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高考第一轮复习——算法框图、复数的概念、推理与证明(数学归纳法)-33


年级 课程标题 编稿老师

高三

学科

数学

版本

通用版

高考第一轮复习——算法框图、复数的概念、推理与证明(数学归纳法) 纪占岭 一校 林卉 二校 黄楠 审核 王百玲

一、考点扫描
考点 推理与证明 1. 了解合情推

理的含 义,能利用归纳和类 比等进行简单的推 理。 2. 了解演绎推理的重 要性,掌握演绎推理 的基本模式,并能运 用它们进行一些简单 推理。 3. 了解直接证明的两 种基本方法 —— 分析 法和综合法。了解分 析法和综合法的思考 过程及特点。 4. 了解间接证明的一 种基本方法 —— 反证 法。了解反证法的思 想过程及特点。 算法初步 数学归纳法 复数

要求

1. 了解算法的含义 和思想。 2. 理解算法框图的 三种基本结构:顺 序结构、条件结构、 循环结构。 3. 了解几种基本算 法语句 —— 输入语 句、输出语句、赋 值语句、条件语句、 循环语句的含义。

1. 理解复数的基本 概念。 2. 理解复数相等的 充要条件。 了解数学 3. 了解复数的代数 归纳法的原理, 表示形式及其几何 能用数学归纳 意义。 法证明一些简 4. 会进行复数代数 单的数学命题。 形式的四则运算。 5. 了解复数的代数 形式的加、减运算 的几何意义。

题型

1. 归纳推理、类比推 理多以填空题形式考 查。演绎推理大多出 以解答题为主, 现在解答题中,为中、 多为选择、填空题。 难 度 为 中 、 高 以选择题为主。 高档题目。 难度中低档。 档。 2. 综合法、反证法证 明为解答题,难度为 中、高档。 12 分左右 0—5 分 5—12 分 0-5 分

分值

二、重难点提示
重点:演绎推理、程序框图的应用、用数学归纳法证明一些简单的数学命题、复数的概

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念与代数运算。 难点:用综合法、反证法、数学归纳法证明数学问题。

知识脉络图

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知识点一:复数
要点精讲: 1. 复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部。若 b=0,则 a +bi 为实数,若 b≠0,则 a+bi 为虚数,若 a=0 且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数。 (2)复数相等:a+bi=c+di?a=c 且 b=d(a,b,c,d∈R) 。 (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c;b=-d(a,b,c,d∈R) 。 (4)复数的模 → 向量OZ的模 r 叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|= a2+b2。 2. 复数的四则运算 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R) ,则 (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1 a+bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? ( bc ? ad )i (4)除法: = = = (c+di≠0) 。 z2 c+di (c ? d )(c ? di) 2 2

c ?d

3. 复平面内两点间的距离:复平面内两点 Z1、Z2 对应的复数分别为 z1、z2,则 Z 1 Z 2 ? = ,其中 O 为原点。 4. 复数的加、减法的几何意义:复数的加、减运算满足向量加、减法的平行四边形法则 (或三角形法则) 。 注: (1)两个复数全是实数时能比较大小,其他情况不能比较大小。 + + + + + + (2)①i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i,in+in 1+in 2+in 3=0(各式中 n∈N) 。 1+i 1-i ②(1± i)2=± 2i, =i, =-i。 1-i 1+i 随堂练习:若复数 x 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位) ,则 z 为( A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 解:因为 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位) , 所以 z(2-i) (2+i)=(11+7i) (2+i) ,
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即 5z=15+25i, z=3+5i. 故选 A. 典例精析: 例题 复数 z ?

m2 ? m ? 6 ? (m 2 ? 2m ? 15)i(m ? R) , m?3

当 m 为何值时,①z 为实数;②z 为虚数;③z 为纯虚数? 思路导航: (1)复数的虚部为 0,z 为实数,求出 m 的值即可; (2)复数的虚部不为 0,z 为虚数,求出 m 的值即可; (3)复数的实部为 0,虚部不为 0,z 为纯虚数,求出 m 的值即可。 答案:①当 ?

?m 2 ? 2m ? 15 ? 0 ? m?3? 0

? m ? 5或m ? ?3 即? 即 m=5 时,z 为实数。 m ? ?3 ?

? m 2 ? 2m ? 15 ? 0 ②当 ? 即 m≠5,且 m≠-3 时,z 为虚数。 m?3? 0 ? ?m2 ? 2m ? 15 ? 0 ? 2 ③当 即 3或 m =- 2 时, z 为纯虚数。 ? m ?m?6 ? 0 z 1.复数的代数形式: =m= a +bi (a , b? R ),其中 ? m ? 3 ? 0 b为虚部. i2 ? ? 为实部, ?1,a
点评:本题考查复数的基本概念: 2.复数的分类:

?实数 复数a +bi ? ?虚数

?b ? 0? ?b ? 0?

