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山东省日照市2016届高三数学校际联合检测(二模)试题 文


2016 年高三校际联合检测 文科数学
2016.05 本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 5 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟.考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县 区和科类填写在答题卡和试 卷规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号。 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置;如 需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作 答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式: V柱体 =Sh (S 是柱体的底面积,h 是柱体的高); V球 = ? R (R 是球的半径)
3

4 3

第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. (1)若复数 z 满足 z ? 1 ? (i 为虚数单位),则复数 z 的共轭复数 z 的模为 (A)0 (B)1 (C)

1 i

2

(D)2

(2)已知命题 p : ?x ? R,sin ? 1 ,则 ? p 是 (A) ?x ? R,sin x ? 1 (C) ?x ? R,sin ? 1 (B) ?x ? R,sin x ? 1 (D) ?x ? R,sin x ? 1

x (3)若集合 A ? x 2 ? 1 ,集合 B ? x ln x ? ? ,则“x∈A”是“x∈B”的

?

?

?

?

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (4)一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果为 10,则判断框中应填入 的条件是 (A ) k ? ?3 (B) k ? ?2 (C) k ? ?3 (D) k ? ?3 (5)函数 y ? e
cos x

? ?? ? x ? ? ?

(其中 e 为自然对数的底数)的大致图象为

1

(6)某几何体的三视图如图所不,则该几何体的体积是 (A)

4? 3

(B) 4 ?

2? 3

(C) 2 ?

2? 3

(D)

5? 3

(7)函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 的图象向左平移 4 个单位后,所得图象与 y 3?
(B) x ? ?

轴距离最近的对称轴方程为 (A) x ?

?
3

?

(C) x ? ?

?
24

6 11? (D) x ? 24
?

(8) ?ABC 三内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c, A ? 120 ,则

a sin ? 30? ? C ? b?c
3 2

的值为

(A)

1 2

(B) ?

1 2

(C)

3 2

(D) ?

? 1 ?1 ? 2 x ? , 0 ? x ? 1, (9)已知函数 f ? x ? ? ? 若 a, b, c 互不相等,且 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? ,则 a ? b ? c 的 2 ?log x, x ? 1. ? 2016
取值范围是 (A)(1,2016) (B)[1,2016] (C)(2,2017) (D)[2,2017]

(10)如图, 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右顶点为 A, O 为坐标 a 2 b2

原点,以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 P , Q 两点,若

???? ??? ? ?PAQ ? 60? , 且OQ ? 3OP ,则双曲线 C 的离心率为
(A)

2 3 3

(B)

7 2

(C)

39 6

(D)

3
第 II 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (11)将某班参加社会实践的 48 名学生编号为:l,2,3,?,48,采用系统抽样的方法从中抽取一个容量 为 6 的样本,已知 5 号,21 号,29 号,37 号,45 号学生在样本中,则样本中还有一名学生的编 号是 ____________.

? x ? y ? 0, ? (12)设不等式组 ? x ? y ? 4, 表示的平面区域为 M,若直线 l : y ? k ? x ? 2? 上存在区域 M 内的点,则实数 k ?x ? 1 ?
的取值范围是___________.
2

(13)若 a, b ? R , 且满足条件 ? a ? 1? ? ? b ? 1? ? 1 , 则函数 y ? log? a?b? x 是增函数的概率是____________.
2 2

(14)在计算“ 1? 2 ? 2 ? 3 ???? ? n ? ? n ? 1? ”时,某同学发现了如下一种方法: 先改写第 k 项: k ? k ? 1? ? 由此得 1? 2 ?

1 ? k ? k ? 1?? k ? 2 ? ? ? k ? 1? k ? k ? 1? ? ?, 3?

1 ?1? 2 ? 3 ? 0 ?1? 2 ? , 3 1 2 ? 3 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3 ? , 3

??

1 n ? n ? 1? ? ? n ? n ? 1?? n ? 2 ? ? ? n ? 1? n ? n ? 1? ? ? 3? 1 相加,得 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ? 1? ? n ? n ? 1?? n ? 2 ? . 3
类比上述方法, 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3? 4 ????? n ? n ? 1?? n ? 2? ? _______________________. (结果写成关于 n 的一次因式的积 的形式) ......

