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历年高考数学圆锥曲线试题汇总


圆锥曲线解答题
解答题 1.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 ,椭圆 G 上 2

一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck : x 2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程 (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由.

【解析】 (1)设椭圆 G 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )半焦距为 c; a 2 b2

? 2a ? 12 ? a?6 ? ? 2 2 2 则?c , ?b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 3 , 解得 ? ?c ? 3 3 ? ? ? 2 ?a
所求椭圆 G 的方程为: (2 )点 AK 的坐标为 ? ?K , 2?

x2 y 2 ? ?1. 36 9

1 1 SV AK F1F2 ? ? F1 F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2
2 2 (3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k f 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外,

2 2 若 k ? 0 ,由 (?6) ? 0 ?12k ? 0 ? 21 ? 5 ?12k f 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;

? 不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.
2.(2009 全国卷Ⅰ理) (本小题满分 12 分) ............. (注意:在试题卷上作答无效) 如图,已知抛物线 E : y ? x 与圆 M : ( x ? 4) ? y ? r (r ? 0) 相交于 A 、 B 、 C 、 D 四
2 2 2 2

个点。 (I)求 r 得取值范围; (II)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC 、 BD 的交点 P 坐标 分析: (I)这一问学生易下手。将抛物线 E : y ? x 与圆 M : ( x ? 4) ? y ? r (r ? 0) 的方程
2 2 2 2

-1-

联立,消去 y 2 ,整理得 x ? 7 x ? 16 ? r ? 0 ....... ......(*)
2 2

抛物线 E : y 2 ? x 与圆 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点的充 要条件是:方程(*)有两个不相等的正根即可.易得 r ? ( 函数和方程的思想来处理也可以. (II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点. 设四个交点的坐标分别为 A( x1 , x1 ) 、 B( x1 , ? x1 ) 、 C ( x2 , ? x2 ) 、 D( x2 , x2 ) 。 则由(I)根据韦达定理有 x1 ? x2 ? 7, x1x2 ? 16 ? r 2 , r ? ( 则S ?

15 , 4) .考生利用数形结合及 2

15 , 4) 2

1 ? 2? | x2 ? x1 | ( x1 ? x2 ) ?| x2 ? x1 | ( x1 ? x2 ) 2

? S 2 ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? (7 ? 2 16 ? r 2 )(4r 2 ? 15)
令 16 ? r 2 ? t ,则 S 2 ? (7 ? 2t )2 (7 ? 2t ) 下面求 S 的最大值。
2

方法一:利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求,但在处理一些最值问题有时 很方便。 它的主要手段是配凑系数或常数, 但要注意取等号的条件, 这和二次均值类似。

1 S 2 ? (7 ? 2t ) 2 (7 ? 2t ) ? (7 ? 2t )(7 ? 2t )(14 ? 4t ) 2 1 7 ? 2t ? 7 ? 2t ? 14 ? 4t 3 1 28 3 ? ( ) ? ?( ) 2 3 2 3
当且仅当 7 ? 2t ? 14 ? 4t ,即 t ?

7 15 , 4) 满足题意。 时取最大值。经检验此时 r ? ( 6 2

方法二:利用求导处理,这是命题人的意图。具体解法略。 下面来处理点 P 的坐标。设点 P 的坐标为: P( x p ,0) 由 A、P、C 三点共线,则 以下略。

x1 ? x2 x1 7 ? 得 x p ? x1 x2 ? t ? 。 x1 ? x2 x1 ? x p 6

y 2 x2 3. 2009 浙江理) ( (本题满分 15 分) 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1, 0) , a b
过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 .

-2-

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)设点 P 在抛物线 C2 : y ? x2 ? h (h ? R) 上, C2 在点 P 处 的切线与 C1 交于点 M , N .当线段 AP 的中点与 MN 的中 点的横坐标相等时,求 h 的最小值.

?b ? 1 ?a ? 2 y2 ? 解析: (I)由题意得 ? b 2 ,? ? , 所求的椭圆方程为 ? x 2 ? 1, 4 ?2 ? ? 1 ?b ? 1 ? a
(II) 不妨设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), P(t , t 2 ? h), 则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y?
x?t

? 2t ,

直 线 MN 的 方 程 为 y ? 2 t x 2 t ? , 将 上 式 代 入 椭 圆 C1 的 方 程 中 , 得 ? h

4 x2 ? (2tx ? t 2 ? h)2 ? 4 ? 0 ,即 4 ?1 ? t 2 ? x 2 ? 4t (t 2 ? h) x ? (t 2 ? h) 2 ? 4 ? 0 ,因为直线 MN
4 2 2 与椭圆 C1 有两个不同的交点,所以有 ?1 ? 16 ? ?t ? 2(h ? 2)t ? h ? 4 ? ? 0 , ? ?

设线段 MN 的中点的横坐标是 x3 ,则 x3 ? 设线段 PA 的中点的横坐标是 x4 ,则 x4 ?

x1 ? x2 t (t 2 ? h) , ? 2 2(1 ? t 2 )

t ?1 ,由题意得 x3 ? x4 ,即有 t 2 ? (1 ? h)t ? 1 ? 0 , 2

其中的 ?2 ? (1 ? h)2 ? 4 ? 0,?h ? 1 或 h ? ?3 ;
4 2 2 2 当 h ? ?3 时有 h ? 2 ? 0, 4 ? h ? 0 ,因此不等式 ?1 ? 16 ? ?t ? 2(h ? 2)t ? h ? 4 ? ? 0 不成 ? ?

立;因此 h ? 1 ,当 h ? 1 时代入方程 t 2 ? (1 ? h)t ? 1 ? 0 得 t ? ?1 ,将 h ? 1, t ? ?1 代入不等式

?1 ? 16 ? ?t 4 ? 2(h ? 2)t 2 ? h 2 ? 4 ? ? 0 成立,因此 h 的最小值为 1. ? ?
4.(2009 浙江文) (本题满分 15 分)已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 上一点 A(m, 4) 到其焦
2

点的距离为

17 . 4

(I)求 p 与 m 的值; (II)设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t (t ? 0) ,过 P 的直线交 C 于另一点 Q ,交 x 轴于 点 M ,过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N .若 MN 是 C 的切线,求 t 的最小值. 解析(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程: y ? ?

p ,根据抛物线定义 2

点 A(m,4) 到焦点的距离等于它到准线的距离,即 4 ?

p 17 1 ? ,解得 p ? 2 4 2

? 抛物线方程为: x 2 ? y ,将 A(m,4) 代入抛物线方程,解得 m ? ?2

-3-

(Ⅱ)由题意知,过点 P(t , t 2 ) 的直线 PQ 斜率存在且不为 0,设其为 k 。 则 l PQ : y ? t 2 ? k ( x ? t ) ,当 y ? 0, x ? 联立方程 ?

? t 2 ? kt , k

则M(

? t 2 ? kt ,0) 。 k

? y ? t 2 ? k(x ? t) ,整理得: x 2 ? kx ? t (k ? t ) ? 0 2 x ?y ?

即: ( x ? t )[x ? (k ? t )] ? 0 ,解得 x ? t , 或 x ? k ? t

? Q(k ? t , (k ? t ) 2 ) ,而 QN ? QP ,? 直线 NQ 斜率为 ?

1 k

? l NQ

1 ? 1 ? y ? ( k ? t ) 2 ? ? [ x ? (k ? t )] : y ? (k ? t ) ? ? [ x ? (k ? t )] ,联立方程 ? k k ? x2 ? y ?
2 2

整理得: x ?

1 1 x ? (k ? t ) ? (k ? t ) 2 ? 0 ,即: kx 2 ? x ? (k ? t )[k (k ? t ) ? 1] ? 0 k k k (k ? t ) ? 1 ,或 x ? k ? t k

[kx ? k (k ? t ) ? 1][x ? (k ? t )] ? 0 ,解得: x ? ?

? N (?

k (k ? t ) ? 1 [k (k ? t ) ? 1]2 , ) ,? K NM k k2

[k (k ? t ) ? 1] 2 (k 2 ? kt ? 1) 2 k2 ? ? k (k ? t ) ? 1 ? t 2 ? kt k (t 2 ? k 2 ? 1) ? ? k k
? ? 2k ( k ? t ) ? 2 k
整 理 得

而抛物线在点 N 处切线斜率: k 切 ? y ?

k ( k ?t ) ?1 x?? k

? MN 是 抛 物 线 的 切 线 , ?
k 2 ? tk ? 1 ? 2t 2 ? 0

(k 2 ? kt ? 1) 2 ? 2k (k ? t ) ? 2 , ? k k (t 2 ? k 2 ? 1)

2 2 2 ,或 ? ? ? t 2 ? 4(1 ? 2t 2 ) ? 0 ,解得 t ? ? (舍去) t ? ,? t min ? 3 3 3
5.(2009 北京文) (本小题共 14 分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 。 2 a b 3

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆

x 2 ? y 2 ? 5 上,求 m 的值.
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.
-4-

? a2 3 ? ? ?c 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 , (Ⅰ)由题意,得 ? ?c ? 3 ?a ?
∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2 2 2

2

y2 ? 1. 2

(Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 由? 得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 (判别式 ? ? 0 ), 2 ?x ? y ? m ? 0 ?
∴ x0 ?

x1 ? x2 ? m, y0 ? x0 ? m ? 2m , 2

∵点 M ? x0 , y0 ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 5 上,
2 ∴ m ? ? 2m ? ? 5 ,∴ m ? ?1 . 2

6.(2009 北京理) (本小题共 14 分) 已知双曲线 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 2 a b 3

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程;

l (Ⅱ) 设直线 l 是圆 O : x ? y ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线, 与双曲线 C 交
2 2

于不同的两点 A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值. 【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.

? a2 3 ? ? ? 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 , (Ⅰ)由题意,得 ? c ?c ? 3 ?a ?
∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2 2 2

2

y2 ? 1. 2

(Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0? 在圆 x ? y ? 2 上,
2 2

圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ? x ? x0 ? , y0

-5-

化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 2 2 2 由? 及 x0 ? y0 ? 2 得 ? 3 x0 ? 4 ? x ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0 , 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0
2 ∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x0 ? 2 ,
2 2 2 2 ∴ 3x0 ? 4 ? 0 ,且 ? ? 16 x0 ? 4 3 x0 ? 4 8 ? 2 x0 ? 0 ,

?

??

?

设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,

4 x0 8 ? 2 x2 , x1 x2 ? 2 0 , 2 3x0 ? 4 3x0 ? 4 ??? ??? ? ? OA ? OB ∵ cos ?AOB ? ??? ??? ,且 ? ? OA ? OB
则 x1 ? x2 ?

??? ??? ? ? 1 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 ? 2 ? x0 x1 ?? 2 ? x0 x2 ? , y0 ? x1 x2 ? 1 2 ? 4 ? 2 x0 ? x1 ? x2 ? ? x0 x1 x2 ? 2 ? ? 2 ? x0

2 2 2 2 x0 ?8 ? 2 x0 ? ? 8 ? 2 x0 8 x0 1 ? ?4 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 2 3x0 ? 4 2 ? x0 ? 3x0 ? 4 3x0 ? 4 ? ? ?

??

2 2 8 ? 2 x0 8 ? 2 x0 ? 2 ? 0. 2 3x0 ? 4 3x0 ? 4

? ∴ ?AOB 的大小为 90 .

