 f(a)=﹣1, 当 a≥0 时,解 a2﹣2a=﹣1 得:a=1,

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当 a<0 时,解 =﹣1 得:a=﹣1, 故 a 的取值集合为:{﹣1,1}. 故答案为:{﹣1,1} 8.计算:lg4+lg5?lg20+(lg5)2= 2 . 【考点】对数的运算性质. 【分析】根据对数的运算性质化简计算即可. 【解答】解:lg4+lg5?lg20+(lg5)2=2lg2+lg5?(lg4+lg5)+(lg5)2=2lg2+lg5(2lg2+2lg5) =2lg2+2lg5=2, 故答案为:2.

9. f x) f 2) =0, 已知函数 ( 是定义在 (0, +∞) 上的函数, ( 且当 0<x1<x2 时有 >0,则不等式 f(x)<0 的解集是 (0,2) . 【考点】函数单调性的性质. 【分析】确定 f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(2)=0,f(x)<0,可得 f(x)<f(2) , 即可得出结论. 【解答】解:∵当 0<x1<x2 时有 ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增, 又 f(2)=0,f(x)<0, ∴f(x)<f(2) , ∵f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴不等式 f(x)<0 的解集是(0,2) . 故答案为: (0,2) . 10.若函数 y=|log2x|在区间(0,a]上单调递减,则实数 a 的取值范围是 (0,1] . 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【分析】确定函数 y=|log2x|的单调减区间、单调增区间,根据函数 y=|log2x|在区间(0, a]上单调递减,即可求得实数 a 的取值范围. 【解答】解:函数 y=|log2x|的单调减区间为(0,1],单调增区间为[1,+∞) ∵函数 y=|log2x|在区间(0,a]上单调递减, ∴0<a≤1 ∴实数 a 的取值范围是(0,1] 故答案为: (0,1] 11.若函数 y=x2﹣4x 的定义域为[﹣4,a],值域为[﹣4,32],则实数 a 的取值范围为 2 ≤a≤8 . 【考点】二次函数在闭区间上的最值. 【分析】先配方,再计算当 x=2 时,y=﹣4;当 x=﹣4 时,y=(﹣4﹣2)2﹣4=32,利用定 义域为[﹣4,a],值域为[﹣4,32],即可确定实数 a 的取值范围.
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>0,

【解答】解:配方可得:y=(x﹣2)2﹣4 当 x=2 时,y=﹣4;当 x=﹣4 时,y=(﹣4﹣2)2﹣4=32; ∵定义域为[﹣4,a],值域为[﹣4,32], ∴2≤a≤8 ∴实数 a 的取值范围为 2≤a≤8 故答案为:2≤a≤8

12.已知函数 f(x)=alog2x﹣blog3x+2,若 f( 【解答】解:由函数 f(x)=2+alog2x+blog3x,

)=4,则 f+f 的值.

得 f( )=2+alog2x+blog3x=2﹣alog2x﹣blog3x=4﹣(2+alog2x+blog3x) , 因此 f(x)+f( )=4, 再令 x=2016 得 f( 故答案为:0. )+f=4﹣f( )=0,

