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陕西省商洛市2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(文科)


陕西省商洛市 2014-2015 学年高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求(本大题共 12 小题,每 小题 5 分,共 60 分) 2 1. (2012?陕西)集合 M={x|lgx>0},N={x|x ≤4},则 M∩N=( ) A. (1,2) B.[1,2) C. (1,2] D. [1,2] 考点:对数函数的单调性与特殊点;交集及其运算. 专题:计算题. 分析:先求出集合 M、N,再利用两个集合的交集的定义求出 M∩N. 解答: 解:∵M={x|lgx>0}={x|x>1},N={x|x ≤4}={x|﹣2≤x≤2}, ∴M∩N={x|1<x≤2}, 故选 C. 点评:本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,两个集合的交集的定义和求法,属于基础 题. 2. (2015 春?商洛期末)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)单调递减的是( 2 A. y=cosx B.y=lg|x| C. y=﹣x +1 3 D.y=x )
2

考点:函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据基本初等函数的奇偶性与单调性,对选项中的函数进行判断即可. 解答: 解:对于 A,y=cosx 是定义域 R 上的偶函数,但在(0,+∞)上是不是增函数,不 满足题意; 对于 B,y=lg|x|是定义域上的偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,满足题意; 2 对于 C,y=﹣x +1 是定义域 R 上的偶函数,但在(0,+∞)上是减函数,不满足题意; 3 对于 D,y=x 是定义域 R 上的奇函数,不满足题意. 故选:B. 点评:本题考查了常见的基本初等函数的奇偶性与单调性的判断问题,是基础题目. 3. (2015 春?商洛期末)下列算法语句的处理功能是( )

A. D.S=2+3+…+19

S=1+2+3+…+20

B.S=1+2+3+…+19

C. S=2+3+…+20

考点:循环结构. 专题:图表型;算法和程序框图.

分析:写出经过几次循环得到的结果,得到求的 s 的形式,判断出框图的功能即可. 解答: 解:经过第 1 次循环得到 s=0+1,i=2 经过第 2 次循环得到 s=0+1+2,i=3 经过第 3 次循环得到 s=0+1+2+3,i=4 … 经过第 20 次循环得到 s=0+1+2+…+20, 该程序框图表示算法的功能是计算并输出 s=0+1+2+…+20. 故选:A. 点评:本题考查程序框图,考查了循环体以及循环次数两个具体问题,常采用写出前几次循 环的结果,找规律.属于基础题. 4. (2015?岳阳模拟)若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图是( )

A.

B.

C.

D. 考点:平面图形的直观图. 专题:空间位置关系与距离. 分析:逐一分析四个答案中几何体的三视图,比照已知中的三视图,可得答案.

解答: 解:A 中,

的三视图为:

,满足条件;

B 中,

的侧视图为:

,与已知中三视图不符,不满足条件;

C 中,

的侧视图和俯视图为:

,与已知中

三视图不符,不满足条件;

D 中,

的三视图为:

,与已知中三视图

不符,不满足条件; 故选:A 点评:本题考查的知识点是三视图的画法,能根据已知中的直观图,画出几何体的三视图是 解答的关键. 5. (2012?闵行区一模)抛物线 y=2x 的准线方程是(
2



A.

B.

C.

D.

考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题. 分析:将抛物线方程化为标准方程,确定焦点的位置,从而可求抛物线 y=2x 的准线方程. 解答: 解:抛物线 y=2x 可化为 ∴ ∴抛物线 y=2x 的准线方程是 故选 D. 点评:本题考查抛物线的标准方程与几何性质,解题的关键是将方程化为标准方程,属于基 础题. 6. (2015 春?商洛期末)已知 x∈[0,π],则函数 y= sinx﹣cosx 的值域为( ) A. [﹣2,2] B.[﹣1,2] C. [﹣1,1] D. [0,2] 考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:根据两角和与差的正弦公式可得:y=2sin(x﹣ ],然后利用正弦函数的图象可得﹣ ≤sin(x﹣ 解答: 解:由题意可得:y= 因为 x∈[0,π], 所以 x﹣ ∈[﹣ , ], ) ,再根据题意可得 x﹣ )≤1,进而得解. ) , ∈[﹣ ,
2 2 2

