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2018高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理


第二节 同角三角函数 的基本关系与 诱导公式
本节主要包括2个知识点: 1.同角三角函数的基本关系; 2.三角函数的诱导公式.

突破点(一)
基础联通

同角三角函数的基本关系

抓主干知识的“源”与“流”

1.同角三角函数的基本关系
2 2 sin α + cos α=1(α∈R) . (1)平方关系:______________________ ? π sin α ? tan α=cos α?α≠kπ+2,k∈Z? ? ? (2)商数关系:______________________________.

2.同角三角函数基本关系式的应用技巧

技巧 切弦

解读 sin θ 主要利用公式tan θ=cos θ化

适合题型 表达式中含有sin

成正弦、余弦,或者利用公式 互化 θ,cos θ与tan θ sin θ cos θ=tan θ化成正切 1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+ “1”的 tan2θ)=(sin θ± cos θ)2?2sin 变换 π θcos θ=tan4 和积 利用关系式(sin θ± cos θ)2=

表达式中需要利用 “1”转化 表达式中含有sin

转换 1± 2sin θcos θ进行变形、转化 θ± cos θ或sin θcos θ

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”

化简求值

[例1]
2

(2017· 南京模拟)已知α为第二象限角,则cos 1 1+tan2α=________.

α· 1+tan α+sin α

[解析]

原式=cos α

sin2α+cos2α +sin α cos2α

sin2α+cos2α sin2α

1 1 =cos α· + sin α · |cos α| |sin α|, 因为α是第二象限角, 所以sin α>0, cos α<0, 1 1 所以cos α· |cos α|+sin α· |sin α|=-1+1=0,即原式等于0. [答案] 0

条件求值

[例 2]

若 tan α=2,则

2sin α-3cos α (1) =________; 4sin α-9cos α
[解析] [答案] 2sin α-3cos α 2tan α-3 2×2-3 = = =-1. 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9 -1

(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α=________.
[解析] 4sin2α-3sin αcos α-5cos2α

4sin2α-3sin αcos α-5cos2α 4tan2α-3tan α-5 = = 2 2 sin α+cos α tan2α+1 4×4-3×2-5 = =1. 4+1 [答案] 1

[方法技巧]
同角三角函数关系式应用的注意事项 α 2 α (1)同角并不拘泥于角的形式,如sin 2 +cos 2 =
2

? ? π sin 3x 1, cos 3x =tan 3x ?3x≠kπ+2,k∈Z? 都成立,但是 ? ?

sin2α+cos2β=1就不一定成立. (2)对于含有sin α,cos α的齐次式,可根据同角三 角函数商的关系,通过除以某一齐次项,转化为只含 有正切的式子,即化弦为切,整体代入.

sin α± cos α与sin αcos α关系的应用

[例 3]

1 已知 x∈(-π,0),sin x+cos x=5.

(1)求 sin x-cos x 的值;
[解] 1 由 sin x+cos x=5,
2 2

1 平方得 sin x+2sin xcos x+cos x=25, 24 整理得 2sin xcos x=-25.

49 ∴(sin x-cos x) =1-2sin xcos x=25.
2

由 x∈(-π,0),知 sin x<0, 又 sin x+cos x>0, ∴cos x>0,则 sin x-cos x<0, 7 故 sin x-cos x=-5.

sin 2x+2sin2x (2)求 的值. 1-tan x
[解] sin 2x+2sin2x 2sin x?cos x+sin x? = sin x 1-tan x 1-cos x

24 1 2sin xcos x?cos x+sin x? -25×5 24 = = =-175. 7 cos x-sin x 5

[方法技巧]
同角三角函数关系式的方程思想 对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个 式子,知一可求二,转化公式为(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α,体现了方程思想的应用.

