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两条相交直线的夹角


课题:两条相交直线的夹角(教案)
【教学目标】 : 1、理解两条直线相交时,直线夹角与直线方向向量夹角的关系;掌握根据已知条件求出两条相 交直线的夹角; 2、理解两条直线垂直的充要条件. 3、体会数形结合的数学思想,培养思维能力. 【教学重点】 :两条相交直线的夹角. 【教学难点】 :夹角公式的应用. 【教学过程】 : 一、课题引入: 平面上两条直线有几种位置关系? 相

交、平行、重合. (垂直是相交的一种特殊情形) 下面我们对两条直线的位置关系作进一步研究. (引出课题:两条直线的夹角) 二、新课讲授: 1. 两条直线的夹角: 平面上两条相交直线,它们构成四个角,是两对对顶角.如果一对是锐角,另一对是钝角, 那么我们规定锐角作为它们的夹角.如果四个角都是直角,那么规定两直线夹角是直角,此 时也称两条直线相互垂直. 平面上两条直线相交时构成两组对顶角. 我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两 条相交直线的夹角. 规定:如果两条直线平行或重合,它们的夹角为0. 所以,两条相交直线的夹角 0 ? ? 2. 夹角公式: 如果已知两条直线的方程分别为:

?

?
2



l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0

l2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0

(其中 a1 , b1 不同时为零, a2 , b2

不同时为零) .系数确定,方程确定,直线确定,它们的夹角也就确定,那么如何根据方程 来求 l1 与 l2 的夹角? 设 l1 , l2 的方向向量分别为 d1 , d 2 ,向量 d1 , d 2 的夹角为 ? ,直线 l1 , l2 的夹角为 ? .将直 线 l1 , l2 的方向向量 d1 , d 2 平移至同一起点,构成四种情形,如图.

y

d1
?

d2

l1

?
O

l2

x

当0 ?? ?

?
2

时, ? ? ? ;当

?
2

? ? ? ? 时, ? ? ? ? ? .于是, cos ? ? cos ? .

根据直线方程,可设它们的方向向量分别为: d1 ? ? ?b1 , a1 ? , d2 ? ? ?b2 , a2 ? .由夹角的 计算公式得: cos ? ?

d1 d 2 d1 d 2

?

a1a2 ? b1b2
2 2 a ? b12 a2 ? b2 2 1



于是,两条直线的夹角公式为: cos?

?

a1a2 ? b1b2
2 a1

? b12

2 a2

2 ? b2



已知这四个数就可以应用夹角 a1 , a2 , b1 , b2 分别是直线一般式方程中 x, y 前面的系数, 公式求两直线夹角的余弦.因为余弦函数在 0, ? 的. 例 1、已知两条直线的方程分别是: l1 : x ? 2 y ? 3 ? 0, 夹角 ? . 解:由题意: cos ? ?

? ?

??
2? ?

上单调递减,所以此时角 ? 是唯一确定

l2 : x ? 3 y ? 2 ? 0 ,求两条直线的

1?1 ? 2 ? ? ?3? 12 ? 22 12 ? (?3)2

?

2 , 2

?? ?

?
4

,即两直线的夹角为

? . 4
? 2 ? 6 ? 4

练习:求下列各组直线的夹角. (1) l1 : y ? 3x ?1, l2 : 3 y ? x ? 4 ? 0 (2) l1 : x ? 2 ? 0, l2 : 3x ? y ? 3 ? 0 (3) l1 : y ? x ? 1 ? 0, l2 : y ? 4

例 2、 已知直线 l1 : 3x ? y ? 0 与直线 kx ? y ? 1 ? 0 , 若直线 l1 和直线 l2 的夹角为 60 , 求k 的值. 解:由

1 ? 得 k ? 3或0 . 2 ? k 2 ?1 2

| 3k ? 1|

cos ? ? 0 得两直线的夹角为

? , 称两条直线相互垂直, 是两直线相交的一种特殊情形, 2
?
2

回顾夹角公式的推导过程你能否找到一个关于两直线垂直(板书)的命题? 当 a1a2 ? b1b2 ? 0 时, cos ? ? 0 ? ? ? ,此时,两直线相互垂直;反之,当两直线