,焦点在 y 轴上,2p= ,

sinx﹣cosx=2sin(x﹣

所以﹣ ≤sin(x﹣

)≤1,

所以:﹣1≤y≤2. 故选:B. 点评:本题主要考查了正弦函数的有关性质,即值域与定义域.解题的关键是利用两角和与 差的正弦余弦该点对函数解析式进行正确化简, 以及对正弦函数的性质的熟练运用, 属于基础 题. 7. (2011?福建)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x ﹣ax ﹣2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
3 2

考点:函数在某点取得极值的条件;基本不等式. 专题:计算题. 分析:求出导函数,利用函数在极值点处的导数值为 0 得到 a,b 满足的条件;利用基本不等 式求出 ab 的最值;注意利用基本不等式求最值需注意:一正、二定、三相等. 2 解答: 解:∵f′(x)=12x ﹣2ax﹣2b, 又因为在 x=1 处有极值, ∴a+b=6, ∵a>0,b>0, ∴ ,

当且仅当 a=b=3 时取等号, 所以 ab 的最大值等于 9. 故选:D. 点评:本题考查函数在极值点处的导数值为 0、考查利用基本不等式求最值需注意:一正、二 定、三相等. 8. (2015 春?商洛期末)以下判断正确的是( ) 2 A. “b=0”是“函数 f(x)=ax +bx+c 是偶函数”的充要条件. 2 2 B. 命题“存在 x∈R,x +x﹣1<0”的否定是“任意 x∈R,x +x﹣1>0” C. 命题“在△ ABC 中,若 A>B 则 sinA>sinB”的逆命题为假命题. D. 函数 y=f(x)为 R 上的可导函数,则 f′(x0)=0 是 x0 为函数 f(x)极值点的充要条 件. 考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析:根据偶函数的定义:f(﹣x)=f(x)判断 A;由特称命题的否定判断 B;由逆命题和 正弦定理判断 C;通过举特例和极值点的定义判断 D. 2 2 2 解答: 解:A、∵f(x)=ax +bx+c 为偶函数,∴f(﹣x)=a(﹣x) +b(﹣x)+c=ax ﹣bx+c, 2 2 ∴ax ﹣bx+c=ax +bx+c,则 b=0, 2 2 若 b=0,则 f(x)=ax +bx+c=ax +c=f(﹣x) , 2 所以 b=0 是函数 f(x)=ax +bx+c 为偶函数的充要条件,A 正确; 2 2 B、命题“存在 x∈R,x +x﹣1<0”的否定是“任意 x∈R,x +x﹣1≥0”,B 不正确; C、“在△ ABC 中,若 A>B 则 sinA>sinB”的逆命题是“在△ ABC 中,若 sinA>sinB,则 A> B”, 由正弦定理得,sinA>sinB?
3 2

?a>b?A>B,所以逆命题是真命题,C 不正确;

D、如 f(x)=x ,且 f′(x)=3x ,但 x=0 不是函数的极值点, 则 f′(x0)=0 是 x0 为函数 f(x)极值点的必要条件,D 不正确, 故选:A. 点评:本题考查命题的真假判断,命题及其关系,充分条件与必要条件的判断,涉及的知识 点较多,综合性强,属于中档题.

9. (2015 春?商洛期末)已知点 N(x,y)的坐标满足

,设 O 为坐标原点,

M(3,1) ,则使得 A.

? 1

取得最大值时的点 N 的个数是( B. 2 C.

) 3 D. 无数

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出可行域,由数量积可得 z= ? =3x+y,变形目标函数,平移直线可得答案.

解答: 解:作出

所对应的可行域(如图阴影) ,

设 z=

?

=3x+y,则 y=﹣3x+z,

平移直线﹣3x 可知,当直线与图中直线 3x+y﹣4=0 重合时,目标函数取最大值, ∴使得 故选:D ? 取得最大值时的点 N 的个数是无数个

点评:本题考查简单线性规划,涉及向量的数量积,准确作图是解决问题的关键,属中档题.

