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【解析版】2015届惠州市第一中学高三第一次模拟数学理科试卷


惠州市 2015 届高三模拟考试 数 学 试 题 (理科) 2015.04 【试卷综述】 本次试卷考查的范围是三角函数和数列。 试卷的题型着眼于考查现阶段学生的 基础知识及基本技能掌握情况。整份试卷难易适中,没有偏、难、怪题,保护了学生的学习 信心并激励学生继续学习的热情;在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础,突出 知识体系中的重点,培养能力”的命题原则,重视对学生运用所

学的基础知识和技能分析问

V ?
题、解决问题能力的考查。参考公式:锥柱体的体积公式: 面积, h 是锥体的高.

1 Sh 3 ,其中 S 是锥体的底

b?
用最小二乘法求线性回归方程系数公式:

? x y ? nx ? y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

, a ? y ?b? x .

【题文】一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选 项中,只有一项符合题目要求. 【题文】1.若集合 A ? {x | x ? 0 或 x ? 1, x ? R} , A. A ? B B. A ? B

B ? ? x x ? 2, x ? R?
D. A

,则 (

)

C. A ? B

B ??

【知识点】集合间的关系 A1 【答案】 【解析】A 解析:由集合的包含关系可知 A ? B ,故选 A.

【思路点拨】由集合的包含关系直接做出判断即可.

2 ? b ?i 【题文】2.已知 b 为实数, i 为虚数单位,若 1 ? i 为实数,则 b ? (
A. ?1 B. ?2 【知识点】复数的乘除运算 L4 C. 1 D. 2

)

【答案】 【解析】B

2 ? b ? i (2 ? b ? i) (1 ? i ) (2 ? b ) ? (2 ? b )i ? ? 2 2 解析: 1 ? i ,所以 b ? ?2 ,

故选 B. 【思路点拨】先把复数化简,再求出 b 的之即可. 【题文】3.下列函数中,既是奇函数又存在极值的函数是 (
3 A. y ? x

) D. y ? ln(? x)

y ? x?
B.

1 x

C. y ? x ? e

?x

【知识点】利用导数研究函数的极值;函数奇偶性的性质.B4 B12

【答案】 【解析】B

解析:由选项可知,A 选项 y ? x 单调递增(无极值) ,C、D 选项不
3

是奇函数,只有 B 选项既为奇函数又存在极值.故选 B. 【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件,即可得出结论.

?x ? 2 y ? 8 ? ?0 ? x ? 4 ?0 ? y ? 3 【题文】4.若变量 x , y 满足约束条件 ? ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值等于
( ) A.7 B.8 C.10 D.11 【知识点】简单线性规划. E5 【答案】 【解析】 C 解析: 平面区域如图所示, 由 z=2x+y, 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 B(4,2)时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大,此时 z 最大, 此时 z=2×4+2=10,故选:C

【思路点拨】 先根据约束条件画出可行域, 再利用几何意义求最值, 只需求出直线 z ? 2 x ? y 过点 B(4,2)时,z 最大值即可. 【题文】5.在 ?ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , AB ? AC ? 3 ,则 BC ? ( A. 3 B. 7 C. 19 D. 23 )

【知识点】向量数量积的运算;余弦定理 F3 C8

AB ? AC ? 3 ? cos A ?
【答案】 【解析】B 解析:

1 2 ,又由余弦定理知 BC ? 7 .故选

B. 【思路点拨】先利用向量数量积得到 cosA,再由余弦定理可得结果。 【题文】6.下列命题的说法 错误 的是 ( )

p, q 都是假命题. A.若复合命题 p ? q 为假命题,则
2 B. “ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件.

C.对于命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 .
2 2
2 2 D.命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” .

【知识点】全称命题;复合命题的真假.A2 【答案】 【解析】A 解析:若 p ? q 为假命题,则 p, q 至少有一个为假命题.故选 A.

