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广东省广州市2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)新人教A版


2012-2013 学年广东省广州市高二(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1. 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,3},则?UA=( (5 ) A.? B.{1,3} C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5} 考点:补集及其运算. 分析:根据补集的定义直接求解:?UA 是由所有属于集合 U 但不属于 A 的元素构成的集合. 解答:解:根据补集的定义,?UA 是由所有属于集合 U 但不属于 A 的元素构成的集合,由已 知,有且仅有 2,4,5 符合元素的条件. ?UA={2,4,5} 故选:C. 点评:本题考查了补集的定义以及简单求解,属于简单题. 2. 分)已知点 P(3,﹣4)是角 α 终边上的一点,则 tanα =( (5 ) A. B. C. D.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用正切函数的定义,即可得到结论. 解答: 解:∵点 P(3,﹣4)是角 α 终边上的一点, ∴tanα = = ,

故选 A. 点评: 本题考查正切函数的定义,考查学生的计算能力,属于基础题. 3. 分)若直线 y=ax+3 与直线 y=﹣2x+a 垂直,则实数 a 的值为( (5 ) A.﹣2 B.2 C. D.

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由给出的直线的方程求出两条直线的斜率,因为两条直线互相垂直,所以斜率之积等 于﹣1,列式后可以求得实数 a 的值. 解答: 解:直线 y=ax+3 的斜率为 k1=a,直线 y=﹣2x+a 的斜率为 k2=﹣2. 因为直线 y=ax+3 与直线 y=﹣2x+a 垂直,所以 k1?k2=﹣1, 即 a×(﹣2)=﹣1,解得:a= . 故选 D. 点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系, 解答此类问题时, 如果不需要讨论,
1

可以求出两直线的斜率,利用斜率之积等于﹣1 解决,若 y 的系数含有字母,可直接 利用两直线 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件为 A1A2+B1B2=0 解决.此题是 基础题. 4. 分)要用一根铁丝焊接围成一个面积为 9 的矩形框,不考虑焊接损耗,则需要铁丝的 (5 长度至少为( ) A.24 B.12 C.6 D.3 考点: 基本不等式;函数最值的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 设矩形的长为 x,宽为 y,则 xy=9,铁丝的长度为 2(x+y) ,利用基本不等式,即可 得到结论. 解答: 解:设矩形的长为 x,宽为 y,则 xy=9 ∴铁丝的长度为 2(x+y)≥2? =12 当且仅当 x=y=3 时,铁丝的长度最小为 12, 故选 B. 点评: 本题考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 5. 分)如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 内随机取一点 P,分别以 A、B、C、D 为圆心、1 (5 为半径作圆,在正方形 ABCD 内的四段圆弧所围成的封闭区域记为 M(阴影部分) ,则点 P 取 自区域 M 的概率是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意知本题是一个几何概型, 试验发生包含的所有事件是正方形面积 S=2×2, 而阴 影部分区域可以看作是由边长为 2 的正方形面积减去半径为 1 的圆的面积得到, 最后 利用几何概型的概率公式解之即可. 解答: 解:由题意知本题是一个几何概型, ∵试验发生包含的所有事件是矩形面积 S=2×2=4, 阴影部分区域的面积是 4﹣π , ∴由几何概型公式得到 P= =1﹣ ,

故选 C. 点评: 本题主要考查了几何概型,解题的关键求阴影部分的面积,同时考查了计算能力,属 于中档题.

2

6. 分)某几何体的三视图(均为直角三角形)及其尺寸如图所示,则该几何体的体积为 (5 ( )

A.

B.

C.

D.1

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 先根据三视图判断出几何体的形状及长度关系, 然后利用棱锥的体积公式求出几何体 的体积. 解答: 解:由三视图知, 该几何体为底面为直角边长分别为 1 和 2 的直角三角形,一条侧棱垂直底面,几何体 的高为 1, ∴该几何体的体积为 V= Sh= × ×1×2×1= 故选 B. 点评: 解决三视图的题目,关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度,然后利用几何 体的面积及体积公式解决.

7. 分)函数 (5 A. B.

的零点所在的区间为( C.

) D.

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 探究型. 分析: 利用根的存在定理,分别判断,各区间端点处函数值的符合是否相反,从而确定零点 所在的区间. 解答: 解:函数 在(0,+∞)上单调递增. 因为 , 所以 , , , ,

3

所以根据根的存在性定理可知函数 .

的零点所在的区间为

故选 D. 点评: 本题主要考查函数与方程的关系,利用根的存在定理去判断函数零点所在区间,是解 决本题的关键. 8. 分)已知等差数列{an}的首项为 4,公差为 4,其前 n 项和为 Sn,则数列 { (5 项和为( A. ) B. C. D. }的前 n

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的前 n 项和即可得出 Sn,再利用“裂项求和”即可得出数列 { n 项和. 解答: 解:∵Sn=4n+ ∴ ∴数列 { = }的前 n 项和 = =

}的前

=2n +2n, .