10.(2013?枣庄二模) 已知函数 A. 9 B. ﹣9 C .

, 则

的值是 (



D.

考点:对数的运算性质. 专题:计算题.

分析:因为 解答: 解:

,所以 f( )=log2 =log22 =﹣2≤0,f(﹣2)=3 = ,故本题得解. =f(log2 )=f(log22 )=f(﹣2)=3 = ,
﹣2 ﹣2

﹣2

﹣2

故选 C. 点评:本题的考点是分段函数求值,对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值,一定要注意 自变量的值所在的范围,然后代入相应的解析式求解. 11. (2015?滨州一模)过 P(2,0)的直线被圆(x﹣2) +(y﹣3) =9 截得的线段长为 2 时,直线 l 的斜率为( ) A. B. C. ±1 D.
2 2

考点:直线与圆的位置关系. 专题:直线与圆. 分析:设直线 l 的方程为:y=kx﹣2k,由已知条件结合圆的性质和点到直线的距离公式推导出 =2 ,由此能求出直线的斜率.

解答: 解:设直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程为:y=kx﹣2k, 2 2 (x﹣2) +(y﹣3) =9 的圆心 C(2,3) ,半径 r=3, 2 2 ∵过 P(2,0)的直线被圆(x﹣2) +(y﹣3) =9 截得的线段长为 2, ∴圆心 C(2,3)到直线 AB 的距离 d= =2 ,

∵点 C(2,3)到直线 y=kx﹣2k 的距离 d=

=2



∴ 解得 k=±

?2 .

=3,

故选:A. 点评:本题考查直线的斜率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公 式的合理运用. 12. (2014?东河区校级一模)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,设 f(x) x =min{2 ,x+2,10﹣x}(x≥0) ,则 f(x)的最大值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 考点:函数的最值及其几何意义. 专题:计算题.

分析:在同一坐标系内画出三个函数 y=10﹣x,y=x+2,y=2 的图象,以此作出函数 f(x)图 象,观察最大值的位置,通过求函数值,解出最大值. 解答: 解: 10﹣x 是减函数, x+2 是增函数, 2 是增函数, 令 x+2=10﹣x, x=4, 此时, x+2=10 ﹣x=6,如图:
x

x

y=x+2 与 y=2 交点是 A、B,y=x+2 与 y=10﹣x 的交点为 C(4,6) , 由上图可知 f(x)的图象如下:

x

C 为最高点,而 C(4,6) ,所以最大值为 6. 故选:C 点评:本题考查了函数的概念、图象、最值问题.利用了数形结合的方法.关键是通过题意 得出 f(x)的简图. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (2015 春?商洛期末)线性回归直线 y=a+bx 必过定点 ( , ) 考点:线性回归方程. 专题:概率与统计. 分析:根据线性回归方程一定过这组数据的样本中心点, 得到线性回归方程 线必经过( , ) ,得到结果. 解答: 解:∵线性回归方程一定过这组数据的样本中心点, 表示的直 .

