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福建省龙岩市非一级达标校2015届高三上学期期末质量检查数学理试题含答案


福建省龙岩市非一级达标校 2015 届高三上学期期末质量检查

数学(理科)试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、已知 ? ? y y ? x 2 , x ? R , ? ? y x 2 ? y 2 ? 1, x ? R, y ? R ,则 ? A. ?

?2, 2? B. ? 0, 2? C. ?0,1?

?

?

?

?

? ?(



D. ??1,1?

2、把一个骰子连续抛掷两次,第一次得到的点数为 a ,第二次得到的点数为 b , 则事件“ a ? b ”的概率为( A.
1 6

) C.
1 12

B.

1 36

D.

1 4

3、抛物线 x2 ? 4 y 的准线方程是( A. x ? 1 C. y ? 1 B. x ? ?1 D. y ? ?1



4、某几何体的三视图如图所示,它的体积为( A. 81? C. 45? B. 57? D. 12?



5、 甲、 乙两位同学在高二 5 次月考的数学成绩统计如茎叶图所示, 若甲、 乙两人的平均成绩分别是 x甲 、x乙 , 则下列正确的是 ( A. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定 C. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定 A.计算数列 ?2n ?1? 前 5 项的和 C.计算数列 ?2n ?1? 前 6 项的和 7、下列结论正确的是( ) )

B. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定 D. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定 ) B.计算数列 ?2n ? 1? 前 5 项的和 D.计算数列 ?2n ? 1? 前 6 项的和

6、阅读如右图所示的程序框图,则该算法的功能是(

A.命题“若 sin ? ? sin ? ,则 ? ? ? ”是真命题 B.若函数 f ? x ? 可导,且在 x ? x0 处有极值,则 f ? ? x0 ? ? 0 C.向量 a , b 的夹角为钝角的充要条件是 a ? b ? 0 D.命题 p : “ ?x ? R , e x ? x ? 1 ”的否定是“ ?x ? R , e x ? x ? 1 ” 8、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a3 ? 11 , S14 ? 217 ,则 a12 ? ( )

-1-

A.18

B.20 C.21 D.22 ?a x , x ? 0 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 9、已知函数 f ? x ? ? ? 满足对任意 x1 ? x2 ,都有 ?0 a ? 3 x ? 4 a , x ? 0 x ? x ? ? ? 1 2 ? 成立,则实数 a 的取值范围是( A. ? 0,1? ) C. ? 0,3?

? 1? B. ? 0, ? ? 4?

? 1? D. ? 0, ? ? 4?

10、若两条异面直线所成的角为 60 ,则称这对异面直线为“黄金异面直线对” , 在连结正方体各顶点的所有直线中, “黄金异面直线对”共有( A.48 对 B. 24 对 C.12 对 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. ) 11、 已知随机变量 ? 服从正态分布 ? ? 2, ? 2 ? , 则 ? ??? 0 ? ?? ? 4? ? 0.84 , ?? ) D.66 对 .

x2 y 2 12、过双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,若 a b

垂 足 恰 在 线 段 ?F ( ? 为 坐 标 原 点 ) 的 垂 直 平 分 线 上 , 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 . 13、某老师从课本上抄录一个随机变量 ? 的概率分布列如下表:

请甲同学计算 ? 的数学期望,尽管“ ! ”处完全无法看清,且两个“ ? ”处字迹模 糊,但能断定这两个“ ? ”处的数值相同,据此,该同学给出了正确答案
?? ?



C 的对边分别为 a , b, 14、 在 ??? C 中, 内角 ? , 且满足 2a cos ? ? b cos ? ? c , c, ?,

则??