【解法 2】 (Ⅰ)同解法 1. (Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0? 在圆 x2 ? y 2 ? 2 上, 圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ? x ? x0 ? , y0

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .由 ? 及 x0 ? y0 ? 2 得 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0

? 3x

2 0

2 ? 4 ? x 2 ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0



-6-

? 3x

2 0

2 ? 4 ? y 2 ? 8 y0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0



2 ∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x0 ? 2 ,
2 ∴ 3x0 ? 4 ? 0 ,设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,
2 2 8 ? 2 x0 2 x0 ? 8 则 x1 x2 ? 2 , , y1 y2 ? 2 3x0 ? 4 3x0 ? 4
? ∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,∴ ?AOB 的大小为 90 .

??? ??? ? ?

2 2 2 2 2 (∵ x0 ? y0 ? 2 且 x0 y0 ? 0 ,∴ 0 ? x0 ? 2,0 ? y0 ? 2 ,从而当 3x0 ? 4 ? 0

时,方程①和方程②的判别式均大于零). 7.(2009 江苏卷) (本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2) ,其焦点 F 在 x 轴上。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点,ME=2DM,记 D 和 E 两点间的距离为 f ( m) ,求 f ( m) 关于 m 的表达式。 【解析】 [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本 知识,考查运算求解能力。满分 10 分。

-7-

8.(2009 山东卷理)(本小题满分 14 分) 设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

(I)求椭圆 E 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ??? ? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。
解:(1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

2 ?4 ?1 1 ? a 2 ? b2 ? 1 ? a2 ? 8 ?a 2 ? 8 x2 y 2 ? ? ? ?1 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 6 1 1 1 8 4 b ?4 ? ? ? ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4 ? ?
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

? y ? kx ? m ??? ??? ? ? ? OA ? OB , 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y ? kx ? m 解 方 程 组 ? x 2 y 2 得 ?1 ? ? 4 ?8

x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k ? m ? 4 ? 0
2 2

-8-

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ?

,

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 ? ? m2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

??? ??? ? ? 2m2 ? 8 m2 ? 8k 2 ? ? 0 ,所以 3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 , 要使 OA ? OB ,需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
所以 k ?
2

? m2 ? 2 8 3m2 ? 8 2 6 2 ? 0 又 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 ,所以 ? 2 ,所以 m ? ,即 m ? 或 3 8 3 ?3m ? 8

m??

2 6 , 因 为 直 线 y ? kx? m为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为 3

r?

m 1? k 2

,r ?
2

m2 ? 1? k 2

8 m2 8 2 6 2 2 ? ,r ? ,所求的圆为 x ? y ? ,此时圆的 2 3m ? 8 3 3 3 1? 8

切 线 y ? k x? m都 满 足 m ?

2 6 2 6 或 m?? ,而当切线的斜率不存在时切线为 3 3

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 ? ? 1 的两 个交点为 ( ,? ) 或 (? ,? ) 满足 与椭圆 8 4 3 3 3 3 3 ??? ??? ? ? 8 OA ? OB,综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 3 ??? ??? ? ? 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB .

x??

4km ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 因为 ? , 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) 所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? (? , ) ? 4? ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 )2
2 2

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? y1 ? y2 ? ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? k 2 )
2

8(8k 2 ? m 2 ? 4) (1 ? 2k 2 ) 2

?

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? 4 ? [1 ? 4 ], 3 4k ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1
-9-

①当 k ? 0 时 | AB |?

32 1 [1 ? ] 1 3 4k 2 ? 2 ? 4 k

因为 4k ?
2

1 ? 4 ? 8 所以 0 ? k2

1 1 ? , 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k

所以

32 32 1 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k
4 2 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 时取”=”. 3 2

所以

② 当 k ? 0 时, | AB |?

4 6 . 3 2 6 2 6 2 6 2 6 ,? )或 ( ? ,? ) ,所以此时 3 3 3 3

③ 当 AB 的 斜 率 不 存 在 时 , 两 个 交 点 为 (

| AB |?

4 6 , 3
4 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |? [ 6, 2 3] 3 3

综上, |AB |的取值范围为

【命题立意】 :本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的 位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数 问题以及方程的根与系数关系. 9. (2009 山东卷文)(本小题满分 14 分) 设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? (mx, y ? 1) ,向量 b ? ( x, y ? 1) , a ? b ,动点

?

?

?

?

M ( x, y) 的轨迹为 E.
(1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 m ?

1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 4

A,B,且 OA ? OB (O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 m ?

1 2 2 2 ,设直线 l 与圆 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1, 4

当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:(1)因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ?1) , 所以 a ? b ? mx2 ? y 2 ?1 ? 0 ,

?

? ?

?

? ?

即 mx ? y ? 1 .
2 2

- 10 -

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. (2).当 m ?

1 x2 ? y 2 ? 1,设圆心在原点的圆的一条切线为 y ? kx ? t ,解方 时, 轨迹 E 的方程为 4 4

? y ? kx ? t ? 程组 ? x 2 得 x2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 ,即 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 64k 2t 2 ?16(1 ? 4k 2 )(t 2 ?1) ? 16(4k 2 ? t 2 ? 1) ? 0 ,

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? 4k ? 1 ,
2 2 2 2

8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 ? 且? 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
k 2 (4t 2 ? 4) 8k 2t 2 t 2 ? 4k 2 , ? ? t2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? k 2 x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?
要使 OA ? OB ,

??? ?

??? ?

需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即
2 2

4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4 ? ? ? 0, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2 2

所以 5t ? 4k ? 4 ? 0 ,
2 2

即 5t ? 4k ? 4 且 t ? 4k ? 1 ,

即 4k ? 4 ? 20k ? 5 恒成立.
2 2

所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线,

4 (1 ? k 2 ) 4 t 4 2 5 所以圆的半径为 r ? ,r ? ? ? , 所求的圆为 x 2 ? y 2 ? . 2 2 2 5 1? k 1? k 5 1? k
t
2

当切线的斜率不存在时,切线为 x ? ?

2 2 2 x2 5 ,与 5) 或 ? y 2 ? 1 交 于 点 ( 5 ,? 5 5 5 4

(?

2 2 5 ,? 5 ) 也满足 OA ? OB . 5 5
2 2

综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ? 且 OA ? OB .

4 , 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 5

??? ?

??? ?

- 11 -

(3)当 m ?

1 x2 ? y 2 ? 1 ,设直线 l 的方程为 y ? kx ? t ,因为直线 l 与圆 时,轨迹 E 的方程为 4 4

C: x 2 ? y 2 ? R2 (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R ? 因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,

t 1? k
2

,

即 t 2 ? R2 (1 ? k 2 )

①,

? y ? kx ? t ? 由(2)知 ? x 2 得 x2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 , 2 ? ? y ?1 ?4
即 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 有唯一解 则△= 64k 2t 2 ?16(1 ? 4k 2 )(t 2 ?1) ? 16(4k 2 ? t 2 ? 1) ? 0 , 即 4k ? t ? 1 ? 0 ,
2 2



? 2 3R 2 t ? ? ? 4 ? R2 由①②得 ? , 2 ?k 2 ? R ? 1 ? ? 4 ? R2

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,

8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 4t 2 ? 4 16 R 2 ? 16 ? 2 ? 由? 中 x1 ? x 2 ,所以, x1 ? , 2 1 ? 4k 2 3R 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y1 ? 1 ?
2

4 1 2 4 ? R2 2 2 2 x1 ? ,所以 | OB1 | ? x1 ? y1 ? 5 ? 2 , 2 R 4 3R
2 2 2

在 直 角 三 角 形 OA1B1 中 , | A1 B1 | ?| OB1 | ? | OA1 | ? 5 ?

4 4 ? R2 ? 5 ? ( 2 ? R2 ) 因 为 2 R R

4 ? R 2 ? 4 当且仅当 R ? 2 ? (1, 2) 时取等号,所以 | A1B1 |2 ? 5 ? 4 ? 1 ,即 R2
当 R ? 2 ? (1,2) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1. 【命题立意】 :本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通 过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 10.(2009 江苏卷) (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 . (1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直 线 l 的方程;

- 12 -

(2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分别与 圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所 有满足条件的点 P 的坐标。 【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,考查数学运算求解能力、 综合分析问题的能力。满分 16 分。 (1)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 42 ? ( 结合点到直线距离公式,得:

2 3 2 ) ? 1, 2

| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1
7 24

? 1,

化简得: 24k ? 7k ? 0, k ? 0, or , k ? ?
2

求直线 l 的方程为: y ? 0 或 y ? ?

7 ( x ? 4) ,即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 24

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:

1 1 1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? m ? 0 k k k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定 理,得: :圆心 C1 到直线 l1 与 C2 直线 l2 的距离相等。 故有: | ?3k ? 1 ? n ? km |

k 2 ?1

4 1 | ? ?5? n? m| k , ? k 1 ?1 k2

化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3, 或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

?2 ? m ? n ? 0 ?m-n+8=0 ,或? ?m ? n ? 3 ? 0 ?m+n-5=0

解之得:点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。 2 2 2 2 11.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 12 分)
x2 y2 已知椭圆 C: a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为

3 3 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B
2 2

两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 2 (Ⅰ)求 a,b 的值;
2

- 13 -

(Ⅱ)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。 解析:本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距离公 式以及椭圆有关关系式计算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数关系解 决问题,注意特殊情况的处理。 解: (Ⅰ)设 F ?c,0?, 当 l 的斜率为 1 时,其方程为 x ? y ? c ? 0, O 到 l 的距离为

?

?

?

0?0?c 2


?

c 2

c 2

?

2 , c ?1 2

由 e? 得 a?

c 3 ? a 3

3 , b ? a2 ? c2 = 2

(Ⅱ)C 上存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立。 由 (Ⅰ)知 C 的方程为 2x + 3y =6. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ). (ⅰ) 当l不垂直x轴时,设 的方程为y ? k ( x ? 1) l C 上的点P使OP ? OA ? OB 成立的充要条件是 P点的坐标为( 1 ? x2 , y1 ? y2) 且 , x
2

2

2( x1 ? x2 ) 2 ? 3( y1 ? y2 ) 2 ? 6
整理得 2x1 ? 3 y1 ? 2x2 ? 3 y2 ? 4x1 x2 ? 6 y1 y2 ? 6
2 2 2 2

又A、B在C上,即 2 x1 ? 3 y1
2

2

? 6,2 x 2 ? 3 y 2 ? 6
2 2



2 x1 x2 ? 3 y1 y 2 ? 3 ? 0
2 2



将 y ? k ( x ? 1)代入2x ? 3 y ? 6, 并化简得

(2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0
于是 x1 ? x 2 ?

6k 2 3k 2 ? 6 , x1 x2 = , 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

- 14 -

y1 y 2 ? k 2 ( x1 ? 1)(x 2 ? 2) ?

? 4k 2 2 ? 3k 2
3 2

2 代入①解得, k ? 2 ,此时 x1 ? x 2 ?

于是 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) = ? 因此, 当 k ? ? 2 时, P( ,

k 3 k , 即 P ( ,? ) 2 2 2

3 2

2 ) , l的方程为 2x ? y ? 2 ? 0 ; 2

当k ?

3 2 2 时, P( ,? ) , l的方程为 2x ? y ? 2 ? 0 。 2 2

(ⅱ) l 垂直于 x 轴时, OA ? OB ? (2,0) 知, 上不存在点 P 使 OP ? OA ? OB 当 由 C 成立。 综上,C 上存在点 P( ,?