∴线性回归方程

表示的直线必经过( , ) ,

故答案为: ( , ) 点评:本题考查线性回归方程,关键是理解线性回归方程过这组数据的样本中心点,是一个 基础题. 14. (2014?雁塔区校级模拟)已知 f(x)=xe ,定义 f1(x)=f′(x) ,f2(x)=[f1(x)]′,…, * fn+1(x)=[fn(x)]′,n∈N . x x x 经计算 f1(x)=(x+1)e ,f2(x) (x+2)e ,f3(x)=(x+3)e ,…,照此规律,则 fn(x) x = (x+n)e . 考点:归纳推理;导数的运算. 专题:推理和证明. x * 分析:由已知中 f(x)=xe ,记 f1(x)=f′(x) ,f2(x)=f1′(x) ,…fn+1(x)=fn′(x) (n∈N ) , 分析出 fn(x)解析式随 n 变化的规律,可得答案. x 解答: 解:∵f(x)=xe , x x x f1(x)=f′(x)=e +xe =(x+1)e , x x x f2(x)=f1′(x)=2e +xe =(x+2)e , x x x f3(x)=f2′(x)=3e +xe =(x+3)e , … 由此归纳可得:fn(x)=fn﹣1′(x)=ne +xe =(x+n)e , x 故答案为: (x+n)e 点评:归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相 同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 15. (2015 春?商洛期末)某地现有森林面积为 1000hm ,每年增长 5%,经过 x(x∈N+)年, 2 x 森林面积为 y hm ,则 x,y 间的函数关系式为 y=1000(1+5%) . 考点:函数解析式的求解及常用方法. 专题:应用题. 分析:由已知中现有森林面积为 1000km , 每年增长 5%, 可得经过 x 年, 森林面积为 y=10 00 x (1+5%) , (x∈N+) . 解答: 解: (1)当 x=1 时,y=1000+10 00×5%=1000(1+5%) ; 2 当 x=2 时,y=1000(1+5%)+1000(1+5%)×5%=1000(1+5%) ; 2 2 3 当 x=3 时,y=1000(1+5%) +1000(1+5%) ×5%=1000(1+5%) ; … ∴经过 x 年,森林面积为 y=1000(1+5%) , (x∈N ) , x 故答案为:y=1000(1+5%) . 点评:本题考查的知识点是指数函数的应用,其中根据题意求出函数的解析式,是解答的关 键. 16. (2014?碑林区校级模拟)在△ ABC 中,已知 a,b,c 分别∠A,∠B,∠C 所对的边, S 为△ ABC 的面积.若向量 =(4,a +b ﹣c ) , =(1,S)满足 ∥ ,则∠C= 45° .
2 2 2 x + 2 2 x x x x

考点:余弦定理;平行向量与共线向量. 专题:计算题;平面向量及应用. 2 2 2 分析:由已知结合向量平行的坐标表示可得 4s﹣(a +b ﹣c )=0,结合三角形的面积公式 可得 cosC 与 sinC 的关系,从而可求 C 解答: 解:∵ ∥ , 则 4S﹣(a +b ﹣c )=0 ∵ ∴a +b ﹣c =2absinC 由余弦定理可得,cosC= ∴C=45° 故答案为:45°. 点评:本题主要考查了三角形的余弦定理及三角形的面积公式的简单应用,属于基础试题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (10 分) (2015 春?商洛期末)已知正项等比数列{an}的首项是 2,第 2 项与第 3 项的和是 12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an?log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点:数列的求和;等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)通过 2q+2q =12 可知公比 q=2,进而可得结论; n n (2)通过 an=2 可知 bn=n?2 ,利用错位相减法计算即得结论. 解答: 解: (1)设等比数列{an}的公比为 q(q>0) , 2 ∵a1=2,∴a2=2q,a3=2q , 又∵第 2 项与第 3 项的和是 12, 2 ∴2q+2q =12, 解得 q=2 或 q=﹣3(舍) , ∴an=2?2 =2 ; n (2)∵an=2 , n n n ∴bn=2 ?log22 =n?2 , 1 2 3 n ∴Sn=1?2 +2?2 +3?2 +…+n?2 , 2 3 4 n+1 2Sn=1?2 +2?2 +3?2 +…+n?2 , 1 2 3 n n+1 两式相减得:﹣Sn=2 +2 +2 +…+2 ﹣n?2 = =(1﹣n)?2
n+1 n﹣1 n 2 2 2 2 2 2 2

=sinC

﹣n?2 ﹣2,

n+1

∴Sn=2+(n﹣1)?2 . 点评:本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中 档题. 18. (10 分) (2015 春?商洛期末) 在锐角△ ABC 中, a、 b、 c 是角 A、 B、 C 所对的边, 且 4sinB?sin ( + )+cos2B=1+
2

n+1

(1)求角 B 的度数; (2)若 S 是该三角形的面积,a=8,S=10 考点:正弦定理;余弦定理. 专题:计算题;解三角形.

,求 b 的值.