2



故选 A. 点评: 熟练掌握等差数列的前 n 项和公式、“裂项求和”是解题的关键.

9. 分)在长方形 ABCD 中,AB=2,AD=1,则 (5 A.4 B.2 C.﹣2

=(

) D.﹣4

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 依照向量模的几何意义求出两向量的模,再求出夹角,计算即可. 解答: 解:易知 , 所以原式= =2 ×2× =﹣4

故选 D 点评: 本题考查向量数量积的基本运算,属于基础题.此题易错点在于两向量夹角应为 135°,而非 45°.
4

10. 分)设函数 f(x)的定义域为 R,若存在与 x 无关的正常数 M,使|f(x)|≤M|x| (5 对一切实数 x 恒成立,则称 f(x)为有界泛函.有下面四个函数: ①f(x)=1; 2 ②f(x)=x ; ③f(x)=2xsinx; ④ .

其中属于有界泛函的是( ) A.①② B.③④

C.①③

D.②④

考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;新定义. 分析: 本题考查阅读题意的能力,根据有界泛函的定义进行判定:对于①可以利用定义直接 加以判断, 对于②可以利用绝对值的性质将不等式变形为|x|≤m, 对于③,即|2sinx|≤M,只需 M≥2, 对于④,将不等式变形为 ≤M,可以求出符合条件的 m 的最小值

解答: 解:对于①,显然不存在 M 都有 1≤M|x|成立,故①错; 2 对于②,|f(x)|=|x |≤M|x|,即|x|≤M,不存在这样的 M 对一切实数 x 均成立,故 不是有界泛函;②错 对于③,f(x)|=|2xsinx|≤M|x|,即|2sinx|≤M,当 M≥2 时,f(x)=3xsinx 是有 界泛函. .③对 对于④,| |)|≤M|x|,即 ≤M,只需 ,

④对 综上所述,③④ 故选 B 点评: 本题属于开放式题,题型新颖,考查数学的阅读理解能力.知识点方面主要考查了函 数的最值及其几何意义,考生需要有较强的分析问题解决问题的能力,对选支逐个加 以分析变形,利用函数、不等式的进行检验,方可得出正确结论. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 分)已知幂函数 f(x)=x 的图象过点 (5 +∞) . 考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 依题意可求得 α =2,从而可求 f(x)的定义域. α 解答: 解:∵f(x)=x 的图象过点(2, ) , α ∴2 = , ∴α = ,
α

,则函数 f(x)的定义域是 [0,

5

∴f(x)=x



∴函数 f(x)的定义域是[0,+∞) . 故答案为:[0,+∞) . 点评: 本题考查幂函数的性质,求得 α 是关键,属于基础题. 12. 分)如图给出的是计算 (5 为 2013 . 值的一个程序框图,当程序结束时,n 的值

考点: 循环结构. 专题: 计算题. 分析: 利用循环结构的功能和判断框即可得出. 解答: 解:当 i=2012 时,i<2013,执行“是”后得到 i=2013,2013<2013 不成立,执行 “否”,输出 S. 故答案为 2013. 点评: 正确理解循环结构的功能和判断框是解题的关键. 13. 分)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(2,4,0) (5 ,B(2,0,3) ,C(2,2,z) , 若∠C=90°,则 z 的值为 ﹣1 或 4 . 考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 由∠C=90°,可得 ,利用向量的数量积运算可求得 z 值. 解答: 解: =(0,﹣2,z) , =(0,2,z﹣3) , ,即 0﹣2×2+z(z﹣3)=0,

因为∠C=90°,所以 解得 z=﹣1 或 4,

6

故答案为:﹣1 或 4. 点评: 本题考查利用数量积判断两个向量的垂直关系,属基础题.

14. 分)设实数 x,y 满足 (5

,则 x +y 的取值范围是

2

2

[8,34] .

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC 及其内部,设 P(x,y) ,可得 2 2 2 x +y =|OP| 表示 O、P 两点距离的平方之值,因此运动点 P 并加以观察可得|OP|的最 2 2 大、最小值,即可得到 x +y 的范围. 解答: 解:作出不等式组 表示的平面区域,

得到如图的△ABC 及其内部, 其中 A(3,5) ,B(3,1) ,C(1,3) 设 P(x,y)为区域内一个动点 则|OP|=
2 2 2



因此 x +y =|OP| 表示 O、P 两点距离的平方之值 ∵当 P 与 A 重合时|OP|= = 达到最大值, =2 达到最小值

当 P 与原点 O 在 BC 上的射影 D 重合量,|OP|=
2 2 2

∴|OP| 的最小值为 8,最大值为 34,即 x +y 的取值范围是[8,34] 故答案为:[8,34]

