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3.2函数模型及其应用(新)


龙华新区高中数学研学后教导学稿(必修一)

函数模型及其应用
编写人: 审稿人: 班级:____________ 姓名:____________ 等级:_________ 一、课型:概念课(2 课时) 二、学习目标: 1、能陈述直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义, 并能用自己的话说明它们的 增长的差异性; 2、能将简单的实际问题转化为正确的函数模型; 3、能找出实际问题中的函数关系式,并应用一次函数、二次函数等模型去求解实际问题; 4、会选择合适的数学模型去分析和解决实际问题,并能陈述建模的求解过程. 目标说明:目标 1、2 是基础,目标 3 既是重点又是难点.目标 4 是一综合评价. 三、学习内容及程序: (一)基础知识回顾 1、实际问题的建模方法: (1) 、认真审题,准确理解题意; (2) 、从问题出发,抓准数量关系,恰当引入变量或建立直角坐标系.运用已有的数学知识和方法,将数量 关系用数学符号表示出来,建立函数关系式; (3) 、研究函数关系式的定义域,并结合问题的实际意义作出解答. 2、建立函数模型,解决实际问题的基本过程: 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的,但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来 建立. 对于已给定数学模型的问题,我们要对所确定的数学模型进行分析评价,验证数学模型的与所提供 的数据的吻合程度. (二)课前自主学习内容与要求 (1)

f ?x ? ? x 2 , g ?x ? ? 2 x , h?x ? ? log2 x,当x ? (4,??)时,三个函数增长速度 比较,下列选项中正确 的是

A,f ( x) ? g ( x) ? h( x), B, g ( x) ? f ( x) ? h( x), C, g ( x) ? h( x) ? f ( x), D, f ( x) ? h( x) ? g ( x).

.(2). 从某年起,在 20 年内我国力争使全国工农业生产总值翻两番,如果每年增长率为 8%, 则达到翻两番目标的最少年数为 ( ) A 17 B 18 C 19 D 20 (3)某列火车从北京西站开往石家庄,全程 277km,火车出发 10min 开出 13km 后,以 120 km/h 匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系式,并求火车离开北 京 2h 内行驶的路程. 分析: (1) 、本例所涉及的变量有哪些?它们的取值范围怎样; (2) 、所涉及的变量的关系如何? (3) 、写出本例的解答过程.

(三)课内学习内容及程 1、例题分析: 例 1、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人 口增长提供依据. 早在 1798,英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型: y ? y0ert 其中 t 表示经过的时间, y0 表示 t ? 0 时的人口数, r 表示人口的年均增长率. 下表是 1950~1959 年我国的人口数据资料: (单位:万人) 1950 1951 1952 1953 1954 年份 人数 年份 人数 55196 1955 61456 56300 1956 62828 57482 1957 64563 58796 1958 65994 60266 1959 67207

(1) 、如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到 0.0001) ,用马
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尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数 据是否相符; (2) 、如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的人口将达到 13 亿? 分析:1)本例中所涉及的数量有哪些? 2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的,确定这种模型需要几个因素? 3)根据表中数据如何确定函数模型? 4)对于所确定的函数模型怎样进行检验,根据检验结果对函数模型又应做出如何评价? 如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数,用的是何种计算方法?

例 2、.某农家旅游公司有客房 300 间,每间日房租为 20 元,每天都客满. 公司欲提高档次,并 提高租金,如果每间客房日增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间. 若不考虑其他因素,旅社将 房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高? 分析: 1)本题涉及到哪些数量关系? 2)应如何选取变量,其取值范围又如何? 3)应当选取何种函数模型来描述变量的关系? 4) “总收入最高”的数学含义如何理解?

例 3.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别为 1 万件,1.2 万件,1.3 万件,为了估 计以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量 t 与月份的

x 关系,模拟函数可以选用二次函数或函数 y ? abx ? c(其中a, b, c为常数) .已知 4 月份该产品
的产量为 1.37 万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明理由. 分析: (1) 、本例给出两种函数模型,如何根据已知数据确定它们? (2) 、如何对所确定的函数模型进行评价?

3、课堂小结: (不超过 2 分钟) 最后请同学们在 2 分钟内将今天所学的内容迅速回顾一遍.
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(四)课后作业: 1.下列函数中,随 x 的增大而增大而增大速度最快的是 A y=

1 x e 100

B y=100lnx

C y=x100

D y=100*2x

2. 镭按每百年 3.8%的速度衰变,现有 100mg 镭,则 100 年后还剩( ) A 2.08mg B 3.8 mg C 67.9mg D 96.2mg 3.根据上海市人大十一届三次会议上的政府工作报告,1999 年上海完成 GDP(国内生产总值) 4035 亿元,2000 年上海市 GDP 预期增长 9%,市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长 率将控制在 0.08%,若 GDP 与人口均按这样的速度增长,则要使本市人均 GDP 达到或超过 1999 年的 2 倍,至少需________年.(按:1999 年本市常住人口总数约为 1300 万) 分析:抓住人均 GDP 这条线索,建立不等式.

4. 要建一个容积为 8m3,深为 2m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,试求应当怎样设计,才能使水池总造价最低?并求此最低造价.

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