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高三数学函数重点难题


Math.round(x) 取最接近整数 x 的数值 Math.floor(x) 取最接近整数 x 并且比 x 小的数值 Math.ceil(x)

取最接近整数 x 并且比 x 大的数值 Math.min(a, b, c) 返回参数列表中最小的数值 Math.max(a, b, c) 返回参数列表中最大的数值

这里注意:函数 Math.random()只能在 Unix 版本的 Navigator 2.0 执行。 这些函数中最常用的就是产生在给定两个数值之间的随机数。 以下的函数就是一个很好的例 子: function randomvalue(low, high) { alert(Math.floor(Math.random() * (1 + high - low) + low)); } 另外, 你可以在复杂的代码中使用 with 语句来避免 Math 标识符的重复使用, 例如以下代码: function randomvalue(low, high) { with (Math) { alert(floor(random() * (1 + high - low) + low)); } } 这里要记住,Math.random()函数只能在 Unix 版本的 Navigator 2.0 执行,而不能在 windows 版本的浏览器中执行,所以这个函数我们一般不使用。 以下给出的是一个更复杂的函数。 这个函数返回三角形第三边的长度, 给出的条件是三角形 的两边及两边的夹角。具体代码如下: function findside(sidea, sideb, angle) { with (Math) { var tmp = pow(sidea, 2) + pow(sideb, 2) - 2 * sidea * sideb * cos(angle);

alert("side length is " + sqrt(tmp)); } } 【网络综合 - 初中二年级试题】 以下是无忧考网为大家整理的 2014 初二年级数学下册期中考试题的文章, 供大家学习参考! 一. 仔细选一选 (本题有 10 个小题, 每小题 3 分, 共 30 分) 1.下列各组数可能是一个三角形的边长的是 A. 1,2,4 B. 4,5,9 C. 4,6,8 D. 5,5,11 2.若 x>y,则下列式子错误的是 A. x﹣1>y﹣1 B. ﹣3x>﹣3y C. x+1>y+1 D. 3.一副三角板如图叠放在一起,则图中∠α 的度数为 A. 75° B. 60° C. 65° D. 55° 4.如图,△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD 是 AC 边上的高,则∠DBC 的度数是 A. 18° B. 24° C. 30° D. 36° 5.如图,在边长为 1 的正方形网格中,将△ABC 先向右平移两个单位长度,再关于 x 轴对 称得到△A′B′C′,则点 B′的坐标是 A. (0,﹣1) B. (1,1) C. (2,﹣1) D. (1,﹣2) 6.如图,△ABC 中,D 为 AB 中点,E 在 AC 上,且 BE⊥AC.若 DE=5,AE=8,则 BE 的长 度是 A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 7.一次函数 y=mx+|m﹣1|的图象过点(0,2),且 y 随 x 的增大而增大,则 m= A. ﹣1 B. 3 C. 1 D. ﹣1 或 3 8.如图,已知△ABC 中,∠ABC=45°,AC=4,H 是高 AD 和 BE 的交点,则线段 BH 的长 度为 A. B. 4 C. D. 5 9. 如图,在平面直角坐标系中,以 O 为圆心,适当长为半径画弧,交 x 轴于点 M,交 y 轴 于点 N,再分别以点 M、N 为圆心,大于 MN 的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点 P. 若点 P 的坐标为(2x,y+1),则 y 关于 x 的函数关系为 A. y=x B. y=-2x﹣1 C. y=2x﹣1 D. y=1-2x 10.如图,O 是正△ABC 内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时 针旋转 60°得到线段 BO′, 下列结论: ①△BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到;②点 O 与 O′的距离为 4;③∠AOB=150°;④S 四边形 AOBO′=6+3;⑤S△AOC+S△ AOB=6+.其中正确的结论是 A. ①②③⑤ B. ①③④ C. ②③④⑤ D. ①②⑤ 二. 认真填一填 (本题有 6 个小题, 每小题 4 分, 共 24 分) 11.已知点 A(m,3)与点 B(2,n)关于 y 轴对称,则 m= ▲ ,n= ▲ . 12. “直角三角形只有两个锐角”的逆命题是 ▲ ,该逆命题是一个 ▲ 命题(填“真”或 “假”) 13.已知关于 x 的不等式(1﹣a)x>2 的解集为 x<,则 a 的取值范围是 ▲ . 14.直线 l1:y=k1x+b 与直线 l2:y=k2x+c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于

