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全国高中数学联赛模拟试题3


全国高中数学联赛模拟试题 3
第一试
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) ? ? y ?3 1. 已 知 集 合 A ? ??x, y ? ? a ? 1? , B ? ?x, y ? ?a 2 ? 1?x ? ?a ? 1? y ? 15 . 若 x?2 ? ? A ? B ? ? ,则 a 的所有取值是( ) 5 1 (A)-1,1 (B)-1,

(C)±1,2 (D)±1,-4, 2 D 2 C 2.如图 1,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,点 M、N 分别 B 在 AB1、BC1 上,且 AM=BN.那么, A N ①AA1⊥MN;②A1C1∥MN;③MN∥平面 A1B1C1D1; M ④MN 与 A1C1 异面.以上 4 个结论中,不正确的结论 C1 D1 的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 A1 B1 图1 3.用 Sn 与 an 分别表示区间 ?0,1? 内不含数字 9 的 n 位小数的和与个数. a 则 lim n 的值为( ) n ?? S n 3 5 7 9 (A) (B) (C) (D) 4 4 4 4 4.首位数字是 1,且恰有两个数字相同的四位数共有( ) (A)216 个 (B)252 个 (C)324 个 (D)432 个 2 5.对一切实数 x, 所有的二次函数 f ?x ? ? ax ? bx ? c (a<b) 的值均为非负实数. 则 b?a 的最大值是( ) a?b?c 1 1 (A) (B) (C)3 (D)2 3 2 x2 y2 6.双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点为 F1, 顶点为 A1、 2, 是双曲线上任意一点. A P 则 a b 分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆一定 (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)以上情况均有可能

?

?

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) z1 ? i 1、已知复数 z1 ? 2 ? i , 2 z 2 ? .若△ABC 的 3 个内角∠A、∠B、∠C ?2i ? 1? ? z1 C 依 次 成 等 差 数 列 , 且 u ? cos A ? 2icos 2 , 则 u ? z2 的 取 值 范 围 2 是 . 2、点 P(a,b)在第一象限内,过点 P 作一直线 l,分别交 x、y 轴的正半轴于 A、B 两点.那么,PA2+PB2 取最小值时,直线 l 的斜率为 .

3、若△ABC 是钝角三角形,则 arccos(sinA)+arccos(sinB)+arccos(sinC)的取值范 围是 . 4、在正四面体 ABCD 中,点 M、P 分别是 AD、CD 的中点,点 N、Q 分别是△ BCD、△ABC 的中心.则直线 MN 于 PQ 的夹角的余弦值为 . 5、在

?

x ?2

?

2 n ?1

的展开式中,x 的幂指数是整数的各项系数之和是



6、集合 A、B、C(不必两两相异)的并集 A∪B∪C={1,2,3,?,n}.则满足条件 的三元有序集合组(A,B,C)的个数是 . 三、 (20 分) 设 p>0,当 p 变化时,Cp:y2=2px 为一族抛物线,直线 l 过原点且交 Cp 于原点 和点 Ap.又 M 为 x 轴上异于原点的任意点,直线 MAp 交 Cp 于点 Ap 和 Bp.求证: 所有的点 Bp 在同一条直线上. 四、 (20 分) 对于公差为 d(d≠0)的等差数列{an},求证:数列中不同两项之和仍是这一数列 中的一项的充要条件是存在整数 m≥-1,使 a1=md. 五、 (20 分) 求最大的正数?,使得对任意实数 a、b,均有

?a 2b 2 ?a ? b?2 ≤ ?a 2 ? ab ? b 2 ? .
3

第二试
一、 (50 分) 如图 2,⊙O 切△ABC 的边 AB 于点 D,切边 AC 于点 C,M 是边 BC 上一点, AM 交 CD 于点 N.求证:M 是 BC 中点的充要条件是 ON⊥BC. 二、 (50 分) 求出能表示为 n ? A

?a ? b ? c ?2 (a、b、c∈Z )的所有正整数 n.
abc
+

D

N

C

M O 三、 (50 分) n n B 在一个 2 ? 1 ? 2 ? 1 (n≥2)的方格表的每个方格内填入 1 或-1,如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所 填数的乘积,则称这种填法是“成功”的.求“成功”填法的总数. 图 2

?

? ?

?

全国高中数学联赛模拟试题 3 参考答案
第一试 一、选择题: 1 题号

2

3

4

5

6

答案

D

B

D

D

A

B

二、填空题: ? 2 5? ?; , 1、 ? 2 2 ? ? ? ? ? 3? ? 3、 ? , ? ; ?2 2 ? 3 2 n ?1 ? 1 5、 ; 2 三、证略. 四、证略. 五、 ? max ? 第二试 一、证略; 二、1,2,3,4,5,6,8,9. 三、1 种(每空填 1) .
27 . 4

2、 ? 4、
1 ; 18

ab ; a

6、7n.


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