15 、 已 知 定 义 在 区 间 ?0,1? 上 的 函 数 y ? f ? x ? 的图象如图所示,对于满足

0 ? x1 ? x2 ? 1 的任意 x1 , x2 ,给出下列结论:
① f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? x2 ? x1 ;② x2 f ? x1 ? ? x1 f ? x2 ? ; ③

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ?x ?x ? f ? 1 2 ? ;④ ? 0. x2 ? x1 ? 2 ?
. (把所有正确结论的序号都填上)

其中正确结论的序号是

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

-2-

算步骤. ) 16、 (本小题满分 13 分)某同学用“五点法”画函数 f ? x ? ? ? sin ??x ? ? ? 在某一 个周期的图象时,列表并填入的部分数据如下表:

? ? ? 求 x1 , x2 , x3 的值及函数 f ? x ? 的表达式; ? ?? ? 将函数 f ? x ? 的图象向左平移 ? 个单位,可得到函数 g ? x ? 的图象,求函数
? 5? y ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? 0, ? 3 ? ? 的最小值. ?

17、 (本小题满分 13 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点与抛物线 a 2 b2 6 . y 2 ? 8 6 x 的焦点重合,且椭圆 C 的离心率 e ? 3 ? ? ? 求椭圆 C 的标准方程;

? ?? ? 若直线 x ? t ( t ? 0 )与椭圆 C 交于不同的两点 ? , ? ,以线段 ?? 为直径作圆
? .若圆 ? 与 y 轴相切,求直线 x ? 3 y ?1 ? 0 被圆 ? 所截得的弦长.

18、 (本小题满分 13 分)我国东部某风景区内住着一个少数民族部落,该部落拟 投资 1500 万元用于修复和加强民俗文化基础设施.据测算,修复好部落民俗文化 基础设施后,任何一个月(每月均按 30 天计算)中第 n 天的游客人数 an 近似满足 10 an ? 10 ? (单位:千人) ,第 n 天游客人均消费金额 bn 近似满足 bn ? 162 ? n ?18 n (单位:元) . ? ? ? 求该部落第 n 天的日旅游收入 cn (单位:千元,1 ? n ? 30 , n ? ?? )的表达式;
-3-

? ?? ? 若以一个月中最低日旅游收入金额的 1 %作为每一天应回收的投资成本,试问
该部落至少经过几年就可以收回全部投资成本.

19、 (本小题满分 13 分)如图,在四棱锥 ? ? ??CD 中,侧棱 ?? ? 底面 ?? CD , ?D//?C , ???C ? 90 , ?? ? ?? ? ?C ? 2 , ?D ? 1 , ? 是棱 ?? 中点. ? ? ? 求证: ?? // 平面 ?CD ;

? ?? ? 设点 ? 是线段 CD 上一动点,且 D? ? ? DC ,当直线 ?? 与平面 ??? 所成的角
最大时,求 ? 的值.

20、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ax2 ? x ? ln x ( a ? R ) .

? ? ? 当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 的图象在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程; ? ?? ? 设 a ? 0 ,求证:当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2x ?1; ,求实数 a 的取值范围. ? ??? ? 若函数 y ? f ? x? 恰有两个零点 x1 , x2 ( x1 ? x2 )

21、 (本小题满分 14 分) 本题有 ?1? 、? 2 ? 、? 3? 三个选答题, 每题 7 分, 请考生任选 2 题作答, 满分 14 分. 如 果多做,则按所做的前两题记分. ?1? (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知线性变换 ? 把点 ?1, ?1? 变成了点 ?1,0 ? ,把点 ?1,1? 变成了点 ? 0,1? .

? ? ? 求变换 ? 所对应的矩阵 ? ; ? ?? ? 求直线 y ? ?1 在变换 ? 的作用下所得到的直线方程.

-4-

? 2 ? (本小题满分 7 分)选修 4-4:极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已 ?? ? 知 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 ? sin ? ? ? ? ? m ( m 为 常 数 ) ,圆 C 的参数方程为 ?6 ? ? ? x ? ?1 ? 2 cos ? ( ? 为参数) . ? y ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? ? 求直线 l 的直角坐标方程和圆 C 的普通方程;

? ?? ? 若圆心 C 关于直线 l 的对称点亦在圆上,求实数 m 的值.