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”

5 1. [考点二] 若 sin α=-13,且 α 为第四象限角,则 tan α 的值 等于 12 A. 5 12 B.- 5 5 C.12 5 D.-12 ( )

解析:因为α为第四象限角,故cos

α=

1-sin2α



5 -13 ? 5 ?2 12 sin α 5 ? ? 1- -13 =13,所以tan α=cos α= 12 =-12. ? ? 13 答案:D

1 5π 3π 2. 厦门质检)已知 sin αcos α=8,且 4 <α< 2 ,则 [考点三] (2017· cos α-sin α 的值为 3 A.- 2 3 B. 2 3 C.-4 3 D.4 ( )

5π 3π 解析:∵ 4 <α< 2 ,∴cos α<0,sin α<0且|cos α|<|sin α|, ∴cos α-sin α>0.又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1- 1 3 3 2×8=4,∴cos α-sin α= 2 . 答案:B

3.[考点二]已知sin α+ 2cos α= 3,则tan α= 2 A. 2 B. 2 2 C.- 2 D.- 2

(

)

解析:∵sin α+ 2cos α= 3,∴(sin α+ 2cos α)2=3, 即sin2α+2 2sin αcos α+2cos2α=3,

sin2α+2 2sin αcos α+2cos2α tan2α+2 2tan α+2 ∴ =3,∴ =3, 2 2 2 sin α+cos α tan α+1 2 即2tan α-2 2tan α+1=0,解得tan α= 2 .
2

答案:A

4.[考点一]sin21°+sin22°+?+sin289°=________.
解析:原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+? +(sin244°+sin246°)+sin245°=(sin21°+cos21°)+ (sin 2°+cos 2°)+?+(sin 44°+cos 44°)+ 1 1 +2=442. 1 答案:442
2 2 2 2

1 2



4 5. [考点二、三] 已知 tan α=-3,求: sin α-4cos α 1 (1) 的值; (2) 2 2 的值; 5sin α+2cos α cos α-sin α 4 -3-4 sin α-4cos α tan α-4 8 解:(1) = = =7. ? 4? 5sin α+2cos α 5tan α+2 5×?-3?+2 ? ? sin2α+cos2α sin2α+cos2α tan2α+1 cos2α 1 (2) = = = = cos2α-sin2α cos2α-sin2α cos2α-sin2α 1-tan2α cos2α ? 4?2 ?- ? +1 25 ? 3? ? 4?2=- 7 . 1-?-3? ? ?

(3)sin2α+2sin αcos α 的值.
2 2 sin α + 2sin α cos α tan α+2tan α 2 解: sin α+2sin αcos α= = 2 2 sin α+cos α tan2α+1

16 8 9 -3 8 =16 =-25. 9 +1

突破点(二)
基础联通

三角函数的诱导公式

抓主干知识的“源”与“流”

1.三角函数的诱导公式
组数 角 正弦 余弦 正切 一 2kπ+ α(k∈Z) 二 π+α 三 -α 四 π- α 五 π 2 -α 六 π 2 +α

sin α

-sin α

-sin α cos α -tan α

sin α -cos α -tan α

cos α _____ sin α

cos α -sin α

cos α tan α

-cos α tan α

2.特殊角的三角函数值
角α 角α的 弧度数 sin α cos α tan α 0° 0 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° π 6 π 4 2 2 2 2 1 π 3 π 2 1 0 2π 3 5π 6 π

0 __

1 2 ___
3 2 ___
3 ____ 3

3 ___ 2
1 2 ____
3 ____

3 2 ____

1 2 ___

0 -1 0

1 __
__ 0

1 -2 - 3 ____ ____ 2
- 3 - 3 _____ _____ 3

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”

诱导公式的应用

1. 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函 数的步骤

也就是:“负化正,大化小,化到锐角就好了”.

2.利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形; (2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可 能简单,能求值的要求出值.

[ 典例 ] (1) 若 sin α 是方程 5x2 - 7x - 6 = 0 的根,则 ? ? 3π? ?3π sin?-α- 2 ?sin? 2 -α?tan2?2π-α? ? ? ? ? = ( ) ?π ? ?π ? cos?2-α?cos?2+α?sin?π+α? ? ? ? ? 3 5 4 5 A.5 B.3 C.5 D.4 (2)求值:sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)· sin(-1 050°)=________. 3 2 [解析] (1)方程 5x -7x-6=0 的两根为 x1=-5,x2=2, 3 则 sin α=-5.

cos α?-cos α?tan2α 1 5 原式= =-sin α=3. sin α?-sin α??-sin α?

