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江西省南康中学2016届高三数学下学期第四次大考试题 理


南康中学 2015~2016 学年度第二学期高三第四次大考 数学(理)试卷
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A={x|y= x ? x ) ,B= {x| y=ln(1-x)},则 A U B=(
2

) (D) ) (D)1+i

/>3

(A) [0,1] (一∞,1)

(B) [0,1)

(C) (一∞,1]

(2) 设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则 z1z2=( (A) -2 (B)2 (C)1 一 i )

(3) 已知命题 p:函数 f (x)=|cosx|的最小正周期为 2π ;命题 q:函数 y=x +sinx 的图像 关于原点中心对称,则下列命题是真命题的是( (A)p ? q 组数据 (B) p ? q (C)( ? p) ? ( ? q) (D)p ? ( ? q)

(4) 为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验,得到 5 (x1,y1),(x2,y2),(X3,y3),(x4,y4),(x5,y5).根据收集到的数据可知 由 最小二乘法求得回归直线方程为 y= 0.67x+ 54.9,则 ) (C)375 ) (C)1 ) (D)3 (D)466.2 x1+x2 +x3 +x4 +x5 =150, y1+y2+y3+y4+y5 的值为( (A)75
2 3

(B)155.4 (B) -1

(5) (x 一 x+1) 展开式中 x 项的系数为( (A) -3

(6) 从 1,2,3,4,5,6,7,8 中随机取出一个数为 x,执行如图所示 的程序框图,则输出的 x 不小于 40 的概率为(

3 4 5 (B) 8 7 (C) 8 1 (D) 2
(A) (7) 已知数列{an}满足 log 3 an+1= log3 an+1(n∈N )且 a2+a4+a6=9,则 log 1 (a5+a7+a9)
*

3

的值

1

是( (A)-5

) 1 (B)- 5 (B)96 (C)5 (D) 1 5 ) (D)144

(8) 由 1、 2、 3、 4、 5、 6 组成没有重复数字且 1、 3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 ( (A)72 (C)108

(9) 由曲线 y 2 ? 8x 与直线 y ? 2 x ? 8 围成的封闭图形的面积为( (A)24 (10) 已知椭圆 C1 : (B)36 (C)42

) (D)48

x2 y 2 y2 2 ? ? 1 C : x ? ? 1 有公共的焦点,C2 的 ( > >0 ) 与双曲线 a b 2 a 2 b2 4

一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等 分,则( (A) a ?
2



13 2

(B) a ? 13
2

(C) b2 ?

1 2

2 (D) b ? 2

(11) 已知点 P 在直线 x+3y-2=0 上, 点 Q 在直线 x+3y+6=0 上, 线段 PQ 的中点为 M(x0, y0), 且 y0<x0 +2,则

y0 的取值范围是( x0



1 ,0) 3 1 (C)(一 ,+∞) 3
(A)[一

1 ,0) 3 1 (D)(一∞,一 ) U (0,+∞) 3
(B)(一
?a,a-b≤1, ? ?b,a-b>1. ?

(12) 对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=?
2

设函数 f(x)=(x -2)?(x

2

-x ),x∈R,若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范 围是( ) 3? 3? ? ? (A) (-∞,-2]∪?-1, ? (B) (-∞,-2]∪?-1,- ? 2 4? ? ? ? 1? ?1 ? ? (C)?-1, ?∪? ,+∞? 4? ? 4 ? ? 3? ?1 ? ? (D)?-1,- ?∪? ,+∞? 4? ?4 ? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

2

(13)已 知向量 a =(1, 3 ),向量 a, c 的夹角是

?

? ?

? ? ? ? , a? c =2,则 | c | 等于 3

。 。

(14) 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 Sn+Sn-1=2n-l (n ? 2), 且 S2 =3, 则 a1+a3 的值为

(15)正三角形 ABC 的边长为 2,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 2 ,此时四 面体 ABCD 外接球表面积为__________.

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点, (16)抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F , 其准线与双曲线 3 3
2

若 ?ABF 为等边三角形,则 p ?

