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【数学】1.3.2 奇偶性 课件2(人教A版必修1)


第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性

在日常生活中,有非常多的轴对称现象, 如人与镜中的影关于镜面对称,请同学们举几 个例子。 除了轴对称外,有 些是关于某点对称,如 风扇的叶子,如图: 它关于什么对称?

y

0

x

观察下图,思考并讨论以下问题:

r />(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗? (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?

f(x)=x2
f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)

f(x)=|x|
f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)

实际上,对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), 这时我们称函数y=x2为偶函数.

一.偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
2 例如,函数 f ( x) ? x ? 1, f ( x) ? x 2 ? 1 都是偶函数,
2

它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.

观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图),你能发
现两个函数图象有什么共同特征吗?

f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

实际上,对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时 我们称函数y=x为奇函数.

二.奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)= - f(x),那么f(x)就叫做奇函数. 注意: 1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 函数的奇偶性是函数的整体性质; 2、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的 一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则 -x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关 于原点对称).

3、奇、偶函数定义的逆命题也成立,即 若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)有成立. 4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我 们就说函数f(x)具有奇偶性.

例1、判断下列函数的奇偶性:
(1) f ( x ) ? x 4 1 (3) f ( x ) ? x ? x ( 2) f ( x ) ? x 5 1 ( 4) f ( x ) ? 2 x

(1)解:定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x)

(2)解:定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x) 即f(-x)=-f(x)

∴f(x)偶函数 ∴f(x)奇函数 (3)解:定义域为{x|x≠0} (4)解:定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=-f(x) 即f(-x)=f(x) ∴f(x)奇函数 ∴f(x)偶函数

(5). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]

解: (6)∵定义域不关于原点
y 对称 ∴f(x)为非奇非偶函数 -1 o 3 x

奇函数

说明:根据奇偶性,
函数可划分为四类:

偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数

3.用定义判断函数奇偶性的步骤:
(1)、先求定义域,看是否关于原点对称; (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.

三.奇偶函数图象的性质
1、性质:奇函数的图象关于原点对称。
偶函数的图象关于y轴对称。 2、如果一个函数的图象关于原点对称,那么 这个函数是奇函数。 如果一个函数的图象关于y轴对称,那么 这个函数是偶函数。 注:奇偶函数图象的性质可用于: ①.判断函数的奇偶性。 ②.简化函数图象的画法。
③. 求函数的解析式 ④.判断函数的单调性

例2、已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右边的图 象如下图,画出在y轴左边的图象. 解:画法略

y

相等

0

x

y
相等

0

x

本课小结
1、两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,
f(x)为奇函数 ? 如果都有f(-x)=f(x) ? f(x)为偶函数 如果都有f(-x)=-f(x) 2、两个性质:

?它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 ? 它的图象关于y轴对称
一个函数为奇函数

3.奇偶函数图象的性质:
⑴ 奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数. ⑵ 偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称, 那么这个函数为偶函数.
注:奇偶函数图象的性质可用于:
①.判断函数的奇偶性。 ②.简化函数图象的画法。
③. 求函数的解析式 ④.判断函数的单调性


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