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数列专项练习(答案)


数列 训 练
班级 姓名 学号 成绩

一、填空题(48分): 1.若数列 {an } 对任意的 n ? N* 都有 an+ 1 = an + a1 ,且 a3 = 6 ,则 a20 =40. 2.若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 3n ,则 an ? ? 3. 已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 ,

/>
? ?3 ? n ? 1? n ?1 ? ?2 ? 3 ? n ? 2 ?

a ? a7 1 a3 ,2a 2 成等差数列,则 6 等于 2 a8 ? a9

3? 2 2.
2 2an 4.已知数列 {an }满足 an+ 1 = (n ? N * ) ,若该数列既是等差数列,又是等比数列,则 an - 5

an =-5.
5.若 (1 ? 2 x)n ( n ? N* )二项展开式中的各项系数和为 an ,其二项式系数和为 bn ,则

lim

n ??

1 bn ?1 ? an ?? . an ?1 ? bn 3

6. 已 知 无 穷 等 比 数 列 ?an ? 各 项 的 和 等 于 10 , 则 数 列 ?an ? 的 首 项 a1 的 取 值 范 围 是

?0,10? U?10,20? .
7.设等差数列 ?an ? 的首项及公差均是正整数, 前 n 项和为 Sn , 且 a1 ? 1 ,a4 ? 6 ,S3 ? 12 , 则 a2012 =4024. 8.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 16, S2n ? 48 ,则 S3n ? 112.

9.在数列 ?an ? 中, an?1 ? an ? 2n, a1 ? 33 ,则

an 的最小值为10.5. n

10.设 {an } 是公比为 q 的等比数列,首项 a1 ?

1 ? ,对于 n ? N , bn ? log 1 a n ,当且仅当 64 2

n ? 4 时,数列 ?bn ? 的前 n 项和取得最大值,则 q 的取值范围为 2 2, 4 .

?

?

11.已知数列 ?xn ? 满足 x2 ?

1 1 x1 , xn ? ? xn ?1 ? xn ? 2 ?? n ? 3, 4,5,?? ,若 lim xn ? 2 ,则 n ?? 2 2

x1 =3.
(n为奇数) ? n ? 12.设定义 N 上的函数 f (n) ? ? n , an ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2n ) , f ( ) (n为偶数) ? ? 2
?

那么 an ?1 ? an ? 4 .
n

二、选择题(16分): 13.“ lg x,lg y,lg z 成等差数列”是“ y 2 ? xz ”成立的 (A)充分非必要条件;(B)必要非充分条件; (C)充要条件;(D)既非充分也非必要条件. ( A )

?2n ? 1??????????n ? 2012 ? 14.已知 an ? ? 1 n ?1 , Sn 是数列 ?an ? 的前n项和( A ) (? ) ???????n ? 2012 ? ? 2 (A) lim an 和 lim S n 都存在 (B) lim an 和 lim S n 都不存在
n ??
n ??

n ??

n ??
n ??

n ??

(C) lim an 存在, lim S n 不存在
n ??

(D) lim an 不存在, lim S n 存在
n ??

15.已知共有 k (k ? N * ) 项的数列 {an } , a1 ? 2 ,定义向量 cn ? (an , an?1 ) 、 dn ? (n , n ? 1)

(n ? 1, 2,3,?, k ? 1) ,若 | cn |?| dn | ,则满足条件的数列 {an } 的个数为 ( C )
(A) 2 (B) k (C) 2
k ?1

(D) 2

k ( k ?1) 2

? a11 a12 a13 ? ? ? 16.由9个互不相等的正数组成的矩阵? a 21 a 22 a 23 ? 中, 每行中的三个数成等差数列, 且a11 ? a12 ? a13 、 ?a ? ? 31 a32 a33 ? a21 ? a22 ? a23 、 a31 ? a32 ? a33 成等比数列,下列四个判断正确的有(A) ①第2列 a12 , a22 , a32 必成等比数列②第1列 a11 , a21 , a31 不一定成等比数列

③ a12 ? a32 ? a21 ? a23 ④若9个数之和等于9,则 a22 ? 1 (A)4个(B)3个(C)2个(D)1个 三、解答题(56分):

17.已知数列 ?an ? 的首项为1,前 n 项和为 Sn ,且满足 an?1 ? 3Sn , n ? N .数列 ?bn ? 满足
*

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 当 n ? N 时,试比较 b1 ? b2 ? ? ? bn 与
*

bn ? log4 an .

解:(1) an ? ?

? ?1? n ? 1? n?2 ? ?3 ? 4 ? n ? 2 ?

1 2 ? n ? 1? 的大小,并说明理由. 2

(2) bn ? ?

? ?0 ? n ? 1? ? ?log 4 3 ? n ? 2 ? n ? 2 ?

n ? 1 b1 ? 0 ?

1 2 ? n ? 1? 2

n ? 2 b1 ? b2 ? L ? bn ?

n ?1 1 2 ? 2log 4 3 ? n ? 2 ? ? ? n ? 1? 2 2

18.已知数列 an ?

集合 M ? m m ? lim an 含有三个元素,并用列举法表示集合 M .
n??
n

?

a n ? bn ? 1 ( a ? b ? 0 , n ? N* ),试判定:依据 a 、 b 的不同取值, n n a ?b ?2

?