【思路点拨】本题考查的是全称命题、复合命题的真假问题、充要条件等.在解答的过程当 中充分体现了问题转化的思想.值得同学们体会反思. 【题文】7.多面体 MN ? ABCD 的底面 ABCD 矩形,其正(主)视图和侧(左)视图如 图, 其中正 (主) 视图为等腰梯形, 侧 (左) 视图为等腰三角形, 则该多面体的体积为 ( )

16 A. 3

B. 6

20 C. 3

D. 6

【知识点】由三视图求面积、体积.G2 【 答 案 】【 解 析 】 C 解析:用割补法可把几何体分割成三部分,可得

V?

2? 2 20 ? 1 ? ?2?? ? 1 ? 2 ? ?2 ? ? 2 2 3,故选 C. ? 3 ?

【思路点拨】用割补法可把几何体分割成三部分, 把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算.
3 2 【题文】8.对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义:设 f '( x) 是函数

y ? f ( x) 的 导 数 , f ' '(x )是 f '( x) 的 导 数 , 若 方 程 f ' '( x) ? 0 有 实 数 解 x0 , 则 称 点

( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点” .某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐
点” ,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心。设函数

g ( x) ?
A.1

? 1 ? ? 2 ? 1 3 1 2 5 g? x ? x ? 3x ? ?? g? ?? ? 2015 ? 3 2 12 ,则 ? 2015 ?
B. 2016 C. 2015

? 2014 ? ? g? ?? ? 2015 ? (
D. 2014

)

【知识点】类比推理.M1 【答案】 【解析】D

( ? x) ? x ? x ? 3, ? g( ? x) ? 2x ?1 , 由 解析:依题意得: g
2

g( ? x) ? 0,即2 x ?1 ? 0 ,可得

x?

?1? ?1 ? 1 g ? ? ?1 ? ,1? g ? x? 2 ,而 ? 2 ? ,即函数 的拐点为 ? 2 ? ,即

g ?1 ? x ? ? g ? x ? ? 2



? 1 ? ? 2014 ? ? 2 ? ? 2013 ? ? 3 ? ? 2012 ? g? ?? g? ? ? g? ?? g? ? ? g? ?? g? ?? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? 所以 ? 2015 ?
2014 ? 2 ? 2014 2 所以所求为 ,故选 D.

2,

?1 ? ? ,1? g ?1 ? x ? ? g ? x ? ? 2 【思路点拨】由题意可推出 ? 2 ? 为 f(x)的对称中心,从而可得 , ? 1 ? ? 2014 ? ? 2 ? ? 2013 ? ? 3 ? ? 2012 ? g? ?? g? ? ? g? ?? g? ? ? g? ?? g? ?? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? ? 2015 ? 从而求 ? 2015 ? 2,


值. 【题文】二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 题,每小题 5 分,满分 30 分,其中 13 题第一问 2 分,第二问 3 分。 ) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答.

1 1 ? 【题文】9.设 a ? 0, b ? 0 ,若 a ? b ? 1 ,则 a b 的最小值为__________.
【知识点】基本不等式;等比数列的性质.D3 E6

【答案】 【解析】4

b a 1 1 1 1 b a ? ? ( ? )(a ? b) ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ? 4 a b a b a b 解析: a b ,当

1 1 ? 且仅当 a ? b 时取等号,所以 a b 的最小值为 4 .故答案为 4.
【思路点拨】由条件 a+b=1,利用基本不等式求出它的最小值.

【题文】10.计算积分

?

e 1

1 dx ? x __________.

【知识点】定积分的计算 B13

【答案】 【解析】1

? 解析:

e

1

1 e dx ? ln x |1 ? ln e ? ln1 ? 1 x ,故答案为 1.

【思路点拨】利用定积分的运算公式即可.

【题文】11.某单位为了了解用电量 y (度)与当天平均气温 x (°C)之间的关系,随机统 计了某 4 天的当天平均气温与用电量(如右表) 。由数据运用最小二乘法得线性回归方程

y ? ?2 ? x ? a ,则 a ? __________.