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=( 3 sin ? x+ cos ? x)cos ? x 一

正周期为 4 ? . ( I )求函数 f(x)的单调递增区间; (II)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求 函数 f(A)的取值范围.

1 (x ? R, ? >0) .若 f(x)的最小 2

(18)(本小题满分 12 分)李先生家住 H 小区,他工作在 C 科技园区,从家开车到公司上 班路上有 L1 、 L2 两条路线(如图) , L1 路线上有 A1 、 A2 、 A3 三个路口,各路口遇到 红灯的概率均为

1 3 ;L2 路线上有 B1 、B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为 , 2 4

3 . 5
(Ⅰ)若走 L1 路线,求最多 遇到 1 次红灯的概率; .. (Ⅱ)若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助 李先生从上述两条路线中选 择一条最好的上班路线,并说明理由.

3

(19)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S- ABCD 中,SD⊥底面 ABCD,AB//DC,AD ⊥ DC,,AB=AD=1 DC=SD=2, E 为棱 SB 上的一点,且 SE=2EB. (I)证明:DE⊥平面 SBC; (II)证明:求二面角 A- DE -C 的大小。

(20)(本题满分 12 分) 设椭圆 E :

x2 y 2 其中长轴长是短轴长的 2 倍, 过焦点且垂直于 x ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

轴的直线被椭圆截得的弦长为 2 3 。 (I)求椭圆 E 的方程; (II)点 P 是椭圆 E 上动点,且横坐标大于 2 ,点 B ,

C 在 y 轴上, ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1内切于 ?PBC , 试 判断点 P 的横坐标为何值时 ?PBC 的面积 S 最小。

(21)(本题满分 12 分) 已知函数错误!未找到引用源。为自然对数的底数). (I)若错误!未找到引用源。 ,求函数错误!未找到引用源。的单调区间; (II)若错误!未找到引用源。 ,且方程错误!未找到引用源。在错误!未找到引用 源。内有解,求实数错误!未找到引用源。的取值范围.

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果 多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, 圆 M 与圆 N 交于 A, B 两点 , 以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M 和圆 N 于 C、D 两点,延长 DB 交圆 M 于点 E, 延长 CB 交圆 N 于点 F.已知 BC=5, DB=10.

4

(I)求 AB 的长; (II)求

CF 。 DE

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1 , 直线 C2 的极 坐标方程分别为 ? ? 4sin ? , ? cos(? ? (I ) 求C1与C2交点的极坐标; (II) 设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点已知直线 . PQ的参数方程为

?
4

) ? 2 2.

?x ? t3 ? a ? ? b 3 ? t ? R为参数 ? , 求a, b的值. y ? t ?1 ? ? 2

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=

x ? 2 ? 11 ? x 的最大值为 M.

(I)求实数 M 的值; (II)求关于 x 的不等式|x 一 2 |+| x+2 2 |≤M 的解集。

5

南康中学 2015~2016 学年度第二学期高三第四次大考 数学(理)参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 答案: (1) (C) (2) (B) (3) (B) (4) (C) (5) (A) (6) (B) (7) (A) (8) (C) (9) (B) (10) (C) (11) (D) (12)(B) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 答案: (13) 2 (14) ?1 (15) 5? (16)6 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 解
? 3 2


sin 2? x ? 1



I



? f ( x) ?

3 sin ? x cos ? x ? cos ? x ?

2

1 2

? cos 2? x ? sin(2? x ? ) . 2 6

?T ?

2π 2?

? 4π ,? ? ?

1 4

.由 2k? ?

? x ? ? ? ? ? 2k? ? ,k ? Z , 2 2 6 2

得 4kπ ?

4π 2π ? x ? 4kπ ? ,k ? Z . 3 3

∴ f ( x) 的单调递增区间为 ?4k ? ?

? ?

?? 3

, 4k ? ?

?? ? (6 (k ? Z).-----------------3? ?