? 3? (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲
已知 x ? 2 y ? 3z ? 4 ( x , y , z ? R ) .

? ? ? 求 x2 ? y2 ? z 2 的最小值; ? ?? ? 若 a ? 2 ? 2 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 对满足条件的一切实数 x , y ,z 恒成立,求实数 a 的
取值范围.
7

-5-

龙岩市非一级达标校 2014~2015 学年第一学期期末高三教学质量检查

数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的 评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程 度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部 分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本涂考察基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分. 1-5 CADBD 6-10 CBBBB 二、填空题:本题考察基础知识和基本运算,每小题 4 分,满分 20 分. 11.0.16 12. 2 13.3 14.

?
2

15.②③④

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由

2? 8? 1 ? ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 0 可得 : ? ? , ? ? ? 3 3 2 3 1 ? ? 1 ? 3? 1 ? 由 x1 ? ? ; x 2 ? ? ; x3 ? ? 2? 可得: 2 3 2 2 3 2 2 3 5? 11? 14? x1 ? , x2 ? , x3 ? 3 3 3 1 5? ? 又? A sin( ? ?A? 2 ? )?2 2 3 3 1 ? ? f ( x) ? 2 sin( x ? ) 2 3 1 ? (Ⅱ)由 f ( x) ? 2 sin( x ? ) 的图象向左平移 ? 个单位 2 3 1 ? ? x ? 得 g ( x) ? 2 sin( x ? ? ) ? 2 cos( ? ) 的图象 , 2 3 2 2 3 x ? x ? 2? ? y ? f ( x).g ( x) ? 2 ? 2 sin( ? ) ? cos( ? ) ? 2 sin( x ? ) 2 3 2 3 3 5? 2? 2? ? x ? (0, ) 时, x ? ? (? ,? ) 3 3 3 2? ? ? y min ? ?2 ? 当x ? ? ? 时,即x ? 时, 3 2 6 1 ? 1 ? 注:若用 f ( x) ? 4sin( x ? ) sin( x ? ) 运算,请参照给分. 2 3 2 6

……2 分

……6 分

…… 8

分 ……10 分

……13 分

17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为抛物线 y 2 ? 8 6 x 的焦点坐标为 (2 6 ,0) ,所以 C ? 2 6 ………2 分

-6-

c 2 6 6 2 2 2 ,所以 a ? 6, b ? a ? c ? 12 ? ? a a 3 x2 y2 所以椭圆方程为: ……5 分 ? ?1 36 12 (Ⅱ)由题意知 M ,圆心 M 为线段 AB 中点,且位于 x 轴的正半轴, 故设 M 的坐标为 (t ,0) 因为圆 M 与 y 轴相切,不妨设点 B 在第一象限,又 MA ? MB ? t ,所以 B (t , t )
又椭圆的离心率 e ?

?

t2 t2 解得 t ? 3 ? ? 1(t ? 0) 36 12 ? 圆心 M (3,0) ,半径 r ? 3 ? 圆 M 的方程为:( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9
又圆心 M 到直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离 d ?

……8 分

……10 分

3 ? 0 ?1 2

?2

所以,直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 被圆 M 所截得的弦长为:

2 r2 ? d 2 ? 2 9 ? 4 ? 2 5
18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)当 1 ? n ? 18 时, cn ? an bn ? 10(1 ? )(144 ? n) ? 1450 ? 当 19 ? n ? 30 时,

………13 分

1 n

1440 ? 10n ……2 分 n

1 180 1800 cn ? anbn ? 10(1 ? )(180 ? n) ? 10(179 ? ? n) ? 1790 ? ? 10n …4 分 n n n 1440 ? 1450 ? ? 10n,1 ? n ? 18 ? ? n 综上,cn ? ? ……6 分 ?1790 ? 1800 ? 10n,19 ? n ? 30 ? n ?
(Ⅱ)当 1 ? n ? 18 时, cn ? 1450 ? 当 n ? 12 时取等号) 当 19 ? n ? 30 时, cn ? 1790 ? ∵y?