x 的不等式 k1x+b 15.如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D,AD=3,BC=10, 则△BDC 的面积是 ▲ . 16.如图,直线 y=﹣x+8 与 x 轴,y 轴分别交于点 A 和 B,M 是 OB 上的一点,若将△ABM 沿 AM 折叠,点 B 恰好落在 x 轴上的点 B′处,则直线 AM 的解析式为 ▲ . 三. 全面答一答(本题有 7 个小题,共 66 分) 17.(本小题满分 6 分) 如图,AB=AC,请你添加一个条件,使△ABE≌△ACD, 你添加的条件是 ; 根据上述添加的条件证明△ABE≌△ACD . 18.(本小题满分 8 分)解下列不等式和不等式组 (1)2(x+1)>3x﹣4 (2) 19.(本小题满分 8 分) 如图,△ABC 是边长为 2 的等边三角形,将△ABC 沿直线 BC 向右平移,使点 B 与点 C 重 合,得到△DCE,连接 BD,交 AC 于点 F. (1)猜想 AC 与 BD 的位置关系,并证明你的结论; (2)求线段 BD 的长. 20.(本小题满分 10 分)如图,有 8×8 的正方形网格,按要求操作并计算. (1)在 8×8 的正方形网格中建立平面直角坐标系, 使点 A 的坐标为(2, 4), 点 B 的坐标为(44, 2); (2)将点 A 向下平移 5 个单位,再关于 y 轴对称得到点 C, 求点 C 坐标; (3)画出三角形 ABC,并求其面积. 21.(本小题满分 10 分)

先讲讲有限单群的问题。

1.有限单群

我们知道,数学的发展中有一个基本观念--群。群也是数学之中各方面的最基本的观念。怎 样研究群的结构呢?最简单的方法是讨论它的子群,再由小的群的结构慢慢构造大一些的 群。群中最重要的一种群是有限群,而有限群是一个难极了的题目,需要有特别的方法,特 别的观念去研究。

命 G 为群,g∈G 为一子群,如对任何 g∈G,g-1Hg∈H,则称 H 为正规的(normal)。正规 子群存在,可使 G 的研究变为子群 H 及商群 G/H 的研究。这样就有一个很自然的问题,有 哪些有限的单群(simplegroup)?单群除了它自己和单位元(identity)之外,没有其他的非平凡

的正规子群(normalsubgroup)。数学上称其为简单群,其实一点也不简单。

有限群论的一个深刻的定理是 Fei-Thompson 定理:非交换单群的阶(数)(即群中元素的个数) 是偶数。更不寻常的是除了某些大类(素数阶循环群 Zp,交错群 An(n>=5),Lie 型单群)外, 后来发现了 26 个零零碎碎的有限单群(散在单群,离散单群),现在知道,最大的散在单群 的阶是 2413205976112133171923293141475971=808,017..=1054 这是很大的单群,由 B.Fisher 和 R.L.Griess 两位数学家所发现,数学家称它为魔群(怪物, Monster)。

单群的权威数学家 D.Gorenstein 相信有限单群都在这里了,这当然是数学上一个很好的结 果。把单群都确定了,就像化学家把元素都确定了,物理学家把核子的结构都确定了一样。 可这里有个缺点,Gorenstein 并未将证明定出来。他讲若将证明写出来至少有 1,000 页,而 1,000 页的证明无论如何很容易有错误。可是 Gorenstein 又说,不要紧,若有错误,这个错 误一定可以补救。 你相信不相信?数学界有些人怀疑这样的证明是否必要。 现在计算机的出 现,许多问题可以验证到很大的数,是否还需要严格的证明,已变成数学上一个有争论的问 题。这个争论看来一时无法解决。段学复先生是我的老朋友,是有限群论的专家,也许我们 可以问一下他的意见。我个人觉得这个问题很难回答。不过数学家有个自由,当你不能做或 不喜欢做一个问题时,你完全不必投入,你只需做一些你能做或喜欢做的问题。

