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2014届高三数学辅导精讲精练83


2014 届高三数学辅导精讲精练 83
1.关于正态曲线性质的叙述: (1)曲线关于直线 x=μ 对称,这个曲线在 x 轴上方; (2)曲线关于直线 x=σ 对称, 这个曲线只有当 x∈(-3σ, 3σ)时才在 x 轴上方; (3)曲线关于 y 轴对称,因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数; (4)曲线在 x=μ 时处于最高点, 由这一点向左右两边延伸时, 曲线逐渐降

低; (5)曲线的对称轴由 μ 确定,曲线的形状由 σ 确定; (6)σ 越大,曲线越“矮胖”,σ 越小,曲线越“高瘦”. 上述说法正确的是 A.只有(1)(4)(5)(6) C.只有(3)(4)(5)(6) 答案 A ( ) B.只有(2)(4)(5) D.只有(1)(5)(6) ( )

2.下列函数是正态密度函数的是

答案 解析

B A 中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零. C 中的函数无对 而

称轴,D 中的函数图像在 x 轴下方,所以选 B. 3.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则 P(ξ≤0)= ( A.0.16 C.0.68 答案 解析 A 利用正态分布图像的对称性,P(ξ≤0)=1-P(ξ≤4)=1-0.84=0.16. B.0.32 D.0.84 )

4.抽样调查表明,某校高三学生成绩(总分 750 分)ξ 近似服从正态分布,平 均成绩为 500 分,已知 P(400<ξ<450)=0.3,则 P(550<ξ<600)等于 ( A.0.3 C.0.7 答案 A B.0.6 D.0.4 )

5.设随机变量 ξ~M(μ,σ2),且 P(ξ≤C)=P(ξ>C)=p,则 p 的值为 ( A.0 1 C.2 答案 解析 C 1 ∵P(ξ≤C)=P(ξ>C)=p,∴C=μ,且 p=2. B.1 D.不确定与 σ 无关 )

6.(2013· 衡水调研卷)设随机变量 X~N(1,52),且 P(X≤0)=P(X>a-2),则 实数 a 的值为 A.4 C.8 答案 解析 故 A. 7.(2013· 皖南十校联考)在某市 2013 年 1 月份的高三质量检测考试中,理科 学生的数学成绩服从正态分布 N(98,100). 已知参加本次考试的全市理科学生约 9 450 人.某学生在这次考试中的数学成绩是 108 分,那么他的数学成绩大约排在 全市第多少名? A.1 500 C.4 500 答案 解析 A 1 因 为 学 生 的 数 学 成 绩 X ~ N(98,100) , 所 以 P(X≥108) = 2 [1 - B.1 700 D.8 000 ( ) A 由正态分布的性质可知 P(X≤0)=P(X≥2),所以 a-2=2,故 a=4, B.6 D.10 ( )

1 1 P(88<X<108)]=2[1-P(μ-σ<X<μ+σ)]=2(1-0.682 6)=0.158 7,故该学生的数 学成绩大约排在全市第 0.158 7×9 450≈1 500 名,故选 A.

8.某市 15 000 名考生在 2012 年高考中的数学成绩(满分 150 分)X 服从正态 分布 N(100,152).据统计,分数在 110 分以上的考生共有 5 028 人,则分数在 90 分以上的考生共有________人. 答案 解析 9 972 由正态分布图像的特点可以知道:对称轴 x=μ=100,则平均分为

100,从而分数在 90 分以下和在 110 分以上的概率相等(即可知道分数在 90 分以 下的人数为 5 028),从而分数在 90 分以上的人数为 15 000-5 028=9 972. 9. 已知随机变量 x~N(2,2), P(x<a)=0.32, P(a≤x<4-a)=________. σ 若 则

答案 解析 10.

0.36 由正态分布图像的对称性可得:P(a≤x<4-a)=1-2P(x<a)=0.36.

随机变量 ξ 服从正态分布 N(1, 2), σ 已知 P(ξ<0)=0.3, P(ξ<2)=________. 则 答案 解析 0.7 由题意可知, 正态分布的图像关于直线 x=1 对称, 所以 P(ξ<2)=P(ξ<0)

+P(0<ξ<1)+P(1<ξ<2),又 P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2)=0.2,所以 P(ξ<2)=0.7. 11.若随机变量 ξ~N(0,1),且 ξ 在区间(-3,-1)和(1,3)内取值的概率分别 为 p1,p2,则 p1,p2 的大小关系为________. 答案 解析 p1=p2

如图所示,由正态分布图像的对称性可得,两阴影部分面积相等,即在区间 (-3,-1)和(1,3)内取值的概率 p1=p2.

12. 某省实验中学高三共有学生 600 人, 一次数学考试的成绩(试卷满分 150 分)服从正态分布 N(100,σ2),统计结果显示学生考试成绩在 80 分到 100 分之间 1 的人数约占总人数的3,则此次考试成绩不低于 120 分的学生约有________人. 答案 解析 100 ∵数学考试成绩 ξ~N(100,σ2),作出正态分布图像,可以看出,图

1 像关于直线 x=100 对称.显然 P(80≤ξ≤100)=P(100≤ξ≤120)=3;∴P(ξ≤80) =P(ξ≥120).又∵P(ξ≤80)+P(ξ≥120)=1-P(80≤ξ≤100)-P(100≤ξ≤120)= 1 1 1 1 1 3,∴P(ξ≥120)=2×3=6,∴成绩不低于 120 分的学生约为 600×6=100(人). 13.设随机变量 ξ~N(2,9),若 P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),求 c 的值. 解析 由 ξ~N(2,9)可知,密度函数关于直线 x=2 对称(如图所示),

又 P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),故有 2-(c-1)=(c+1)-2,∴c=2. 14.设 X~N(1,22),试求 (1)P(-1<X≤3); 解析 (2)P(3<X≤5); (3)P(X≥5).

∵X~N(1,22),∴μ=1,σ=2.

(1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2) =P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6. (2)∵P(3<X≤5)=P(-3<X≤-1), 1 ∴P(3<X≤5)=2[P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)] 1 =2[P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)] 1 =2[P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)] 1 =2×(0.954 4-0.682 6)=0.135 9. (3)∵P(X≥5)=P(X≤-3),

1 ∴P(X≥5)=2[1-P(-3<X≤5)] 1 =2[1-P(1-4<X≤1+4)] 1 =2[1-P(μ-2σ<X≤μ+2σ)] 1 =2[1-0.954]=0.023. 15.某市有 210 名学生参加一次数学竞赛,随机调阅了 60 名学生的答卷, 成绩列表如下: 成绩(分) 人数 1 0 2 0 3 0 4 6 5 15 6 21 7 12 8 3 9 3 10 0

(1)求样本的数学平均成绩及标准差; (2)若总体服从正态分布,求此正态曲线近似的密度函数. 解析 1 (1)平均成绩 x =60(4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3)=6,

1 S2=60[6×(4-6)2+15×(5-6)2+21×(6-6)2+12×(7-6)2+3×(8-6)2+ 3×(9-6)2]=1.5,S=1.22. 即样本平均成绩为 6 分,标准差为 1.22. (2)以 x =6,S=1.22 作为总体学生的数学平均成绩和标准差估计值,即 μ =6,σ=1.22.正态曲线密度函数近似地满足 y= 1 1.22 2π .


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