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湖南省株洲二中2015届高三下学期开学数学试卷(理科)


湖南省株洲二中 2015 届高三下学期开学数学试卷(理科)
一、选择题.本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)设复数 z1=1﹣2i,z2=1+i,则复数 z= A.第一象限 B.第二象限
2 2

在复平面内对应的点位于() D.第四象限

r />C.第三象限

2. (5 分)“a>b>0”是”a >b ”成立的() A.充分非必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

3. (5 分)如图所示的程序框图,若输出的 S 是 30,则①可以为()

A.n≤2? 4. (5 分)若 A.±1

B.n≤3?

C.n≤4?

D.n≤5?

展开式中的常数项是 60,则实数 a 的值是() B. C.±2 D.

5. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示(单位 cm) ,则此几何体的体积为()

A.

cm

3

B.

cm

3

C.16cm

3

D.12cm

3

6. (5 分) 已知正项等比数列{an}满足: a7=a6+2a5, 若存在两项 am, an 使得 的最小值为() A. B. C. D.不存在

=4a1, 则

7. (5 分)设双曲线 C:

=1(a,b>0)的一条渐近线与抛物线 x=y 的一个交点的横

2

坐标为 x0,若 x0> ,则双曲线 C 的离心率的取值范围是() A. B. C. D.

8. (5 分)已知函数 f(x)=kx+1,其中实数 k 随机选自区间[﹣2,1].对?x∈[0,1],f(x)≥0 的概率是() A. B. C. D.

9. (5 分)x、y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则

实数 a 的值为() A. 或﹣1 B. 2 或 C. 2 或 1 D.2 或﹣1

10. (5 分)对于函数 f(x)和 g(x) ,设 m∈{x∈R|f(x)=0},n∈{x∈R|g(x)=0},若存在 m、 n,使得|m﹣n|≤1,则称 f(x)与 g(x)互为“零点关联函数”.若函数 f(x)=e 2 (x)=x ﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数”,则实数 a 的取值范围为() A. B. C.[2,3] D.[2,4]
x﹣1

+x﹣2 与 g

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,请按要求作答 5 小题,共 25 分,把答案填写在 答题卡相应位置上) (一)选考题;考生注意:11 至 13 题为选做题,请从中任选两题作答, 若三题全做,按前两题给分. 11. (5 分)如图,PAB、PCD 为⊙O 的两条割线,若 PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则 BD 等于.

12. (5 分)在直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若 极坐标方程为 4ρcosθ=3 的直线与曲线 (θ 为参数)相交于 A、B,则|AB|=.

13.若存在实数 x 使|x﹣a|+|x﹣1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围是.

(二)必做题(14 至 16 题) 14. (5 分) 将函数 再将所得的函数图象向左平移 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 个单位,最后所得到的图象对应的解析式是.

15. (5 分)设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根 据一组样本数据(xi,yi) (i=1,2,…,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x﹣85.71, 给定下列结论: ①y 与 x 具有正的线性相关关系; ②回归直线过样本点的中心( , ) ; ③若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg; ④若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg. 其中正确的结论是.

16. (5 分)向平面区域 Ω= 点落在曲线 y=cos2x 下方的概率为.

内随机投掷一点,则该

三、解答题:本大题共小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2cos(B﹣C)=4sinB?sinC ﹣1. (1)求 A; (2)若 a=3,sin = ,求 b.

18. (12 分)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子 里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在 1 次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X) .

19. (12 分) 如图, 四边形 ABCD 中 (图 1) , E 是 BC 的中点, DB=2, DC=1, (图 1)沿直线 BD 折起,使二面角 A﹣BD﹣C 为 60°(如图 2) (1)求证:AE⊥平面 BDC; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 B 到平面 ACD 的距离.



. 将

20. (13 分)已知数列{an}是首项 a1= ,公比为 的等比数列,sn 为数列{an}的前 n 项和,又 bn+5log =t,常数 t∈N ,数列{Cn}满足
*

×bn.

(Ⅰ)若{cn}是递减数列,求 t 的最小值; (Ⅱ)是否存在正整数 k,使 ck,ck+1,ck+2 这三项按某种顺序排列后成等比数列?若存在, 试求出 k,t 的值;若不存在,请说明理由.

21. (13 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,其长轴长是短轴长的两倍,以某短轴顶点和

长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为 π. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,设直线 OA,l,OB 的斜率分别为 k1,k,k2(其中 k>0) .△ OAB 的面积为 S,以 OA,OB 为直径的圆的面积分别为 S1,S2,若 k1,k,k2 恰好 构成等比数列,求 的取值范围.
2 x

22. (13 分)已知函数 f(x)=(xlnx+ax+a ﹣a﹣1)e ,a≥﹣2. (I)若 a=0,求 f(x)的单调区间; (II)讨论函数 f(x)在区间 上的极值点个数; 上与 x 轴相切?若存在,求出

(III)是否存在 a,使得函数 f(x)的图象在区间 所有 a 的值,若不存在,说明理由.