垂 直 时 , 它 们 的 方 向 向 量 d1 ? ? ?b1 , a1 ? , d2 ? ? ?b2 , a2 ? 也 相 互 垂 直 , 所 以

d1 d2 ? b1b2 ? a1a2 ? 0 .两条直线垂直的充要条件是: a1a2 ? b1b2 ? 0 ;
当 k1 , k2 都存在时,两条直线垂直的充要条件是: k1 ? k2

? ?1 ;

所以两条直线垂直的充要条件也可为: k1 ? k2 ? ?1 或一条斜率不存在另一条的斜率为 零. 例 3、已知直线 l 经过点 P ?2, 3 ,且与直线 l0 : x ? 3 y ? 2 ? 0 的夹角为 方程. 解1:设直线 l 的一个法向量为 n ? ? a, b ? ,则直线 l 的点法向式方程为:

?

?

? ,求直线 l 的 3

a ? x ? 2? ? b y ? 3 ? 0
整理得: ax ? by ? 2a ? 3b ? 0 ,

?

?

由公式得:

a ? 3b

1 ? 3 a 2 ? b2 当 b ? 0 时,直线方程为: x ? 2 ? 0 ;

?

1 ? a ? 3b ? a 2 ? b 2 ? b 2 ? 3ab 2

当 b ? 0 时, b ? 3a ,直线方程为: x ? 3 y ?1 ? 0 ; 所以,直线 l 的方程为: x ? 3 y ?1 ? 0 或 x ? 2 ? 0 . 注意: 此处设直线的点法向式方程, 而不是点方向式方程或点斜式方程是因为只有点法向式 方程可以表示所有直线. 解 2:若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为: y ? 3 ? k ( x ? 2) . 则由题意:

3 1 . ? ,解得 k ? ? 3 k 2 ?1 ? 1? 3 2

k? 3

直线方程为: x ? 3 y ?1 ? 0 . 若直线 l 的斜率不存在,即方程为 x ? ?2 ;则直线 l 与直线 l0 的夹角为 所以,直线 l 的方程为: x ? 3 y ?1 ? 0 或 x ? 2 ? 0 . 解 3:设直线 l 的一般式方程为: ax ? by ? c ? 0 ( a , b 不同时为零) .

? ,满足题意. 3

? a ? ? ?2 ? ? b ? 3 ? c ? 0 ? ? 则由题意: ? a ? 3b 1 ,后解同解1. ? ? 2 2 2 ? ? 1? 3 a ? b

? ? ?? ?定义,? ? ?0, ? 2? ? 三、小结:1. 两条直线的夹角 ? . ? a1a2 ? b1b2 ?夹角公式 cos ? ? ? a12 ? b12 ? a2 2 ? b2 2 ?
2. 设直线方程时要依题而设,好中选优;利用画图、数形结合的方法.

课题:两条相交直线的夹角(学案)
【教学目标】 : 1、理解两条直线相交时,直线夹角与直线方向向量夹角的关系;掌握根据已知条件求出两条相 交直线的夹角; 2、理解两条直线垂直的充要条件. 3、体会数形结合的数学思想,培养思维能力. 【教学重点】 :两条相交直线的夹角. 【教学难点】 :夹角公式的应用. 【教学过程】 : 1. 两条直线的夹角: 平面上两条直线相交时构成两组对顶角.我们规定_____________________________为 两条相交直线的夹角. 规定:如果两条直线平行或重合,它们的夹角为_____. 两条相交直线的夹角 ? ?________________. 2. 夹角公式: 如果已知两条直线的方程分别为:

l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0

l2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0

(其中 a1 , b1 不同时为零, a2 , b2

不同时为零) .如何根据方程来求 l1 与 l2 的夹角?