【知识点】线性回归方程.I4

x?
【答案】 【解析】60 解析:

18 ? 13 ? 10 ? 1 25 ? 35 ? 37 ? 63 ? 10 y ? ? 40 4 4 , ,样本

中心为 (10, 40) ,回归直线经过样本中心,所以 40 ? ?2 ?10 ? a ? a ? 60 .故答案为 60. 【思路点拨】 根据所给的表格做出本组数据的样本中心点, 根据样本中心点在线性回归直线 上,利用待定系数法做出 a 的值,现在方程是一个确定的方程,根据所给的 x 的值,代入线 性回归方程,预报要销售的件数. 【题文】12.如图所示的程序框图,若输入 n ? 2015 ,则输出的 s 值为__________.

【知识点】程序框图 L1







】 【







3 2



















2 0? 1 4 s?s i n ? 3 sin


?2 0 1 3 s i n ? ? 3
? sin

?
3

s ? i n , 3

? 2

s i n

?
3

? sin

2? ? 3

6? ?0 3 以及周期的性质,化简后得

s ? sin

?
3

? sin

2? 3? 4? 3 3 ? sin ? sin ? 3 3 3 2 .故答案为 2 .

【思路点拨】首先分析程序框图,循环体为“直到型”循环结构,按照循环结构进行运算, 求出满足题意时的 s 值.

【题文】13.将自然数按如图排列,其中处于从左到右第 m 列从下到上第 n 行的数记为

A(m, n) ,
如 A(3,1) ? 4 , A(4,2) ? 12 ,则 A(1, n) ? __________; A(10,10) ? __________.
28 21 27 15 20 26 10 14 19 25 6 9 13 18 24 3 5 8 12 17 23 1 2 4 7 11 16 22

【知识点】归纳推理.M1

n( n ? 1) ,181 2 【答案】 【解析】
∴ A(1,10) ?

A(1, n) ? 1 ? 2 ?
解析:由题意,

?n?

n(n ? 1) 2 ,

10 ?11 ? 55 2 , ∴ A(10,10) ? 55 ? 10 ? 11 ?

? 18 ? 181 . 故 答 案 为

n( n ? 1) ,181 2 . A(1, n) ? 1 ? 2 ?
【思路点拨】由题意,

?n?

n(n ? 1) 2 ,再求出 A(1,10) ,即可求出

A(10,10) . 【题文】 (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题.

【题文】14. (极坐标与参数方程选做题)若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ( t 为参数)上,则

? x ? 4t 2 ? ? y ? 4t

PF

等于______.

【知识点】椭圆的参数方程;抛物线的简单性质.H5 H7 【答案】 【解析】4
2 PF P(3, m) 解析:抛物线为 y ? 4 x , 为 到准线 x ? ?1 的距离,即

距离为 4 .故答案为 4. 【思路点拨】欲求 |PF|即可.

PF

,根据抛物线的定义,即求 P(3, m) 到准线 x=﹣1 的距离,从而求得

【题文】15. (几何证明选讲选做题)如图, PA 与圆 O 相切于 A , PCB 为圆 O 的割线, 并且不过圆心 O , 已知 ?BPA ? 30? ,PA ? 2 3 ,PC ? 1 , 则圆 O 的半径等于__________.

【知识点】与圆有关的比例线段.N1 【答案】 【解析】7 解析:由圆的性质 PA =PC·PB,得 PB=12,连接 OA 并反向延长交圆 于点 E,在直角三角形 APD 中可以求得 PD=4,DA=2,故 CD=3,DB=8,记圆的半径为 R,由 于 ED·DA=CD·DB
2

(2R ? 2) ? 2 ? 3 ? 8 ,解得 R=7.故答案为 7. 因此

【思路点拨】连 AO 并延长,根据切线的性质定理得到 Rt△ PAD ,根据切割线定理得到 PA2=PC?PB,根据相交弦定理得到 CD?DB=AD?DE,最后即可解得圆 O 的半径. 【题文】三、解答题。本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演 算步骤。 【题文】16. (本小题满分 12 分)

f ( x) ? A sin(? x ? ) 6 ( A ? 0 , ? ? 0) 的最小正周期为 T ? 6? ,且 f (2? ) ? 2 . 已知函数
(1)求 f ( x ) 的表达式;

?

