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2012圆锥曲线最值范围定值定点问题打印


圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题
教学目标:会处理动曲线(含直线)过定点的问题;会证明与曲线上动点有关的定值问题;会按条件建
立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合” “几何法”求某些量的 最值.

(一) 主要知识及主要方法: 1. 在几何问题中,有些几何量与参数无关,这就构成了定值问题,解决这类问题一

种思路是进行一般计算
推理求出其结果;另一种是通过考查极端位置,探索出“定值”是多少,然后再进行一般性证明或计算, 即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式, 证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现, 特殊 方法往往比较奏效. 2. 对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题,设该直线(曲线) 上两点的坐标, 利用坐标在直线 (或曲线) 上, 建立点的坐标满足的方程 (组) 求出相应的直线 , (或曲线) , 然后再利用直线(或曲线)过定点的知识加以解决. 3. 解析几何的最值和范围问题,一般先根据条件列出所求目标的函数关系式,然后根据函数关系式的特征 选用配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值.

(二)典例分析: 问题 1. ( 05 广东)在平面直角坐标系 xOy 中,
2

y A B

抛物线 y ? x 上异于坐标原点 O 的两不同动点 A 、 B 满足 AO ? BO . (Ⅰ)求 △AOB 的重心 G 的轨迹方程; (Ⅱ) △AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值; 若不存在,请说明理由.

O

x

??? ? ??? ? 问题 2. 06 全国Ⅱ)已知抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点为 F , A 、 B 是抛物线上的两动点,且 AF ? ? FB ( (? ? 0) .过 A 、 B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M . ???? ??? ? ? (Ⅰ)证明 FM ? AB 为定值;
(Ⅱ)设 △ABM 的面积为 S ,写出 S ? f (? ) 的表达式,并求 S 的最小值.

(三)课后作业:
1. 过抛物线 y 2 ? 2 px 的顶点任意作两条互相垂直的弦 OA 、 OB , 求证: AB 交抛物线的对称轴上一定点. O

y A

x
B

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x2 y 2 2 ? ? 1 的右支上一点, M , N 分别是圆 ? x ? 5 ? ? y 2 ? 4 9 16 2 2 和 ? x ? 5 ? ? y ? 1 上的点,则 PM ? PN 的最大值为

2. P 是双曲线

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

3. ( 05 全国Ⅱ) P 、Q 、M 、 N 四点都在椭圆 x2 ?

??? ? y2 ? 1 上,F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点.已知 PF 与 2 ??? ? ???? ???? ? ??? ???? ? ? FQ 共线, MF 与 FN 共线,且 PF ? MF ? 0 .求四边形 PMQN 的面积的最小值.

( 如图, 倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点 F , 4. 07 重庆文) 且与抛物线交于 A 、 B 两点.

?1? 求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程;
? 2 ? 若 ? 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P ,证
明: FP ? FP cos 2? 为定值,并求此定值.

5. ( 07 山东)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
(Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A, B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过 椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

6、 (2013 年高考浙江卷)已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点 F(0,1)

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 过点 F 作直线交抛物线 C 于 A.B 两点.若直线 AO.BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M.N 两点, 求|MN|的最小值.

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