点评: 本题给出二元一次不等式组,求 x +y 的取值范围,着重考查了两点的距离公式、二 元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(3,1) ,C(1,0) . (1)求以点 C 为圆心,且经过点 A 的圆 C 的标准方程; (2)若直线 l 的方程为 x﹣2y+9=0,判断直线 l 与(1)中圆 C 的位置关系,并说明理由.
7

2

2

考点: 直线与圆的位置关系;圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 2 2 2 分析: (1)因为圆 C 的圆心为 C(1,0) ,可设圆 C 的标准方程为(x﹣1) +y =r .把点 A 2 (3,1)代入圆 C 的方程求得 r =5,从而求得圆 C 的标准方程. (2)由于圆心 C 到直线 l 的距离为 ,大于半径,可得直线 l

与圆 C 相离. 2 2 2 解答: (1)因为圆 C 的圆心为 C(1,0) 解: ,可设圆 C 的标准方程为(x﹣1) +y =r . 2 2 2 2 因为点 A(3,1)在圆 C 上,所以(3﹣1) +1 =r ,即 r =5. 2 2 所以圆 C 的标准方程为(x﹣1) +y =5. (2)由于圆心 C 到直线 l 的距离为 .

因为 ,即 d>r,所以直线 l 与圆 C 相离. 点评: 本小题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系等基础知识,点到直线的距离公 式的应用,属于中档题. 16. (12 分)已知函数 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 , ,求 . 的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)利用两角和的正弦公式及周期即可得出; (2)利用(1)及已知可得 sinα ,进而得到 cosα ,于是可得 解答: 解: (1) = = . .

所以函数 f(x)的最小正周期是 2π . (2)由(1)得, 因为 即 因为 所以 =4sinα cosα . ,所以 . ,所以 . .

8

=

=



点评: 本小题主要考查周期的概念,考查三角恒等变换的运算以及化归与转化的数学思想. 17. (14 分) 对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计, 随机抽取 N 名学生作为样本, 得到这 N 名学生参加社区服务的次数. 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直 方图如下: 分组 频数 频率 [3,6) 10 m [6,9) n p [9,12) 4 q [12,15] 2 0.05 合计 N 1 (1)求出表中 N,p 及图中 a 的值; (2)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 9 次的学生中任选 2 人,求至少有一人 参加社区服务次数在区间[12,15]内的概率.

考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由分组[12,15)内的频数是 2,频率是 0.05,可得 10+n+4+2=40,解得 n=24,由此求得 以及 的值.

,所以 N=40.再由

(2)记“至少有一人参加社区服务次数在区间[12,15)内”为事件 A.这个样本中 参加社区服务次数不少于 9 次的学生共有 4+2=6 人. 从这 6 人中任选 2 人的所有可能 结果,用列举法求得共 15 种,事件 A 包含的结果有 9 种,由此求得事件 A 发生的概 率. 解答: 解: (1)由分组[12,15)内的频数是 2,频率是 0.05,可得 ,所以 N=40. 因为频数之和为 40,所以 10+n+4+2=40,解得 n=24. 所以, . .

因为 a 是对应分组[6,9)的频率与组距的商,所以,

(2)记“至少有一人参加社区服务次数在区间[12,15)内”为事件 A. 这个样本中参加社区服务次数不少于 9 次的学生共有 4+2=6 人. 记在区间[9,12)内的 4 人为 a1,a2,a3,a4,在区间[12,15)内的 2 人为 b1,b2.
9

从这 6 人中任选 2 人的所有可能结果有:{a1,a2},{a1,a3},{a1,a4},{a1,b1},{a1, b2},{a2,a3},{a2,a4},{a2,b1}, {a2,b2},{a3,a4},{a3,b1},{a3,b2},{a4,b1},{a4,b2},{b1,b2},共 15 种. 事件 A 包含的结果有:{a1,b1},{a1,b2},{a2,b1},{a2,b2},{a3,b1},{a3,b2}, {a4,b1},{a4,b2},{b1,b2},共 9 种. 所以所求概率为 .

点评: 本小题主要考查频数、频率等基本概念,考查古典概型等基础知识,属于基础题. 18. (14 分)如图所示,AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 圆周上不同于 A、B 的任意一点,PA⊥ 平面 ABC,点 E 是线段 PB 的中点,点 M 在 (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)求证:平面 EOM∥平面 PAC. 上,且 MO∥AC.