? ? , ? ? [0, ]
(2)设

2 ,

f (3? ? ? ) ?

16 5? 20 f (3? ? ) ? ? 5 , 2 13 ,求 cos(? ? ? ) 的值.

【知识点】三角函数的图像与性质;三角恒等变形 C3 C7

63 x π f(x) = 4sin( + ) 3 6 (2) 65 【答案】 【解析】 (1)
?=
解析:(1)依题意得

2π 2π 1 x π = ? f(x) = Asin( + ) T 6π 3 ,∴ 3 6 , ……2 分

Asin(
由 f(2π)=2,得

2π π 5π + )=2 Asin =2 3 6 6 ,即 ,∴A=4, ……4 分

x π f(x) = 4sin( + ) 3 6 . ∴
f(3α + π) =
(2)由

……5 分

16 1 π 16 4sin[ (3α + π) + )] = 5 ,得 3 6 5 ,

π 16 4 4sin(α + ) = cos? ? 2 5 ,∴ 5, 即
3 π sin? ? α ? [0, ] 5, 2 ,∴ 又∵

……6 分

……7 分

f(3? +


5π 20 1 5π π 20 )=? 4sin[ (3? + ) + )] = ? 2 13 ,得 3 2 6 13 , 5 5 sinβ ? 13 ,∴ 13 ,

sin(? + π) = ?


……9 分

π 12 β ? [0, ] cosβ ? 2 ,∴ 13 , 又∵

……10 分

4 12 3 5 63 ? ? ? ? ? cos(α-β)= cosαcosβ+ sinαsinβ 5 13 5 13 65 .

……12 分

cos? ?
【思路点拨】 ( 1 )利用周期公式结合已知条件即可 ; ( 2 )先由已知得

4 5 , 再利用

f(3? +

5π 20 )=? 2 13 以及两角差的余弦公式即可.

【题文】17. (本小题满分 12 分) 一个盒子内装有 8 张卡片,每张卡片上面写着 1 个数字,这 8 个数字各不相同,且奇数有 3

个,偶数有 5 个.每张卡片被取出的概率相等. (1)如果从盒子中一次随机取出 2 张卡片,并且将取出的 2 张卡片上的数字相加得到一个 新数,求所得新数是奇数的概率; (2)现从盒子中一次随机取出 1 张卡片,每次取出的卡片都不放回盒子,若取出的卡片上 写着的数是偶数则停止取出卡片,否则继续取出卡片.设取出了 ? 次才停止取出卡片,求 ? 的分布列和数学期望. 【知识点】排列组合;古典概型;随机变量的分布列 J2 K2K6

15 【答案】 【解析】 (1) 28 ;(2)见解析
解析:(1)记事件 A 为“任取 2 张卡片,将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”, ??1 分

P( A) ?
因为奇数加偶数可得奇数,所以

1 1 C3 ? C5 15 ? 2 C8 28

15 所以所得新数是奇数的概率等于 28 .
(2) ? 所有可能的取值为 1,2,3,4,

?????4 分 ?????5 分

P(? ? 1) ?
根据题意得

1 C5 5 ? , 1 C8 8

P(? ? 2) ?

1 1 C3 C5 15 ? ? , 1 1 C8 C7 56

P(? ? 3) ?

1 1 1 1 1 1 1 C3 C5 C3 C5 C2 C2 C1 5 1 ? ? ? , P ( ? ? 4) ? ? ? ? ? . 1 1 1 1 1 1 1 C8 C7 C6 56 C8 C7 C6 C5 56 ???????9 分

故 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

4

5 8

15 56

5 56

1 56

?????10 分

5 15 5 1 3 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 8 56 56 56 2 .

