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2013年东北三省哈师大附中二模理科数学答案


2013 年三省三校第二次联合考试理科数学答案
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) BCCDC BBABA BC 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 2 14. 24 15. 3 16. (e, ??) 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) cos C ?

1

41

3 7 ,? sin C ? , ? 2? 4 4

?

a c 1 ? ,? ? sin A sin C sin A

2 14 ? 6? ? sin A ? 8 7 4
2

(Ⅱ)? c ? a ? b ? 2ab cos C ,? 2 ? 1 ? b ?
2 2 2

3 b,? 2b 2 ? 3b ? 2 ? 0,? b ? 2 ? 9? 2

1 1 7 7 ?12? S?ABC ? ab sin C ? ?1? 2 ? ? 2 2 4 4
18.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ 1000 ? 5% ? 50 , 由甲图知,甲组有 4 ? 10 ? 8 ? 4 ? 2 ? 1 ? 1 ? 30 (人) ,∴乙组有 20 人. 又∵ 40 ? 60% ? 24 , ∴识记停止 8 小时后 40 个音节的保持率大于等于 60%的在甲组中有 1 人 乙组有 (0.0625 ? 0.0375) ? 4 ? 20 ? 8 (人) ∴ (1 ? 8) ? 5% ? 180 即估计 1000 名被调查的学生中识记停止 8 小时后 40 个音节的保持率大于等于 60%的 人数为 180 人. ? 4? (Ⅱ)由乙图知,乙组在 [12, 24) 之间有 (0.025 ? 0.025 ? 0.075) ? 4 ? 20 ? 10 (人) 在 [20, 24) 之间有 0.075 ? 4 ? 20 ? 6 (人) ∴ X 的可能取值为 0,1,2,3 ? 6?

P( X ? 0) ?

3 0 C4 C6 1 ? , 3 C10 30 2 1 C4 C6 3 ? , 3 C10 10

P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

1 2 C4C6 1 ? , 3 C10 2 0 3 C4 C6 1 ? ?8? 3 C10 6

P( X ? 3) ?

∴ X 的分布列为

X
P

0

1

2

3

1 30

3 10

1 2

1 6
?10?

数学期望 E ( X ) ? 0 ?

1 3 1 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 30 10 2 6 5

(Ⅲ)参考答案: 甲组学生准确回忆音节数共有: 2 ? 4 ? 6 ?10 ? 10? 8 ? 14? 4 ? 18? 21? 22?1 ? 26?1 ? 288个 故甲组学生的平均保持率为
1 288 1 ? ? ? 9.6 ? 0.24 40 30 40

乙组学生准确回忆音节数共有:
(6 ? 0.0125? 10 ? 0.0125? 14 ? 0.025 ? 18 ? 0.025 ? 22 ? 0.075 ? 26 ? 0.0625? 30 ? 0.0375 ? 4 ? 432 个 )

故乙组学生平均保持率为

1 432 1 ? ? ? 21.6 ? 0.54 ? 0.24 , 40 20 40

所以临睡前背单词记忆效果更好. ?12? (只要叙述合理都给分) 19. 解:方法一: (Ⅰ)取 AE 中点 P ,连接 PM , PN ,? AE ? BE, MP // BE ? MP ? AE 又? BC ? 平面 ABE , AE ? 平面 ABE ,? BC ? AE 又? NP // AD, AD // BC,? NP // BC

E P

? NP ? AE , 又? NP ? MP ? P, NP, MP ? 平面 PMN
A

? AE ? 平面MNP ,? MN ? 平面MNP
? AE ? MN ? 4? (Ⅱ)过 M 作 MK ? NE 于 K ,连接 KP
D

N

K M

B

C

? MP ? AE, AD // BC,? AD ? 平面 ABE ,
又? PM ? 平面 ABE ,? AD ? PM 又 AD ? AE ? A

? PM ? 平面 ADE ? PM ? DE

? PM ? NE ,又? MK ? NE, MK ? MP ? M , ? NE ? 平面 PMK ,? NE ? PK ? 二面角 ?PKM 为二面角 M ? EN ? A 的平面角 ?8?

在 Rt ?MPK 中, PM ?