; ? a ? 0? ? a ? 0? 。

?纯虚数 虚数a +bi (b ? 0) ? ?非纯虚数

知识点二:程序框图与算法语句
要点精讲: 1. 算法通常指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是 明确和有效的,而且能够在有限步之内完成。 2. 程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示 算法的图形。 通常程序框图由程序框和流程线组成, 一个或几个程序框的组合表示算法中的 一个步骤,流程线带方向箭头,按照算法进行的顺序将程序框连接起来。 3. 三种基本逻辑结构 (1)顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的,这是任何一个算法都离不开的 基本结构。其结构形式为

(2)条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构 形式。其结构形式为

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(3)循环结构是指从某处开始,按照一定条件反复执行处理某一步骤的情况。反复执 行的处理步骤称为循环体。循环结构又分为当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型) 。 其结构形式为

4. 输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能 语句 输入语句 输出语句 赋值语句 一般格式 INPUT“提示内容”;变量 PRINT“提示内容”;表达式 变量=表达式 功能 输入信息 输出常量、变量的值和系统信息 将表达式代表的值赋给变量

5. 条件语句 (1)程序框图中的条件结构与条件语句相对应。 (2)条件语句的格式及框图 ①IF-THEN 格式

②IF-THEN-ELSE 格式

6. 循环语句 (1)程序框图中的循环结构与循环语句相对应。 (2)循环语句的格式及框图。 ①UNTIL 语句

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②WHILE 语句

注: (1)利用循环结构表示算法,第一要先确定是利用当型循环结构,还是直到型循环结 构;第二要选择准确的表示累计的变量;第三要注意在哪一步开始循环,满足什么条件就不 再执行循环体。 (2)关于赋值语句,有以下几点需要注意: ①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式,例如 3=m 是错误的。 ②赋值号左右不能对换,赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变 量,例如 Y=x,表示用 x 的值替代变量 Y 的原先的取值,不能改写为 x=Y。因为后者表示 用 Y 的值替代变量 x 的值。 ③在一个赋值语句中只能给一个变量赋值,不能出现一个或多个“=”。 典例精析: 例题 如图所示的程序框图,将输出的 x,y 值依次分别记为 x1,x2,…,xn,…,x2009; y1,y2,…,yn,…,y2009。

(1)求数列{xn}的通项公式 xn; (2)写出 y1,y2,y3,y4,由此猜想数列{yn}的一个通项公式 yn,并证明你的结论。 思路导航: 本题考查的知识点是循环结构, 等差数列的通项公式, 等比数列的通项公式, 等差关系的确定, 等比关系的确定。 确理解流程图所表示的含义, 分析出数列{xn}与数列{yn}

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的递推公式,即可得到答案。 (1)由程序框图可知 xn+1=xn+2,x1=1,代入递推公式可得 x1, x2,x3,x4 的值,进而根据等差数列的性质可得{xn}是首项为 x1=1、公差为 2 的等差数列, 进而得到其通项公式; (2)由程序框图可知 yn+1=3yn+2,y1=2,代入递推公式可得 y1,y2,y3,y4 的值,进而 猜想出数列{yn}的一个通项公式 yn,利用综合法可证明结论。 答案: (1)由程序框图知数列{xn}中,x1=1,xn+1=xn+2,所以 xn+1-xn=2,为常数, 所以{xn}是等差数列,公差 d=2,所以 xn=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*,n≤2009) 。 (2)因为 y1=2,y2=8,y3=26,y4=80, 由此猜想数列{yn}的通项公式为 yn=3n-1(n∈N*,n≤2009) 。 证明:由程序框图知数列{yn}中,yn+1=3yn+2, yn+1+1 所以 yn+1+1=3(yn+1) ,即 =3, yn+1 所以数列{yn+1}是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列, - 所以 yn+1=3· 3n 1=3n, 所以 yn=3n-1(n∈N*,n≤2009) 。 点评:本题是程序框图与等差、等比数列的综合问题,题型新颖。以程序框图为依托, 考查数列的基本知识,关键是对程序框图的阅读、理解,从程序框图中获取解题信息,把算 法与程序框图问题转化为代数问题,从而使问题得到解决。

知识点三:合情推理与演绎推理
要点精讲: 1. 合情推理 (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具 有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理。简言之,归纳 推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。 (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出 另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。 简言之, 类比推理是由特殊到特殊的推理。 (3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、 联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理。 2. 演绎推理 (1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理 称为演绎推理。简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况作出判断。 注: (1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过进一步严 格证明。 (2)演绎推理是由一般到特殊的推理,它常用来证明和推理数学问题,应注意推理过 程的严密性,书写格式的规范性。 典例精析: 例题 1 观察下列等式:

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可以推测:13+23+33+…+n3=________(n∈N*,用含有 n 的代数式表示) 。 2 2 2 2 2 思路导航:第二列的右端分别是 1 ,3 ,6 ,10 ,15 ,与第一列比较可得。第二列等 式的右端分别是 1× 1,3× 3,6× 6,10× 10,15× 15, ∵1,3,6,10,15, …第 n 项 an 与第 n-1 项 an-( 1 n≥2) 的差为:an-an-1=n,∴a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n,各式相加得, n(n ? 1) 1 2 an=a1+2+3+…+n,其中 a1=1,∴an=1+2+3+…+n,即 an= ,∴a2 n= n 4 2 (n+1)2。 1 答案: n2(n+1)2 4 点评: 所谓归纳, 就是由特殊到一般, 因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律, 从而得到一般结论。 例题 2 在平面几何里,有“若△ABC 的三边长分别为 a,b,c,内切圆半径为 r,则 1 三角形面积为 S△ABC= (a+b+c)r” ,拓展到空间,类比上述结论, “若四面体 ABCD 的四 2 个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球的半径为 r,则四面体的体积为________” 。 思路导航: 发现其中的规律总结出共性加以推广, 或将结论类比到其他方面, 得出结论。 三角形的面积类比为四面体的体积, 三角形的边长类比为四面体四个面的面积, 内切圆半径 1 1 1 类比为内切球的半径。二维图形中的 类比为三维图形中的 ,得 V 四面体 ABCD= (S1+S2+S3 2 3 3 +S4)r。 1 答案:V 四面体 ABCD= (S1+S2+S3+S4)r 3

点评: (1)类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有 的认识为基础,类比出新的结果; (2)类比是由一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊 属性; (3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有发现的功能。

知识点四:直接证明与间接证明
要点精讲: 1. 直接证明 (1)综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后 推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。 ②框图表示: P? Q1 → Q1? Q2 → Q2? Q3 →…→ Qn? Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示要证的结论) 。 (2)分析法 ①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 。这种证明方法叫 做分析法。

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②框图表示: Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →…→ 得到一个明显成立的条件 。 2. 间接证明 一般地,由证明 p? q 转向证明: ? q? r? …? t。t 与假设矛盾,或与某个真命题矛盾。 从而判定 ? q 为假,推出 q 为真的方法,叫做反证法。 注: (1)利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设命题进行推理,没有用 假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的。 ( 2 )用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常 常用“要证(欲 证)?”“即要证?”“就要证?”等分析得到一个明显成立的结论 P,再说明所要证明的 数学问题成立。 典例精析: x-2 例题 已知函数 f(x)=ax+ (a>1) 。 x+1 (1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数。 (2)用反证法证明 f(x)=0 没有负根。 思路导航:第(1)问用单调增函数的定义证明;第(2)问假设存在 x0<0 后,推导出 x0 的范围与 x0<0 矛盾即可。 答案: (1) (法一)任取 x1,x2∈(-1,+∞) ,不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0,ax2-x1 x2-2 >1, 且 ax1>0。 所以 ax2-ax1=ax1 (ax2-x1-1) >0.又因为 x1+1>0, x2+1>0, 所以 x2+1

3( x 2 ? x1 ) x1-2 ( x 2 ? 2)( x1 ? 1) ? ( x1 ? 2)( x 2 ? 1) ? ?0 - = x1+1 ( x 2 ? 1)( x1 ? 1) ( x 2 ? 1)( x1 ? 1)
x2-2 x1-2 于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+ - >0, x2+1 x1+1 故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数。 (法二)f′(x)=axln a+

3 >0, ( x ? 1) 2

∴f(x)在(-1,+∞)上为增函数。 x0-2 (2)假设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,则 ax0=- ,又 0<ax0<1,所以 x0+1 x0-2 1 0<- <1,即 <x0<2,与 x0<0(x0≠-1)的假设矛盾。故 f(x0)=0 没有负根。 2 x0+1 点评:当一个命题的结论以“至多” 、 “至少” 、 “唯一”或以否定形式出现时,宜用反证 法来证,反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是:①与已知条件矛盾;②与 假设矛盾;③与定义、公理、定理矛盾;④与事实矛盾等方面,反证法常常是解决某些“疑 难”问题的有力工具,是数学证明中的一件有力武器。