[答案]

B

(2)求值:sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)· sin(-1 050°)=________.
[解析] 1 050° = - sin(3×360° + 120°)cos(3×360° + 210°) - cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°) =-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330° = - sin(180° - 60°)cos(180° + 30°) - cos(360° - 60°)· sin(360°-30°) =sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30° 3 3 1 1 = 2 × 2 +2×2=1. [答案] 1 原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°sin

[方法技巧]

应用诱导公式化简求值的注意事项 (1)已知角求值问题, 关键是利用诱导公式把任意角的 三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注 意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用. (2)对给定的式子进行化简或求值时, 要注意给定的角 之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式 将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符 号及三角函数名出错.

能力练通
1.已知

抓应用体验的“得”与“失”
?5π ? 1 sin? 2 +α?=5,那么 ? ?

cos α= 1 C.5 2 D.5

(

)

2 A.-5

1 B.-5

?5π ? ?π ? 解析:∵sin? 2 +α?=sin?2+α?=cos ? ? ? ?

1 α,∴cos α=5.

答案:C

2.sin 210°cos 120°的值为 1 A.4 3 B.- 4 3 C.-2

( 3 D. 4

)

1 解析:sin 210°cos 120°=-sin 30°(-cos 60°)=-2
? 1? 1 ×?-2?=4. ? ?

答案:A

sin?kπ+α? cos?kπ+α? 3.已知A= sin α + cos α (k∈Z),则A的值构成的集 合是 A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2} ( )

sin α cos α 解析: k为偶数时,A= sin α + cos α =2;k为奇数时,A= -sin α -cos α sin α + cos α =-2.则A的值构成的集合为{2,-2}. 答案:C

?π ? 4.已知tan?6-α?= ? ?

?5π ? 3 ? +α?=________. 3 ,则tan? 6 ?

?5π ? ? ? π π ? ? ? ? + α π - + α 解析:tan 6 =tan =tanπ- 6 -α=- 6 ? ? ? ? ?π ? tan?6-α?=- ? ?

3 3.

3 答案:- 3

5.已知 α 为第三象限角,
? ?3π ? π? sin?α-2?· cos? 2 +α?· tan?π-α? ? ? ? ?

f(α)=

tan?-α-π?· sin?-α-π?

.

(1)化简 f(α); (2)若
? 3π? 1 cos?α- 2 ?=5,求 ? ?

f(α)的值.

解:(1)f(α)=

? ?3π ? π? sin?α-2?· cos? 2 +α?· tan?π-α? ? ? ? ?

tan?-α-π?· sin?-α-π?

?-cos α?· sin α· ?-tan α? = =-cos α. ?-tan α?· sin α

(2)若

? 3π? 1 cos?α- 2 ?=5,求 ? ?

f(α)的值.

? 3π? 1 解:∵cos?α- 2 ?=5, ? ?

1 1 ∴-sin α=5,从而 sin α=-5. 又 α 为第三象限角, 2 6 ∴cos α=- 1-sin α=- 5 ,
2

2 6 ∴f(α)=-cos α= 5 .

[全国卷5年真题集中演练——明规律] 3 1.(2016· 全国丙卷)若tan α=4,则cos2α+2sin 2α=

(

)

64 A.25

48 B.25

C.1

16 D.25

2 cos α+4sin αcos α 3 2 解析:因为tan α=4,则cos α+2sin 2α= sin2α+cos2α

3 1+4tan α 1+4×4 64 = = ?3? =25.故选A. tan2α+1 ? ?2+1 ?4?

答案:A

2.(2016· 全国乙卷)已知θ是第四象限角,且sin
? π? tan?θ-4?=________. ? ?

? π? ?θ+ ? 4? ?

3 = 5 ,则

? π? 3 解析:由题意知sin?θ+4?=5,θ是第四象限角, ? ? ? π? 所以cos?θ+4?>0, ? ? ? π? 所以cos?θ+4?= ? ?

1-sin

2

? π? 4 ?θ+ ?= . 4? 5 ?

? ? π? π π? 则tan?θ-4?=tan?θ+4-2? ? ? ? ?

?π ? π?? sin?2-?θ+4?? ? ?? ? =- ? π?? π ? cos?2-?θ+4?? ? ?? ? ? π? cos?θ+4? ? ? =- ? π? sin?θ+4? ? ?

4 5 4 =-5×3=-3. 4 答案:-3



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