22 x ? 2?2 x ? 0在x ? ?1, 2? 时恒成立,则实数 a 的取值范围是___________. (15)已知不等式 a ? 2 ? 2 ? ? 2
x ?x

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16)(本小题满分 12 分) 2016 年“五一”期间,高速公路某服务区从七座以下小型汽车中,按进服务 区的先后每间隔 50 辆就抽查一辆进行询问调查. 共询问调查 40 名驾驶员. 将 他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段:[60,65),[65,70),[70, 75),[75,80),[80,85),[85,90), 得到如图 所示的频率分布直方图. (I)求这 40 辆小型车辆的平均车速(各组数据平均值可用其中间数值代替); (II)若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取 2 辆,求其中车速在[65,70)的车辆中至少有一辆的概率. (17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? cos x 2 3 sin x ? cos x ? a sin x 的一个零点是
2

?

?

? . 12

(I)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (II)令 x ? ? ?

? ? ?? ,求此时 f ? x ? 的最大 值和最小值. , ? 6 4? ?

(18)(本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?bn ? 是等比数列,且满足 a1 ? 3, b1 ? 1, b2 ? S2 ? 10 ,a5 ? 2b2 ? a3 . (I)求数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 的通项公式;

?2 ? , n为奇数, (II)令 cn ? ? S n 设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 T2 n . ?b ,n为偶数, ? n
(19)(本小题满分 12 分) 如图,平面 ABCD⊥平面 ABEF,四边形 ABCD 是矩形,四边形 ABEF 是等腰梯形,其中 AB//EF,AB=2AF,∠ BAF=60°,O,P 分别为 AB,CB 的中点,M 为△OBF 的重心. (I)求证:平面 ADF⊥平面 CBF; (II)求证:PM//平面 AFC. (20)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 ? 2 ln x ? 2 f ? ?1? x . x2

(I)求函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (II)若关于 x 的方程 f ? x ? ? a ? 2 f ? ?1? x在 ? , e ? 上有两个不同的实数根,求实数 a 的取值范围; e (Ⅲ)若存在 x1 ? x2 ? 0 ,使 f ? x1 ? ? k ln x1 ? f ? x2 ? ? k ln x2 成立,求实数 k 的取值范围. (21)(本小题满分 14 分)
4

?

?

?1 ? ? ?

x2 y 2 如 图 , A(2 , 0) 是 椭 圆 2 ? 2 ? 1? a ? a ? 0 ? 长 轴 右 端 点 , 点 B , C 在 椭 圆 上 , BC 过 椭 圆 O , a b ???? ? ???? ? ???? ??? ? AC ? BC ? 0, OC ? AC , M , N 为椭圆上异于 A,B 的不同两点, ?MCN 的角平分线垂直于 x 轴.
(I)求椭圆方程; (II)问是否存在实数 ? ,使得 MN ? ? BA ,若存在,求出 ? 的最大值;若不存在,请说明理由.

???? ?

??? ?

5

2016 年高三校际联合检测文科数学参考答案及评分标准 2016-05 说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正确,准应参照 本标准相应评分。 一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. CDBAC DBACB (1)解析:答案 C, z ? 1 ?

( 2 )解析:答案 D, 根据全称命题的否定是存在性命题,所以命题 p : ?x ? R,sinx ? 1的否定是

1 =1 ? i , z ? 2 . i

?x ? R,sinx ? 1.
x (3)解析:答案 B,集合 A ? {x 2 ? 1} ? {x x ? 0} ,集合 B ? {x ln x ? 0} ? {x x ? 1} ,则

B? ? A ,即“ x ? A ”是“ x ? B ”的必要不充分条件. (4)答案 A.解析: k =1, s ? 0 ,第一次 s ? ?2, k ? 0 ,第二次 s ? ?2, k ? ?1 ,第三次 s ? 0, k ? ?2 ,第 四次 s ? 4, k ? ?3 ,第五次 s ? 10, k ? ?4 ,所以 k ≥-3.
(5)答案 C.解析:函数 y ? ecos x (?π ? x ? π) 是偶函数,在 [0, π ] 是减函数,故可排除 B,D,A 选项. (6)答案 D.解析:几何体是由直径为 2 的半球,和底面直径为 2 高为 2 的半圆柱(被轴截面一分为二)