知识点五:数学归纳法
要点精讲: 1. 归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法, 通常叫做归纳法。 根据推理过程中 考察的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法。 2. 数学归纳法 (1)数学归纳法:设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合,如果:①证明起始命题 P1
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(或 P0)成立;②在假设 Pk 成立的前提下,推出 Pk+1 也成立,那么可以断定{Pn}对一切正 整数成立。 (2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤为: ①归纳奠基:证明当取第一个自然数 n0 时命题成立; ②归纳递推:假设 n=k(k∈N*,k≥n0)时,命题成立,证明当 n=k+1 时,命题成立; ③由①②得出结论。 注:1)运用数学归纳法应注意以下三点: (1)n=n0 时成立,要弄清楚命题的含义。 (2)由假设 n=k 成立证 n=k+1 时,要推导详实,并且一定要运用 n=k 成立的结论。 (3)要注意 n=k 到 n=k+1 时增加的项数。 2)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法,第一步是递推的“基 础”,第二步是递推的“依据”,两个步骤缺一不可,在证明过程中要防范以下两点: (1)第一步验证 n=n0 时,n0 不一定为 1,要根据题目要求选择合适的起始值。 (2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在证明 n=k+1 时,命题也成立 的过程中一定要用到它, 否则就不是数学归纳法。 第二步的关键是“一凑假设, 二凑结论”。 典例精析: 例题 已知函数 f(x)=x3,g(x)=x+ x。 (1)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由; (2)设数列{an}(n∈N+)满足 a1=a(a>0) ,f(an+1)=g(an) ,证明:存在常数 M, 使得对于任意的 n∈ N ? ,都有 an≤M。 思路导航: (1)构造 h(x)=x3-x- x,易得 h(0)=0,且 h(1)=-1<0, h(2)=6- 2>0,因此,h(x)至少有两个零点。然后通过导数判断 h(x)在(0, +∞)上单调递增,从而知 h(x)有且只有两个零点; (2)利用“归纳—猜想—证明” 。 3 答案: (1)由 h(x)=x -x- x知,x∈[0,+∞) ,而 h(0)=0,且 h(1)=-1<0, h(2)=6- 2>0,则 x=0 为 h(x)的一个零点,且 h(x)在(1,2)内有零点。因此,h (x)至少有两个零点。 由 h(x)=x(x -1- x
2

?

1 2

) ,记 φ(x)=x -1- x

2

?

1 2

1 ? ,则 φ′(x)=2x+ x 2 。 2

3

当 x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,从而 φ(x)在(0,+∞)上单调递增,则 φ(x)在 (0,+∞)内至多只有一个零点。因此 h(x)在(0,+∞)内也至多只有一个零点。 综上所述,h(x)有且只有两个零点。 (2)记 h(x)的正零点为 x0,即 x3 0=x0+ x0。 3 当 a<x0 时,由 a1=a,即 a1<x0。而 a2 =a1+ a1<x0+ x0=x3 0,因此 a2<x0。 ①由此猜测:an<x0。下面用数学归纳法证明。 当 n=1 时,a1<x0 显然成立。 假设当 n=k(k≥1)时,ak<x0 成立,则当 n=k+1 时,由 3 a3 k+1=ak+ ak<x0+ x0=x0知,ak+1<x0。 因此,当 n=k+1 时,ak+1<x0 成立。 故对任意的 n∈N+,an<x0 成立。 ②当 a≥x0 时,由(1)知,h(x)在(x0,+∞)上单调递增。则 h(a)≥h(x0)=0, 即 a3≥a+ a。 3 从而 a3 2=a1+ a1=a+ a≤a ,即 a2≤a。由此猜测:an≤a.下面用数学归纳法证明。 ⅰ)当 n=1 时,a1≤a 显然成立。
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ⅱ)假设当 n=k(k≥1)时,ak≤a 成立,则当 n=k+1 时,由 3 a3 k +1=ak+ ak≤a+ a≤a 知,ak+1≤a。 因此,当 n=k+1 时,ak+1≤a 成立。 故对任意的 n∈N+,an≤a 成立。 综上所述,存在常数 M=max{x0,a},使得对于任意的 n∈N+,都有 a n ≤M。 点评:1. 解答本题时易忽略的步骤: (1)构造 φ(x)后易忽略对 φ(x)的单调性的判断。尤其易忽视其定义域为(0,+ ∞) 。 (2)在推证 n=k+1 时没有用上归纳假设。 2. 解答本题时易出现的错误: (1)不会由 f(an+1)=g(an)联想到 h(x)的零点问题,造成归纳猜想时不分类讨 论。 (2)分类讨论后,对于 M 的探索不会表述为 M=max{x0,a}, 从而得不出正确的证明。