3 2

2 ) 使 OP ? OA ? OB 成立,此时 l 的方程为 2

2x ? y ? 2 ? 0 .
12.( 2009 广 东 卷 理 ) (本小题满分 14 分) 已 知 曲 线 C : y ? x2 与 直 线 l : x ? y ? 2 ? 0 交 于 两 点 A( xA , yA ) 和 B( xB , yB ) , 且

xA ? xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为
D .设点 P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合.
(1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程;

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25 1 5 2 解: (1)联立 y ? x 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, x B ? 2 ,则 AB 中点 Q ( , ) ,设线段 PQ 的中 2 2 1 5 ?s ?t 1 5 点 M 坐标为 ( x, y ) , x ? 2 则 , s ? 2x ? , t ? 2 y ? , 即 又点 P 在曲线 C 上, ,y ? 2 2 2 2 2 5 1 2 11 2 ∴ 2 y ? ? (2 x ? ) 化简可得 y ? x ? x ? ,又点 P 是 L 上的任一点,且不与点 A 和点 2 2 8 1 1 5 11 B 重合,则 ? 1 ? 2 x ? ? 2 ,即 ? ? x ? ,∴中点 M 的轨迹方程为 y ? x 2 ? x ? 2 4 4 8 1 5 ( ? ? x ? ). 4 4
(2)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?
2 2 2

- 15 -

y
xB xA D

o

x
2 2 2

(2)曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 即圆 E : ( x ? a ) ? ( y ? 2) ?
2 2

51 ?0, 25

7 49 ,其圆心坐标为 E (a,2) ,半径 r ? 5 25 51 2 2 2 ? 0 与点 D 有公共点; 由图可知, 0 ? a ? 2 时, 当 曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 25 51 2 2 2 ? 0 与点 D 有公共点, 当 a ? 0 时, 要使曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 只需圆心 E 25

到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

|a?2?2| 2

?

|a| 2

?

7 7 2 ,得 ? ? a ? 0 ,则 a 的最小值 5 5

为?

7 2 . 5

13.(2009 安徽卷理) (本小题满分 13 分) 点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 与直线 l1 :

? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上, x0 ? a cos ? , y0 ? b sin ? , 0 ? ? ? . 直线 l2 2 2 a b

x0 y0 x ? 2 y ? 1 垂直,O 为坐标原点,直线 OP 的倾斜角为 ? ,直线 l2 的倾斜角为 ? . 2 a b

x2 y 2 (I)证明: 点 P 是椭圆 2 ? 2 ? 1 与直线 l1 的唯一交点; a b
(II)证明: tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列. 解:本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程,直线和曲线的几何性质,等比数列 等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分 13 分。

x0 y0 x2 y 2 b2 2 解: (方法一)由 2 x ? 2 y ? 1 得 y ? 2 (a ? x0 x), 代入椭圆 2 ? 2 ? 1 , (I) a b a b a y0
得(

1 b2 x0 2 2 2b2 x0 b2 ? 4 2 ) x ? 2 x ? ( 2 ? 1) ? 0 . a 2 a y0 a y0 y0

将?

? x0 ? a cos ? 2 2 2 代入上式,得 x ? 2a cos ? ? x ? a cos ? ? 0, 从而 x ? a cos ? . y0 ? b sin ? ?

- 16 -

? x2 y 2 ? a 2 ? b2 ? 1 ? x ? x0 ? 因此,方程组 ? 有唯一解 ? ,即直线 l1 与椭圆有唯一交点 P. ? y ? y0 ? x0 x ? y0 y ? 1 ? a2 b2 ?
(方法二)显然 P 是椭圆与 l1 的交点,若 Q (a cos ?1 , b sin ?1 ),0 ? ?1 ? 2? 是椭圆与 l1 的交点, 代入 l1 的方程

cos ? sin ? x? y ? 1 ,得 cos ? cos ?1 ? sin ? sin ?1 ? 1, a b

即 cos(? ? ?1 ) ? 1, ? ? ?1 , 故 P 与 Q 重合。

(方法三)在第一象限内,由

b 2 b 2 x2 y 2 a ? x 2 , y0 ? a ? x0 2 , ? 2 ? 1 可得 y ? 2 a a a b

椭圆在点 P 处的切线斜率 k ? y ?( x0 ) ? ?

bx0 a a 2 ? x0 2

??

b 2 x0 , a 2 y0

切线方程为 y ? ?

xx y y b2 x0 ( x ? x0 ) ? y0 , 即 02 ? 02 ? 1 。 2 a b a y0

因此, l1 就是椭圆在点 P 处的切线。 根据椭圆切线的性质,P 是椭圆与直线 l1 的唯一交点。

y0 b x0b2 y0 a 2 a (II) tan ? ? ? tan ? , l1 的斜率为 ? , l2 的斜率为 tan ? ? ? tan ? , x0 a y0 a 2 x0b2 b
由此得 tan ? tan ? ? tan
2

? ? 0, tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列。

14.(2009 安徽卷文)(本小题满分 12 分)

已知椭圆

(a>b>0)的离心率为

,以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的

圆与直线 y=x+2 相切, (Ⅰ)求 a 与 b; (Ⅱ)设该椭圆的左,右焦点分别为 垂直, 交 与点 p..求线段 P 【思路】 (1)由椭圆 和 ,直线 过 且与 x 轴垂直,动直线 与 y 轴

垂直平分线与 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型。

x2 y2 c 3 ? 2 ? 1中a 2 ? b2 ? c 2 及e ? ? 建立 a、b 等量关系,再根据直线 2 a 3 a b 与椭圆相切求出 a、b.

(2)依据几何关系转化为代数方程可求得,这之中的消参就很重要了。

- 17 -

【 解 析 】 1 ) 由于 e ? (

3 3

∴ e2 ?

c 2 a 2 ? b2 1 ? ? 3 a2 a2



b2 2 ? a2 3

又b?

2 1?1

? 2



b =2,a =3 因此, a ? 3 . b= 2 .
2 2

(2)由(1)知 F1,F2 两点分别为(-1,0)(1,0) , ,由题意可设 P(1,t).(t≠0).那么线 段

t PF1 中 点 为 N (0, ) , 设 2

M(x 、 y) 是 所 求 轨 迹 上 的 任 意 点 . 由 于

? ? ? ?? t M N ( ? x ? , 2

???? ???? ? ? ? ? ? ? MN ? PF1 ? 2 x ? t ( y ? t ) ? 0 ? 则? , 消去参数 t 得 y2 ? ?4 x( x ? 0) ? ) 1. P F ? ( ? t y ? 2 ) 2 ?y ? t ?

,其轨迹为抛物线(除原点) 15.(2009 江西卷文) (本小题满分 14 分) 如图,已知圆 G : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 是椭圆 圆的左顶点. (1)求圆 G 的半径 r ;

x2 ? y 2 ? 1的内接△ ABC 的内切圆, 其中 A 为椭 16 y

M
A

(2)过点 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点, 证明:直线 EF 与圆 G 相切.

B

F

0
E

. G

x
C

解: (1)设 B(2 ? r, y0) ,过圆心 G 作 GD ? AB 于 D , BC 交长轴于 H 由

GD HB y r ? 得 ? 0 , 2 AD AH 6?r 36 ? r



y0 ?

r 6?r 6?r
2

(1)

而点 B(2 ? r, y0) 在椭圆上, y0 ? 1 ?

(2 ? r )2 12 ? 4r ? r 2 (r ? 2)(r ? 6) ? ?? 16 16 16
2 6 或 r ? ? (舍去) 3 5

(2)

2 由(1)、 (2)式得 15r ? 8r ? 12 ? 0 ,解得 r ?

(2) 设过点 M(0,1) 与圆 ( x ? 2) ? y ?
2 2

4 相切的直线方程为: y ? 1 ? kx 9
(4)

(3)



2 2k ? 1 2 ,即 32k ? 36k ? 5 ? 0 ? 2 3 1? k
?9 ? 41 ?9 ? 41 , k2 ? 16 16

解得 k1 ?

- 18 -

将(3)代入

32k x2 ? y 2 ? 1得 (16k 2 ? 1) x2 ? 32kx ? 0 ,则异于零的解为 x ? ? 16k 2 ? 1 16

设 F ( x1 , k1 x1 ? 1) , E ( x2 , k2 x2 ? 1) ,则 x1 ? ?

32k1 32k2 , x2 ? ? 2 16k1 ? 1 16k2 2 ? 1

则直线 FE 的斜率为: kEF ?

k2 x2 ? k1 x1 k ?k 3 ? 1 2 ? x2 ? x1 1 ? 16k1k2 4

于是直线 FE 的方程为: y ? 即y?

32k12 32k1 3 ?1 ? ( x ? ) 2 16k1 ? 1 4 16k12 ? 1

3 7 x? 4 3

3 7 ? 2 2 3 ? 则圆心 (2, 0) 到直线 FE 的距离 d ? 3 9 1? 16
故结论成立. 16.(2009 江西卷理) (本小题满分 12 分) 已知点 P ( x0 , y0 ) 为双曲线 1

x2 y2 ? ? 1 ( b 为正常数)上任一 8b 2 b 2
P

y

点, F2 为双曲线的右焦点,过 P1 作右准线的垂线,垂足为 A ,连接

P 2
A

F2 A 并延长交 y 轴于 P2 .
(1) 求线段 P1 P 的中点 P 的轨迹 E 的方程; 2 (2) 设 轨 迹 E 与 x 轴 交 于 B、D 两 点 , 在 E 上 任 取 一 点

P1 F1
O

F2

x

Q x1 , y1)y1 ? 0) ,直线 QB,QD 分别交 y 轴于 M ,N 两点. ( (
求证:以 MN 为直径的圆过两定点.

( 0),( b,y0) A 解: (1) 由已知得 F2 3b, ,则直线 F2 A 的方程为: y ? ?
令 x ? 0 得 y ? 9 y0 ,即 P (0,9 y0 ) , 2

8 3

3 y0 ( x ? 3b) , b

x0 ? ? x0 ? 2 x ? x? 2 x2 y2 4 x2 y2 ? ? ?1, ( 设 P x,y) ? ,则 ,即 ? 代入 0 2 ? 02 ? 1 得: 2 ? y 8b b 8b 25b2 y0 ? ? y ? y0 ? 9 y0 ? 5 y ? 5 ? 0 ? ? 2
- 19 -

即 P 的轨迹 E 的方程为

x2 y2 ? ?1. 2b2 25b2

(2) 在

x2 y2 ? ? 1 中令 y ? 0 得 x 2 ? 2b2 ,则不妨设 B - 2b, ( 0),D 2b, , ( 0) 2b2 25b2

于是直线 QB 的方程为: y ?

y1 y1 ( x ? 2b) , 直线 QD 的方程为: y ? ( x- 2b) , x1 ? 2b x1 - 2b

则 M 0, (

2by1 - 2by1 , ),N 0, ( ) x1 ? 2b x1 - 2b 2by1 2by1 )(y ? ) 0 , ? x1 ? 2b x1 - 2b

则以 MN 为直径的圆的方程为: x 2 ? y (

2 2 x2 y2 2b2 y12 y1 , ? 1 上,则 x12 ? 2b 2 ? 令 y ? 0 得: x ? 2 ,而 Q x1 , y1) 在 2? ( 2 2 25 2b 25b x1 ? 2b
2

于是 x ? ?5b ,即以 MN 为直径的圆过两定点 (?5b,0),(5b,0) . 17.(2009 天津卷文) (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) , 过 点 a2 b2

E(

a2 ,0) 的直线与椭圆相交于点 A,B 两点,且 F1 A // F2 B, | F1 A |? 2 | F2 B | c
(Ⅰ求椭圆的离心率 (Ⅱ)直线 AB 的斜率; (Ⅲ)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 F2 B 上有一点 H(m,n)( m ? 0 )在 ?AF1C 的

外接圆上,求

n 的值。 m

【答案】 (1) e ?

c 3 2 n 2 2 ? (2) k ? ? (3) ? a 3 3 m 5

【解析】 (1)解:由 F1 A // F2 B, | F1 A |?| F2 B | ,得

| EF2 | | F2 B | 1 ? ? ,从而 | EF1 | | F1 A | 2

a2 ?c 1 c 3 c ? ,整理得 a 2 ? 3c 2 ,故离心率 e ? ? 2 2 a a 3 ?c c

- 20 -

(2)解:由(1)知, b ? a ? c ? 2c ,所以椭圆的方程可以写为 2x 2 ? 3 y 2 ? 6c 2
2 2 2 2

设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?

a2 ) 即 y ? k ( x ? 3c) c

由已知设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) 则它们的坐标满足方程组 ?