1 4 3 1 1 4 1 5 ? πR ? ? πR 2 h ? ? π ?13 ? ? π ?12 ? 2 ? π . 2 3 2 2 3 2 3 ? ? ? ? ( x ? ? ), (7)解析:答案 B.函数 f ( x) ? sin(2 x ? )所对应的图象向左平移 后 f ( x) ? sin2 4 3 6 4 5? ), 即 f ( x) ? sin(2 x ? 6 5? ? k? ? ? k? ? , x ? ? (k ? Z) . 对称轴方程为 2 x ? 6 2 2 6 ? (8)答案 A.解析:? A ? 120 , 3 3 sin(30? ? C ) sin(30? ? C ) a sin(30? ? C ) sin 120? sin(30? ? C ) 1 2 2 ? ? ? ? ? . ? ? b?c sin(60 ? C ) ? sin C 3 3 3 sin(30 ? C ) 2 cosC ? sin C 2 2 (9)答案 C.解析:不妨设 a ? b ? c ,函数 f ( x) 的草图(如图) .由图可知, a ? b ? 1,1 ? c ? 2016. 则 a ? b ? c ? 1 ? c, 2 ? 1 ? c ? 2017.
构成,所以体积 V ?

0 (10) 答案 B. 解析: 因为 ?PAQ ? 60 且 OQ ? 3OP , 所以 ?QAP 为等边三角形.设 AQ ? 2 R, 则 OP ? R ,





线







y?

d?

| ?ab | a ?b
2 2

b x, A(a,0), a





A



PQ







? 3R, ?(ab)2 ? 3R 2 (a 2 ? b2 ) .........①

(3R) 2 ? (2 R) 2 ? a 2 1 ? ,可得 a 2 ? 7 R 2 .........② 2 ? 3R ? 2 R 2 c 7 2 2 2 由①②结合 c ? a ? b ,可得 e ? ? .故选 B. a 2
在 ?OQA 中,
6

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 .

17 1 1 1 , ?? ) . ; (14) n( n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ; (15) [ ? ? 12 4 4 2π (11)答案 13 .解析:系统抽样也叫等距抽样,因共 48 人,抽取样本容量为 6 ,所以抽样距为 8 ,所以 这 6 个样本编号由小到大是以 8 为公差的等差数列,故样本中另一名学生的编号为 13 . 1 (12)答案 [ , 1] .解析:据题意画出平面区域 M ,如图. 3 y 直线 l : ? k ( x ? 2) 过点 D(?2,0) ,要使得直线 l : y ? k ( x ? 2) 上存在区域 M 内的点,只需要 1 k DA ? k ? k DC , 即 ? k ? 1 . 3 1 1 2 2 (13)答案 ? .解析:由已知 (a ? 1) ? (b ? 1) ? 1, 4 2π “函数 y ? log( a ?b ) x 是增函数”满足 a ? b ? 1 ,
(11) 13 ; (12) [ , 1] ; (13)

1 3

π ?12 1 ? ? 1? 1 1 1 2 如图概率为 4 ? ? . 2 π ?1 4 2π 1 (14)答案 n( n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) . 4 解析:改写第 k 项: 1 k (k ? 1)(k ? 2) ? [k (k ? 1)(k ? 2)(k ? 3) ? (k ? 1)k (k ? 1)(k ? 2)] , 4 1 由此得 1? 2 ? 3 ? (1? 2 ? 3 ? 4 ? 0 ?1? 2 ? 3) , 4 . 1 2 ? 3 ? 4 ? (2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 1? 2 ? 3 ? 4) , 4
???

1 n(n ? 1)(n ? 2) ? [n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? (n ? 1)n(n ? 1)(n ? 2)] . 4 . 1 相加,得 1? 2 ? 3+2 ? 3 ? 4+...+n( n ? 1)( n ? 2)= n( n ? 1)( n ? 2)( n ? 3) . 4 17 22 x ? 2?2 x , ?? ) .解析:由已知 a(2 x ? 2? x ) ? (15)答案为 [ ? ≥0 在 [1, 2] 上恒成立. 12 2 3 15 1 2 3 15 x ?x 2x ?2 x 2 令 t ? 2 ? 2 ? [ , ] ,则 2 ? 2 =t ? 2 .则原不等式可化为 a≥ ? (t ? ), t ? [ , ] 恒成 2 4 2 t 2 4 3 17 立.显然当 t = 时,右式取得最大值为 ? , 2 12 17 17 ? a≥ ? ,故答案为 [ ? , ?? ) . 12 12

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16)解析: (Ⅰ)这 40 辆小型车辆的平均车速为:

2 ? 62.5+4 ? 67.5+8 ? 72.5+12 ? 77.5+10 ? 82.5+4 ? 87.5 =77(km / h) .??5 分 40 (Ⅱ)从图中可知,车速在 [60, 65) 的车辆数为 m1 ? 0.01? 5 ? 40 ? 2 (辆) ,
7







[

6 ) 5 的 ,

车 0辆 7





m2 ? 0.02 ? 5 ? 40 ? 4

(辆) . ????7 分 设车速在 [60, 65) 的车辆为 a,b, 车速在 [65, 70) 的车辆为 c,d,e,f,则所有基本事件有:

(a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f ),共 15 个, ????10 分 其中车速在 [65, 70) 的车辆没有的事件有: ( a, b) ,根据对立事件, 1 14 ? .??12 分 车速在 [65, 70) 的车辆至少有一辆的概率为 P =1 ? 15 15 (17)解: (Ⅰ) f ( x) ? cos x(2 3 sin x ? cos x) ? a sin 2 x

? 2 3 sin x cos x ? cos2 x ? a sin 2 x 1 1 ? 3 sin 2 x ? (cos 2 x ? 1) ? a(1 ? cos 2 x) 2 2 1 1 ? 3 sin 2 x ? (a ? 1) cos 2 x ? (a ? 1) , 2 2 π 由已知 f ( ) ? 0 ,即 12 π 1 π 1 3 sin ? (a ? 1) cos ? (a ? 1) ? 0 , 6 2 6 2
解得 a ? 1 . 所以 f ( x) ? 3 sin 2 x ?

????????????2 分

????????????4 分

1 1 (1 ? 1) cos 2 x ? (1 ? 1) 2 2 π ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 2 sin( 2 x ? ) . ????????????6 分 6 2π ? π. 所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? ????????????7 分 2 π π π π π π (Ⅱ)? x ? [ ? , ] ,? ? ? 2 x ? ? ? ,???????????8 分 6 4 2 6 3 2 π π 所以 f ( x) 在 [? , ] 上是增函数, ????????????10 分 6 4 π π π 当 x ? ? 时, f ( x) min ? f (? ) ? 2 sin( ? ) ? ?2 ; 6 2 6 π π π 当 x ? 时, f ( x) max ? f ( ) ? 2 sin( ) ? 3 .????????????12 分 4 3 4 { a } (18)解: (Ⅰ)设数列 n 的公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q ,由 b2 ? S2 ? 10, a5 ? 2b2 ? a3 得:

? q ? d ? 6 ? 10, ?d ? 2, 解得: ? ? ? q ? 2. ?4d ? 2q ? 3 ? 3 ? 2d ,
????????????4 分 ?an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ? 1, bn ? 2n?1. (Ⅱ)由 a1 ? 3, an ? 2n ? 1, 得 S n ? n(n ? 2) , 2 1 1 ? ? 则 n 为奇数时, cn ? , ????????????6 分 Sn n n ? 2

n 为偶数时, cn ? 2n?1 . ?T2n ? (c1 ? c3 ? ? ? ?c2n?1 ) ? (c2 ? c4 ? ? ? ?c2n ) ????????????8 分
8