?????????12 分

【思路点拨】 (1)记事件 A 为“任取 2 张卡片,将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”, 由奇数加偶数可得结果; (2) ? 所有可能的取值为 1,2,3,4, 计算出概率,列出分布列最后

根据公式得到期望。 【题文】18. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD / / BC , ?ADC ? 90? ,平 面 PAD ⊥底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的点, PA ? PD ? AD ? 2 ,

BC ? 1 , CD ? 3 .
(1)求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ;
? (2)若二面角 M ? BQ ? C 为 30 ,设 PM ? t ? MC ,试确定 t 的值.

【知识点】平面与平面垂直的证明; 实数的取值 G10 G11 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2) t ? 3

1 解析: (1)证法一:∵AD∥BC,BC= 2 AD,Q 为 AD 的中点,
∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ. ???????1 分 ∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即 QB⊥AD. ???????2 分 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD,???????4 分 ∴BQ⊥平面 PAD. ???????5 分 ∵BQ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. ???????6 分

1 证法二:AD∥BC,BC= 2 AD,Q 为 AD 的中点,∴四边形 BCDQ 为平行四边形,
∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°,即 QB⊥AD. ∵PA=PD,∴PQ⊥AD. ∵PQ∩ BQ=Q PQ、BQ ? 平面PBQ, ∴AD⊥平面 PBQ. ???????1 分 ???????2 分 ???????3 分 ???????4 分 ???????5 分

∵AD? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD. ???????6 分 (2)法一:∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD. ∵面 PAD⊥面 ABCD,且面 PAD∩ 面 ABCD=AD,∴PQ⊥面 ABCD.?????7 分 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ;??8 分

Q(0,0,0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .
设 M ( x, y, z ) ,则

PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ?z) ??9 分
t ? ?x ? ? 1? t ? x ? t (?1 ? x) ? ? 3t ? ? y ? t ( 3 ? y) ? ? y ? 1? t ? ? z ? 3 ? t ( ? z ) ? ? 3 ? z? 1 ? t ,???10 分 ? PM ? t ? MC ,∴
? t 3t 3? QM ? ? ? , , ? 1? t 1? t 1? t ? ? QB ? (0, 3,0) ? ?, 在平面 MBQ 中, ,
∴平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) .??12 分

cos 30? ?
∵二面角 M ? BQ ? C 为 30°,∴

n?m n?m

?

t 3? 0?t
2

?

3 2

,得 t ? 3 ??14 分

法二:过点 M 作 MO // PQ 交 QC 于点 O ,过 O 作 OE ⊥ QB 交于点 E ,连接 ME , 因为 PQ ? 面 ABCD ,所以 MO ⊥面 ABCD ,由三垂线定理知 ME ⊥ QB , 则 ?MEO 为二面角 M ? BQ ? C 的平面角。????9 分(没有证明扣 2 分) 设 CM ? a ,则 PM ? a ? t , PC ? 7 ,

MO CM 1 3a ? ? MO ? ?t 7 ?????10 分 ? PQ CP ,1 ?
OE ⊥ QB , BC ⊥ QB ,且三线都共面,所以 BC // OE

E E

O

EO QO PM t t ?a ? ? ? EO ? 1? t 7 ????11 分 ? BC QC PC ,?
在 Rt ?MOE 中

tan ?MEO ? tan 30 ? ?