? y ? k ( x ? 3c)
2 2 2 ?2 x ? 3 y ? 6c

消去 y 整理,得 (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 18k 2 cx ? 27k 2 c 2 ? 6c 2 ? 0 依题意, ? ? 48c (1 ? 3k ) ? 0,?
2 2

3 3 ?k? 3 3

而 x1 ? x 2 ?

18k 2 27k 2 c 2 ? 6c 2 , x1 x2 ? ,有题设知,点 B 为线段 AE 的中点,所以 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

x1 ? 3c ? 2 x2
9k 2 c ? 2c 9k 2 c 2 ? 2c 2 , x2 ? 联 立 三 式 , 解 得 x1 ? ,将结果代入韦达定理中解得 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

k ??

2 3
3c 2 ,当 k ? ? 时,得 A (0, 2c) 由已知得 C(0,? 2c) 2 3
c 2c 2 c ?? ( x ? ), 直线 l 与 x 轴的交点 ( ,0) 是 2 2 2 2

(3)由(2)知, x1 ? 0, x 2 ?

线段 AF1 的垂直平分线 l 的方程为 y ?

c c ?AF1C 的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ( ? c) 2 2 2

? c 2 9c 2 2 ?(m ? ) ? n ? 直线 F2 B 的方程为 y ? 2 ( x ? c) ,于是点 H (m, n) 满足方程组 ? 2 4 ?n ? 2 ( m ? c ) ?
由 m ? 0 ,解得 m ?

5c 2 2c n 2 2 ,n ? ,故 ? 3 2 m 5

当k ?

2 n 2 2 时,同理可得 ? 3 m 5

【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,圆的方程等基础 知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想,考查运算能力和推理能力。

- 21 -

18.(2009 湖北卷理)(本小题满分 14 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的对称轴上一点 A? a,0?? a ? 0? 的直线与抛物线相交于 M、N 两点,自 M、N 向直线 l : x ? ? a 作垂线,垂足分别为 M 1 、 N1 。 (Ⅰ)当 a ? (Ⅱ)记

p 时,求证: AM1 ⊥ AN1 ; 2

?AMM1 、 ?AM1 N1 、 ?ANN1 的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 ,是否存在 ? ,

2 使得对任意的 a ? 0 ,都有 S2 ? ? S1S2 成立。若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由。

20 题。本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识,考查综合运用 数学知识进行推理运算的能力。 (14 分) 解:依题意,可设直线 MN 的方程为 x ? my ? a, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则有

M (?a, y1 ), N (?a, y2 )
由?

? x ? my ? a ? y ? 2 px
2

消去 x 可得 y 2 ? 2mpy ? 2ap ? 0

从而有 ?

? y1 ? y2 ? 2mp ? y1 y2 ? ?2ap



于是 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2a ? 2(m2 p ? a)



( y1 y2 )2 (?2ap)2 又由 y ? 2 px1 , y ? 2 px2 可得 x1 x2 ? ? ? a2 2 2 4p 4p
2 1 2 1



p p p 时,点 A( , 0) 即为抛物线的焦点, l 为其准线 x ? ? 2 2 2 P P 此时 M 1 ( ? , y1 ), N1 ( ? , y2 ), 并由 ①可得 y1 y2 ? ? p 2 2 2 uuuu v uuuv 证法 1: Q AM1 ? (? p, y1 ), AN1 ? (? p, y2 )
(Ⅰ)如图 1,当 a ?

uuuu uuuv v ? AM1 ? AN1 ? p2 ? y1 y2 ? p2 ? p2 ? 0,即AM1 ? AN1
Q K AM1 ? ? y1 y , K AN1 ? ? 2 , p p

证法 2:

- 22 -

? K AM1 ? K AN1 ?

y1 y2 p2 ? ? 2 ? ?1,即AM1 ? AN1. p2 p

2 (Ⅱ)存在 ? ? 4 ,使得对任意的 a ? 0 ,都有 S2 ? 4S1S3 成立,证明如下:

证法 1:记直线 l 与 x 轴的交点为 A ,则 OA ? OA ? a 。于是有 1 1

1 1 S1 ? ? MM 1 ? A1M 1 ? (x1 ? a) y1 2 2 1 S2 ? ? M 1 N1 ? AA1 ? a y1 ? y2 2 1 1 S3 ? ? NN1 ? A1 N1 ? (x2 ? a ) y2 2 2
2 ? S2 ? 4S1S3 ? (a y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? a ) y1 ? ( x2 ? a ) y2

? a 2 [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? [ x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 ] y1 y2
将①、②、③代入上式化简可得

a2 (4m2 p2 ? 8ap) ? 2ap(2am2 p ? 4a2 ) ? 4a2 p(m2 p ? 2a)
2 上式恒成立,即对任意 a ? 0, S2 ? 4S1S3 成立

证法 2:如图 2,连接 MN1 , NM1 ,则由 y1 y2 ? ?2ap, y12 ? 2 px1 可得

KOM ?

y1 2 p 2 py2 2 py2 y2 ? ? ? ? ? KON1 ,所以直线 MN1 经过原点 O, x1 y1 y1 y2 ?2ap ?a

同理可证直线 NM1 也经过原点 O 又 OA ? OA ? a 设 M1 A ? h1, N1 A ? h2 , MM1 ? d1 , NN1 ? d2 , 则 1 1 1

- 23 -

S1 ?

1 1 1 d1h1 , S 2 ? ? 2a (h1 ? h2 ) ? a (h1 ? h2 ), S3 ? d 2 h2 . 2 2 2

19.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,离心率 e ? ,右准线 2 a b 2

方程为 x ? 2 。 (I)求椭圆的标准方程; (II) 过点 F 的直线 l 与该椭圆交于 M 、N 两点, F2 M ? F2 N ? 且 1

????? ???? ?

2 26 , 求直线 l 的方程。 3

?c 2 ? ? ?a 2 ,解得 a ? 2, c ? 1 【解析】 (I)由已知得 ? 2 ?a ? 2 ?c ?
∴ b ? a2 ? c2 ? 1

x2 ? y2 ? 1 ∴ 所求椭圆的方程为 2
(II)由(I)得 F1 (?1,0) 、 F2 (1, 0)

?????????????4 分

? x ? ?1 2 ? ①若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x ? ?1 ,由 ? x 2 得y?? 2 2 ? ? y ?1 ?2
设 M (?1,

2 2 ) 、 N (?1, ? ), 2 2
2 2 ) ? (?2, ? ) ? (?4, 0) ? 4 ,这与已知相矛盾。 2 2

∴ F2 M ? F2 N ? (?2,

????? ???? ?

②若直线 l 的斜率存在,设直线直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 ,消元得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2


x1 ? x2 ?

?4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

- 24 -



y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ?

又∵ F2 M ? ( x1 ?1, y1 ), F2 N ? ( x2 ?1, y2 ) ∴

?????

???? ?

2k , 1 ? 2k 2

????? ???? ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 )
2 2 ????? ???? ? ? 8k 2 ? 2 ? ? 2k ? 2 26 2 2 F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2) ? ( y1 ? y2 ) ? ? ?? ? 2 ? 2 ? 3 ? 1 ? 2k ? ? 1 ? 2 k ?
4 2



化简得 40k ? 23k ? 17 ? 0 解得 k ? 1或k ? ?
2 2

17 (舍去) 40
?????????????12 分



k ? ?1

∴ 所求直线 l 的方程为 y ? x ? 1或y ? ? x ? 1 20.(2009 全国卷Ⅱ理) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 2 a b 3

A 、 B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为
(I)求 a , b 的值;

2 2

(II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。 解:(I)设 F (c, 0) ,直线 l : x ? y ? c ? 0 ,由坐标原点 O 到 l 的距离为

??? ?

??? ??? ? ?

2 2



c 3 |0?0?c| 2 ,解得 c ? 1 .又 e ? ? ,? a ? 3, b ? 2 . ? a 3 2 2
x2 y 2 ? ? 1 .设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 3 2

(II)由(I)知椭圆的方程为 C :

由题意知 l 的斜率为一定不为 0,故不妨设 l : x ? my ? 1
2 2 代入椭圆的方程中整理得 (2m ? 3) y ? 4my ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 0 。

4m 4 , y1 y2 ? ? , .... ....① 2 2m ? 3 2m 2 ? 3 ??? ??? ??? ? ? ? .假设存在点 P,使 OP ? OA ? OB 成立,则其充要条件为:
由韦达定理有: y1 ? y2 ? ?

- 25 -

点 P的坐标为( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,点 P 在椭圆上,即

( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? ? 1。 3 2

整理得 2x12 ? 3 y12 ? 2x22 ? 3 y22 ? 4x1x2 ? 6 y1 y2 ? 6 。 又 A、B 在椭圆上,即 2x12 ? 3 y12 ? 6, 2x22 ? 3 y22 ? 6 . 故 2 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 3 ? 0 ................ ................② 将 x1 x2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? m2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1 及①代入②解得 m ?
2

1 2

? y1 ? y2 ?

4m 2 3 2 2 3 2 ? 2 ? ,即 P( , ? , x1 ? x2 = ? 或? ). 2 2m ? 3 2 2 2 2 2

当m ?

2 3 2 2 时, P( , ? ), l : x ? y ?1; 2 2 2 2 2 3 2 2 时, P( , ), l : x ? ? y ? 1. 2 2 2 2

当m ? ?

评析:处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算” ,主要讲的是算理和 算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一 个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如:三角形的面 积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半,还是分割成几部分来算?在具体 处理的时候,要根据具体问题及题意边做边调整,寻找合适的突破口和切入点。 21.(2009 湖南卷文) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形(记为 Q). (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点, 过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点, 当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包括边界)时,求直线 l 的斜率的取值范围。 解: (Ⅰ)依题意,设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 焦距为 2c , a 2 b2
2

2 由题设条件知, a ? 8, b ? c, 所以 b ?

1 2 a ? 4. 2

x2 y 2 ? ?1 故椭圆 C 的方程为 8 4

.

(Ⅱ)椭圆 C 的左准线方程为 x ? ?4, 所以点 P 的坐标 (?4, 0) ,

- 26 -

显然直线 l 的斜率 k 存在,所以直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) 。 如图,设点 M,N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), 线段 MN 的中点为 G ( x0 , y0 ) ,

? y ? k ( x ? 4), ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (1 ? 2k ) x ? 16k x ? 32k ? 8 ? 0 . ?1 ? ? 4 ?8
由 ? ? (16k 2 )2 ? 4(1 ? 2k 2 )(32k 2 ? 8) ? 0 解得 ?