1 1 PE PK 3 BE ? , ? ? PK ? 2 2 DE AD 4

? KM ? PK 2 ? PM 2 ?
21 7

3 1 7 ? ? 16 4 4
21 ?12? 7

? cos ?PKM ?
方法二:

? 二面角的余弦值为

(Ⅰ)? BC ? 平面 ABE, BC ? 平面 ABCD ,

? 平面 ABE ? 平面 ABCD , BC ? AB
过 B 作 BQ ? 平面 ABCD ,则 BQ ? 平面ABE 以 BA, BC , BQ 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系

z
E

x
D

A

N

M

B

C

AB ? 2

y

1 ? 5 1 3 A(2, 0, 0), B(0, 0, 0),? M (1, 0, 0), D(2,1, 0), E( , 0, ), N ( , , ) 2 2 4 2 4 ???? ? 1 1 3 ??? ? 3 3 ? MN ? ( , , ) , AE ? (? , 0, ) 2 2 4 2 4 ???? ??? ? ? 3 3 ? MN ? AE ? ? ? 0 ? ? 0 ? MN ? AE ? 4? 8 8
(Ⅱ) MN ? ( , , 个法向量

???? ?

??? ? 1 1 3 3 1 3 ) , NE ? (? , ? , ) ,设 n ? ( x1, y1, z1) 为平面 MNE 的一 4 2 4 4 2 4

? ? 1 1 3 ? z1 ? 0 ? x1 ? 1 ? x1 ? y1 ? 3 ? ? 2 4 ?? 4 ? ? y1 ? ?1 为满足题意的一组解? n ? (1, ?1, ) ? 7? 3 ?? 3 x ? 1 y ? 3 z ? 0 ? 3 ? 4 1 2 1 4 1 ?z ? ? ? 1 3 ?
???? ??? ? 3 3 3 1 3 AN ? (? , , ) , AE ? (? , 0, ) ,设 m ? ( x2 , y2 , z2 ) 为平面 ANE 的一个法向量 2 2 4 2 4

? 3 1 3 ? x2 ? 1 z2 ? 0 ?? x2 ? y2 ? ? ? 4 2 4 , ? ? y2 ? 0 为 满 足 题 意 的 一 组 解 , ?? ? ? ?3x ? 3 z ?0 2 2 ? z2 ? 3 ? ? 2 2

?m ? (1,0, 3) ? 7?
cos ? m , n ?? m?n 21 ? m n 7

? 二面角的余弦值为

21 ?12? 7

20. 解: (Ⅰ)不妨设 F (?c,0), F2 (c,0), B1 (0, b), | B1F1 ? B1 F1 | ? 2b ? 2,?b ? 1 ?1? 1

???? ????? ? B1F1 ? B1F2 ? ?c2 ? b2 ? ?2?c ? 3,?a ? 2 ?3?
所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ? 4? 4

(Ⅱ)①当直线 l1 与 x 轴重合时, 设 A(?2,0), B(2,0), C (1,

??? ??? ? ? 3 3 15 3 3 ? ? ?5? ), D(1,? ) 则 AC ? DB ? 3 ?1 ? 2 2 4 2 2 ,

②当直线 l1 不与 x 轴重合时,设其方程为 x ? m y ? 1 ,设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 由?

? x ? my?1 ? 2m ?3 得 (m 2 ? 4) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 , y1 ? y 2 ? 2 , y1 y 2 ? 2 2 2 m ?4 m ?4 ?x ? 4 y ? 4

? 6?

? AC ? DB ? ( MC ? MA) ? ( MB ? MD) ? ?MC ? MD ? MA? MB
MA ? ( x1 ? 1, y1 ) ? (my1 , y1 ), MB ? ( x2 ? 1, y2 ) ? (my2 , y2 )

? ? MA ? MB ? ?(m ? 1) y1 y 2 ?
2

3(m 2 ? 1) m2 ? 4

由 l 2 与 l1 垂直知: ? MC ? MD ?

3(1 ? m 2 ) 1 ? 4m 2

? AC ? DB ? ? MC ? MD ? MA? MB ? 3( m 2 ? 1) m ?4
2

?

3(1 ? m 2 ) 1 ? 4m
12 5
2

?

15( m 2 ? 1) 2 ( m ? 4)(1 ? 4m )
2 2

?10?

?

