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向量法 作业3


例1: 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 6, AD ? 8, AA1 ? 6, M 为B1C1上的一点,且B1M ? 2, 点N 在线段A1D上, A1 N ? 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
A1 1 B11 M

z
NN

D1 1 C1 1
D D

A

y

x

B B

C C

3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34

2:

正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1.

求B1C1与面AB1C所成的角.
A1 B1
A B
x

z

D1 C1
y

D

C

3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3

例3 如所示,A B C D 是一直角梯形,?A B C = 900 , 1 SA ? 平面ABCD, SA ? AB ? BC ? 1, AD ? , 求面SCD 2 与面SBA所成二面角的余弦值.

S
B
A D

C

4. 如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧 棱PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD= ,在线段 BC上 3 是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在,确定点E的位置;若不存在说明理由。
z P

A B E D x C y

解:以A为原点,AD、AB、AP所在的直线分 别为X轴、Y轴、Z轴,建立空间直角坐标系, A(0,0,0), P(0,0,1), D( 3,0,0), E(m,1,0), 设BE=m ,则 ??? ? ??? ? ??? ? ? AP ? (0,0,1), DP ? (? 3,0,1), DE ? (m ? 3,1,0) ?
设平面PDE的法向量为n ? ( x, y, z ), ? ??? ? ? ???? ? 则n ? DP, n ? DE ,

? ? ? ? 3 x ? z ? 0, ? z ? 3 x, ?? 解得 ? ? ? ?( m ? 3) x ? y ? 0, ? y ? ( 3 ? m ) x,

? 令x ? 1, 得n ? (1, 3 ? m, 3),

z P

A

B
E D x C

y

z P

A B y

E
D x

C

? 令x ? 1, 得n ? (1, 3 ? m, 3), ? PA与平面PDE所成角的大小为45? ?sin 45? ?

3 4 ? ( 3 ? m)2

,

解得m ? 3 ? 2或m ? 3 ? (舍), 2

因此,当BE ? 3 ? 2时,PA与平面PDE所成角的大小为45?。

练习: 正方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 的棱长为1.
z ???? ???? ???? ? 以AB, AD, AA1为单 设正方体棱长为1, A1 0,, 0) B1 (1, 位正交基底,可得 A(0, 0,, 1) ????? B1 , ,, 0) C (11 , ,, 0) C1 (111) , ,,则B1C1 ? (01 C1 ???? ? ???? AB1 ? (1 , 01) ,, AC ? (11 , , 0) ?? 设平面AB1C的法向量为n ? ( x,y,z ) A ? ???? ? ? ???? 则n ? AB1 ? 0, n ? AC ? 0 B C ?x ? z ? 0 所以 ? ,取x = 1, x x ? y ? 0 ? ? ????? 0 ? 1 ? 0 ? cos n, B1C1 ? ?? 得y = z = -1,故n = (1, -1, -1), 1? 3 3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3

求B1C1与面AB1C所成的角.

D1
y

D

3 3


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