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等比数列知识点总结与典型例题2


等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义: 2、通项公式:
an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? ,首项: a1 ;公比: q q
an a ? q ? n?m n am am

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an?1

推广: an ? am q n ? m ? q n ? m ? 3、等比中项:

(1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,即: A2 ? ab 或 A ? ? ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个( (2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4、等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1)当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2)当 q ? 1 时, Sn ?
?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ( A, B, A ', B ' 为常数) 1? q 1? q

5、等比数列的判定方法: (1)用定义:对任意的 n ,都有 an?1 ? qan或 列 (2)等比中项: an 2 ? an?1an?1 (an?1an?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3)通项公式: an ? A ? Bn ? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列 6、等比数列的证明方法: 依据定义:若
an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1 an?1 ? q( q为常数, an ? 0) ? {an }为等比数 an

7、等比数列的性质: (2)对任何 m, n ? N * ,在等比数列 {an } 中,有 an ? amqn?m 。

(3)若 m ? n ? s ? t ( m, n ,s , t ? N * ) ,则 an ? am ? as ?at 。特别的,当 m ? n ? 2k 时,得 an ? am ? ak 2 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ???

等差和等比数列比较:
等差数列 定义 递推公 式 通项公 式 中项
A?
a n ?1 ? a n ? d

等比数列
a n ?1 ? q ( q ? 0) an
n ?m a n ? a n ?1 q ; a n ? a m q

a n ? a n ?1 ? d ; a n ? a m? n ? md

a n ? a1 ? (n ? 1)d

a n ? a1 q n?1 ( a1 , q ? 0 )

a n?k ? a n? k ( n, k ? N * , n ? k ? 0 ) 2 Sn ? n (a1 ? a n ) 2

G ? ? an?k an?k (an?k an?k ? 0) ( n, k ? N * , n ? k ? 0 )

前 n 项和

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q ? 1? q

?

?

重要 性质

am ? an ? a p ? aq ( m, n , p , q ? N , m ? n ? p ? q )
*

am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)

经典例题透析
类型一:等比数列的通项公式 例 1.等比数列 {an } 中, a1 ? a9 ? 64 , a3 ? a7 ? 20 ,求 a11 .

举一反三: 【变式 1】{an}为等比数列,a1=3,a9=768,求 a6。

【变式 2】{an}为等比数列,an>0,且 a1a89=16,求 a44a45a46 的值。

【变式 3】已知等比数列 {an } ,若 a1 ? a2 ? a3 ? 7 , a1a2 a3 ? 8 ,求 an 。

类型二:等比数列的前 n 项和公式 例 2.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,求数列的公比 q.

举一反三: 【变式 1】求等比数列 1, , ,? 的前 6 项和。

1 1 3 9

【变式 2】已知:{an}为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求 S5.

【变式 3】在等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66 , a2 ? an?1 ? 128 , Sn ? 126 ,求 n 和 q 。

类型三:等比数列的性质 例 3. 等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,求 log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 a10 .

举一反三: 【变式 1】正项等比数列 {an } 中,若 a1·a100=100; 则 lga1+lga2+……+lga100=_____________.

【变式 2】在

8 27 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________。 3 2

类型四:等比数列前 n 项和公式的性质

例 4.在等比数列 {an } 中,已知 Sn ? 48 , S2 n ? 60 ,求 S3n 。

举一反三: 【变式 1】等比数列 {an } 中,公比 q=2, S4=1,则 S8=___________.

【变式 2】已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 S10=10, S20=40,求:S30=?

【变式 3】等比数列 {an } 的项都是正数,若 Sn=80,S2n=6560,前 n 项中最大的一项为 54,求 n.

【变式 4】等比数列 {an } 中,若 a1+a2=324, a3+a4=36, 则 a5+a6=_____________.

【变式 5】等比数列 {an } 中,若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9 的值。

类型五:等差等比数列的综合应用 例 5.已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去 32,则成等差数列.若再将此等差数列的第 二项减去 4,则又成等比数列.求原来的三个数.

举一反三: 【变式 1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上 4, ,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把 这个等差数列的第三项加上 32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.

【变式 2】已知三个数成等比数列,它们的积为 27,它们的平方和为 91,求这三个数。

【变式 3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和 是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求这四个数.

类型六:等比数列的判断与证明 例 6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式,并判断{an}是 何种数列?

举一反三: n n 【变式 1】已知数列{Cn},其中 Cn=2 +3 ,且数列{Cn+1-pCn}为等比数列,求常数 p。

【变式 2】设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列,Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列.

类型七:Sn 与 an 的关系
2 例 7.已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn ? an ? 5an ? 6 ,且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列

{an}的通项 an.

举一反三: n 【变式】命题 1:若数列{an}的前 n 项和 Sn=a +b(a≠1),则数列{an}是等比数列;命题 2:若数列{an} 的前 n 项和 Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列,又是等比数列。上述两个命题中,真命题为个.



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