MO EO ,???13 分

MO 3 3 ? ? t 3 ? EO

解得 t ? 3

?????14 分

【思路点拨】 (Ⅰ)法一:由 AD∥BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点,知四边形 BCDQ 为平行四 边形, 故 CD∥BQ. 由∠ADC=90°, 知 QB⊥AD. 由平面 PAD⊥平面 ABCD, 知 BQ⊥平面 PAD. 由 此能够证明平面 PQB⊥平面 PAD.法二:由 AD∥BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点,知四边形 BCDQ 为平行四边形,故 CD∥BQ.由∠ADC=90°,知∠AQB=90°.由 PA=PD,知 PQ⊥AD,故 AD⊥平面 PBQ.由此证明平面 PQB⊥平面 PAD. (Ⅱ)由 PA=PD,Q 为 AD 的中点,知 PQ⊥ AD.由平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD,知 PQ⊥平面 ABCD.以 Q 为原 点建立空间直角坐标系,利用向量法能够求出 t=3. 【题文】19. (本小题满分 14 分)

Sn ? 2 ? ( ? 1) ? an * ?a ? S n 已知数列 n 的前 n 项和为 n , ,n? N .
(1)求数列

2

?an ?的通项公式;
1 1 1 1 2 A n ? an 的 T A T T T T 的前 n 项和为 n , n = 1 + 2 + 3 +??+ n .试比较 n 与

(2)设数列

? 2 n ? an ?

大小. 【知识点】递推公式;等比数列的通项公式;数列的和;D1 D3 D4

【答案】 【解析】 (1)

an?

n ,n? N* n 2 (2)见解析 1 2,

解析: (1)由

a1 ? S1 ? 2 ? 3a1 ? a1 ?

?????1 分

?2 ? ? 2 ? Sn ? 2 ? ? ? 1? an ? Sn?1 ? 2 ? ? ? 1? an?1 ?n ? ? n ?1 ? 由 ,其中 n ? 2 ? 2 ? ?2 ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ? ? 1? an ?1 ? ? ? 1? an ? n ?1 ? ?n ? 于是

???????3 分

an 1 an ?1 ? ? ? n ? 2? 2 n ?1 整理得 n ,

???????4 分

? an ? 1 ? ? n 所以数列 ? ? 是首项及公比均为 2 的等比数列.

???????5 分

an 1 ? 1 ? ? ?? ? n 2 ?2?

n ?1

?

1 n a ? ,n? N* 2n ? n 2 n
n ?1

???????6 分

an 1 ? 1 ? ? ?? ? 2 ?2? (2)由(1)得 n 2n an ? n, Tn ? 1 ? 2 ? 3 ?
于是

?

1 2n n ? n ? 1? 1 2 1 ? ?1 , ? ? 2? ? ? 2 Tn n ? n ? 1? ? n n ?1 ?

n?

???8 分

?? 1 ? ? 1 1 ? An ? 2 ??1 ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? 2 3 ?

1 ? ? 2n ?1 ?? ? ?? ? ? n n ? 1 ?? n ? 1

???????9 分

2 2n ?1 2n n 2n ?1 2n ? 2 2 2 na n ,问题转化为比较 n 与 n ? 1 的大小,即 n 与 n ? 1 的大小 又 n
2n n f ? n? ? 2 , g ? n? ? , n n ?1 f ? n ? 1? ? f ? n ? ? 2n ? ? n ? n ? 2 ? ? 1? ? ? ? n ? n ? 1? ? ?
2



???????10 分

f n ?1 ) ?( f n)>0 ,∴当 n ? 3 时 f (n) 单调递增, 当 n ? 3 时, ( f n) ?( f 4) ? 1 ,而 ( g n)< 1, ∴当 n ? 4 时, ( f n)>( g n) ∴当 n ? 4 时, ( f n) ?g (n) 经检验 n =1,2,3 时,仍有 (
???????12 分 ???????13 分

f n)>( g n), 因此,对任意正整数 n ,都有 ( 即

An<

2 nan

???????14 分

【 思 路 点 拨 】( 1 ) 根 据 已 知 条 件 中 的 递 推 关 系 式 先 得 到

a1 , 再 由 由

?2 ? ? 2 ? Sn ? 2 ? ? ? 1? an ? Sn?1 ? 2 ? ? ? 1? an?1 ?n ? ? n ?1 ? ,整理即可; (2)借助于已知条件把问题问