1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] ? (2 ? 23 ? ? ? ?2 2 n ?1 ) 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 n 1 2(1 ? 4 ) ? 1? ? 2n ? 1 1? 4 2n 2 n ? ? (4 ? 1). ????????????12 分 2n ? 1 3 (19)证明:(Ⅰ)∵平面 ABCD ? 平面 ABEF ,且 CB ? AB , ? CB ? 平面 ABEF . ???????????2 分 又 AF ? 平面 ABEF ,所以 CB ? AF . ???????????3 分 ? AB = 2 AF, 设 AF = a, ,则 AB = 2a ,又 ?BAF ? 60? , 根据余弦定理 BF = 3a, ? AB2 ? AF 2 ? BF 2 , 从而 AF ? BF , ?AF ? 平面 CBF ,????????4 分 又 AF ? 平面 ADF ,?平面 ADF ? 平面 CBF . ???????????6 分 OM 延 长 交 (Ⅱ)?M 为底面 ?OBF 的重心,连结 BF 于 Q , 则 Q 为 BF 的中点,连接 PO, PQ, ? P, O, Q 分 别 是 CB, AB, BF 的 中 点 , ? PO // AC, PQ // CF , 从 而 PO // 平 面 AFC , PQ // 平 面 AFC , ???8 分 POQ // 平 面 平 面 ? AFC , ???????????10 分 又? PM ? 平面 POQ , ? PM // 平面 AFC . ???????????12 分 ?4 ln x ? 2 f ?(1) , (20)解: (Ⅰ) f ?( x ) ? x3 ?4 ln1 ? 2 f ?(1) , 则 f ?(1) ? 得 f ?(1) ? 0. ????3 分 13 1 ? 2 ln x 所以 f ( x ) ? ,? f (1) ? 1 . 由点斜式, x2 函数 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? f (1) ? f ?(1)(x ? 1) ,即 y ? 1 .???4 分 1 ? 2 ln x ? a, (Ⅱ)方程 f ( x) ? a ? 2 f ?(1) x ,即 x2 1+2 ln x 1 4 ln x 1 , x ? [ , e] . 令 g ( x) ? , x ? [ , e] ,则 g ?( x ) ? ? 2 3 x e x e 4 ln x =0 ,得 x ? 1 , 令 g ?( x ) ? ? x3 1 故 g ( x) 在 x ? [ ,1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, e 在 x ? (1, e] 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, ??????6 分 1 3 3 2 且 g ( ) ? ?e , g (1) ? 1, g (e) ? 2 , 所以 2 ? a ? 1 , e e e 3 故实数 a 的取值范围是 [ 2 ,1) . ??????8 分 e
(Ⅲ) 令 h( x) ? f ( x) ? k ln x ( x ? 0) ,由已知 f ( x1 ) ? k ln x1 ? f ( x2 ) ? k ln x2 , 则 h( x) 在 (0, ?? ) 不单调递增. ??????9 分
9

求导,得 h? ? x ? ?

?4ln x k ? , x x3 4 ln x 恒成立. x2

若 h( x) 单调递增,则 h? ? x ? ? 0 ,即 k ? ? 令 ? ( x) ? ?

??????10 分

4ln x 4 ? 8ln x , ? ?( x) ? ? .令 ? ?( x ) ? 0 得 x ? 2 x x3

e,

? ( x) 在 0, e 递减, ( e, ??) 递增.
∴ ? ? x ? min ? ?

?

?

2 ,则 k ? ? . ? e? ? ? 2 e e
2 e
??????13 分

故 h( x) 不单调递增,则 k ? (? , ??) .

( 21 ) 解 析 : ( Ⅰ ) 由 题 意 知 a ? 2, C (1,1) , 代 入 椭 圆 方 程 可 得 b 2 ?

4 ,故所求的椭圆方程为: 3

x2 3y2 ? ? 1. 4 4

????4 分

(Ⅱ)对于椭圆上两点 M , N ,? ?MCP 的平分线总是垂直于 x 轴,? MC 、 NC 所在的直线关于 ??????6 分

直线 x ? 1 对称,即 kMC ? ?k NC ,

? C (1,1) 故可设 MC 所在的直线为 y ? k ( x ? 1) ? 1,??????① 则 NC 所在的直线为 y ? ?k ( x ? 1) ? 1 , ??????②

x2 3y2 ? ? 1 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k (k ?1) x ? 3k 2 ? 6k ?1 ? 0 ??③ 4 4 3k 2 ? 6k ? 1 ? C (1,1) 在椭圆上,故 x ? 1 是方程③的一个根, ? xM ? ,??????8 分 1 ? 3k 2 3k 2 ? 6k ? 1 k ( xM ? xN ) ? 2k 1 以 ? k 代 k ,得? x N ? .? k MN ? ? 2 1 ? 3k xM ? xN 3 1 0 因为 ?ACB ? 90 , A(2,0),C(1,1), 弦 BC 过椭圆的中心 O ,? B(?1,?1) ,? k AB ? , 3
将①代入 故存在实数 ? ,使得 MN ? ? BA . ??????10 分

? 12k 2 ? 4k 2 160 2 30 | MN |? ( ) ?( ) ? ? 2 2 1 1 ? 3k 1 ? 3k 3 9k 2 ? 2 ? 6 k
1 3 时即 k ? ? 时取得等号, 2 k 3 2 30 2 3 又因为 | AB |? 10,? ?max ? 3 ? . 3 10
2 当 9k ?

??????14 分

10


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