例题

bn , an 在数列 ?a n ?,?bn ? 中, a1=2, b1=4, 且 an,

?1 成等差数列, n

b ,an ?1,bn ?1

成等比数列( n ? N* ) 。 (Ⅰ)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测 ?a n ?,?bn ? 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:

1 1 1 5 。 ? ?…? ? a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12

思路导航: (Ⅰ)先归纳通项,再用数学归纳法证明; (Ⅱ)将和式分母放缩后可采用裂 项迭加求和。 2 答案: (Ⅰ)由条件得 2bn ? an ? an ?1,an ?1 ? bn bn ?1 ,由此可得

a2 ? 6,b2 ? 9,a3 ? 12,b3 ? 16,a4 ? 20,b4 ? 25 。 猜测 an ? n(n ? 1),bn ? (n ? 1) 2
用数学归纳法证明:①当 n=1 时,由上可得结论成立。②假设当 n=k 时,结论成立,即 ak ? k (k ? 1),bk ? (k ? 1) 2 ,那么当 n=k+1 时,
2 ak ak ?1 ? 2bk ? ak ? 2(k ? 1) ? k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2),bk ?1 ? ? 2 ? (k ? 2) 2 。 bk 2

所以当 n=k+1 时,结论也成立。 由①②,可知 an ? n(n ? 1),bn ? (n ? 1) 2 对一切正整数都成立。 (Ⅱ)

1 1 5 ? ? 。 a1 ? b1 6 12

n≥2 时,由(Ⅰ)知 an ? bn ? (n ? 1)(2n ? 1) ? 2(n ? 1)n 。 故

1 1 1 1 1? 1 1 1 ? ? ?…? ? ? ? ? ?…? ? a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 6 2 ? 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) ?
1 1?1 1 1 1 1 1 ? 1 1?1 1 ? 1 1 5 ? ? ? ? ? ?…? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 6 2?2 3 3 4 n n ? 1 ? 6 2 ? 2 n ? 1 ? 6 4 12

?

综上,原不等式成立。 点评:本题考查归纳推理、数学归纳法、放缩法、裂项迭加法,为高档题。

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复数的概念 1. 复数集是实数集的扩充,一般地,数系扩充有三个基本原则:第一,增加新元素;第 二,旧元素在新的数系中原有的运算性质仍然成立;第三,新数系能解决旧数系不能解决的 矛盾。 2. 从集合的观点分析,复数集是实数集与虚数集的并集,纯虚数集是虚数集的真子集, 实数集与虚数集的交集为空集。 3. 两个不全为实数的复数只能说相等或不相等,即虚数与任何数都不能比较大小。 4. 实数的某些运算性质在复数集中不成立, 如 x2≥0;x2+y2=0 等价于 x=y=0;x-y>0 等价于 x>y 等,在实数集中成立,但在复数集中不成立。 5. 在复平面上,实轴上的点都表示实数,实数对应的点都在实轴上;除了原点外,虚轴 上的点都表示纯虚数,纯虚数对应的点都在虚轴上。 6. 复数对应于复平面内的点的横坐标和纵坐标,分别是复数的实数和虚部。复数的几何 表示反映了复数的几何意义,从而使得复数与解析几何建立了有机的内在联系。 7. z=a+bi(a,b∈R) ,利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法。 8. 实数的共轭复数是它本身,两个纯虚数的积是实数。 算法框图 1. 深刻理解三种程序框图的属性与特征,需通过实际例子体会算法流程的全过程,认清 所解决问题的实质。如解决分段函数的求值问题时,一般采用条件结构设计算法;如累加求 和,累乘求积等问题,往往包含循环过程,非常适合计算机处理。这类问题很多程序框图都 用循环结构进行设计,同时也要注意三种基本结构的共同特点。 2. 特别提醒的是,程序框图主要包括三个部分: (1)弄清相应操作框的内容; (2)带箭 头的流程线及判断框的条件; (3)框内外必要的文字说明和算法功能。读懂流程图要从这三 方面研究,流程线反映了流程执行的先后顺序,主要看箭头方向,框内外文字说明了操作内 容以及流向。 3. 解决程序框图问题时应注意的问题: (1)不要混淆处理框和输入框。 (2)注意区分条件结构和循环结构。 (3)注意区分当型循环和直到型循环。 (4)循环结构中要正确控制循环次数。 (5)要注意各个框的顺序。 推理与证明 1. 证明中最基本的方法是综合法和分析法。综合法的优点是条理清晰。分析法不仅是一 种证明方法,更是一种寻找思路的方法。通过从未知看需知,再逐步靠近已知,是寻找解题 思路的有效方法。 2. 反证法是常见的一种间接证明方法。当结论中含有“至多”“至少”“不全是”“全 不是”“唯一”等词语或以否定词句出现时,常用反证法。运用反证法时,要注意“反设” 即命题的否定要准确。 3. 反证法证明问题时要注意以下三点: (1)必须先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出 各种可能结论,缺少任何一种可能,反证都是不完全的; (2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一 条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法;
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(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与事实矛 盾等,推导出的矛盾必须是明显的。