两条相交直线的夹角公式为:___________________________________. 例 1、已知两条直线的方程分别是: l1 : x ? 2 y ? 3 ? 0, 夹角 ? .

l2 : x ? 3 y ? 2 ? 0 ,求两条直线的

练习:求下列各组直线的夹角. (1) l1 : y ? 3x ?1, l2 : 3 y ? x ? 4 ? 0 (2) l1 : x ? 2 ? 0, l2 : 3x ? y ? 3 ? 0 (3) l1 : y ? x ? 1 ? 0, l2 : y ? 4

例 2、 已知直线 l1 : 3x ? y ? 0 与直线 kx ? y ? 1 ? 0 , 若直线 l1 和直线 l2 的夹角为 60 , 求k 的值.

两条直线垂直的充要条件是:__________________________; 两条直线垂直的充要条件也可为:____________________________________.

例 3、已知直线 l 经过点 P ?2, 3 ,且与直线 l0 : x ? 3 y ? 2 ? 0 的夹角为 方程.

?

?

? ,求直线 l 的 3

【课堂小结】 两条直线的夹角: 【课后作业】

两条相交直线的夹角课后作业
1.求下列两组直线的夹角: (1) l1 : 3x ? y ? 0, l2 : x ? 3 y ? 2 ? 0 ;

? 6
(2) l1 : x ?1 ? 0, l2 : x ? y ? 5 ? 0 ;

? 4
(3) l1 : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 与 l 2 : x ? 3 .

arccos

3 5

2. 已知直线 l1 : ax ? y ?1 ? 0, l2 : x ? ay ? 2 ? 0 , 其中 a ? R 且 a ? 0 , 求直线 l1 与 l2 的夹角.

??

?
2

3. (1)已知直线 3x ? y ? 0 与直线 kx ? y ? 1 ? 0 的夹角为 60 ? ,求实数 k 的值.

k ? 0或k ? 3

(2)经过点(3,5) ,且与直线 3x ? 2 y ? 7 ? 0 之间成 45 ? 角的直线方程.

5x ? y ? 20 ? 0 或 x ? 5 y ? 22 ? 0

4.若直线 ?3a ? 2?x ? ?1 ? 4a ?y ? 8 ? 0 与直线 ?5a ? 2?x ? ?a ? 4?y ? 7 ? 0 互相垂直,求 a 的值. 0或1

5 . 已 知 等 腰 三 角 形 ABC 的 斜 边 AB 所 在 直 线 的 方 程 为 3x ? y ? 5 ? 0 , 直 角 顶 点 为

C ? 4, ?1? ,求两条直角边所在直线的方程.
2 x ? y ? 7 ? 0, x ? 2 y ? 6 ? 0

6. 已知 ?ABC 的三个顶点为 A(2,1), B(6,1), C (5,5) (1)求 ?ABC 中 ? A 的大小;(2)求 ? A 的平分线所在直线的方程. (1) A ? arccos

3 5

(2) x ? 2 y ? 0 .

两条相交直线的夹角课后作业
1.求下列两组直线的夹角: (1) l1 : 3x ? y ? 0, l2 : x ? 3 y ? 2 ? 0 ;

(2) l1 : x ?1 ? 0, l2 : x ? y ? 5 ? 0 ;

(3) l1 : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 与 l 2 : x ? 3 .

2. 已知直线 l1 : ax ? y ?1 ? 0, l2 : x ? ay ? 2 ? 0 ,其中 a ? R 且 a ? 0 ,求直线 l1 与 l2 的夹 角.

3. (1)已知直线 3x ? y ? 0 与直线 kx ? y ? 1 ? 0 的夹角为 60 ? ,求实数 k 的值.

(2)经过点(3,5) ,且与直线 3x ? 2 y ? 7 ? 0 之间成 45 ? 角的直线方程.

4.若直线 ?3a ? 2?x ? ?1 ? 4a ?y ? 8 ? 0 与直线 ?5a ? 2?x ? ?a ? 4?y ? 7 ? 0 互相垂直,求 a 的值.

5 . 已 知 等 腰 三 角 形 ABC 的 斜 边 AB 所 在 直 线 的 方 程 为 3x ? y ? 5 ? 0 , 直 角 顶 点 为

C ? 4, ?1? ,求两条直角边所在直线的方程.

6. 已知 ?ABC 的三个顶点为 A(2,1), B(6,1), C (5,5) (1)求 ?ABC 中 ? A 的大小;(2)求 ? A 的平分线所在直线的方程.


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