??①

2 2 . ?k? 2 2

??②

因为 x1 , x2 是方程①的两根,所以 x1 ? x2 ? ?

16k 2 ,于是 1 ? 2k 2

x0 ?

x1 ? x2 4k 8k 2 =? , y0 ? k ( x0 ? 4) ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

.

8k 2 ? 0 ,所以点 G 不可能在 y 轴的右边, 因为 x0 ? ? 1 ? 2k 2
又直线 F1B2 , F B1 方程分别为 y ? x ? 2, y ? ? x ? 2, 1 所以点 G 在正方形 Q 内(包括边界)的充要条件为

?2k 2 ? 2k ? 1 ? 0, ? 4k 8k 2 ? y0 ? x0 ? 2, ?? ? 2, 亦即 ? 即 ?1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 2 ? ? ? ?2k ? 2k ? 1 ? 0. 2 ? y0 ? x0 ? 2. ? 8k ? 4k
?1 ? 2k 2 ? ? 1 ? 2k 2 ? 2,

解得 ?

3 ?1 3 ?1 ?k? ,此时②也成立. 2 2

- 27 -

故直线 l 斜率的取值范围是 [?

3 ?1 3 ?1 , ]. 2 2

22.(2009 福建卷理) (本小题满分 13 分) 已知 A,B 分别为曲线 C:

x2 + y 2 =1(y ? 0,a>0)与 x 轴 a2

的左、右两个交点,直线 l 过点 B,且与 x 轴垂直,S 为 l 上 异于点 B 的一点,连结 AS 交曲线 C 于点 T. (1)若曲线 C 为半圆,点 T 为圆弧 ? 的三等分点,试求出点 S 的 AB 坐标; (II)如图,点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点,试问:是否存在 a ,使得 O,M,S 三点 共线?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由。 19.【解析】 解法一:
AB (Ⅰ)当曲线 C 为半圆时, a ? 1, 如图,由点 T 为圆弧 ? 的三等分点得∠BOT=60°或 120°.

(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°. 又 AB=2,故在△SAE 中,有 SB ? AB ? tan 30? ?
? ? ? ? ,? s (t , ); ? ? 2 3 )或S(1,2 3) 3

(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点 S 的坐标为 (1, 2 3) ,综上, S (1, (Ⅱ)假设存在 a ( a ? 0) ,使得 O,M,S 三点共线.

由于点 M 在以 SB 为直线的圆上,故 BT ? OS . 显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 k>0,可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? a ) .
? x2 2 ? ? y ?1 得(1 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 k 2 x ? a 4 k 2 ? a 2 ? 0 由 ? a2 ? y ? k ( x ? a) ?

设点 T ( xT , yT ),? xT ? (?a) ? 故 xT ? 亦即 T (

a2 k 2 ? a2 , 1 ? a2 k 2

2ak a ? a2 k 2 ,从而 y T ? k ( xT ? a) ? . 2 2 1 ? a2 k 2 1? a k

a ? a2 k 2 2ak , ). 1 ? a2 k 2 1 ? a2 k 2 ??? ? ?2a2 k 2 2ak ? B(a,0),? BT ? (( , )) 2 2 1 ? a k 1 ? a2 k 2

??? ? ?x ? a 由? 得 s(a,2ak ),?OS ? (a,2ak ). ? y ? k ( x ? a)

- 28 -

??? ??? ?2a2 k 2 ? 4a2 k 2 ? ? 由 BT ? OS ,可得 BT ? OS ? ? 0 即 ?2a 2 k 2 ? 4a 2 k 2 ? 0 1 ? a2 k 2
? k ? 0, a ? 0,? a ? 2

经检验,当 a ? 2 时,O,M,S 三点共线.

故存在 a ? 2 ,使得 O,M,S 三点共线.

解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)假设存在 a,使得 O,M,S 三点共线. 由于点 M 在以 SO 为直径的圆上,故 SM ? BT . 显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 K>0,可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? a )
? x2 2 ? ? y ?1 得(1 ? a 2 b 2 ) x 2 ? 2a 2 k 2 x ? a 2 k 2 ? a 2 ? 0 由 ? a2 ? y ? k ( x ? a) ?

设点 T ( xT , yT ) ,则有 xT ? (?a) ? 故 xT ?

a4 k 2 ? a2 . 1 ? a2 k 2

a ? a2 k 2 2ak a ? a2 k 2 2ak , 从而yT ? k ( xT ? a) ? 亦即T ( ? ). 2 2 2 2 2 2 a?a k 1? a k 1 ? a k 1 ? a2 k 2 yT 1 ? B (a, 0),? k BT ? ? ? 2 , 故k SM ? a 2 k xT ? a a k

?x ? a 得S(a,2ak),所直线 SM 的方程为 y ? 2ak ? a2 k ( x ? a) 由? ? y ? k ( x ? a)

O,S,M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上,即 2ak ? a2 k (?a) .
? a ? 0, K ? 0,? a ? 2

故存在 a ? 2 ,使得 O,M,S 三点共线. 23.(2009 辽宁卷文) (本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 以过点 A(1, (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。

3 ) ,两个焦点为(-1,0) (1,0) 。 2

x2 y2 ? ? 1。 (22)解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为 1 ? b 2 4b 2
因为 A 在椭圆上,所以

1 9 3 ? 2 ? 1 ,解得 b2 =3, b2 = ? (舍去) 。 2 1? b 4b 4

- 29 -

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
3 x2 y 2 ? ? 1得 ,代入 2 4 3

... 分 ...4

(Ⅱ)设直线AE方程:得 y ? k ( x ? 1) ?

3 (3+4k 2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2
设E( xE , yE ) ,F( xF , yF ) .因为点A(1,

3 )在椭圆上,所以 2

3 4( ? k )2 ? 12 , xE ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 。 2
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ? k 代 k ,可得

....8 分 ...

3 4( ? k )2 ? 12 , xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yF ? ? kxF ? ? k 。 2
所以直线 EF 的斜率 kEF ?

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? 。 xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2
....12 分 ...

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

24.(2009 辽宁卷理) (本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0)(1,0) , 。 (3) 求椭圆 C 的方程; (4) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。 (20)解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

3 2

3 1 9 ? 2 ? 1,解得 b2 ? 3 , b 2 ? ? (舍去) 2 4 1? b 4b
……………4 分

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3

3 x2 y 2 ? ? 1得 (Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ? ,代入 2 4 3

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2

- 30 -

设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以

3 2

3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 2 3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yE ? ?kxE ? ? k 2
所以直线 EF 的斜率 K EF ?

………8 分

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2
……12 分

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

25.(2009 宁夏海南卷理) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上,它的一个顶点到两个焦点的 距离分别是 7 和 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c ,由已知得

OP OM

=λ ,求点 M 的

?a ? c ? 1 , 解得a ? 4, c ? 3 , ? ?a ? c ? 7
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 16 7

(Ⅱ)设 M ( x, y ) ,其中 x?? ?4, 4? 。由已知

OP OM

2 2

? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x 2 ? 112 ? ?2 。 2 2 16( x ? y )
整理得 (16? ? 9) x ? 16? y ? 112 ,其中 x?? ?4, 4? 。
2 2 2 2

(i) ? ?

3 2 时。化简得 9 y ? 112 4

- 31 -

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 (?4 ? x ? 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 3
x2 y2 ? ? 1 ,其中 x?? ?4, 4? 112 112 16? 2 ? 9 16? 2

(ii) ? ?

3 时,方程变形为 4

当0 ? ? ? 部分。 当 分;

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 的 4

3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的部 4

当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆; 26.(2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分) 已知双曲线 C 的方程为

y 2 x2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率 e ? ,顶点到渐近线的距离为 2 a b 2

2 5 。 5
(I) 求双曲线 C 的方程; (II)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上,且分别位于第一、二 象限,若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2] ,求 ?AOB 面积的取值范围。 解析: 解法 1(Ⅰ)由题意知,双曲线 C 的顶点(0,a)到渐近线

??? ?

??? ?

1 3

ax ? by ? 0的距离为

2 5 , 5

所以

ab a 2 ? b2

?

ab 2 5 2 5 所以 ? c 5 5

? ab 2 5 ? ? 5 ?c ?a ? 2 ?c ? 5 ? 得 ?b ? 1 由? ? 2 ?a ? 2 ?c ? a 2 ? b 2 ?c ? 5 ? ? ?
所以曲线 C 的方程是

y2 ? x2 ? 1 4
- 32 -

(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y ? ?2 x

( 设 A(m, 2m), B ? n, 2n), m ? 0, n ? 0
由 AP ? ? PB得P点的坐标为(

uur u

uur

m-? n 2(m+? n) , ), 1+? 1+?

y2 (1 ? ? ) 2 ? x 2 ? 1, 化简得mn= 将 P 点的坐标代入 4 4?
因为 ?AOB ? 2? , tan(

?

1 4 ? ? ) ? 2, tan ? ? ,sin 2? ? 2 2 5

又 OA ? 5m, OB ? 5n

1 1 1 OA ? OB ? sin 2? ? 2mn ? (? ? ) ? 1 2 2 ? 1 1 1 记 S (? ) ? (? ? ) ? 1, ? ? [ , 2] 2 ? 3 1 1 则 S ?(? ) ? (1 ? 2 ) 2 ?
所以 S ?AOB ? 由 S ?(? ) ? 0得? ? 1 又 S(1)=2, S ( ) ?

1 3

8 9 , S (2) ? 3 4
1 8 时, ?AOB 面积取到最大值 3 3

当 ? ? 1 时, ?AOB 面积取到最小值 2 ,当当 ? ? 所以 ?AOB 面积范围是 [2, ]

8 3

解答 2(Ⅰ)由题意知,双曲线 C 的顶点(0,a)到渐近线 ax ? by ? 0的距离为

2 5 , 5

?

ab a 2 ? b2

?

2 5 ab 2 5 即 ? 5 c 5

? ab 2 5 ? ? 5 ?c ?a ? 2 ?c ? 5 ? 得 ?b ? 1 由? ? 2 ?a ? 2 ?c ? a 2 ? b 2 ?c ? 5 ? ? ?
所以曲线 C 的方程是

y2 ? x2 ? 1. 4
- 33 -

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 k ? 2, m ? 0 由?

? y ? kx ? m m 2m 得A点的坐标为( , ), 2?k 2?k ? y ? 2x

由?

? y ? kx ? m ?m 2m 得B点的坐标为( , ), 2?k 2?k ? y ? ?2 x

uur u uur m 1 ? 2m 1 ? AP ? ? PB, 得P点的坐标为( ( ? ), ( ? ) 1? ? 2 ? k 2 ? k 1? ? 2 ? k 2 ? k
将 P 点的坐标代入

y2 4m 2 (1 ? ? )2 ? x2 ? 1 得 ? 4 4 ? k2 ?

设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点,则 Q 点的坐标为(0,m)

S?AOB = S?AOQ ? S?BOQ
1 1 1 OQ g xA ? OQ g xB ? m( x A ? xB ) 2 2 2 1 m m 1 4m 2 ? m( ? )? g 2 2?k 2?k 2 4 ? k2 1 1 ? (? ? ) ? 1 2 ? ?
以下同解答 1 27.(2009 陕西卷理)(本小题满分 12 分)

y 2 x2 已知双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率 a b

e?