分析: (1)利用三角恒等变换公式化简已知等式,算出 sinB= 角可 B= 或 B= ;
2 2

,结合 B 是△ ABC 的内

(2)根据正弦定理的面积公式,算出边 c=5.再利用余弦定理 b =a +c ﹣2accosB 的式子,代 入数据即可算出边 b 的值. 解答: 解: (1)由 4sinB?sin ( 得 2sinB?[1﹣cos(
2

2

+ )+cos2B=1+
2

, ,

+B)]+1﹣2sin B=1+ 或 B=

,可得 sinB= ;

又∵B 是△ ABC 的内角,∴B= (2)∵a=8,S=10 ∴ acsinB= ×8×c×
2

, =10
2 2

,解之得 c=5

∵由余弦定理,得 b =a +c ﹣2accosB ∴当 B= 当 B= 时,b= 时,b= =7; = .

即边 b 的值等于 7 或 . 点评:本题给出三角形中角 B 的三角等式, 求角 B 的大小, 并在已知面积的情况下求边 b. 着 重考查了三角恒等变换、正余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识,属于中档题. 19. (2015?西安模拟) 为选拔选手参加“中国谜语大会”, 某中学举行了一次“谜语大赛”活动. 为 了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n)进行统计.按照[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90, 100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60) , [90,100]的数据) . (Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参 加“中国谜语大会”,求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率.

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)由样本容量和频数频率的关系易得答案; (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1,a2,a3,a4,a5, 分数在[90,100]内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1,b2,列举法易得. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 , ,x=0.100

﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030; (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1,a2,a3,a4,a5, 分数在[90,100]内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1,b2.抽取的 2 名学生的所有情况有 21 种, 分别为: (a1,a2) , (a1,a3) , (a1,a4) , (a1,a5) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a2,a3) , (a2,a4) , (a2,a5) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a3,a4) , (a3,a5) , (a3,b1) , (a3,b2) , (a4,a5) , (a4,b1) , (a4,b2) , (a5,b1) , (a5,b2) , (b1,b2) . 其中 2 名同学的分数都不在[90,100]内的情况有 10 种,分别为: (a1,a2) , (a1,a3) , (a1,a4) , (a1,a5) , (a2,a3) , (a2,a4) , (a2,a5) , (a3,a4) , (a3,a5) , (a4,a5) . ∴所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率 .

点评:本题考查列举法求古典概型的概率,涉及频率分布直方图,属基础题. 20.(2012?通州区一模) 如图, 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 底面为正三角形, AA1⊥平面 ABC, 且 AA1=AB=3,D 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证:A1B∥平面 ADC1; (Ⅱ)求证:平面 ADC1⊥平面 DCC1; (Ⅲ)在侧棱 CC1 上是否存在一点 E,使得三棱锥 C﹣ADE 的体积是 ,若存在,求 CE 长; 若不存在,说明理由.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 分析: (Ⅰ)连接 A1C 交 AC1 于点 O,连接 OD.可得 DO 为△ A1BC 中位线,A1B∥OD, 结合线面平行的判定定理,得 A1B∥平面 ADC1. (II)由 CC1⊥平面 ABC,得 CC1⊥AD.正三角形 ABC 中,中线 AD⊥BC,结合线面垂直的 判定定理,得 AD⊥平面 DCC1,最后由面面垂直的判定定理,证出平面 ADC1⊥平面 DCC1. (III)假设在侧棱 CC1 上存在一点 E 且 CE=m,满足三棱锥 C﹣ADE 体积是 ,利用△ CDE 作为底、AD 为高,得三棱锥 A﹣CDE 的体积,即为三棱锥 C﹣ADE 的体积,建立等式即可 解出 m 的值,所以在侧棱 CC1 上存在点 E,使三棱锥 C﹣ADE 的体积是 . 解答: 解: (Ⅰ)连接 A1C 交 AC1 于点 O,连接 OD. ∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC, ∴四边形 ACC1A1 为矩形,可得点 O 为 A1C 的中点. ∵D 为 BC 中点,得 DO 为△ A1BC 中位线, ∴A1B∥OD. ∵OD?平面 ADC1,A1B?平面 ADC1, ∴A1B∥平面 ADC1.…(4 分) (Ⅱ)∵底面 ABC 正三角形,D 是 BC 的中点 ∴AD⊥CD ∵CC1⊥平面 ABC,AD?平面 ABC,∴CC1⊥AD. ∵CC1∩CD=C,∴AD⊥平面 DCC1, ∵AD?平面 ADC1,∴平面 ADC1⊥平面 DCC1.…(9 分) (Ⅲ)假设在侧棱 CC1 上存在一点 E,使三棱锥 C﹣ADE 的体积是 ,设 CE=m ∵三棱锥 C﹣ADE 的体积 VC﹣ADE=VA﹣CDE ∴ × ×CD×CE×AD= ,得 × × ×m× ∴m= ,即 CE= 时,三棱锥 C﹣ADE 的体积是 .…(14 分) = .