考点: 直线与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由 PA⊥平面 ABC,证出 PA⊥BC,由直径所对的圆周角证出 BC⊥AC,再利用线面 垂直判定定理,即可证出 BC⊥平面 PAC. (2)根据三角形中位线定理证出 EO∥PA,从而得到 EO∥平面 PAC,由 MO∥AC 证出 MO∥平面 PAC,再结合面面平行判定定理即可证出平面 EOM∥平面 PAC. 解答: (1)∵点 C 是以 AB 为直径的⊙O 圆周上不同于 A、B 的任意一点, 解: ∴∠ACB=90°,即 BC⊥AC. ∵PA⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC, ∴PA⊥BC. ∵AC? 平面 PAC,PA? 平面 PAC,AC∩PA=A, ∴BC⊥平面 PAC. (2)∵点 E 是线段 PB 的中点,点 O 是线段 AB 的中点, ∴EO∥PA. ∵PA? 平面 PAC,EO?平面 PAC,∴EO∥平面 PAC. ∵MO∥AC,AC? 平面 PAC,MO?平面 PAC, ∴MO∥平面 PAC. ∵EO? 平面 EOM,MO? 平面 EOM,EO∩MO=O, ∴平面 EOM∥平面 PAC.

10

点评: 本题给出特殊锥体, 求证线面垂直并证明面面平行, 着重考查直线与平面垂直的判定、 平面与平面平行的判定定理等知识,考查空间想象能力,属于中档题. 19. (14 分)已知数列{an}满足 a1=1, a3 成等差数列. (1)求 λ 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设数列{bn}满足 bn= ,证明:bn . (n∈N ,λ 为常数) ,且 a1,a2+2,
*

考点: 等差数列的性质;数列与不等式的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用数列递推式,结合 a1,a2+2,a3 成等差数列,即可求 λ 的值; (2)由 (n∈N ) ,可得
*

(n≥2) ,利用叠加法,结

合等比数列的求和公式,即可求数列{an}的通项公式; (3)确定数列{bn}的通项,可得其单调性,即可证明结论. * 解答: (1)解:因为 a =1, (n∈N ) ,
1

所以





因为 a1,a2+2,a3 成等差数列, 所以 a1+a3=2(a2+2) ,即 2+6λ =2(3+2λ ) , 解得 λ =2. (2)解:由(1)得,λ =2,所以 所以 (n≥2) . (n∈N ) ,
*

当 n≥2 时,an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+?+(an﹣an﹣1) =1+2 +2 +?+2 = 又 a1=1 也适合上式,
11
2 3 n

=2 ﹣3.

n+1

所以数列(﹣∞,a]的通项公式为

(n∈N ) .

*

(3)证明:由(2)得,

,所以



因为
2



当 n≥3 时,﹣(n﹣1) +2<0,所以当 n≥3 时,bn+1﹣bn<0,即 bn+1<bn. 又 所以 < <
*



(n∈N ) .

点评: 本小题主要考查等差数列的概念,考查数列求和、单调性等基础知识以及运算求解能 力、推理论证能力等. 20. (14 分)设 a 为常数,a∈R,函数 f(x)=x +|x﹣a|+1,x∈R. (1)若函数 f(x)是偶函数,求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的最小值. 考点: 带绝对值的函数;函数奇偶性的判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 2 分析: (1)根据偶函数的定义,采用比较系数法,可得(x+a) =(x﹣a) 对任意的 x∈R 成立,故可得 a=0. (2)分 x≤a 与 x>a 两种情况讨论,结合二次函数的图象与性质加以分析,可得当 时,函数在 x=a 处取得最小值,而当 最小值;当 时,函数在 x=﹣ 处取得
2

时,函数在 x= 处取得最小值.由此即可得到本题的答案.

解答: (1)∵函数 f(x)为偶函数,∴对任意的 x∈R 都有 f(﹣x)=f(x) 解: , 2 2 即(﹣x) +|﹣x﹣a|+1=x +|x﹣a|+1,对任意的 x∈R 都有|x+a|=|x﹣a|, 2 2 也就是(x+a) =(x﹣a) 对任意的 x∈R 成立,故 4ax=0 恒成立,可得 a=0. (2)①当 x≤a 时, 若 ,则函数 f(x)在(﹣∞,a]上单调递减.
2



所以函数 f(x)在(﹣∞,a]上的最小值为 f(a)=a +1. 若 ,则函数 f(x)在 上单调递减,在 . . 上单调递增.

所以函数 f(x)在(﹣∞,a]上的最小值为 ②当 x>a 时,

12



,则函数 f(x)在

上单调递减,在 .

单调递增.

所以函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 若 ,则函数 f(x)在[a,+∞)单调递增.
2

所以函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 f(a)=a +1. 综上所述,可得 当
2

时,函数 f(x)的最小值是

;当

时,函数 f(x)的最

小值是 a +1; 当 时,函数 f(x)的最小值是 .

点评: 本小题主要考查偶函数的概念,考查二次函数的单调性、最值等基础知识以及运算求 解能力、分类讨论思想等知识,属于中档题.

13


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