5 2 5 ,顶点到渐近线的距离为 。 2 5

(I)求双曲线 C 的方程; (II)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上,且分别位于第一、二 象限,若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2] ,求 ?AOB 面积的取值范围。 28. (本小题满分 14 分)

??? ?

??? ?

1 3

y 2 x2 已知双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), a b
离心率 e ?

5 2 5 , 顶点到渐近线的距离为 . 2 5
- 34 -

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ) 如图, 是双曲线 C 上一点, 两点在双曲线 C 的两条渐近线上, P A,B 且分别位于第一, 二象限.若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2], 求△AOB 面积的取值范围. 解答一(Ⅰ)由题意知,双曲线 C 的顶点 (O, a) 到渐近线 ax ? by ? 0的距离为

??? ?

??? ?

1 3

2 5 , 5



ab a ?b
2 2

?

2 5 ab 2 5 ,即 ? , 5 c 5

? ab 2 5 , ? ? 5 ?c ?c 5 ? , 由? ? a 2 ? ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? ? ?

?a ? 2, ? ?b ? 1, 得 ? ?c ? 5,

∴双曲线 C 的方程为

y2 ? x 2 ? 1. 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y ? ?2 x. 设 A(m, 2m), B(?n, 2n), m ? 0, n ? 0.

由 AP ? ? PB 得 P 点的坐标为 (

??? ?

??? ?

m ? ? n 2(m ? ? n) , ), 1? ? 1? ?

将 P 点坐标代入

y2 (1 ? ? n) 2 ? x 2 ? 1, 化简得 mn ? . 4 4?

设∠AOB ? 2? ,? tan( 又

?

1 1 4 ? ? ) ? 2,? tan ? ? ,sin ? ? ,sin 2? ? . 2 2 2 5

? | OA |? 5m4 | OB |? 5n?

? S? AOB ?

1 1 1 | OA |? OB |? 2? ? 2mn ? (? ? ) ? 1. | sin 2 2 ?

1 1 1 S (? ) ? (? ? ) ? 1, ? ?[ , 2], 记 2 ? 3
8 9 , S (2) ? , 3 4 1 8 当 ? ? 1 时,△AOB 的面积取得最小值 2,当 ? ? 时,△AOB 的面积取得最大值 ∴△AOB 3 3. 8 面积的取值范围是 [2, ]. 3
由 S '(? ) ? 0得? ? 1, 又S(1)=2,S( ) ?

1 3

- 35 -

解答二(Ⅰ)同解答一 (Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 | k |? 2, m ? 0.



{ y ? kxx ? m y?2 { y ? kx2? m y?? x
??? ? ??? ?

得 A 点的坐标为 (

m 2m , ), 2?k 2?k ? m 2m , ). 2?k 2?k



得 B 点的坐标为 (

由 AP ? ? PB 得 P 点的坐标为 (

m 1 ? 2m 1 ? ( ? ), ( ? )), 1? ? 2 ? k 2 ? k 1? ? 2 ? k 2 ? k

将 P 点坐标代入

y2 4m 2 (1 ? ? )2 ? x 2 ? 1得 ? . 4 4 ? k2 ?
1 1 1 | OQ |? XA | ? | OQ |? x8 |? m?( xA ? xB) | | 2 2 2

设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点,则 Q 点的坐标为(0,m).

S? AOB ? S? AOQ ? S? BOQ ?
=

1 m m 1 4m 2 1 1 m( ? )? ? ? (? ? ) ? 1. 2 2 2?k 2?k 2 4?k 2 ?

以下同解答一. 29.(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,离心率 e ? ,右准线 2 a b 2

方程为 x ? 2 。 (I)求椭圆的标准方程; (II) 过点 F 的直线 l 与该椭圆交于 M 、N 两点, F2 M ? F2 N ? 且 1

????? ???? ?

2 26 , 求直线 l 的方程。 3

?c 2 ? ? ?a 2 ,解得 a ? 2, c ? 1 【解析】 (I)由已知得 ? 2 ?a ? 2 ?c ?
∴ b ? a2 ? c2 ? 1 ∴ 所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

?????????????4 分

(II)由(I)得 F1 (?1,0) 、 F2 (1, 0)

- 36 -

? x ? ?1 2 ? ①若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x ? ?1 ,由 ? x 2 得y?? 2 2 ? ? y ?1 ?2
设 M (?1,

2 2 ) 、 N (?1, ? ), 2 2
2 2 ) ? (?2, ? ) ? (?4, 0) ? 4 ,这与已知相矛盾。 2 2

∴ F2 M ? F2 N ? (?2,

????? ???? ?

②若直线 l 的斜率存在,设直线直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 ,消元得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2


?4k 2 2k 2 ? 2 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? 2k , 1 ? 2k 2



又∵ F2 M ? ( x1 ?1, y1 ), F2 N ? ( x2 ?1, y2 ) ∴

?????

???? ?

????? ???? ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 )
2 2 ????? ???? ? ? 8k 2 ? 2 ? ? 2k ? 2 26 2 2 F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2) ? ( y1 ? y2 ) ? ? ?? ? 2 ? 2 ? 3 ? 1 ? 2k ? ? 1 ? 2 k ?
4 2



化简得 40k ? 23k ? 17 ? 0 解得 k ? 1或k ? ?
2 2

17 (舍去) 40
?????????????12 分



k ? ?1

∴ 所求直线 l 的方程为 y ? x ? 1或y ? ? x ? 1

30.(2009 全国卷Ⅰ文) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 如图,已知抛物线 E : y ? x
2

与圆 M : ( x ? 4) ? y ? r (r ? 0) 相交于 A、B、C、D 四个
2 2 2

点。 (Ⅰ)求 r 的取值范围

- 37 -

(Ⅱ)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。

解: (Ⅰ)将抛物线 E : y 2 ? x 代入圆 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 的方程,消去 y 2 ,整理得

x2 ? 7 x ? 16 ? r 2 ? 0 ....... ......(1)
抛物线 E : y 2 ? x 与圆 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点的充 要条件是:方程(1)有两个不相等的正根

?49 ? 4(16 ? r 2 ) ? 0 ? 5 5 5 ? ?r ? ? 或r ? ∴ ? x1 ? x 2 ? 7 ? 0 即? ?r?4 2 2 。解这个方程组得 2 ? ? 2 ? x1 ? x 2 ? 16 ? r ? 0 ?? 4 ? r ? 4

r ?(

15 , 4) . 2

(II) 设四个交点的坐标分别为 A( x1 , x1 ) 、 B( x1 , ? x1 ) 、 C ( x2 , ? x2 ) 、 D( x2 , x2 ) 。 则由(I)根据韦达定理有 x1 ? x2 ? 7, x1x2 ? 16 ? r 2 , r ? ( 则S ?

15 , 4) 2

1 ? 2? | x2 ? x1 | ( x1 ? x2 ) ?| x2 ? x1 | ( x1 ? x2 ) 2

? S 2 ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]( x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ) ? (7 ? 2 16 ? r 2 )(4r 2 ? 15)
令 16 ? r 2 ? t ,则 S ? (7 ? 2t ) (7 ? 2t )
2 2

下面求 S 的最大值。

2

方法 1:由三次均值有:

1 S 2 ? (7 ? 2t ) 2 (7 ? 2t ) ? (7 ? 2t )(7 ? 2t )(14 ? 4t ) 2 1 7 ? 2t ? 7 ? 2t ? 14 ? 4t 3 1 28 3 ? ( ) ? ?( ) 2 3 2 3
当且仅当 7 ? 2t ? 14 ? 4t ,即 t ?

7 15 , 4) 满足题意。 时取最大值。经检验此时 r ? ( 6 2

法 2:设四个交点的坐标分别为 A( x1 , x1 ) 、 B( x1 , ? x1 ) 、 C ( x2 , ? x2 ) 、 D( x2 , x2 ) 则直线 AC、BD 的方程分别为

y?

x1 ?

?

x2 ? x 2 ? x1

x1

( x ? x 1 ), y ?

x1 ?

x2 ?

x1

x 2 ? x1

( x ? x1 )

- 38 -

解得点 P 的坐标为 ( x1 x2 ,0) 。 设t ?

1 x1 x2 ,由 t ? 16 ? r 2 及(Ⅰ)得 t ? (0, ) 4 1 ( 2 x1 ? 2 x 2 ) | x1 ? x 2 | 2

由于四边形 ABCD 为等腰梯形,因而其面积 S ?

则 S 2 ? ( x1 ? 2 x1 x2 ? x2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 将 x1 ? x 2 ? 7 , 并令 f (t ) ? S 2 ,等

x1 x2 ? t 代入上式,

7 f ( t ) ? (7 ? 2t ) 2 (7 ? 2t ) ? ?8t 3 ? 28t 2 ? 98t ? 343(0 ? t ? ) , 2
∴ f `(t ) ? ?24t 2 ? 56t ? 98 ? ?2(2t ? 7)(6t ? 7) , 令 f `(t ) ? 0 得 t ?

7 7 ,或 t ? ? (舍去) 6 2

当0 ? t ?

7 7 7 7 时, f `(t ) ? 0 ;当 t ? 时 f `(t ) ? 0 ;当 ? t ? 时, f `(t ) ? 0 6 6 6 2 7 时, f (t ) 有最大值,即四边形 ABCD 的面积最大,故所求的点 P 的坐标为 6

故当且仅当 t ?

7 ( ,0) 。 6

31.(2009 湖北卷文) (本小题满分 13 分) 如图,过抛物线 y =2PX(P>0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M、N 两点,自 M、N 向 准线 L 作垂线,垂足分别为 M1、N1 (Ⅰ)求证:FM1⊥FN1: (Ⅱ)记△FMM1、 、△FM1N1、△FN N1 的面积分别为 S 判断 S 2=4S1S3 是否成立,并证明你的结论。 本小题主要考查抛物线的概念,抛物线的几何性质等平面解析几 何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力(满 分 13 分) (1) 证法 1:由抛物线的定义得
2 1、 2、 3 、 , 2

S

S ,试

- 39 -

MF ? MM1 , NF ? NN1 ,
??MFM1 ? ?MM1F , ?NFN1 ? ?NN1F
如图,设准线 l 与 x 的交点为 F 1 2分

Q MM1 // NN1 // FF1 ??F1FM1 ? ?MM1F , ?F1FN1 ? ?NN1F
而 ?F FM1 ? ?MFM1 ? ?F FN1 ? ?N1FN ? 1800 1 1 即 2?F FM1 ? 2?F FN1 ? 1800 1 1

??F1FM1 ? ?F1FN1 ? 900
故 FM1 ? FN1 证法 2:依题意,焦点为 F (

p p , 0), 准线 l 的方程为 x ? ? 2 2

设点 M,N 的坐标分别为 M x1 , y1 ), N x2 , y2 ), 直线 MN 的方程为 x ? my ? ( (

p ,则有 2

M 1 (?

p p , y1 ), N1 (? , y2 ), FM 1 ? (? p, y1 ), FN1 ? (? p, y2 ) 2 2
得 y ? 2mpy ? p ? 0
2 2

p ? ? x ? my ? 由? 2 ? y 2 ? 2 px ?