解:(1) a ? 1 lim
n ??

a ? b ?1 ?1 a n ? bn ? 2 a n ? bn ? 1 2 ? (2) a ? 1 lim n n ?? a ? b n ? 2 3 n n a ? b ?1 1 ? (3) a ? 1 lim n n ?? a ? b n ? 2 2
n

? 2 1? ? M ? ?1, , ? ? 3 2?

19.已知数列 {bn } ,若存在正整数 T ,对一切 n ? N* 都有 bn?T ? bn ,则称数列 {bn } 为周期数 列, T 是它的一个周期.例如: 数列 a , a , a , a ,?①可看作周期为1的数列; 数列 a , b , a , b ,?②可看作周期为2的数列; 数列 a , b , c , a , b , c ,? ③可看作周期为3的数列?

?a n为正奇数, (1)对于数列②,它的一个通项公式可以是 an ? ? 试再写出该数列的一个通 ?b n为正偶数. 项公式; (2)求数列③的前 n 项和 Sn ;

(3)在数列③中,若 a ? 2, b ? , c ? ?1,且它有一个形如 bn ? Asin(? n ? ? ) ?B 的通项公 式, 其中 A 、B 、? 、? 均为实数, A ? 0 ,? ? 0 ,| ? |?

1 2

? ,求该数列的一个通项公式 bn . 2

a?b n ?1 a ? b ? ? ?1? 2 2 ? n ?1 ? 3 ? a ? b ? c ? ? a ? n ? 3k ? 1, k ? N ? ? ?n ? 2 (2) S n ? ? ? a ? b ? c ? ? a ? b ? n ? 3k ? 2, k ? N ? ? 3 ?n ? 3 ? a ? b ? c ?? n ? 3k ? 2, k ? N ? ?
(1) an ?

2 (3)因为 数列周期为3 所以 ? = ? 3 2 Asin( ? ? ? )+B ? 2 3 4 1 Asin( ? ? ? )+B ? 3 2 6 Asin( ? ? ? )+B ? -1 3 1 ? 所以 A= 3 B = ? = ? 2 3

2 ? 1 bn ? 3sin( ? n ? ) ? 3 3 2

(an , S n ) 在函数 y ? 20.在正数数列 {an } 中, S n 为 an 的前n项和,若点
其中c为正常数,且c≠1。 (1)求数列 {an } 的通项公式;

c2 ? x 的图象上, c ?1

n2 n a n ? 2 (2)设数列 {bn } 满足 bn ? ,当 c ? 2 的时候,是否存在正整数 m, n(1 ? m ? n) , (2n ? 1) 使得 b1 , bm , bn 成等比数列?若存在,求出所有的m、n的值,若不存在,请说明理由;

(3)设数列 {cn } 满足 cn ? {

n, n ? 2k ? 1 3 时候,在数列 {cn } 中,是 , k ? N * ,当 c ? 2an , n ? 2k 3 否存在连续的三项 cr , cr ?1 , cr ? 2 ,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条 件的正整数 r 的值;若不存在,说明理由。

c 2 ? an c 2 ? a n c 2 ? a n ?1 , n ? 2时, S n ? S n ?1 ? ? c ?1 c ?1 c ?1 a ? an a 1 an ? n?1 , (c ? 1)an ? an?1 ? an , can ? an?1 , n ? c ?1 an?1 c 所以数列 {an } 为等比数列 2分
解:(1) S n ?

c2 ? x 将 得, a1 ? c 3分 (a1 , S1 ) 代入 y ? c ?1 1 n?2 故 an ? ( ) 4分 c n2 n a n ? 2 n m 2 1 n ( ) ? ? , 若 b1 , bm , bn 成等比数列,则 (2) bn ? 2m ? 1 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 2 m n 3 ? 2m ? 4 m ? 1 ? 即 ,可得 ? 2 n 4m ? 4m ? 1 6n ? 3 m2 6 6 2 所以 ? 2m ? 4m ? 1 ? 0 ,解得: 1 ? m ? 1? 2 2 又 m ? N * 且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 所以当 m ? 2 , n ? 12 ,使得 b1 , bm , bn 成等比数列 10分
(3)若 cr ? c2k ,则由 cr ? cr ? 2 ? 2cr ?1 ,得 2 ? 3k ?1 ? 2 ? 3k ? 2(2k ? 1) ,化简得

4 ? 3k ?1 ? 2k ? 1 ,此式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立。 若 cr ? c2k ?1 ,则由 cr ? cr ? 2 ? 2cr ?1 ,得 (2k ? 1) ? (2k ? 1) ? 2 ? 2 ? 3k ?1
k ?1 化简得 k ? 3

12 分 14 分 16 分

k ?1 k 1 ? 2k ? k ?1 ? ?0 k 3 3 3 3k 因此, 1 ? T1 ? T2 ? T3 ? ??,故只有 T1 ? 1 ,此时 r ? 2 ? 1 ? 1 ? 1
令 Tk ?

k

k ?1

, k ? N * , Tk ?1 ? Tk ?

综上,在数列 {cn } 中,仅存在连续的三项 c1 , c2 , c3 ,按原来的顺序成等差数列,此时正整数

r =1


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