高考第一轮复习——几何证明选讲;参数方程极坐标;矩阵变换 一、预习新知
1. 极坐标的概念是什么? 2. 常见曲线的参数方程有哪些? 3. 几何证明中,平行线等分线段定理及其推论,平行线分线段成比例定理及其推论各是 什么? 4. 相似三角形的判定与性质定理是什么? 5. 圆的相关概念及定理推论有哪些? 6. 矩阵的相关概念是什么? 7. 线性变换的相关概念是什么? 8. 线性变换的基本性质有哪些?

二、双基训练
π? 1. 在极坐标系中,直线 l 的方程为 ρsin θ=3,则点? ?2,6?到直线 l 的距离为________。 π? 解析:∵直线 l 的极坐标方程可化为 y=3,点? , ?2,6?化为直角坐标为( 3,1) π 2, ?到直线 l 的距离为 2。 ∴点? ? 6? 答案:2 2. 二次曲线 ?

x2 y2 解析:题中二次曲线的普通方程为 + =1,左焦点为(-4,0) 。 25 9 答案: (-4,0) 3. 如图所示,BD、CE 是△ABC 的高,BD、CE 交于 F,写出图中所有与△ACE 相似的 三角形________。

? x ? 5 cos? (θ 是参数)的左焦点的坐标是________。 ? y ? 3 sin ?

解析:由 Rt△ACE 与 Rt△FCD 和 Rt△ABD 各共一个锐角,因而它们均相似,又易知 ∠BFE=∠A,故 Rt△ACE∽Rt△FBE。 答案:△FCD、△FBE、△ABD 4. 如图所示,AB、AC 是⊙O 的两条切线,切点分别为 B、C,D 是优弧 BC 上的点,已 知∠BAC=80° , 那么∠BDC=________。

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解析:连接 OB、OC,则 OB⊥AB,OC⊥AC,∴∠BOC=180° -∠BAC=100° , 1 ∴∠BDC= ∠BOC=50° 。 2 答案:50°

(答题时间:60 分钟)
一、选择题 1. (山师大附中模拟)用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a,b,c 中恰有一个 偶数”正确的反设为( ) A. a,b,c 中至少有两个偶数 B. a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 C. a,b,c 都是奇数 D. a,b,c 都是偶数 2-i 2. 复数 z= (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为( ) 2+i A. 第一象限 C. 第三象限 B. 第二象限 D. 第四象限

*3. 设集合 M={y|y=|cos2x-sin2x|, x∈R}, N= ? x

? x ? i

? 1, i为虚数单位,x ? R ? , 则 M∩N

? ?

为( ) A. (0,1) B. (0,1] C. [0,1) D. [0,1] 4. (教材习题改编) 如果执行下边的程序框图, 输入 x=-12, 那么其输出的结果是 ( 1 A. 9 B. 3 C. 3 D. 9



5. 已知△ABC 中,∠A=30° ,∠B=60° ,求证:a<b。证明:∵∠A=30° ,∠B=60° , ∴∠A<∠B。∴a<b,其中,画线部分是演绎推理的( ) A. 大前提 B. 小前提

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D. 三段论 b d *6. p= ab+ cd,q= ma+nc· + (m、n、a、b、c、d 均为正数) ,则 p、q 的大 m n 小为( ) A. p≥q B. p≤q C. p>q D. 不确定 **7. (潍坊质检)在平面几何中有如下结论:若正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接 S1 1 圆面积为 S2,则 = .推广到空间几何可以得到类似结论:若正四面体 A-BCD 的内切球体 S2 4 V1 积为 V1,外接球体积为 V2,则 =( ) V2 1 1 A. B. 2 4 1 1 C. D. 16 27

C. 结论

?1n(? x), x ? ?2 ? *8. 下图是计算函数 y ? ?0,?2, x ? 3 的值的程序框图,在①、②、③处应分别填入的 ? x ?2 , x ? 3
是( )

