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高考数学专题复习:数形结合思想


高考冲刺: 高考冲刺:数形结合
编稿:林景飞 审稿:张扬 责编:辛文升

热点分析 高考动向 数形结合应用广泛,不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性,而且在解决一些 抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。 高考中利用数形结合的思想在解决选、 填题中十分 方便,而在解答题中书写应以代数推理论证为主,几何方法可作为思考的方法。数形结合的 重点是研究“以形助数”,但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强,其发展趋势不容忽 视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查,且占比例较大。 知识升华 数形结合是通过“以形助数” 将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形) ( 或“以 数助形”(借助数的精确性来阐明形的某种属性) 把抽象的数学语言与直观的图形结合起来 , 思考,也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来,是解决问题的一种数学思想方法。它 能使抽象问题具体化, 复杂问题简单化, 在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。 具体地说,数形结合的基本思路是:根据数的结构特征,构造出与之相应的几何图形, 并利用图形的特性和规律,解决数的问题;或将图形信息全部转化成代数信息,使解决形的 问题转化为数量关系的讨论。 选择题,填空题等客观性题型,由于不要求解答过程,就某些题目而言,这给学生创造 了灵活运用数形结合思想,寻找快速思路的空间。但在解答题中,运用数形结合思想时,要 注意辅之以严格的逻辑推理,“形”上的直观是不够严密的。 高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面: 1.高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面: (1)集合问题中 Venn 图(韦恩图)的运用; (2)数轴及直角坐标系的广泛应用; (3)函数图象的应用; (4)数学概念及数学表达式几何意义的应用; (5)解析几何、立体几何中的数形结合。
2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则: 运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则: (1)等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应; (2)双方性原则。既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数 问题进行几何分 析容易出错; (3)简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合,具体运用时,一要考虑是否可行 和是否有利; 二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系,做好转化;三要挖掘隐含条件, 准确界定参变 量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。 3.进行数形结合的信息转换,主要有三个途径: 进行数形结合的信息转换,主要有三个途径: (1)建立坐标系,引入参变数,化静为动,以动求解,如解析几何; (2)构造成转化为熟悉的函数模型,利用函数图象求解; (3)构造成转化为熟悉的几何模型,利用图形特征求解。

4.常见的“以形助数”的方法有: 常见的“以形助数”的方法有: (1)借助于数轴、文氏图,树状图,单位圆; (2)借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景; (3)借助于方程的曲线,由方程代数式,联想其几何背景,并用几何知识解决问题, 如点,直线,斜 率,距离,圆及其他曲线,直线和曲线的位置关系等,对解决代数问题都有重要 作用,应充分予 以重视。 5.常见的把数作为手段的数形结合: 常见的把数作为手段的数形结合: 主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有这方面的考查.

经典例题透析 类型一: 类型一:利用数形结合思想解决函数问题
1.(2010 全国Ⅰ·理)已知函数 a+2b 的取值范围是 A. 解析: 解析:画出 由题设有 , B. 的示意图. , ,若 ,且 ,则

C.

D.









则 ∵ ∴ , ∴ 在

, . 上是增函数.

∴ 举一反三: 举一反三: 【变式 1】已知函数

.选 C.

在 0≤x≤1 时有最大值 2,求 a 的值。

解析: 解析:∵ ∴抛物线

, 的开口向下,对称轴是 ,如图所示:

(1) (2) (1)当 a<0 时,如图(1)所示, 当 x=0 时,y 有最大值,即 ∴1―a=2。即 a=―1,适合 a<0。 (2)当 0≤a≤1 时,如图(2)所示, 当 x=a 时,y 有最大值,即

(3)





∴a ―a+1=2,解得

2



∵0≤a≤1,∴

不合题意。

(3)当 a>1 时,如图(3)所示。 当 x=1 时,y 有最大值,即 综合(1) (3)可知,a 的值是―1 或 2 (2) 。∴a=2。

【变式 2】已知函数 (Ⅰ)写出 (Ⅱ)设 的单调区间; ,求



在[0,a]上的最大值。

解析: 解析: 如图:

(1)

的单调增区间:



;单调减区间: (1,2)

(2)当 a≤1 时, 当 当 , 时, 。

【变式 3】已知

(

)

(1)若





上的最大值为

,最小值为

,求证:



(2)当 ]时,都



时,对于给定的负数 ,有一个最大的正数

,使得 x∈[0,

有|f(x)|≤5,问 a 为何值时,M(a)最大?并求出这个最大值。 解析: 解析: (1)若 a=0,则 c=0,∴f(x)=2bx 当-2≤x≤2 时,f(x)的最大值与最小值一定互为相反数,与题意不符合,∴a≠0;

若 a≠0,假设



∴区间[-2,2]在对称轴

的左外侧或右外侧,

∴f(x)在[-2,2]上是单调函数,

(这是不可能的)

(2)当



时,





,所以



(图 1)

(图 2)