2n n 2n ?1 2n 2 2 题转化为比较 n 与 n ? 1 的大小,即 n 与 n ? 1 的大小,进而证明即可。
【题文】20. (本小题满分 14 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线

C1 上的点均在圆 C2 : ( x ? 5)2 ? y2 ? 9 外,且对 C1 上任意一点

M , M 到直线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值.
(1)求曲线 (2)设

C1 的方程;

P( x0 , y0 )( y0 ? ?3) 为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交

于点 A, B 和 C , D .证明:当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B , C , D 的纵坐标之积为 定值. 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程.H8 【答案】 【解析】 (1) y ? 20 x ; (2)6400.
2

x ? 2 ? ( x ? 5)2 ? y 2 ? 3 ( x , y ) M 解析: (1)解法 1 :设 的坐标为 ,由已知得 ,??1
分 易知圆

C2 上的点位于直线 x ? ?2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? x ? 5 .

化简得曲线 解法 2 : 所以曲线

C1 的方程为 y 2 ? 20 x .
曲线

???????4 分

C1 上任意一点 M 到圆心 C2 (5, 0) 的距离等于它到直线 x ? ?5 的距离,

C1 是以 (5, 0) 为焦点,直线 x ? ?5 为准线的抛物线,????? 2 分
2

故其方程为 y ? 20 x . (2)当点 P 在直线 x ? ?4 上运动时,P 的坐标为

???????4 分

(?4, y0 ) ,又 y0 ? ?3 ,则过 P 且与圆

C2 相切得直线的斜率 k 存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两个交点,

5k ? y0 ? 4k
切线方程为 整理得

y ? y0 ? k ( x ? 4) , kx ? y ? y0 ? 4k ? 0 即于是


k 2 ?1

? 3.

2 72k 2 ?18 y0k ? y0 ? 9 ? 0.

???????6 分

设过 P 所作的两条切线 PA, PC 的斜率分别为

k1 , k2 ,则 k1 , k2 是方程①的两个实根,



k1 ? k2 ? ?

18 y0 y ?? 0. 72 4



???????7 分

?k1 x ? y ? y0 ? 4k1 ? 0, ? k y2 ? 20 y ? 20( y0 ? 4k1 ) ? 0. y 2 ? 20 x, 由? 得 1
设四点 A, B, C , D 的纵坐标分别为

③???????8 分

y1 , y2 , y3 , y4 ,则是方程③的两个实根,

y1 ? y2 ?
所以

20( y0 ? 4k1 ) . k1

④???????9 分

y3 ? y4 ?
同理可得

20( y0 ? 4k2 ) . k2

⑤???????10 分

于是由②,④,⑤三式得
2 y0 ? 4( k1 ? k2 ) y0 ? 16k1k2 ? 400( y0 ? 4k1 )( y0 ? 4k2 ) 400 ? ? ? ? y1 y2 y3 y4 ? k1k2 k1k2

?

400 y?2 ? y?2 ? 16k1k 2 ? 6400 k1k 2 .???????13 分

?

?

所以,当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B, C , D 的纵坐标之积为定值 6400. ?14 分 【思路点拨】 (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y) ,根据对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x=﹣2 的距 离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值, 可得|x+2|= 且圆 C2 上的点

位于直线 x=﹣2 的右侧,从而可得曲线 C1 的方程; (Ⅱ)当点 P 在直线 x=﹣4 上运动时,P 的 坐 标 为 ( ﹣ 4 , y0 ) , 设 切 线 方 程 为 kx ﹣ y+y0+4k=0 , 利 用 直 线 与 圆 相 切 可 得 ,从而可得过 P 所作的两条切线 PA,PC 的斜率 k1,k2 是方程的 两 个 实 根 , 设 四 点 A , B , C , D 的 纵 坐 标 分 别 为 y1 , y2 , y3 , y4 , 从 而 可 得

;同理可得 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值为 6400. 【题文】21. (本小题满分 14 分)

,由此可得当 P 在直线 x=﹣4

x?a 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) = x ? 2a .