A. y=ln(-x) ,y=0,y=2x B. y=ln(-x) ,y=2x,y=0 C. y=0,y=2x,y=ln(-x) D. y=0,y=ln(-x) ,y=2x *9. 分析法又称执果索因法,若用分析法证明: “设 a>b>c,且 a+b+c=0, 求证 b2-ac < 3a”,索的因应是( ) A. a-b>0 B. a-c>0 C. (a-b) (a-c)>0 D. (a-b) (a-c)<0 二、填空题 10. 已知 z 是复数,z+2i、 z 均为实数(i 为虚数单位) ,且复数(z+ai)2 在复平面上 2-i
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对应的点在第一象限,则实数 a 的取值范围是 x *11. 设函数 f(x)= (x>0) ,观察: x+2 x f1(x)=f(x)= , x+2 x f2(x)=f[f1(x)]= , 3x+4 x f3(x)=f[f2(x)]= , 7x+8 x f4(x)=f[f3(x)]= , 15x+16



?? 根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N+且 n≥2 时,fn(x)=f[fn-1(x)]=________. 1 1 1 *12. 用数学归纳法证明:“1+ + +…+ n <n(n>1)”,由 n=k(k>1)不等式成 2 3 2 -1 立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是________。 三、解答题 **13. 已知函数 f ( x) ? a ?
x

x?2 (a ? 1) 。证明: x ?1

(1)函数 f ( x) 在(-1,+∞)上为增函数; (2)方程 f ( x) ? 0 没有负数根。 14. 已知 a 为如图所示的程序框图中输出的结果,求二项式(a x- x2 项的系数。 1 6 ) 的展开式中含 x

**15. 在数列 {an } 中, a1 ? t ? 1 ,其中 t ? 0 且 t ? 1,且满足关系式:

an ?1 (an ? t n ? 1) ? an (t n ?1 ? 1)(n ? N ? )
(1)猜想出数列 {an } 的通项公式并用数学归纳法证明之; (2)求证: an ?1 ? an (n ? N ) 。
?

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一、选择题 1. B 解析:“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”。 2. D 解析:z= 2-i 3-4i 3 4 3 4? (2 ? i ) 2 = = = - i,又点? ?5,-5?在第四象限,所以该 2+i (2 ? i )(2 ? i ) 4+1 5 5

复数在复平面内对应的点也在第四象限。 x? *3. C 解析:对 M,由基本不等式得 y=|cos2x-sin2x|=|cos2x|,故 0≤y≤1.对 N,? ? i ?<1,即 |-xi|<1,所以-1<x<1,故 M∩N=[0,1) 。 4. C 解析:依题意得,执行完第 1 次循环后,x=-12+3=-9≤0;执行完第 2 次循环 后,x=-9+3=-6≤0;执行完第 3 次循环后,x=-6+3=-3≤0;执行完第 4 次循环后, x=-3+3=0≤0;执行完第 5 次循环后,x=0+3=3>0。结合题中的程序框图可知,最后输 出的结果是 3。 5. B 解析:由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提。 mad nbc 6. B 解析:q= ab+ + +cd≥ ab+2 abcd+cd n m = ab+ cd=p。 **7. D 解析:平面几何中,圆的面积与圆的半径的平方成正比,而在空间几何中,球的 6 体积与半径的立方成正比,设正四面体 A-BCD 的棱长为 a,可得其内切球的半径为 a,外 12 接球的半径为 6 V1 1 a,∴ = 。 4 V2 27

*8. B 解析:依题意得,当 x≤-2 时,y=ln(-x) ,因此①处应填 y=ln(-x) ;当-2 x x <x≤3 时,y=0,因此③处应填 y=0;当 x>3 时,y=2 ,因此②处应填 y=2 。 2 *9. C 解析: b2-ac< 3a?b2-ac<3a2? (a+c) -ac<3a2?a2+2ac+c2-ac-3a2<0? -2a2+ac+c2<0?2a2-ac-c2>0?(a-c) (2a+c)>0?(a-c) (a-b)>0. 二、填空题 10. (2,6) 解析:设 z=x+yi(x、y∈R) , ∴z+2i=x+(y+2)i, 由题意得 y=-2。 x-2i 1 z 1 1 = = (x-2i) (2+i)= (2x+2)+ (x-4)i。 5 5 2-i 2-i 5 由题意得 x=4,∴z=4-2i。 ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i, 根据条件,可知 ?

?12 ? 4a ? a 2 ? 0 ?8( a ? 2) ? 0

,解得 2<a<6,

∴实数 a 的取值范围是(2,6) 。 * 11.

x (2 ? 1) x ? 2 n
n

x 解析:由 f(x)= (x>0)得, x+2

x f1(x)=f(x)= , x+2

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x x f2(x)=f[f1(x)]= = 2 , 3x+4 (2 ? 1) x ? 2 2 x x f3(x)=f[f2(x)]= = , 7x+8 ( 2 3 ? 1) x ? 2 3 x x f4(x)=f[f3(x)]= = 4 , 15x+16 (2 ? 1) x ? 2 4
? ∴当 n≥2 且 n∈N+时,fn(x)=f[fn-1(x)]= *12. 2k

x , (2 ? 1) x ? 2 n
n

1 1 1 解析:当 n=k 时,不等式为 1+ + +…+ k <k. 2 3 2 -1

则 n=k+1 时,左边应为: 1 1 1 1 1 1 1+ + +…+ k + k+ k +…+ k+1 2 3 2 2 -1 2 +1 2 -1 则增加的项数为 2k 1-1-2k+1=2k.