1440 1440 ? 10n ? 1450 ? 2 ?10n ? 1690 (当且仅 n n
……8 分

1800 ? 10n n

1800 ? 10n 在 [19,30] 上为减函数, n 1800 ∴ cn ? 1790 ? ……10 分 ? 10 ? 30 ? 1550 30 于是 (cn ) min ? c30 ? 1550 (千元) ,即日最低收入为 1550 千元. 该村一年可收回的投资资金为 1550 ? 1% ? 30 ? 12 =5580(千元)= 558 (万元) , 两年可收回的投资资金为 558 ? 2 ? 1116 (万元) , 三年可收回的投资资金为 558 ? 3 =1674(万元).
∴至少经过 3 年可以收回全部投资成本. 19.(本小题满分 13 分) 解: (1)以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 ……13 分

A(0,0,0), B(0,2,0), C (2,2,0), D(1,0,0), P(0,0,2), M (0,1,1)
则 AM ? (0,1,1), PD ? (1,0,?2), CD ? (?1,?2,0)
P
M
-7-

B

C

A

D

设平面 PCD 的法向量是 n ? (x ,, y z) ,则

? ? PD ?n ? 0 ? x ? 2 z ? 0, 即? ? ? x ? 2 y ? 0, ? ?CD ? n ? 0 ?
令 z ? 1 ,则 x ? 2, y ? ?1 ,于是 n ? (2, ? 11) , ∵ AM ? n ? 0 ,∴ AM ? n , ∴AM//平面 PCD (2)因为点 N 是线段 CD 上的一点,可设 DN ? ? DC ? ? (1,2,0) ……6 分

AN ? AD ? DN ? (1,0,0) ? ? (1,2,0) ? (1 ? ? ,2? ,0) MN ? AN ? AM ? (1 ? ? ,2? ,0) ? (0,1,1) ? (1 ? ? ,2? ? 1,?1)
又面 PAB 的法向量为错误!未找到引用源。 设 MN 与平面 PAB 所成的角为 ? 则 sin ? ?

(1 ? ? , 2? ? 1, ?1) ? (1, 0, 0) (1 ? ? ) ? (2? ? 1) ? 1
2 2

?

1? ? 5? 2 ? 2? ? 3

?

1? ? 5(1 ? ? ) ? 12(1 ? ? ) ? 10
2

1 3 7 12 1 2 10( ? )2 ? ? 10( ) 1? ? 5 5 1? ? 1? ? 2 1 3 ?当 ? 时, 即 5 ? 3 ? 3?,? ? 时, sin ? 最大, 1? ? 5 3 2 所以 MN 与平面 PAB 所成的角最大时 ? ? 3 5?
20. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? ln x , f ?( x) ? 2 x ? 1 ?
2

?

1

?

1

……13 分

? f (1) ? 2 , f ?(1) ? 4 函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? 4( x ? 1) 即 4x ? y ? 2 ? 0 ……………………4 分
(Ⅱ)当 a ? 0 时,设 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 1) ? ln x ? x ? 1( x ? 0),

1 x

1 1? x , ?1 ? x x 当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 . 因此,函数 g ( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,??) 上是单调递减
则 g ?( x) ? 得 g ( x) ? g max ( x) ? g (1) ? 0 , 即 f ( x) ? 2 x ? 1 . (Ⅲ)由 f ( x) ? ax ? x ? ln x( x ? 0) 得 f ?( x) ? 2ax ? 1 ?
2

…………9 分

1 2ax 2 ? x ? 1 ? . x x
…………10 分

当 a ? 0 时 f ?( x) ? 0 则 f ( x) 在 (0,??) 上是单调递增, 因此函数 f ( x) 至多只有一个零点, 不符合题意.
-8-

当 a ? 0 时,由 2ax 2 ? x ? 1 ? 0 得 x3 ?