13.已知函数 f(x)=

,若函数 f(x)的值域为 R,则实数 a 的取值范围

是 (﹣5,4) . 【考点】函数的值域. 【分析】由函数的单调性求得函数 y=x+4 在(﹣∞,a)上的值域,然后分 a≤1 和 a>1 求 得 y=x2﹣2x(x≥a)的值域,结合函数 f(x)的值域为 R 列关于 a 的不等式求解. 【解答】解:函数 y=x+4 在(﹣∞,a)上为增函数,值域为(﹣∞,a+4) . 2 若 a≤1,y=x ﹣2x(x≥a)的值域为[﹣1,+∞) ,要使函数 f(x)的值域为 R,则 a+4>﹣ 1,得 a>﹣5, ∴﹣5<a≤1; 若 a>1,y=x2﹣2x(x≥a)的值域为[a2﹣2a,+∞) ,要使函数 f(x)的值域为 R,则 a+4 2 >a ﹣2a,解得﹣1<a<4, ∴1<a<4. 综上,使函数 f(x)的值域为 R 的实数 a 的取值范围是(﹣5,4) . 故答案为: (﹣5,4) . 14.函数 f(x)=ax2﹣2014x+2015(a>0) ,在区间[t﹣1,t+1](t∈R)上函数 f(x)的最 大值为 M,最小值为 N.当 t 取任意实数时,M﹣N 的最小值为 1,则 a= 1 . 【考点】二次函数的性质. 【分析】结合二次函数的图象可知,当且仅当区间[t﹣1,t+1]的中点是对称轴时,只要满 足[t﹣1,t+1]上 M﹣N=1 成立,则对其它任何情况必成立. 【解答】解:因为 a>0,所以二次函数 f(x)的图象开口向上, 在区间[t﹣1,t+1](t∈R)上函数 f(x)的最大值为 M,最小值为 N, 当 t 取任意实数时,M﹣N 的最小值为 1,

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只需 t=

时,f(t+1)﹣f(t)=1,

即 a(t+1)2﹣2014(t+1)+2015﹣(at2﹣2014t+2015)=1, 即 2at+a﹣2014=1,将 t= 故答案为:1. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.已知集合 A={1,3,x2},B={1,2﹣x},且 B? A. (1)求实数 x 的值; (2)若 B∪C=A,且集合 C 中有两个元素,求集合 C. 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】 (1)直接利用集合的包含关系进行计算即可得到答案. (2)B∪C=A,说明,B? A,且 C? A,集合 C 中有两个元素,即可求集合 C. 【解答】解: (1)∵B? A, ∴2﹣x=3 或 2﹣x=x2 解得:x=﹣1 或 x=1 或 x=﹣2, 当 x=﹣1 或 x=1 时,x2=1,集合 A 违背了集合元素的特征(互异性) . x= 2 ∴ ﹣ (2)由(1)知 A={1,3,4},B={1,4}, ∵B∪C=A,∴3∈C 又∵集合 C 中有两个元素. ∴C={1,3}或 C={3,4} 16.二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求 a 的取值范围. 【考点】函数单调性的性质;函数解析式的求解及常用方法;二次函数的性质. 【分析】 (1)由二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)=3,可求得其对称轴为 x=1, 可设 f(x)=a(x﹣1)2+1 (a>0) ,由 f(0)=3,可求得 a,从而可得 f(x)的解析式; (2)由 f(x)的对称轴 x=1 穿过区间(2a,a+1)可列关系式求得 a 的取值范围. 【解答】解: (1)∵f(x)为二次函数且 f(0)=f(2) , ∴对称轴为 x=1. 又∵f(x)最小值为 1, ∴可设 f(x)=a(x﹣1)2+1, (a>0) ∵f(0)=3, ∴a=2, ∴f(x)=2(x﹣1)2+1,即 f(x)=2x2﹣4x+3. (2)由条件知 f(x)的对称轴 x=1 穿过区间(2a,a+1) ∴2a<1<a+1, ∴0<a< . 代入得 a=1,

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17.已知函数 f(x)=2|x﹣1|﹣x+1. (1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数 f(x)的图象; (2)根据函数 f(x)的图象回答下列问题: ①求函数 f(x)的单调区间; ②求函数 f(x)的值域; ③求关于 x 的方程 f(x)=2 在区间[0,2]上解的个数. (回答上述 3 个小题都只需直接写出结果,不需给出演算步骤)

【考点】根的存在性及根的个数判断;函数的值域;函数图象的作法;函数单调性的判断与 证明. 【分析】 (1)根据函数 f(x)的解析式可得函数的图象. (2)结合函数的图象可得,①函数 f(x)的单调递增区间和单调递减区间,②函数 f(x) 的值域, 以及③方程 f(x)=2 在区间[0,2]上解的个数. 【解答】解: (1)根据函数 f(x)=2|x﹣1|﹣x+1= 可得函数的图象,如图所示: (2)结合函数的图象可得, ①函数 f(x)的单调递增区间为[1,+∞) , 函数 f(x)的单调递减区间为(﹣∞,1]; ②函数 f(x)的值域为[0,+∞) , ③方程 f(x)=2 在区间[0,2]上解的个数为 1 个. .