(1)当 所以

即 是方程



时(如图 1) ,则 的较小根,即

(2)当 所以

即 是方程



时(如图 2) ,则 的较大根,即

(当且仅当

时,等号成立) ,

由于



因此当且仅当

时,

取最大值

类型二: 类型二:利用数形结合思想解决方程中的参数问题

2. 若关于 x 的方程

有两个不同的实数根, 求实数 m 的取值范围。

思路点拨: 思路点拨:将方程的左右两边分别看作两个函数,画出函数的图象,借助图象间的关系 后求解,可简化运算。 解析: 解析:画出 和 的图象,

当直线

过点

,即

时,两图象有两个交点。

又由当曲线

与曲线

相切时,二者只有一个交点,

设切点 又直线

,则 过切点

,即 ,得 ,

,解得切点



∴当

时,两函数图象有两个交点,即方程有两个不等实根。

误区警示:作图时,图形的相对位置关系不准确,易造成结果错误。 总结升华: 总结升华: 1.解决这类问题时要准确画出函数图象,注意函数的定义域。 2.用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)解的个数是一种行之有效的方法,值得 注意的是首先把 方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 (有时可能先作适当调整, 以便于作图) , 然后作出两 个函数的图象,由图求解。 3.在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点: ①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征; ②要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化; ③要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏; ④精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,便 于问题求解. 举一反三: 举一反三:

【变式 1】若关于 x 的方程

在(-1,1)内有 1 个实根,则 k 的取值范围

是 。 解析: 解析:把方程左、右两侧看作两个函数,利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个 数。



(x∈-1,1)

如图:当 内有 1 个实根。



时,关于 x 的方程

在(-1,1)

【变式 2】若 0<θ<2π,且方程 取值范围及这两个实根的和。

有两个不同的实数根,求实数 m 的

解析: 解析:将原方程 与直线

转化为三角函数

的图象

有两个不同的交点时,求 a 的范围及 α+β 的值。





,在同一坐标中作出这两个函数的图象

由图可知,当



时,y1 与 y2 的图象有两个不同交点,

即对应方程

有两个不同的实数根,



,设原方程的一个根为

,则另一个根为

.



.



,设原方程的一个根为

,则另一个根为





.

所以这两个实根的和为



.

且由对称性可知,这两个实根的和为





类型三:依据式子的结构,赋予式子恰当的几何意义, 类型三:依据式子的结构,赋予式子恰当的几何意义,数形结合解答
3. (北京 2010·理)如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动, 设顶点 的轨迹方程是 ,则函数 的最小正周期为________; 在其两个相邻

零点间的图象与 x 轴所围成的区域的面积为________. 解析: 解析:为便于观察,不妨先将正方形 PABC 向负方向滚动, 使 P 点落在 x 轴上的 点,此点即是函数 的一个零点(图 1).

(一)以 A 为中心,将正方形沿 x 轴正方向滚动 90°,此时顶点 B 位于 x 轴上,

顶点 P 画出了 A 为圆心,1 为半径的

个圆周(图 2) ;

(二)继续以 B 为中心,将正方形沿 x 轴正方向滚动 90°,此时顶点 C 位于 x 轴上,

顶点 P 画出 B 为圆心,

为半径的

个圆周(图 3) ;

(三)继续以 C 为中心,将正方形沿 x 轴正方向滚动 90°,此时,顶点 P 位于 x 轴上,为 点,

它画出了 C 为圆心,1 为半径的

个圆周(图 4).

为又一个零点.

∴ 函数

的周期为 4.

相邻两个零点

间的图形与 x 轴围成的图形由两个半径为 1 的

圆、

半径为



圆和两个直角边长为 1 的直角三角形,其面积是

. 举一反三: 举一反三: 2 2 【变式 1】已知圆 C:(x+2) +y =1,P(x,y)为圆 C 上任一点。 (1)求 的最大、最小值;

(2)求

的最大、最小值;

(3)求 x―2y 的最大、最小值。 解析: 解析:联想所求代数式的几何意义,再画出草图,结合图象求解。 (1) 表示点(x,y)与原点的距离, 由题意知 P(x,y)在圆 C 上,又 C(―2,0) ,半径 r=1。 ∴|OC|=2。 的最大值为 2+r=2+1=3, 的最小值为 2―r=2―1=1。

(2)

表示点(x,y)与定点(1,2)两点连线的斜率,

设 Q(1,2) ,

,过 Q 点作圆 C 的两条切线,如图:



整理得 kx―y+2―k=0。



,解得



所以

的最大值为

,最小值为



(3)令 x―2y=u,则可视为一组平行线系, 当直线与圆 C 有公共点时,可求得 u 的范围,

最值必在直线与圆 C 相切时取得。这时 ∴ 。 ,最小值为 。



∴x―2y 的最大值为

【变式 2】求函数 解析: 解析:

的最小值。

则 y 看作点 P(x,0)到点 A(1,1)与 B(3,2)距离之和

如图,点 A(1,1)关于 x 轴的对称点 A' (1,-1) , 则 即为 P 到 A,B 距离之和的最小值,∴

【变式 3】若方程 x +(1+a)x+1+a+b=0 的两根分别为椭圆、双曲线的离心率,则 值范围是( )

2

的取

A.

B.



C.

D.

或 解析: 解析:如图

由题知方程的根,一个在(0,1)之间,一个在(1,2)之间,



,即

下面利用线性规划的知识,则 斜率

可看作可行域内的点与原点 O(0,0)连线的



,选 C。



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