于是, y1 ? y2 ? 2mp , y1 y2 ? ? p 2

????? ???? ? ? FM1 ? FN1 ? p2 ? y1 y2 ? p2 ? p2 ? 0 ,故 FM1 ? FN1
2 (Ⅱ) S2 ? 4S1S3 成立,证明如下:

证法 1:设 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由抛物线的定义得

| MM 1 |?| MF |? x1 ?

p p ,| NN1 |?| NF |? x2 ? ,于是 2 2 1 1 p S1 ? ? | MM 1 | ? | F1M 1 |? ( x1 ? ) | y1 | 2 2 2 1 1 S2 ? ? | M 1 N 2 | ? | FF1 |? p | y1 ? y2 | 2 2 1 1 p S3 ? ? | NN1 | ? | F1 N1 |? ( x2 ? ) | y2 | 2 2 2

- 40 -

1 1 p 1 p 2 ? S2 ? 4S1S3 ? ( p | y1 ? y2 |) 2 ? 4 ? ( x1 ? ) | y1 | ? ( x2 ? ) | y2 | 2 2 2 2 2

?

1 2 p p2 p [( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ] | y1 y2 | 4 2 4

p ? ? x1 ? my1 ? 2 ? y1 ? y2 ? 2mp ? 将? 与? 代入上式化简可得 2 ? x ? my ? p , ? y1 y2 ? ? p 2 ? 2 ? 2

p2 (m2 p2 ? p2 ) ? p2 (m2 p2 ? p2 ) ,此式恒成立。
2 故 S2 ? 4S1S3 成立。

证法 2:如图,设直线 MN M 的倾角为 ? , | MF |? r ,| NF |? r2 1 则由抛物线的定义得 | MM1 |?| MF |? r ,| NN1 |?| NF |? r3 1

? MM1 // NN1 // FF1 , ? ?FMM1 ? ? , ?FNN1 ? ? ? ?
于是 S1 ?

1 2 1 1 r1 sin ? , S3 ? r22 sin(? ? ? ) ? r22 sin ? 2 2 2

在 ?FMM1 和 ?FNN1 中,由余弦定理可得

| FM1 |2 ? 2r12 ? 2r12 cos ? ? 2r12 (1 ? cos ? ),| FN1 |2 ? 2r22 ? 2r22 cos ? ? 2r22 (1 ? cos ? )
由(I)的结论,得 S 2 ?

1 | FM 1 | ? | FN1 | 2 1 1 2 ? S2 ? | FM 1 |2 ? | FN1 |2 ? ? 4r12 ? r22 ? (1 ? cos ? )(1 ? cos ? ) ? r12 r22 sin 2 ? ? 4 S1S3 4 4

2 即 S2 ? 4S1S3 ,得证。

32.(2009 宁夏海南卷文)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 (I) (II) 求椭圆 C 的方程‘ 若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,

OP OM

?e

(e 为椭圆 C 的离心率) ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

- 41 -

(20)解: (Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 {

a ? c ? 1, 解得 a=4,c=3, a ? c ? 7.
x2 y 2 ? ? 1. 16 7

所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)设 M(x,y),P(x, y1 ),其中 x?? ?4,4?. 由已知得

x 2 ? y12 ? e2 . 2 2 x ?y
而e ?

3 2 ,故 16( x2 ? y1 ) ? 9( x2 ? y 2 ). 4



由点 P 在椭圆 C 上得 代入①式并化简得 9 y 2 ? 112, 所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

y12 ?

112 ? 7 x 2 , 16

4 7 (?4 ? x ? 4), 轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3

33.(2009 湖南卷理)(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3 倍之 和记为 d,当 P 点运动时,d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C; (Ⅱ)设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。

2 2 解(Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y) ,则 d ? 4 ( x ? 3) ? y ? 3︳x-2︳

由题设
- 42 -

当 x>2 时,由①得 ( x ? 3) ? y ? 6 ?
2 2

1 x, 2

化简得

x2 y 2 ? ? 1. 36 27

2 2 当 x ? 2 时 由①得 (3 ? x) ? y ? 3 ? x,

化简得 y 2 ? 12 x

故点 P 的轨迹 C 是椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 在直线 x=2 的右侧 36 27

部分与抛物线 C2 : y 2 ? 12x 在直线 x=2 的左侧部分 (包括它与直线 x=2 的交点) 所组成的曲线, 参见图 1 (Ⅱ)如图 2 所示,易知直线 x=2 与 C1 , C2 的交点都是 A(2, 2 6 ) , B(2, ?2 6 ) ,直线 AF,BF 的斜率分别为 k AF = ?2 6 , k BF = 2 6 . 当点 P 在 C1 上时,由②知

PF ? 6 ?

1 x. 2



当点 P 在 C2 上时,由③知

PF ? 3 ? x



若直线 l 的斜率 k 存在,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) (i)当 k≤ k AF ,或 k≥ k BF ,即 k≤-2 ( x2 , y2 )都在 C ∣MF∣= 6 1 上,此时由④知

,N 6 时,直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M( x1 , y1 )

1 x 2 1

∣NF∣= 6 -

1 x 2 2
- 43 -

从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 -

1 1 1 x1 )+ (6 x2 )=12 - ( x1 + x2 ) 2 2 2

? y ? k ( x ? 3) ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ?108 ? 0 则 x1 , y1 是这个方程的两根,所 ? ?1 ? ? 36 27
以 x1 + x2 =

1 24k 2 12k 2 *∣MN∣=12 ( x1 + x2 )=12 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为当 k ? 2 6, 或k ? 2 6时, k 2 ? 24,

MN ? 1 2?

12 2 k 12 100 ? 1? 2 ? . 2 1 3? 4 k 11 ?4 k2

当且仅当 k ? ?2 6 时,等号成立。 (2) kA ?k ?kA ? 2 6? k ? 2 6 当 E N , 时, 直线 L 与轨迹 C 的两个交点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

分别在 C1 , C2 上, 不妨设点 M 在 C1 上, C2 上, 点 则④⑤知,MF ? 6 ? 设直线 AF 与椭圆 C1 的另一交点为 E ( x0 , y0 ), 则x0 ? x1 , x2 ? 2.

1 x1 , NF ? 3 ? x2 2

MF ? 6 ?

1 1 x1 ? 6 ? x0 ? EF , NF ? 3 ? x2 ? 3 ? 2 ? AF 2 2

所以 MN ? MF ? NF ? EF ? AF ? AE 。而点 A,E 都在 C1 上,且

k AE ? ?2 6 有(1)知 AE ? ,

100 100 , 所以 MN ? 11 11

若直线 ? 的斜率不存在,则 x1 = x2 =3,此时

1 100 MN ? 12 ? ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 2 11
综上所述,线段 MN 长度的最大值为

100 11

35.(2009 天津卷理) (本小题满分 14 分) 以知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?c,0)和F2 (c,0)(c ? 0) ,过点 a 2 b2

E(

a2 , 0) 的直线与椭圆相交与 A, B 两点,且 F1 A / / F2 B, F1 A ? 2 F2 B 。 c

(1) 求椭圆的离心率;

- 44 -

(2) 求直线 AB 的斜率; (3) 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称, 直线 F2 B 上有一点 H (m, n)(m ? 0) 在 ? AFC 1 的外接圆上,求

n 的值 m

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代 数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力,满分 14 分

(I)

a2 ?c 1 EF2 FB 1 解:由 F A // F2 B 且 FA ? 2 F2B ,得 ? ? 2 ? ,从而 c2 1 1 a 2 EF1 F1A 2 ?c c
2 2

整理,得 a ? 3c ,故离心率 e ? (II)
2 2

c 3 ? a 3
2 2

解:由(I)得 b ? a ? c ? 2c ,所以椭圆的方程可写为 2 x2 ? 3 y 2 ? 6c2

? a2 ? 设直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? ? ,即 y ? k ( x ? 3c) . c ? ?
由已知设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则它们的坐标满足方程组 ? 消去 y 整理,得 (2 ? 3k 2 ) x2 ?18k 2cx ? 27k 2c2 ? 6c2 ? 0 . 依题意, ? ? 48c (1 ? 3k ) ? 0,得 ?
2 2

? y ? k ( x ? 3c)
2 2 2 ?2 x ? 3 y ? 6c

3 3 ?k? 3 3




x1 ? x2 ?

18k 2c 2 ? 3k 2

x1 x2 ?

27k 2 c 2 ? 6c c 2 ? 3k 2



由题设知,点 B 为线段 AE 的中点,所以

x1 ? 3c ? 2 x2
联立①③解得



x1 ?

9k 2 c ? 2c 9 k 2 c ? 2c , x2 ? 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

将 x1 , x2 代入②中,解得 k ? ?

2 . 3
3c 2

(III)解法一:由(II)可知 x1 ? 0, x2 ?

- 45 -

当k ? ?

2 时,得 A(0, 2c) ,由已知得 C(0, ? 2c) . 3

线段 AF1 的垂直平分线 l 的方程为 y ?

2 2? c? c?? ? x ? ? 直线 l 与 x 轴 2 2 ? 2?
2 2

c? ?c ? ? ?c ? 的交点 ? , 0 ? 是 ?AF1C 外接圆的圆心,因此外接圆的方程为 ? x ? ? ? y 2 ? ? ? c ? . 2? ?2 ? ? ?2 ?
直线 F2 B 的方程为 y ? 2( x ? c) ,于是点 H(m,n)的坐标满足方程组
2 ?? c? 9c 2 2 ?? m ? ? ? n ? 2? 4 ?? ? ?n ? 2(m ? c)

5 ? ?m ? 3 c n 2 2 ? , 由 m ? 0, 解得 ? 故 ? 5 ?n ? 2 2 c m ? 3 ?

当k ?

2 n 2 2 时,同理可得 ? ? . 3 m 5
3c 2

解法二:由(II)可知 x1 ? 0, x2 ? 当k ? ?

2 时,得 A(0, 2c) ,由已知得 C(0, ? 2c) 3

由椭圆的对称性可知 B, F2 ,C 三点共线,因为点 H(m,n)在 ?AFC 的外接圆上, 1 且 F A // F2 B ,所以四边形 AFCH 为等腰梯形. 1 1 由直线 F2 B 的方程为 y ? 2( x ? c) ,知点 H 的坐标为 (m, 2m ? 2c) . 因为 AH ? CF ,所以 m2 ? ( 2m ? 2c ? 2c)2 ? a2 ,解得 m=c(舍) ,或 m ? 1 则n ?

5 c. 3

2 2 n 2 2 c ,所以 ? . 3 m 5 2 n 2 2 时同理可得 ? ? 3 m 5

当k ?

36.(2009 四川卷理) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 e ? 已知椭圆 2 ? ,右准线方程为 a b 2
x ? 2。

- 46 -

(I)求椭圆的标准方程; (II)过点 F 的直线 l 与该椭圆交于 M , N 两点,且 F2 M ? F2 N ? 1

????? ???? ?

2 26 ,求直线 l 的方程。 3

本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题及推理 运算能力。

解: (Ⅰ)有条件有

{

c 2 ? a 2 2 a ? 2 ,解得 a ? 2,c=1。 c

?b ? a 2 ? c2 ? 1。
所以,所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 。?????????????4 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F1 (?1,0) 、 F2 1 0) (, 。 若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=-1. 将 x=-1 代入椭圆方程得 y ? ?

2 。 2

不妨设 M (?1,

2 2 ) 、 N ? 1, ( ? ) , 2 2

uuuu uuuv v 2 2 ? F2 M ? F2 N ? (?2, ) ? (?2, ? ) ? (?4,0) . 2 2 uuuu uuuv v ? F2 M ? F2 N ? 4 ,与题设矛盾。

? 直线 l 的斜率存在。
设直线 l 的斜率为 k,则直线的方程为 y=k(x+1) 。 设 M (x1,y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,

联立

{

x2 ? y 2 ?1 2 y=k(x+1) ,消 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 。
2k ?4k 2 ,从而 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? , 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

由根与系数的关系知 x1 ? x2 ?