4? 上的最大值为 g (a) ,求 g (a) 的表达式; (1)记 f ( x) 在区间 ?0,

? 0, 4 ? 内的图象上存在两点,在该两点处的切线互 (2)是否存在 a ,使函数 y ? f ( x) 在区间
相垂直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程 B11 B12

? 4?a , 0 ? a ? 1, ? ? 4 ? 2a ? ? 1 , a ? 1. ? 【答案】 【解析】 (1) g (a ) = ? 2
a?x 解析:(1)当 0 ? x ? a 时, f ( x ) = x ? 2 a ; x?a 当 x ? a 时, f ( x ) = x ? 2 a .

? 1? ? 0, ? (2) ? 2 ?

???????2 分

?3a 2 因此,当 x ? (0, a) 时, f '( x) = ? x ? 2a ? <0, f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减; ??3 分 3a 2 当 x ? (a, ??) 时, f '( x) = ? x ? 2a ? >0, f ( x ) 在 (a, ??) 上单调递增.???4 分
1 ①若 a ? 4 ,则 f ( x ) 在 (0, 4) 上单调递减, g (a ) = f (0) = 2 . ???????5 分
②若 0 ? a ? 4 ,则 f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a, 4) 上单调递增. 所以 g (a ) = max{ f (0) , f (4) } .

1 4?a a ?1 ? ? 而 f (0) - f (4) = 2 4 ? 2a 2 ? a , 4?a 故当 0 ? a ? 1 时, g (a ) = f (4) = 4 ? 2 a ; 1 g ( a ) f (0) 当 1 ? a ? 4 时, = =2 .

???????6 分

???????8 分

? 4?a , 0 ? a ? 1, ? ? 4 ? 2a ? ? 1 , a ? 1. ? 综上所述, g (a ) = ? 2

???????9 分

(2)由(1)知,当 a ? 4 时, f ( x ) 在 (0, 4) 上单调递减,故不满足要求.????10 分 当 0 ? a ? 4 时, f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a, 4) 上单调递增. 若存在

x1 , x2 ∈ (0, 4) ( x1 < x2 ),使曲线 y= f ( x) 在 ? x1,f ( x1 )? , ? x2,f ( x2 ) ? 两点处的 x1 ∈ (0, a ) , x2 ∈ ( a, 4) ,且 f '( x1 ) ? f '( x2 ) =-1,

切线互相垂直,则

?3a 3a 3a ? ? ?1 2 2 ? x ? 2a ? ? x2 ? 2a ? x ? 2a .(*) ???????11 分 即 1 ,亦即 x1 ? 2a = 2 3a ? 3a ? ,1? ? x x x ? 2 a ∈ ? 4 ? 2a ? . 由 1 ∈ (0, a ) , 2 ∈ ( a, 4) 得 x1 ? 2a ∈ (2a,3a) , 2 ? 3a ? ,1? ? 故(*)成立等价于集合 A= (2a,3a) 与集合 B= ? 4 ? 2a ? 的交集非空.
3a 1 0?a? 2 时,A∩ 因为 4 ? 2 a < 3a ,所以当且仅当 0 ? 2a ? 1 ,即 B≠ ? .??13 分
综上所述,存在 a 使函数 f ( x ) 在区间(0,4)内的图象上存在两点,

? 1? ? 0, ? 在该两点处的切线互相垂直,且 a 的取值范围是 ? 2 ? .

???????14 分

【思路点拨】 (I)利用绝对值的几何意义,分类讨论,结合导数确定函数的单调性,从而可 得 g(a)的表达式; (II)利用曲线 y=f(x)在两点处的切线互相垂直,建立方程,从而可 转化为集合的运算,即可求得结论.


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