15(m 2 ? 1) 2 ? 5m 2 ? 5 ? ? ? ? 2 ? ? ?
2

?

当且仅当 m ? ?1 取到“=”. 综合①②, ( AC ? DB) min ?

???? ??? ?

12 ?12? 5
a ? 1 x

( n ( ? ? ? )? x xfx n ( )l x ?恒成立, 1 21. 解:(Ⅰ) g ? ? )lx a
g(x) ??1恒成立即 g x mx ?? . ( )a 1

? ( ?a1 a 2 1 ? ?? ? ) ?a 1 0 1 方法一: g(x) ??1恒成立,则 g 1 ? ? ? ?
1 ? (? x a ? ]? [ 1) 1 x ? ( ) ? a( 1 (? ) ) a ?? x 1 x 1 a ?) 时, g ? ( x ? ? x,? ? 4? 0 ? ? ? 1 1 ? x 2 2 x x a

而当 a ? 1

1 x ? ?1 ? ? 0, 则 x ? (0,1) , g?( x) ? 0 , g ( x ) 在 (0,1) 单调递增, a


x?(1 ? ) , g?( x) ? 0 , g ( x ) 在 (1, ??) 单调递减, , ?

( a?)1a 1 xx ( ??,符合题意. ) 1 则 gm g?2 ?
即 g(x) ??1恒成立,实数 a 的取值范围为 a ? 1 ; ? 6?
2 1 a ? ? ? a( 1 ?a a 1 xx ? a ?? ? 1( ? ) ) x 1 x ?) ? g?a 2? 2 ( x ? ? 方法二: , ? 2? 2 x x x x

(1)当 a ? 0 时, g ?( x ) ?

x ?1 , x ? (0,1) , g?( x) ? 0 , g x2

( x ) 在 (0,1) 单调递减,

) 当 x?(1,?? , g?( x) ? 0 ,

g(x)

在 (1, ??) 单调递增,

则 g ( x)min ? g (1) ? 1 ,不符题意;

1 ? ( ? x) a ? ]? [ 1) 1 x ? ( ? a( 1 (? ) ) a ?? x 1 x 1 a ?) ( x ? ? x,? , 0 ? ? ? 1 1 ? x (2)当 a ? 0 时, g ? 2 2 x x a

①若 a ? 0 , ? 1 ?

1 ? 0 , x ? (0,1) , g?( x) ? 0 , g ( x ) 单调递减;当 x?(1,??) , a

g?( x) ? 0 ,g ( x ) 单调递增, ga g 1 ? a 矛盾, x ??a ? ) 1 21 1 ) ? 则 ( x ( ?? ? , 不符题意; 4? m
②若 a ? 0 ,

1 1 1 , ?1 ? ? 1, x ? (0,1), g ?( x) ? 0 ; x ? (1, ?1 ? ), g ?( x) ? 0 ; 2 a a 1 1 x ? ( ?1 ? , ? ? g? x )? 0 g ( x) 在 (0,1) 单调递减, g ( x) 在 (1, ?1 ? ) 单 ) , ( ,? a a 1 调递增, g ( x) 在 (?1 ? , ??) 单调递减, g (1) ? 1 ? 2a ? 0 不符合题意; a 1 ( Ⅱ ) 若 a ? 时 , x ? ( 0 ,? ? ) g ?( x) ? 0 , ? g ( x) 在 (0, ??) 单 调 递 减 , , 2
(Ⅰ)若 0 ? a ?

g (1) ? 1 ? 2a ? 0 ,不符合题意.
(Ⅲ)若

1 1 1 1 ? a ? 1 , 0 ? ?1 ? ? 1 , x ? (0, ?1 ? ) , g ?( x) ? 0 , x ? (?1 ? ,1) , a a 2 a 1 g ?( x) ? 0 , x ? (1, ??) , g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, ?1 ? ) 单 调 递 减 , 在 a 1 ( ?1 ? ,1) 单调递增,在 (1, ??) 单调递减, g (1) ? 1 ? 2a ? ?1 ,与已知矛盾不符 a

题意. (Ⅳ)若 a ? 1 , ? 1 ?