2.四色问题

把地图着色,使得邻国有不同的颜色,需要几种颜色?经验告诉我们,四色够了。但是严格 的证明极难。这就是有各的四色问题。

地图不一定在球面上,也可在亏格高的的曲面上(一个亏格高为 g 的曲面在拓扑上讲是球面 加 g 个把手;亏格为 1 的曲面可设想为环面)。可惊奇的是,这个着色问题,对于 g>=1 的曲 面完全解决了。可以证明:有整数χ (g),满足条件:在亏格为 g 的曲面上任何地图都可用 χ (g)种颜色着色,使邻国有不同颜色,且有地图至少需要χ (g)种颜色。这个数在 g>=1 时可 以完全确定。我们知道χ (1)=7,即环面上的地图可用七色着色,四色不够。

令人费解的是,证明地球上四色定理,困难多了。现有的证明,需要计算机的帮助,与传统 的证明不同。而我们觉得最简单的情况,即我们住的地球球面上的着色问题反而特别复杂。 把扩充的问题解决了,得到了很有意思的结论。但是回到基本问题,反而更难。这种现象不 止这一个,还有很多,一个例子是所谓的低维拓扑,即推广的问题更简单,而本身核心的问 题反而不易克服,这确是数学神秘性的一面。

3.椭圆曲线

最近的数学进展,最受人注意的结果就是 Fermat 大定理的证明。Fermat 大定理说:方程式 xn+yn=zn,n>2 没有非平凡的整数解(即 xyz<>0)。这个传说了 300 年的结果的证明,最近由 Princeton 大学 的教授 AndrewJ.Wiles(英国数学家)给出。但证明中缺一段,是由他的学生 RichardTaylor 补 充的。因此, Fermat 定理现在已经有了一个完全的证明。整个文章发表在最近一期的 "AnnualsofMathematics"(Princeton 大学杂志, 1996, 第一期), 整个一期登的是 Wiles 与 Taylor 的论文,证明 Fermat 定理 (Wiles 为此同 RobertLanglands 获得了 1996 年的 Wolf 奖与 NationalAcademyScienceAwardinMathematics)。

有意思的是, 证明这个定理的关键是椭圆曲线。 这是代数数论的一个分支。 有以下一则故事: 英 国的大 数学家 G.H.Hardy(1877-1947) 有 一天去 医院 探望他 的朋友 ,印 度天 才数学 家 S.A.Ramanujan(1887-1920)。Hardy 的汽车号是 1729。他向 Ramanujan 说,这个数目没有意 思。Ramanujan 说,不然,这是可以用两种不同方法写为 2 个立方之和的最小的数,如 1729=13+123=93+103 这结果可用椭圆曲线论来证明。

我们知道,要找一个一般方程的解不容易的,而要找一个系数为整数的多项式方程 P(x,y)=0 (传统上叫 Diophantine 方程)的整数解更困难。因为普通的解不会是整数,这是数论中的一 个主要问题。

需要说明的,在 Wiles 完成这个证明之前,我有一位在 Berkley 的朋友 KennethA.Ribet,他 有重要的贡献。他证明了一日本数学家 YutakaTaniyama 的某一个关于椭圆曲线的假设包含 Fermat 定理。于是可将 Fermat 定理变为一个关于椭圆曲线的定理。Wiles 根据 Ribet 的结果 又继续经过了许多步骤, 以至达到最后的证明。 即在复平面内得到曲线。 由复变函数论知道, 复平面内的曲线就成为一个 Riemann 曲面。Riemann 曲面为定向曲面,它可以是球,也可以 是球加上好多把手。其中有一个最简单的情形,就是一个球加上一个把手,即一个环面。环 面是个群,且为可交换群。所谓椭圆曲线,就是把这个曲线看成复平面内亏格(genus)等于 1 的复曲线。 亏格等于 1 的曲线有一个非常深刻而巧妙的性质。 即它上面的点有一个可交换群 的构造。两个点可以加起来,且有群的性质。这是很重要的性质。椭圆曲线与椭圆无关。原 因是,若所有曲线的亏格大于 1,相当于 Riemann 曲面有一个 Poincare 度量,它的曲率等于 1,所有曲面若其曲率等于-1,则叫做双曲的。亏格等于 1 的叫椭圆。亏格等于 0 的叫抛物 线。 椭圆曲线的研究是数论中非常重要、 非常有意思的方面。 最近一期的科学杂志(Science), 有位先生写了一篇关于椭圆曲线的文章。 椭圆曲线在电报的密码上有应用。 而中国也有很多 人在做代数几何与代数数论方面的工作。最近在黄山有一个国际性的、题为"代数几何与代 数数论"的会议,由冯克勤先生主持。

