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等差数列与等比数列检测卷


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等差数列与等比数列检测卷
一、选择题 1、 {an } 是等比数列, 设 有下列四个命题: {an } 是等比数列; {an an?1} 是等比数列; ① 2 ② ③{

1 } 是等比数列;④ {lg | an |} 是等比数列。其中正

确命题的个数是 an
B、2 C、3 D、4





A、1

2、{an } 为等比数列, 公比为 q , 则数列 a1 ? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6 , a7 ? a8 ? a9 ,? 是 ( A、公比为 3q 的等比数列 C、公比为 q 的等比数列
3



B、公比为 6q 的等比数列 D、公比为 q 的等比数列 ( D、 a51 ? 51 ( ) )
6

3、 已知等差数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a101 ? 0 , 则有 A、 a1 ? a101 ? 0 B、 a1 ? a101 ? 0 C、 a1 ? a101 ? 0

4、 若直角三角形的三边的长组成公差为 3 的等差数列, 则三边的长分别为 A、5,8,11 B、9,12,15 C、10,13,16

D、15,18,21 ( )

5、 数列 a, a, a,?, a,?(a ? R) 必为

A、等差非等比数列 B、等比非等差数列 C、既等差且等比数列 D、以上都不正确 6、若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这 个数列共有 A、10 项 B、11 项 C、12 项 D、13 项 ( ) )

7、 在等差数列 {an } 中,a1 ? 4 , a1 , a ,3 成等比数列, {an } 的通项公式为 ( 且 则 a 5 1 A、 an ? 3n ? 1
2

B、 an ? n ? 3
3 n?1

C、 an ? 3n ? 1 或 an ? 4

D、 an ? n ? 3 或 an ? 4 ( )

8、 数列 1, a, a , a ,?, a

,?, 的前 n 项的和为
C、

A、

1 ? an 1? a

B、

1 ? a n?1 1? a

1 ? a n?2 1? a

D、以上均不正确 ( )

9、 等差数列 {an } 中, 1 ? a7 ? 42, a10 ? a3 ? 21, 则前 10 项的和 S10 等于 a A、720
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B、257

C、255

D、不确定
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10、某人于 2000 年 7 月 1 日去银行存款 a 元,存的是一年定期储蓄;2001 年 7 月 1 日 他将到期存款的本息一起取出,再加 a 元后,还存一年的定期储蓄,此后每年 7 月 1 日他都 按照同样的方法,在银行存款和取款;设银行一年定期储蓄利率 r 不变,则到 2005 年 7 月 1 日,他将所有的存款和利息全部取出时,取出的钱数共有多少元? A、 a(1 ? r )5 二、填充题 11、在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表, 观察表中的数列的特点,用适当的数填入表中空格内: 年龄(岁) 0 收缩压(水银柱,毫 米) 舒张压 0 1 10 7 3 15 7 5 3 5 1 20 7 8 3 0 1 25 7 0 4 5 1 4 0 1 30 8 3 35 8 8 5 5 1 5 0 6 5 1 45 8 6 B、 a[(1 ? r )5 ? (1 ? r )] C、 [(1 ? r ) ? (1 ? r )]
6




5

a r

D、 [(1 ? r ) ? r ]

a r

12、两个数列 x, a1 , a2 , a3 , y 与 x, b1 , b2 , y 都成等差数列,且 x ? y ,则

a2 ? a1 = b2 ? b1

13、公差不为 0 的等差数列的第 2,3,6 项依次构成一等比数列,该等比数列的公比 q = 14、等比数列 {an } 中, a1 ? 4, q ? 5 ,前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? 105 的最小自然数 n 为 三、简答题 15、 {an } 是一个公差为 d (d ? 0) 的等差数列, 设 它的前 10 项和 S10 ? 110 , a1 , a ,4a 且 2 成等比数列. (1)证明 a1 ? d ; (2)求公差 d 的值和数列 {an } 的通项公式. 16、 (1)在等差数列 {an } 中, a1 ? a6 ? 12, a4 ? 7 ,求 an 及前 n 项和 Sn ; (2)在等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66, a2 an?1 ? 128, Sn ? 126 ,求 n, q . 17、设无穷等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .
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(1)若首项 a1 ?