?1 ? 1 ? 8a ?0 4a

因此, f ( x) 在 (0, x3 ) 上是单调递增,在 ( x3 , ??) 上是单调递减, 所以 f max ( x) ? f ( x3 ) . 一方面,当 x 从右边趋近于 0 时, f ( x) ? ?? ; 当 x ? ?? 时, f ( x) ? ax ? x ? ln x ? ax ? x ? x ? 1 ? ax ? 2 x ? 1 (a ? 0)
2 2 2

因此, f ( x) ? ?? 另一方面,由 f ?( x3 ) ? 0 得 2ax32 ? x3 ? 1 ? 0 ,即 ax32 ? ?

…………11 分

x3 ? 1 2 x ?1 x ? 1 ? 2 ln x3 因此, f ( x3 ) ? ax32 ? x3 ? ln x3 ? ? 3 ? x3 ? ln x3 ? 3 2 2 很明显 f ( x3 ) 在 (0,??) 上是单调递增且 f (1) ? 0
根据题意得 f ( x3 ) ? 0 ? f (1)
2



? x3 ? 1 即方程 2ax ? x ? 1 ? 0 有且只有一个大于 1 的正实数根.
2 设 h( x) ? 2ax ? x ? 1 ,由 a ? 0且h(0) ? 1 ? 0, 得 h(1) ? 0 解得 a ? ?1

所以, 实数 a 的取值范围是 (?1,0) 21. (本小题满分 14 分) 解: (1) (Ⅰ)解:设 M ? ?

………………14 分

?a b? ? ,依题意 ?c d? ? a b ?? 1 ? ? 1 ? ? a b ??1? ? 0 ? ? ?? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ? ? ? c d ?? ?1? ? 0 ? ? c d ??1? ? 1 ? 1 ? a ? ? 2 ? a ? b ? 1 ? 1? ?1 ?b ? ? 1 ? ? ?c ? d ? 0 ? ? ? 2 2 ,所以 M ? 2 所以 ? ,所以 ? ……3 分 ? ? a ? b ? 0 1 1 1 ? ? ? ?c ? ? ? ? ? ?2 2? 2 c ? d ? 1 ? ? 1 ?d ? ? 2 1 1? ?1 ?1 x ? y ? x' ? 2 ? 2 ?? x ? ? x ' ? ? ?2 2 (Ⅱ)由 ? ?? ? ? ? ? 得 ? 1 1 ?? y ? ? y ' ? ? 1 ?1 x? y ? y' ? ? ? ?2 2 ?2 2? ? x ? x '? y ' 所以 ? ,代入 y ? ?1 得 y '? x ' ? ?1 ,即 x '? y '? 1 ? 0 ? y ? y '? x ' 所以所求直线方程为 x ? y ? 1 ? 0 …………7 分 ? ? ? (2) (Ⅰ)由 ? sin( ? ? ) ? m 得 ? sin cos ? ? ? cos sin ? ? m 6 6 6 所以直线的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2m ? 0
圆 C 的普通方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 …………3 分

-9-

(Ⅱ)圆 C 的圆心 C 的坐标 C (?1, 3) ,依题意,圆心 C 到直线的距离为 1,

| ?1 ? 3 ? 3 ? 2m | …………7 分 ? 1 ,解得 m ? ?1 或 m ? ?3 2 2 2 2 2 2 2 2 (3) (Ⅰ)因为 ( x ? 2 y ? 3 z ) ? (1 ? 2 ? 3 )( x ? y ? z ) 且 | x ? 2 y ? 3 z |? 4 8 8 2 2 2 所以 x 2 ? y 2 ? z 2 ? ,即 x ? y ? z 的最小值为 …………3 分 7 7 8 (Ⅱ)因为 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值为 , 7 所以 a ? 2 ? 4
所以 所以 ? 4 ? a ? 2 ? 4 所以 ? 6 ? a ? 2 , 即 a 的取值范围为 [?6, 2] . …………7 分

- 10 -


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