从这个定理我们应认识到:高深的数学是必要的。Fermat 定理的结论虽然简单,但它蕴藏 着许多数学的关系, 远远超出结论中的数学观念。 这些关系日新月异, 十分神妙, 学问之奥, 令人拜赏。

我相信,Fermat 定理不能用初等方法证明,这种努力是徒劳的。数学是一个整体,一定要 吸取几千年所有的进步。

4.拓扑与量子场论

1995 年初的一天晚上,我在家看晚间电视新闻。突然,我听到自己的名字,大吃一惊。原 来加利福尼亚发一种彩票,头彩 300 万美元,若无人中彩的话,可以积累到下一次抽彩。我 从前的一个学生,名 Robert Uomini,中了头彩美金 2,200 万元。他曾选过我的本科课,当时 还对微分几何很有兴趣。他很念旧,以 100 万美元捐赠加州大学,设立"陈省身讲座"。学校 决定,以此讲座邀请名学者为访问教授。第一位应邀的为英国数学家 SirMichael Atiyah。他 到中国不止一次。他是英国影响最大的数学家,剑桥大学三一学院的院长,卸任的英国皇家 协会会长。Atiyah 很会讲学,也很博学,他的报告有很大的吸引力。他作了八讲,讲题是" 拓扑与量子场论"。

这是当前一个热门的课题,把高深的数学和物理联系起来了,导出了深刻的结果。现在拓扑 在物理上有非常重要的应用, 这跟杨振宁的 Yang-Mills 场方程有很密切的关系。 杨先生喜欢 说,你们数学家写的东西,我们学物理的人看不懂,等于另外一种文字。我想我们搞数学的 人有责任把我们的结果,写成不是本行的人也至少知道你讲的是怎么一回事。物理学、量子 力学,尤其是量子场论与数学的关系其实并不复杂。说到数学的应用,讲一下矢量空间, Euclid 空间就是一个矢量空间。再进一步,多个矢量空间构成一个拓扑空间,这就是所谓的 矢量丛,即一束这样的空间。这样的空间有一些简单的性质。比如说,局部来讲,这种矢量 空间是一个 chart,是一个集,可用坐标来表示。结果发现矢量丛这种空间在物理上很有用。 物理学的一个基本观念是"场"。最简单的场是电磁场,尤为近代生活的一部分。电磁场的" 势"适合 Maxwell 方程。 HermannWeyl 第一个看出这个势不是一个确定的函数。 它可以变化。 这在物理上叫做规范(gauge,不完全确定的,可以变化的),这就是物理上规范场论的第一 个情形。

物理上有 4 种场:电磁场、引力场、强作用场和弱作用场。现在知道,这些场都是规范场。 即数学系上是一束矢量空间,用一个线性群来缝住的。电磁场的重要推广,是 Yang-Mills 的规范场论。杨先生的伟大贡献就是在 SU(2)(specialunitarygroupintwovariables)情形下得到 物理意义明确的规范场,即同位旋(isospin)规范场,这种将数学现象给以物理的解释,是件 了不起的工作,因为以往的 Maxwell 场论是一个可交换的群。现在变为在 SU(2),群是不能 交换的。而实际上,物理中找到了这样的场,这是科学上一个伟大的发展。数学家可以自豪 的是,物理学家所需的几何观念和工具,在数学上已经发展了。

杨先生之所以有这么大的成就, 其中一个很重要的、 很了不起的原因是除了物理的感觉以外, 他有很坚实的数学基础。 他能够在这大堆复杂的方程中看出某些规律, 它们具有某种基本的 数学性质。Yang-Mills 方程的数学基础是纤维丛。这种观念 Dirac 就曾有过。Dirac 的一篇基 本论文中就讲到这种数学。但 Dirac 没有数学的工具。所以他在讲这种观念时,不但数学家 不懂,就连物理学家也不懂。不过,其中有一个到现在还未解决的物理含义,即有否磁单极 (magneticmonople)。可能会有。就是说,有否这样的场,它的曲率不等于 0(曲率是度量场的 复杂性的)?物理上要是发现了这种场,会是件不得了的事实。这些观念的数学不简单。


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