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数列求和习题及答案


§6.4
一、选择题

数列求和
)

1 * 1.在等比数列{an} (n∈N )中,若 a1=1,a4= ,则该数列的前 10 项和为( 8 1 1 A.2- 8 B.2- 9 2 2 1 1 C.2- 10 D.2- 11 2 2 2.若数列{an}的通项公式为 an=2 +2n-1,则数列{an}的前 n 项和为

(
n

)

A.2 +n -1
n
2

B.2

n+1 n

+n -1
2

C.2

n+1

+n -2
2

D.2 +n-2

3.已知等比数列{an}的各项均为不等于 1 的正数,数列{bn}满足 bn=lg an,b3=18,b6= 12,则数列{bn}的前 n 项和的最大值等于( A.126 B.130 C.132
n-1

)

D.134 )

4.数列{an}的通项公式为 an=(-1) A.200 B.-200

·(4n-3),则它的前 100 项之和 S100 等于( D.-400 )

C.400

5.数列 1·n,2(n-1),3(n-2),…,n·1 的和为( 1 1 A. n(n+1)(n+2) B. n(n+1)(2n+1) 6 6 1 1 C. n(n+2)(n+3) D. n(n+1)(n+2) 3 3 二、填空题

6.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -1,则 a1+a2+…+an=________.
n
2 2 2

7.已知数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn 之间满足关系式 Sn=2-3an,则 an=__________. ? 1 ? ?的前 n 8.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列?
?bnbn+1?

项和 Sn=________. 9.设关于 x 的不等式 x -x<2nx (n∈N )的解集中整数的个数为 an,数列{an}的前 n 项和为
2 *

Sn,则 S100 的值为________. 三、解答题 10.(13 分)已知数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n∈N 满足关系式
*

2Sn=3an-3. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设数列{bn}的通项公式是 bn= ,前 n 项和为 Tn,求证:对于任意的 log3an·log3an+1 正数 n,总有 Tn<1. 11.(14 分)已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差 中项.

(1)求数列{an}的通项公式; 1 n+ 1 (2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+…+bn,求使 Sn+n·2 >50 成立的最小正整数 n 的 2 值. 12.(14 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项、第五项、第十四项分别 是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 * (2)设 bn= (n∈N ),Sn=b1+b2+…+bn,是否存在最大的整数 t,使得对任 n(an+3) t 意的 n 均有 Sn> 总成立?若存在,求出 t;若不存在,请说明理由. 36 答案 1.B 2.C 3.C 4.B 8. 5.A

1 n 6. (4 -1) 3 10. (1)解

1?3?n-1 7. ? ? 2?4?

n n+1
(n≥2).

9.10 100

? ?2Sn=3an-3, 由已知得? ?2Sn-1=3an-1-3 ?

故 2(Sn-Sn-1)=2an=3an-3an-1,即 an=3an-1 (n≥2). 故数列{an}为等比数列,且公比 q=3. 又当 n=1 时,2a1=3a1-3,∴a1=3.∴an=3 .
n

(2)证明

1 1 1 ∵bn= = - . n(n+1) n n+1

∴Tn=b1+b2+…+bn 1 ? ? 1? ?1 1? ?1 =?1- ?+? - ?+…+? - ? ? 2? ?2 3? ?n n+1? 1 =1- <1. n+1 11 解 (1)设此等比数列为 a1,a1q,a1q ,a1q ,…,其中 a1≠0,q≠0.
2 3 2 3

由题意知:a1q+a1q +a1q =28, a1q+a1q =2(a1q +2).
3 2

① ②

②×7-①得 6a1q -15a1q +6a1q=0,
3 2

1 2 即 2q -5q+2=0,解得 q=2 或 q= . 2

∵等比数列{an}单调递增,∴a1=2,q=2,∴an=2 .
n

(2)由(1)得 bn=-n·2 ,
n

∴Sn=b1+b2+…+bn=-(1×2+2×2 +…+n·2 ).
2

n

设 Tn=1×2+2×2 +…+n·2 ,③
2

n

则 2Tn=1×2 +2×2 +…+n·2
2 3 2

n+1

.④
n n+1

由③-④,得-Tn=1×2+1×2 +…+1·2 -n·2 =2
n+1

-2-n·2

n+1

=(1-n)·2
n+1

n+1

-2,

∴-Tn=-(n-1)·2 ∴Sn=-(n-1)·2 要使 Sn+n·2
n+1

-2.

n+1

-2.

>50 成立, -2+n·2
n+1

即-(n-1)·2
4 5

n+1

>50,即 2 >26.
x

n

∵2 =16<26,2 =32>26,且 y=2 是单调递增函数, ∴ 满足条件的 n 的最小值为 5. 12 解 (1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d) ,
2 2

整理得 2a1d=d . ∵a1=1,解得 d=2,d=0(舍). ∴an=2n-1 (n∈N ).
*

(2)bn=

1 ? 1 1 1 1 = = ? - , n(an+3) 2n(n+1) 2?n n+1?

∴Sn=b1+b2+…+bn 1 ?? 1?? 1? ?1 1? ?1 = ??1- ?+? - ?+? - ?? 2 2 3 n n + 1?? 2?? ? ? ? ? 1 ? 1? n = ? 1- = . n+1? 2? 2( n +1) ? 假设存在整数 t 满足 Sn> 总成立, 36 n+1 n 1 又 Sn+1-Sn= - = >0, 2(n+2) 2(n+1) 2(n+2)(n+1) ∴数列{Sn}是单调递增的.

t

1 t 1 ∴S1= 为 Sn 的最小值,故 < ,即 t<9. 4 36 4 又∵t∈Z,∴适合条件的 t 的最大值为 8.


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