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高中数学基础知识大筛查(2)-不等式


基础知识大筛查-不等式
公式与结论
一、不等式的性质: 1.若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d (若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ) , 2.若 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ,则 ac ? bd (若 a ? b ? 0,0 ? c ? d ,则
n n 3.若 a ? b ? 0 ,则 a ? b 或 n a ? n b ;

a b ; ? ) c d

4.若 a ? b ab>0,则 1 ? 1 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要
a b

改变。 二、含绝对值不等式的性质: a、b 同号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | ;

a、b 异号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | .
三、基本不等式与柯西不等式 2 2 1.定理 1 如果 a、b ? R,那么 a +b 2.定理 2 如果 a、b ? R ? ,那么 设 a、b、c∈R ,则
+

2ab(当且仅当

时 取“=”号)

a?b ≥ 2

(当且仅当 a=b 时取“=”号) 时取等号)

a?b?c 3 (当且仅当 ? abc ; 3 a?b?c 3 ) . 3

基本变形:a+b+c≥3 3 abc ;abc≤ (

这两个不等式分别用于求最小值和最大值. 3.柯西不等式: a, b, c, d ? R,则( a ? b )( c ? d ) ? (ac ? bd ) ,当且仅当
2 2 2 2 2

a b ? 时 c d

取“=”号 一般形式: n ? N , ai , bi ? R, 则 “=” 四、常用不等式: (1) 选用); (2)a、b、c ? R, a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等号) ; (3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则

? ai 2 ? bi 2 ?(? aibi )2 ,当且仅当
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

a a1 a2 ? ? ?? n 时取 b1 b2 bn

a 2 ? b2 ? a ? b ? ab ? 2 (由目标不等式左右的运算结构 2 2 1?1 a b

b b?m ? a a?m

(4) log ? n ?1? n ? log n ? n ? 1?? n ? 1, n ? N ? 、 五、 含有绝对值的不等式 :当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a 2 ? ?a ? x ? a ;

x ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? a 或 x ? ?a .

常用方法
一、不等式大小比较的常用方法: 1.作差与作商:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;有时可作 平方差。 2.分析法;3.平方法;4.分子(或分母)有理化;5.利用函数的单调性; 6.寻找中间量或放缩法 ;7.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法 二、简单的分式与高次不等式 : 标根法:其步骤是: (1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系 数为正; 将每一个一次因式的根标在数轴上, (2) 从最大根的右上方依次通过每一点画曲线; 并注意奇穿过偶弹回; (3)根据曲线显现 f ( x) 的符号变化规律,写出不等式的解集分式不 等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式 中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒 为正或恒为负时可去分母。 三、绝对值不等式的方法: (1)分段讨论法(最后结果应取各段的并集) (2)利用绝对值的定义或利用公式; (3)数形结合利用绝对值的几何意义 (4)两边平方和利用公式 二、不等式的证明 1、比较法 :比较法证明不等式的一般步骤:作差(商)—变形—判断—结论;为了判断作 差后的符号, 有时要把这个差变形为一个常数, 或者变形为一个常数与一个或几个平方 和的形式,也可变形为几个因式的积的形式,以便判断其正负。 2、分析法、综合法(见教材) 1 1 1 1 1 3、放缩法:常用不等式的放缩法:① 1 ? 1 ? ? 2? ? ? (n ? 2) n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n ② n ?1 ? n ?

1 n ? n ?1

?

1 2 n

?

1 n ? n ?1

? n ? n ? 1(n ? 1)

4、反证法,构造函数法 5、数学归纳法:一般地,证明一个与自然数 n 有关的命题 P(n),有如下步骤: 1).证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立。n0 对于一般数列取值为 0 或 1,但也有特殊情况; 2).假设当 n=k(k≥n0,k 为自然数)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立。 3).综合(1) ,对一切自然数 n(≥n0) (2) ,命题 P(n)都成立。 三.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最 值问题,也可抓住所给不等式的结构特征,利用数形结合法 1.恒成立问题 A:若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?min ? A 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B B:一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 恒成立等价于: a ? b ? 0 且 c ? 0 或 a ? 0且? ? 0
2

f ? x ?max ? A ;若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 f ? x ?min ? B .
四、 线性规划问题应用题的求解步骤: (1) 先写出决策变量, 找出约束条件和线性目标函数; (2)作出相应的可行域; (3)考察 z 的几何意义并作出过原点时直线; (4)确定最优解并

2. 能成立问题(有解问题) 若 在 区 间 D 上 存 在 实 数 x 使 不 等 式 f ?x ? ? A 成 立 , 则 等 价 于 在 区 间 D 上

联立方程组求出最优解和相应的最值。



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