- 47 -

又? F2 M ? ( x1 ?1, y1 ) , F2 N ? ( x2 ?1, y2 ) ,

?????

???? ?

????? ???? ? ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ) 。
????? ???? 2 ? ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2)2 ? ( y1 ? y2 )2
?( 8k 2 ? 2 2 2k 2 ) ?( ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

4(16k 4 ? 9k 2 ? 1) ? 4k 4 ? 4k 2 ? 1

?

4(16k 4 ? 9k 2 ? 1) 2 26 2 ?( ) 。 4 2 4k ? 4k ? 1 3
4 2

化简得 40k ? 23k ? 17 ? 0 解得 k ? 1或者k ? ?
2 2

17 40

? k ? ?1. ? 所求直线l的方程为y ? x ? 1或者y ? ? x ? 1
37.(2009 福建卷文) (本小题满分 14 分) 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
10 3

的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C 的右顶点为 B ,点 S 和椭 圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线, AS , BS 与直线 l : x ? 分别交于 M , N 两点。 (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值; (Ⅲ)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这 样的点 T ,使得 ?TSB 的面积为

1 ?若存在,确定点 T 的个数,若不存在,说明理由 5

- 48 -

解法一: (I)由已知得,椭圆 C 的左顶点为 A(?2, 0), 上顶点为 D(0,1),? a ? 2, b ? 1

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且 k ? 0 ,故可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,从而

M(

10 16k , ) 3 3

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
设 S ( x1 , y1 ), 则 (?2), x1 ?

4k 16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 得 x1 ? ,从而 y1 ? 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k

即 S(

2 ? 8k 2 4k , ), 又 B(2, 0) 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

1 10 ? ? ? y ? ? 4k ( x ? 2) ? x ? 3 ? ? 由? 得? ? x ? 10 ?y ? ? 1 ? ? 3 3k ? ?
10 1 ?N( ,? ) 3 3k
故 | MN |?

16k 1 ? 3 3k

又 k ? 0,? MN |? | 当且仅当

16k 1 16k 1 8 ? ?2 ? ? 3 3k 3 3k 3

1 16k 1 ? ,即 k ? 时等号成立 4 3 3k

- 49 -

?k ?

1 8 时,线段 MN 的长度取最小值 4 3
1 4

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 MN 取最小值时, k ?

此时 BS 的方程为 x ? y ? 2 ? 0, s( , ),? BS |? |

6 4 5 5

4 2 5

要使椭圆 C 上存在点 T , 使得 ?TSB 的面积等于

1 2 , 只须 T 到直线 BS 的距离等于 , 5 4

所以 T 在平行于 BS 且与 BS 距离等于 设直线 l ' : x ? y ? 1 ? 0

2 的直线 l 上。 4

则由

3 5 |t ?2| 2 ? , 解得 t ? ? 或 t ? ? 2 2 4 2

38.(2009 年上海卷理) (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题 满分 8 分。 已知双曲线 c :

v x2 ? y 2 ? 1, 设过点 A(?3 2,0) 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) 2

(1) 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时,求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离; (2) 证明:当 k >

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 。 2

解: (1)双曲线 C 的渐近线 m :

x ? 2 y ? 0............2分 2

? 直线 l 的方程 x ? 2 y ? 3 2 ? 0 ………………..6 分
直线 l 与 m 的距离 d ?

3 2 ? 6 ……….8 分 1? 2

(2)设过原点且平行与 l 的直线 b : kx ? y ? 0 则直线 l 与 b 的距离 d ?

3 2k 1? k 2

- 50 -

当k ?

2 时,d ? 6 2

又双曲线 C 的渐近线为 x ? 2 y ? 0

? 双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方,

? 双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离为 6 。
故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 。 [ 证法二] 双曲线 C 的右支上存在点 Q ( x0 , y0 ) 到直线 l 的距离为 6 ,

? kx0 ? y0 ? 3 2 ? ? 6, (1) 则? 1? k 2 ? ? x0 ? 2 y0 ? 2, (2)
2 由(1)得 y0 ? kx0 ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k ,

设 t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 当k ?

2 , t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 ? 0………………………………..13 分 2
2 代入(2)得 (1 ? 2k 2 ) x0 ? 4ktx0 ? 2(t 2 ? 1) ? 0

将 y0 ? kx0 ? t

(*)

?k ?

2 , t ? 0,?1 ? 2k 2 ? 0, ?4kt ? 0, ?2(t 2 ? 1) ? 0 2

? 方程(*)不存在正根,即假设不成立
故在双曲线 C 的右支上不存在 Q,使之到直线 l 的距离为 6 …………….16 分 39.(2009 上海卷文) (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 分 4 分,第 3 小题满分 8 分. 已知双曲线

C

的中心是原点,右焦点为

0 F ? 3,? ,一条渐近线

m: x+ 2 y ? 0 ,设过点

A (?3 2,0) 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) 。 (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若过原点的直线 a // l ,且 a 与 l 的距离为 6 ,求 K 的值;

v

- 51 -

(3) 证明:当 k ?

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 . 2

【解】 (1)设双曲线 C 的方程为 x2 ? 2 y 2 ? ? (? ? 0)

?? ?

?
2

? ,解额 ? ? 2 双曲线 C 的方程为 3

x2 ? y2 ? 1 2

(2)直线 l : kx ? y ? 3 2k ? 0 ,直线 a : kx ? y ? 0 由题意,得

| 3 2k | 1? k 2

? 6 ,解得 k ? ?

2 2

(3) 【证法一】设过原点且平行于 l 的直线 b : kx ? y ? 0 则直线 l 与 b 的距离 d ?

3 2|k| 1? k
2

,当k ?

2 时, d ? 6 2

又双曲线 C 的渐近线为 x ? 2 y ? 0

? 双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方, ? 双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离大于 6 。
故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 【证法二】假设双曲线 C 右支上存在点 Q( x0 , y0 ) 到直线 l 的距离为 6 ,

? | kx0 ? y0 ? 3 2k ? 6 (1) ? 则? 1? k 2 ? 2 2 (2) ? x0 ? 2 y0 ? 2
2 由(1)得 y0 ? kx0 ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k

设 t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 , 当k ?

2 时, t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 ? 0 ; 2

t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 2 ? 6 ?

2k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ? k 2
2 2

?0
2

将 y0 ? kx0 ? t 代入(2)得 (1 ? 2k ) x0 ? 4ktx0 ? 2(t ? 1) ? 0

- 52 -

?k ?

2 ,t ? 0 , 2

?1 ? 2k 2 ? 0, ? 4kt ? 0, ? 2(t 2 ? 1) ? 0

? 方程 (*) 不存在正根,即假设不成立,
故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 40.(2009 重庆卷理) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线方程为 y ? 的动点. (Ⅰ)若 C , D 的坐标分别是 (0, ? 3),(0, 3) ,求 MC ?MD 的最大值; (Ⅱ)如题(20)图,点 A 的坐标为 (1, 0) , B 是圆 x 2 ? y 2 ? 1上的点, N 是点 M 在 x 轴上的射影,点 Q 满足条件: OQ ? OM ? ON , QA? ? 0 .求线段 QB 的中点 P 的轨迹 BA 方程;

4 3 3 ,离心率 e ? , M 是椭圆上 3 2

??? ?

???? ???? ?

??? ??? ? ?

(20)(本小题 12 分) 解: (Ⅰ)由题设条件知焦点在 y 轴上,故设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a >b> 0 ). a 2 b2

设 c ? a2 ? b2 ,由准线方程 y ?

4 3 3 c 3 得.由 e ? 得 ? ,解得 a = 2 ,c = 3 2 a 2

y2 ?1 . 3 ,从而 b = 1,椭圆方程为 x ? 4
2

又易知 C,D 两点是椭圆 x ?
2

y2 ? 1的焦点,所以, MC ? MD ? 2a ? 4 4

- 53 -

从而 MC ? MD ? ( 为 (?1, 0)

MC ? MD 2 ) ? 22 ? 4 ,当且仅当 MC ? MD ,即点 M 的坐标 2

时上式取等号, MC ? MD 的最大值为 4 .

(II)如图(20)图,设 M( xm , ym ), B( xB , yB )

???? ???? ??? ? ? .因为 N ( xN ,0), OM ? ON ? OQ ,故 Q( xQ ,yQ )
xQ ? 2xN , yQ ? yM ,
2 2 xQ ? yQ ? (2xM )2 ? y y ? 4



因为 QA ? BA ? 0,

??? ??? ? ?

(1 ? xQ ? yQ ) ? (1 ? xN ? yn ) ? (1 ? xQ )(1 ? xN ) ? yQ yN ? 0,
所以

xQ xN ? yQ yN ? xN ? xQ ?1 .



记 P 点的坐标为 ( xP , yP ) ,因为 P 是 BQ 的中点 所以 由因为

2xP ? xQ ? xP , 2 yP ? yQ ? yP
2 2 xN ? yN ? 1 ,结合①,②得

2 2 xP ? y P ?

1 (( xQ ? xN ) 2 ? ( yQ ? yN ) 2 ) 4 1 2 2 2 2 ? ( xQ ? xN ? yQ ? yn ? 2( xQ xN ? yQ y N )) 4

- 54 -

1 (5 ? 2( xQ ? xN ? 1)) 4 3 ? ? xP 4 ?
故动点 P 的估计方程为

1 ( x ? )2 ? y 2 ? 1 2
41.(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 已知以原点 O 为中心的双曲线的一条准线方程为 x ? (Ⅰ)求该双曲线的方程; (Ⅱ)如题(20)图,点 A 的坐标为 (? 5,0) , B 是圆 x2 ? ( y ? 5)2 ? 1 上的点,点 M 在双曲线右支上,求 MA ? MB 的最小值,并求此时 M 点的坐标;

5 ,离心率 e ? 5 . 5

解: Ⅰ)由题意可知,双曲线的焦点在 x 轴上,故可设双曲线的方程为 (

x2 y 2 5 a2 5 2 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) , c ? a ? b , ? 设 由准线方程为 x ? 得 , e? 5 由 2 a b 5 c 5


c ? 5 a

解得 a ? 1, c ? 5

从而 b ? 2 ,? 该双曲线的方程为 x ?
2

y2 ? 1; 4

(Ⅱ)设点 D 的坐标为 ( 5,0) ,则点 A、D 为双曲线的焦点, | MA | ? | MD |? 2a ? 2 所以 | MA | ? | MB |? 2? | MB | ? | MD |≥ 2? | BD | ,? B 是圆 x2 ? ( y ? 5)2 ? 1 上的

点 , 其 圆 心 为 C (0, 5) , 半 径 为 1 , 故 | B D | | C D | ? 1 ≥ ?

?0 从 而 1 1

| M A ? | M≥ | ? 2 ≥ D | | B B |

?10

1

当 M , B 在线段 CD 上时取等号,此时 | MA | ? | MB | 的最小值为 10 ? 1
- 55 -

? 直线 CD 的方程为 y ? ? x ? 5 ,因点 M 在双曲线右支上,故 x ? 0
?4 x 2 ? y 2 ? 4 ? 由方程组 ? ? y ? ?x ? 5 ?
所以 M 点的坐标为 ( 解得 x ?

? 5?4 2 4 5 ?4 2 ,y? 3 3

? 5 ?4 2 4 5 ?4 2 , ); 3 3

- 56 -



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