∴在侧棱 CC1 上存在一点 E,当 CE=

点评:本题给出直三棱柱,求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积,着重考查了空间 线面平行、线面垂直的判定与性质,考查了锥体体积公式的应用,属于基础题.

21. (2007?陕西)已知椭圆 C: 焦点的距离为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(a>b>0)的离心率为

,短轴一个端点到右

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 的最大值.

,求△ AOB 面积

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题:压轴题. 分析: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c,依题意求出 a,b 的值,从而得到所求椭圆的方程. (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (1)当 AB⊥x 轴时, 直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m. 由已知
2 2

. (2)当 AB 与 x 轴不垂

,得

.把 y=kx+m 代入椭圆方程,整理得(3k +1)

2

x +6kmx+3m ﹣3=0,然后由根与系数的关系进行求解. 解答: 解: (Ⅰ) 设椭圆的半焦距为 c, 依题意 ∴b=1, ∴所求椭圆方程为 .

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (1)当 AB⊥x 轴时, . (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m. 由已知 ,得
2


2 2

把 y=kx+m 代入椭圆方程,整理得(3k +1)x +6kmx+3m ﹣3=0, ∴ , .

∴|AB| =(1+k ) (x2﹣x1) =

2

2

2

=

=

=

=



当且仅当

,即

时等号成立.当 k=0 时,



综上所述|AB|max=2.∴当|AB|最大时,△ AOB 面积取最大值



点评:本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要注意公式的灵活运用,认真审题,仔细解 答. 22. (14 分) (2015?红河州一模)已知函数 f(x)=e ﹣x +a,x∈R 的图象在点 x=0 处的切线 为 y=bx. (e≈2.71828) . (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; 2 (Ⅱ)当 x∈R 时,求证:f(x)≥﹣x +x; (Ⅲ)若 f(x)>kx 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立,求实数 k 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 综合题;导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ)利用图象在点 x=0 处的切线为 y=bx,求出 a,b,即可求函数 f(x)的解析式; 2 x (Ⅱ)令 φ(x)=f(x)+x ﹣x=e ﹣x﹣1,确定函数的单调性,可得 φ(x)min=φ(0)=0, 2 即可证明:f(x)≥﹣x +x; (Ⅲ)f(x)>kx 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立 立,k<g(x)min=g(1)=0,即可求实数 k 的取值范围. x 2 x 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=e ﹣x +a,f'(x)=e ﹣2x. 由已知
2 x x 2

对任意的 x∈(0,+∞)恒成

,f(x)=e ﹣x ﹣1.…(4 分)
x

x

2

(Ⅱ)令 φ(x)=f(x)+x ﹣x=e ﹣x﹣1,φ'(x)=e ﹣1,由 φ'(x)=0,得 x=0, 当 x∈(﹣∞,0)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减; 当 x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增. 2 ∴φ(x)min=φ(0)=0,从而 f(x)≥﹣x +x.…(8 分)

(Ⅲ)f(x)>kx 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立 立, 令 ∴ ,

对任意的 x∈(0,+∞)恒成

. x 由(Ⅱ)可知当 x∈(0,+∞)时,e ﹣x﹣1>0 恒成立,…(10 分) 令 g'(x)>0,得 x>1;g'(x)<0,得 0<x<1. ∴g(x)的增区间为(1,+∞) ,减区间为(0,1) .g(x)min=g(1)=0. ∴k<g(x)min=g(1)=e﹣2,∴实数 k 的取值范围为(﹣∞,e﹣2) .…(14 分) 点评: 此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题,考查了函数的单调性,属于 中档题.



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