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18.某厂生产某种产品 x(百台) ,总成本为 C(x) (万元) ,其中固定成本为 2 万元,每生 产 1 百台,成本增加 1 万元,销售收入 (万元) ,假定

该产品产销平衡. (1)若要该厂不亏本,产量 x 应控制在什么范围内? (2)该厂年产多少台时,可使利润最大? (3)求该厂利润最大时产品的售价. 【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】由题意写出成本函数,则收入函数减去成本函数即可得到利润函数. (1)由利润函数大于等于 0,分段求解 x 的取值范围,取并集得答案; (2)分段求解利润函数的最大值,取各段最大值中的最大者; (3) (2)中求出了利润最大时的 x 的值,把求得的 x 值代入 【解答】解:由题意得,成本函数为 C(x)=2+x, 从而利润函数 (1)要使不亏本,只要 L(x)≥0, 当 0≤x≤4 时,L(x)≥0? 3x﹣0.5x2﹣2.5≥0? 1≤x≤4, 当 x>4 时,L(x)≥0? 5.5﹣x≥0? 4<x≤5.5. 综上,1≤x≤5.5. 答:若要该厂不亏本,产量 x 应控制在 100 台到 550 台之间. (2)当 0≤x≤4 时,L(x)=﹣0.5(x﹣3)2+2, 故当 x=3 时,L(x)max=2(万元) , 当 x>4 时,L(x)<1.5<2. 综上,当年产 300 台时,可使利润最大. (3)由(2)知 x=3,时,利润最大,此时的售价为 台. (万元/百台)=233 元/ . 得答案.

19.设函数



(1)当 a=b=2 时,证明:函数 f(x)不是奇函数; (2)设函数 f(x)是奇函数,求 a 与 b 的值; (3)在(2)条件下,判断并证明函数 f(x)的单调性,并求不等式 的解集.

【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的性质. 【分析】 (1)根据函数奇偶性的定义进行判断函数 f(x)不是奇函数; (2)根据奇函数的性质建立方程即可求 a 与 b 的值; (3)根据函数单调性的定义或性质证明函数 f(x)的单调性,并利用单调性的性质解不等 式 .
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【解答】解: (1)当 a=b=2 时,





,f(1)=0,

∴f(﹣1)≠﹣f(1) , ∴函数 f(x)不是奇函数. (2)由函数 f(x)是奇函数,得 f(﹣x)=﹣f(x) , 即 对定义域内任意实数 x 都成立,

整理得(2a﹣b)?22x+(2ab﹣4)?2x+(2a﹣b)=0 对定义域内任意实数 x 都成立, ∴ ,

解得



经检验

符合题意.

(3)由(2)可知 易判断 f(x)为 R 上的减函数, 证明:∵2x+1 在定义域 R 上单调递增且 2x+1>0, ∴ 在定义域 R 上单调递减,且 >0,



在 R 上单调递减.