分) (Ⅱ)由正弦定理得, (2sinA ? sinC ) cos B ? sinB cos C , ∴ 2sinA cos B ? sin(B ? C ) . 1 ∵ sin(B ? C ) ? sinA ? 0 ,∴ cos B ? . 2 1 或: (2a ? c) cos B ? b cos C , 2a cos B ? b cos C + c cos B = a ,∴ cos B ? . 2 ? 2? 又 0 ? B ? ?, ?B ? . ?0 ? A ? 3 3
6 2 6 2 2 (18)解: (Ⅰ)设“走 L1 路线最多遇到 1 次红灯”为事件 A ,
0 1 ? ( )3 ? C3 ? ? ( )2 ? 则 P ( A)=C3

?

?

?

A

?

?

?

?

1) .------------------(12 分) . ? f ( A) ? ( ,
?????1 分

1

1 2

1 2

1 2

1 , 2
1 . 2

?????3 分 ?????4 分

所以走 L1 路线,最多遇到 1 次红灯的概率为 (Ⅱ)依题意, X 的可能取值为 0,1,2.

3 3 1 P ( X =0)=(1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 5 10

?????5 分 3 3 3 3 9 P ( X =1)= ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? 4 5 4 5 20

6

3 3 9 . ??8 分 P ( X =2)= ? ? 4 5 20 随机变量 X 的分布列为: 0 1 2 X 1 9 9 P 10 20 20 1 9 9 27 所以 EX ? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? . ?????10 分 10 20 20 20 (Ⅲ)设选择 L1 路线遇到红灯次数为 Y ,随机变量 Y 服从二项分布 Y ~ B(3, 1 ) ,所以
2

EY ? 3 ?

1 3 ? . 2 2

因 为 EX ? EY , 所 以 选 择 L2 路 线 上 班 最

好. ?????12 分 (19)(本小题满分 12 分) 解:分别以 DA , DC , DS 所在直线为 x 轴, y 轴,z 建立空间直角坐标系(如图) , 则 A(1,0,0), B(1,1,0), C (0, 2,0), S (0,0, 2) , DB ? (1,1,0), DS ? (0,0, 2) (Ⅰ)∵SE=2EB, ∴ DE ?

??? ?

??? ?

? 1 ??? ? 2 2 ??? 1 2 2 2 DB ? DS ? (1,1, 0) ? (0, 0, 2) ? ( , , ) 3 3 3 3 3 3 3 ??? ? ??? ? 又 BC ? (?1,1,0), BS ? (?1, ?1, 2) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ DE ? BC ? 0, DE ? BS ? 0 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ∴ DE ? BC, DE ? BS 又 BC ? BS ? B ∴DE ? 平面 SBC ----------(6 分)

????

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,DE⊥平面 SBC, ∵ EC ? 平面 SBC,∴ DE ? EC ???? 2 2 2 2 2 2 当 SE ? 2 EB 时,知 E ( , , ) , DE ? ( , , ) , 3 3 3 3 3 3 ??? ? 2 1 1 1 1 1 ( ,,) ( , ? , ? ) 取 DE 中点 F ,则 F , FA ? 3 3 3 3 3 3 ??? ? ??? ? 故 FA ? DE ? 0 ,由此得 FA⊥DE ∴向量 FA 与 EC 的夹角等于二面角 A ? DE ? C 的平面角 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? FA ? EC 1 ? ??? ? ?? , 又 cos? FA, EC? ? ??? 2 | FA || EC | ∴二面角 A ? DE ? C 的大小为 1200 .------------------(12 分) 2 (20) 解: (I)由已知 a ? 2b, b ? 3 ,解得: a ? 2 3, b ? 6 ,故所求椭圆方程为: a
x2 y2 ? ? 1 ??????????3 分 12 6

??? ?

??? ?