三、解答题 ***13. 证明: (1) ?x1 , x2 ? (?1,??) ,不妨设 x1 ? x2 。 由于 f ( x) ? a ?
x

?3 ? 1, x ?1
x1

则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? a

3 3 ? ) x 2 ? 1 x1 ? 1 x1 ? x 2 ? (a x1 ? a z 2 ) ? 3 ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? a x2 ? (
x2

由于 a>1,所以 a ? a 。 又 ? 1 ? x1 ? x2 ,所以 x1 ? x 2 ? 0 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 ,
x1

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x) ? f ( x 2 ) 。 故 f ( x) 在(-1,+∞)上是增函数 (2)假设有 x0 ? 0( x0 ? ?1) 满足 f ( x0 ) ? 0 , 则a
x0

??
x0

x0 ? 2 。 x0 ? 1

又0 ? a

? 1 ,所以

x0 ? 2 1 ? (0,1) ,即 ? x0 ? 2 , x0 ? 1 2

与假设 x0 ? 0 矛盾。 故方程 f ( x) ? 0 没有负数根。 1 1 1 1 1 *14. 解:记 f(x)= ,则有 f(2)= =-1,f[f(2)]=f(-1)= ,f( )= 2 2 1 1-x 1-2 1- 2 1 1 =2,依题意得题中所给的程序框图中输出的结果是数列 2,-1, ,2,-1, ,…(注: 2 2 该数列的项以 3 为周期重复出现)的第 2 011 项,由于 2011=3× 670+1,因此 a=2,二项

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1 6 1 1 - - ) ,即(2 x- )6 的展开式的通项是 Cr (2 x)6 r· (- )r=Cr 26 r· (- 6· 6· x x x 1 6 - r 3-r 1) · x .令 3-r=2 得 r=1.所以, 二项式 (a x- ) 的展开式中含 x2 项的系数是 C1 26 1 (- · 6· x 式(a x- 1)1=-192。 **15. 解 : ( 1 ) 由 原 递 推 式 得 到 an ?1 ?

(t n ?1 ? 1) an (t 2 ? 1)a1 1 2 a ? ? (t ? 1) , , 2 an ? t n ? 1 a1 ? t ? 1 2

(t 3 ? 1)a2 a3 ? ? a2 ? (t 2 ? 1)

1 (t 3 ? 1) ? (t 2 ? 1) 3 t n ?1 t ?1 2 ,猜想得到 an ? ? 3 2 n 3 (t ? 1) 2 t n ?1 下面用数学归纳法证明 an ? n
10 当 n=1 时,a1=t-1,满足条件 20 假设当 n=k 时, ak ?

k ? 1 t k ?1 ? 1 ? ∴ ak ?1 ? k k
由 10、20 知 an ?

t k ?1 t k ?1 k t k ? 1 k ?1 ? t ? 1) ? (t ? 1) ,则 ak ?1 ( k k k t k ?1 ? 1 ∴ ak ?1 ? , k ?1

即当 n=k+1 时,原命题也成立。

t n ?1 (2) n t n ?1 ? 1 t n ? 1 1 ? n(t n ?1 ? 1) ? (n ? 1)(t n ? 1) ? an ?1 ? an ? ? ? ? n ?1 n n(n ? 1) ? 1 t ?1 ? ? ? nt n (t ? 1) ? (t n ? 1) ? ? nt n ? (t n ?1 ? t n ?2 ? ? ? t ? 1) ? ? ? ? ? n(n ? 1) n(n ? 1) n n ?1 n?2 n n ?1 n n?2 n n 而 nt ? (t ? t ? ? ? t ? 1) ? (t ? t ) ? (t ? t ) ? ? ? (t ? t ) ? (t ? 1)
? t n?1 (t ? 1) ? t n?2 (t 2 ? 1) ? t n?3 (t 3 ? 1) ? ? ? t (t n?1 ? 1) ? (t n ? 1) ?? 0, t ? 1 ? ?? ,故 t>0,且 t ? 1时有 an ?1 ? an ? 0 ,即 an ?1 ? an (n ? N ) ? 0, 0 ? t ? 1 ?

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