,不等式



等价为 f(x)>f(1) , 由 f(x)在 R 上的减函数可得 x<1. 另解:由 得,即 ,

解得 2x<2,∴x<1. 即不等式的解集为(﹣∞,1) . 20.已知函数 f(x)=|x﹣a|,g(x)=ax, (a∈R) . (1)若函数 y=f(x)是偶函数,求出符合条件的实数 a 的值; (2)若方程 f(x)=g(x)有两解,求出实数 a 的取值范围; (3)若 a>0,记 F(x)=g(x)?f(x) ,试求函数 y=F(x)在区间[1,2]上的最大值. 【考点】奇偶性与单调性的综合;二次函数的性质.
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【分析】 (1)根据函数为偶函数,f(﹣x)=f(x)对任意实数 x 恒成立,即|﹣x﹣a|=|x﹣ a|任意实数 x 成立,去绝对值然后比较系数,可得 a=0; (2)分三种情况加以讨论:当 a>0 时,将方程 f(x)=g(x)两边平方,得方程(x﹣a)2 ﹣a2x2=0 在(0,+∞)上有两解,构造新函数 h(x)=(a2﹣1)x2+2ax﹣a2,通过讨论 h(x) 图象的对称轴方程和顶点坐标,可得 0<a<﹣1;当 a<0 时,用同样的方法得到﹣1<a<0; 而当 a=0 时代入函数表达式,显然不合题意,舍去.最后综合实数 a 的取值范围; (3)F(x)=f(x)?g(x)=ax|x﹣a|,根据实数 a 与区间[1,2]的位置关系,分 4 种情况 加以讨论: ①当 0<a≤1 时,则 F(x)=a(x2﹣ax) ,根据函数的单调增的性质,可得 y=F(x)的最 2 F 2 =4a 2a 大值为 ( ) ﹣ ; ②当 1<a≤2 时,化成两个二次表达式的分段函数表达式,其对称轴为 ,

得到所以函数 y=F(x)在(1,a]上是减函数,在[a,2]上是增函数,最大值决定于 F(1) 与 F(2)大小关系.因此再讨论:当 当 时,y=F(x)的最大值为 F(2)=4a﹣2a2;

时,y=F(x)的最大值为 F(1)=a2﹣a; ,恰好在

③当 2<a≤4 时,F(x)=﹣a(x2﹣ax) ,图象开口向下,对称轴 对称轴处取得最大值: ;

④当 a>4 时,F(x)=﹣a(x2﹣ax) ,图象开口向下,对称轴 [1,2]上函数是增函数,故最大值为 F(2)=2a2﹣4a. 最后综止所述,可得函数 y=F(x)在区间[1,2]上的最大值的结论. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=|x﹣a|为偶函数, ∴对任意的实数 x,f(﹣x)=f(x)成立 即|﹣x﹣a|=|x﹣a|, ∴x+a=x﹣a 恒成立,或 x+a=a﹣x 恒成立 ∵x+a=a﹣x 不能恒成立 ∴x+a=x﹣a 恒成立,得 a=0.… (2)当 a>0 时,|x﹣a|﹣ax=0 有两解, 等价于方程(x﹣a)2﹣a2x2=0 在(0,+∞)上有两解, 即(a2﹣1)x2+2ax﹣a2=0 在(0,+∞)上有两解,… 令 h(x)=(a2﹣1)x2+2ax﹣a2,

,在区间

因为 h(0)=﹣a2<0,所以

,故 0<a<1;…

同理,当 a<0 时,得到﹣1<a<0; 当 a=0 时,f(x)=|x|=0=g(x) ,显然不合题意,舍去. 综上可知实数 a 的取值范围是(﹣1,0)∪(0,1) .… (3)令 F(x)=f(x)?g(x)
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①当 0<a≤1 时,则 F(x)=a(x2﹣ax) , 对称轴 ,函数在[1,2]上是增函数,

所以此时函数 y=F(x)的最大值为 4a﹣2a2. ②当 1<a≤2 时, ,对称轴 ,

所以函数 y=F(x)在(1,a]上是减函数,在[a,2]上是增函数,F(1)=a2﹣a,F(2)=4a ﹣2a2, 1)若 F(1)<F(2) ,即 2)若 F(1)≥F(2) ,即 ,此时函数 y=F(x)的最大值为 4a﹣2a2; ,此时函数 y=F(x)的最大值为 a2﹣a. ,

③当 2<a≤4 时,F(x)=﹣a(x2﹣ax)对称轴 此时 ④当 a>4 时,对称轴 , ,此时



综上可知,函数 y=F(x)在区间[1,2]上的最大值



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2016 年 10 月 15 日

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