7

(II)设 P( x0 , y0 ) (2 ? x0 ? 2 3) B(0, m) , C (0, n) .不妨设 m ? n ,则直线 PB 的

y0 ? m x ,即 ( y0 ? m) x ? x0 y ? x0 m ? 0 ,又圆心 (1,0) 到 x0 直线 PB 的距离为 1 ,即 | y 0 ? m ? x0 m | ? 1, x0 ? 2 ,化简得
方程为 l PB : y ? m ?
( y 0 ? m) 2 ? x 0
2

( x0 ? 2)m2 ? 2 y0 m ? x0 ? 0 ,??????????5 分 同理 ( x0 ? 2)n 2 ? 2 y0 n ? x0 ? 0 ,所以 m, n 是方程

( x0 ? 2) x 2 ? 2 y0 x ? x0 ? 0 的两个根,所以 m ? n ? ? 2 y0 , m n ? ? x0 ,
x0 ? 2

x0 ? 2

则 (m ? n) 2 ? 4 x0 ? 4 y0 ? 8x0 ?????????7 分 ( x0 ? 2) 2 因为 P( x0 , y0 ) 是椭圆上的点,所以 y 0 ? 6(1 ?
2 2

2

2

2

2 x0 24 , ) , (m ? n) 2 ? 2 x0 ? 8x0 ? 2 12 ( x0 ? 2)

2

则S2 ?

1 2 x0 ? 8x0 ? 24 2 x0 ? 4 x0 ? 12 2 ( x0 ? 2) 2 ? 8 2 ? ? x0 ? ? x0 ? ? x0 ,?9 分 4 ( x0 ? 2) 2 2( x0 ? 2) 2 2( x0 ? 2) 2

(t 2 ? 8)(t ? 2) 2 化简 2t 2 1 16 16 16 32 (t ? 2)(t 3 ? 16) f (t ) ? t 2 ? 2t ? 6 ? ? 2 ,则 f ' (t ) ? t ? 2 ? 2 ? 3 ? , 2 t t t t t3 令 f ' (t ) ? 0 ,得 t ? 23 2 ? 2( 3 ? 1) ,而,所以函数 f (t ) 在 [0,2( 3 ? 1)]上单调递
令 x0 ? 2 ? t (0 ? t ? 2( 3 ? 1)) ,则 x0 ? t ? 2 ,令 f (t ) ? 减, 当 t ? 2( 3 ? 1) 即 x0 ? 2 3 即点 P 的横坐标为 x0 ? 2 3 时, 的 ?PBC 面积 S 最小。 12 分 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解: (Ⅰ)根据弦切角定理,知 ?BAC ? ?BDA , ?ACB ? ?DAB , ∴△ ABC ∽△ DBA ,则 AB ? BC ,
DB BA

故 AB ? BC ? BD ? 50, AB ? 5 2 .--------(5 分)
2

(Ⅱ)根据切割线定理,知 CA ? CB ? CF , DA ? DB ? DE , 2 两式相除,得 CA 2 ? CB ? CF (*). DA DB DE 2 由△ ABC ∽△ DBA ,得 AC ? AB ? 5 2 ? 2 , CA ? 1 , DA2 2 DA DB 10 2 又 CB ? 5 ? 1 ,由(*)得 CF ? 1. ------------------(10 分)
2
2

DB

10

2

DE

(23)

8



(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (I) f ? x ? ? x ? 2 ? 11 ? x ? 2 当且仅当 x ?

( x ? 2) ? (11 ? x) ?3 2, 2

13 时等号成立. 故函数 f ? x ? 的最大值 M ? 3 2 --------------(5 分) 2 (II)由绝对值三角不等式可得 x ? 2 ? x ? 2 2 ? ( x ? 2) ? ( x ? 2 2) ? 3 2 .
所以不等式 | x ? 2 | ? | x ? 2 2 |? 3 2 的解 x 就是 方程 | x ? 2 | ? | x ? 2 2 |? 3 2 的解.

由绝对值的几何意义得,当且仅当 ?2 2 ? x ?

2 时, | x ? 2 | ? | x ? 2 2 |? 3 2 .
2} --------------(10

所以不等式 | x ? 2 | ? | x ? 2 2 |? M 的解集为 {x | ?2 2 ? x ? 分)

9


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