1 ? 0 , x ? (0,1) , g?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0,1) 单调递增; a

) 当 x?(1,?? , g?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 单调递减,
则 g ( x) ? g (1) ? 1 ? 2a ? ?1 ,符合题意; 综上,得 g(x) ??1恒成立,实数 a 的取值范围为 a ? 1 ? 6? (Ⅱ) 由(I)知,当 a ? 1 时,有 l x x 1 x ? 0 ;于是有 ln(1 ? x) ? x , x ? ?1 . ?8? n ? ?, 则当 x ? 0 时,有
1 1 1 l1)1 l1)? 1)? 10? n x ?x 1( x e ( ? n x ?x ? ? ( ? ? x

在上式中,用 1 , ,? ( ? *)代换 x ,可得 , , n N

11 23

1 n

3 4 n ?1 n (n ? 1) n 2 ? e, ( ) 2 ? e, ( )3 ? e, ?, ( ) ? e 相乘得 ? en ? n ? 1 ? e n n ! ?12? 2 3 n n!

选做题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所作的第一题记分. 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (Ⅰ)证明:连接 BE. ∵BC 为⊙O 的切线 ∴∠ABC=90° ?CBE ? ?A ……2 分 ,

?OA ? OE,??A ? ?AEO
∵∠AEO=∠CED ∴∠CED=∠CBE, ……4 分 ∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE ∴

CE CD ? CB CE

∴CE =CD?CB……6 分 ∴OC= 5 ……8 分 得( 5 -1) =2CD ……10 分
2

2

(Ⅱ)∵OB=1,BC=2

∴CE=OC-OE= 5 -1 由(Ⅰ)CE
2

=CD?CB

∴CD=3- 5 23.(本题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程 解: (1)直线 l : 2 ? cos(? ?

?
6

) ? 3 即 3? cos? ? ? sin ? ? 3 ? 直线 l 的直角坐标方程

为 3x ? y ? 3 ,点 P 在直线 l 上。 ? 5?

1 ? ?x ? ? 2 t x2 y 2 ? ? ?1 (2) 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数)曲线 C 的直角坐标方程为 , 5 15 ?y ? 3 ? 3 t ? ? 2
将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程, 有 3(? t ) ? ( 3 ?
2

1 2

3 2 t ) ? 15,? t 2 ? 2t ? 8 ? 0 ,设两根为 t1 , t2 , 2

? PA ? PB ? t1 t2 ? t1t2 ? ?8 ? 8 ?10?
24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ? 7 ? 1. (1)求不等式 f ( x) ? x ?1 的解集; (2)若存在 x 使不等式 f ( x) ? ax 成立,求 a 的取值范围. 解: (1) 2x ? 7 ? 1 ? x ? 1 当 x ? 1 时, ? (2 x ? 7) ? 1 ? ?( x ? 1) 解得 x ? 7 ? x 不存在

7 7 时, ? (2 x ? 7) ? 1 ? ( x ? 1) 解得 x ? 3 ? 3 ? x ? 2 2 7 7 当 x ? 时, (2 x ? 7) ? 1 ? ( x ? 1) 解得 x ? 5 ? ? x ? 5 2 2
当1 ? x ? 综上不等式的解集为 ?3,5? ?? 5? (2) 2x ? 7 ? 1 ? ax 当x?

7 , (a ? 2) x ? 6 ? 0能成立, 2

若a ? 2 ? 0,则a ? 2满足

若a ? 2 ? 0,则( a ? 2) ?a ?

7 2 ? 6 ? 0解得 ? a ? 2 2 7

2 7 7 当 x ? 时, (a ? 2) x ? 8 ? 0能成立, 2
若a ? 2 ? 0,则a ? ?2满足 若a ? 2 ? 0,则a ? ?2不满足

若a ? 2 ? 0,则( a ? 2) ?a ?

7 2 ? 8 ? 0解得 a ? 2 7

2 或a ? ?2 7 2 综上, a ? 或a ? ?2 ??10? 7

7 ? 2 x ? 6, x ? ? ? 2 另解: f ( x) ? 2 x ? 7 ? 1 ? ? 7 ?8 ? 2 x , x ? ? ? 2
画出 f ( x) ? 2x ? 7 ? 1 的图象,如下所示

y
7 ( ,1) 2
1 2

1

O

3

4

x

若 f ( x) ? ax 有解,则 a ?

2 或a ? ?2 ??10? 7


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