3 2 ,公差 d ? 1 ,求满足 Sk 2 ? (Sk ) 的正整数 k ; 2
2

(2)求所有的无穷等差数列 {an } ,使得对于一切正整数 k 都有 Sk 2 ? (Sk ) 成立. 等差数列与等比数列检测卷参考答案 一、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 C 二、填充题 11、140,85; 三、简答题 15、 (1)略; (2) d ? 2, an ? 2n 16、 1) n ? 2n ? 1, n ? n2 ; (2) a1 ? 2 an 6 ( a 当 , ? 4 S 时, q ? 12、 C C B D D D D C C 1

3 ; 4

13、3 ;

14、8

q 时, ? 2, n ? 6 ; a1 ? 6 an2? 当 4 ,

1 ,n ? 6 2 3 3 n(n ? 1) 1 2 , d ? 1 时, Sn ? n ? ? n ? n , 由 S k 2 ? (S k ) 2 得 , 2 2 2 2

17 、 1 ) 当 a1 ? (

1 1 4 1 k ? k 2 ? ( k 2 ? k ) 2 ,即 k 3 ( k ? 1) ? 0 ,又 k ? 0 ,所以 k ? 4 . 2 2 4
2 (2)设数列 ?an ? 的公差为 d ,则在 S k 2 ? (S k ) 中分别取 k ? 1,2 得 ?

? S1 ? ( S1 ) 2 2 ?S 4 ? ( S 2 )

? a1 ? a12 ? 即? 4?3 2 ?1 2 ,由(1)得 a1 ? 0 或 a1 ? 1 . 4a1 ? d ? (2a1 ? d) ? 2 2 ?
当 a1 ? 0 时,代入(2)得: d ? 0 或 d ? 6 ; 当 a1 ? 0, d ? 0 时, an ? 0, S n ? 0 ,从而 S k 2 ? (S k ) 成立;
2

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当 a1 ? 0, d ? 6 时,则 an ? 6(n ? 1) ,由 S3 ? 18 , (S3 ) 2 ? 324 S9 ? 216 知, ,

S9 ? (S3 )2 ,故所得数列不符合题意;当 a1 ? 1 时, d ? 0 或 d ? 2 ,当 a1 ? 1 , d ? 0 时,
an ? 1, S n ? n ,从而 S k 2 ? (S k ) 2 成立;当 a1 ? 1 , d ? 2 时,则 an ? 2n ? 1, S n ? n 2 ,
从而 S k 2 ? (S k ) 2 成立,综上共有 3 个满足条件的无穷等差数列; an ? 0 或 an ? 1 或

an ? 2n ? 1 .
另 解 : 由 S k 2 ? (S k )
2

得 k [a1 ?
2

1 1 (k ? 1)d ]2 ? k 2 [a1 ? (k 2 ? 1)d ] , 整 理 得 2 2

1 1 1 1 1 ( d 2 ? d )k 2 ? (da1 ? d 2 )k ? (a12 ? a1 ? d 2 ? d ? da1 ) ? 0 对 于 一 切 正 整 数 k 都 成 4 2 2 4 2

?1 2 1 ?4 d ? 2 d ? 0 ? ?d ? 0 ?d ? 0 ?d ? 2 1 2 ? 立, 则有 ? da1 ? d ? 0 解之得:? 或? 或? 所以所有满足 2 ? a1 ? 0 ? a1 ? 1 ? a1 ? 1 ? 1 2 1 ? 2 ? a1 ? a1 ? 4 d ? 2 d ? da1 ? 0 ?
条件的数列为: an ? 0 或 an ? 1 或 an ? 2n ? 1 .

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