湖南省株洲二中 2015 届高三下学期开学数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题.本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)设复数 z1=1﹣2i,z2=1+i,则复数 z= A.第一象限 B.第二象限 在复平面内对应的点位于() D.第四象限

C.第三象限

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质化简复数,求出其在复平 面内的对应点坐标,即得结论. 解答: 解:z= = = = ,其在复平面内的对应点为(﹣

,﹣ ) , 故选 C. 点评: 本题考查两个复数代数形式的乘除法,两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的 共轭复数, 虚数单位 i 的幂运算性质,复数与复平面内对应点之间的关系,化简复数 z 是解题的难点. 2. (5 分)“a>b>0”是”a >b ”成立的() A.充分非必要条件 C. 充分必要条件
2 2

B. 必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

考点: 充要条件. 专题: 阅读型. 分析: 利用不等式的性质,判断出前者是后者的充分条件,通过举反例判断出后者成立推 不出前者成立,利用充要条件的有关定义得到结论. 2 2 解答: 解:若“a>b>0”则有 a >b ”成立,所以前者是后者的充分条件; 2 2 反之,例如 a=﹣2,b=1 满足 a >b ”但不满足“a>b>0”,即后者成立推不出前者成立, 2 2 所以“a>b>0”是”a >b ”成立的充分不必要条件 故选 A. 点评: 判断一个命题是另一个命题的什么条件,应该先化简各个命题,再利用充要条件的 定义进行判断. 3. (5 分)如图所示的程序框图,若输出的 S 是 30,则①可以为()

A.n≤2?

B.n≤3?

C.n≤4?

D.n≤5?

考点: 程序框图. 专题: 计算题. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 n 用是累加 2 的值到 S 并输出 S. 解答: 解:第一次循环:S=0+2=2,n=1+1=2,继续循环; 第二次循环:S=2+2 =6,n=2+1=3,继续循环; 3 第三次循环:S=6+2 =14,n=3+1=4,继续循环; 4 第四次循环:S=14+2 =30,n=4+1=5,停止循环,输出 S=30. 故选 C. 点评: 程序框图题型一般有两种,一种是根据完整的程序框图计算,一种是根据题意补全 程序框图.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合,一般结合数列比较多见,特别经过多 年的 2015 届高考,越来越新颖、成熟. 4. (5 分)若 A.±1 B. 展开式中的常数项是 60,则实数 a 的值是() C.±2 D.
2

考点: 二项式定理. 专题: 二项式定理. 分析: 先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 0,求得 r 的值,即可求得展 开式中的常数项的值,再根据展开式中的常数项是 60 求得 a 的值. 解答: 解:由于 展开式中的通项公式为 Tr+1= ?(﹣a)

r

?

?

,令 6﹣
4

=0,求得=4, a ,再根据展开式中的常数项是 60,
4

可得它的展开式的常数项是 可得
4 4

?a ? =

a =60,∴a =16,求得 a=±2,

故选:C. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式, 求展开式中某项的系数,属于基础题.

5. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示(单位 cm) ,则此几何体的体积为()

A.

cm

3

B.

cm

3

C.16cm

3

D.12cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图可画出该几何体的直观图,进而将其割补为棱锥的体积后,可得 答案. 解答: 解:由已知中的三视图可得: 该几何体的直观图如下图所示:

故其体积由三棱锥 A﹣CEF 和四棱锥 F﹣ABDC 组成, 由三棱锥 A﹣CEF 的体积为: ×( ×3×3)×3= cm , 四棱锥 F﹣ABDC 的体积为: ×(1×3)×3=3cm , 故该几何体的体积为 cm ,
3 3 3

故选:B 点评: 本题考查的知识点由三视图求体积和表面积,其中根据已知中的三视图,判断出几 何体的形状,是解答的关键.

6. (5 分) 已知正项等比数列{an}满足: a7=a6+2a5, 若存在两项 am, an 使得 的最小值为() A. B. C. D.不存在

=4a1, 则

考点: 等比数列的通项公式;基本不等式. 专题: 计算题;压轴题.

分析: 把所给的数列的三项之间的关系,写出用第五项和公比来表示的形式,求出公比的 值,整理所给的条件,写出 m,n 之间的关系,用基本不等式得到最小值. 解答: 解:∵a7=a6+2a5, 2 ∴a5q =a5q+2a5, 2 ∴q ﹣q﹣2=0, ∴q=2, ∵存在两项 am,an 使得 ∴aman=16a1 , m+n﹣2 ∴q =16, ∴m+n=6 ∴ = (m+n) ( )=
2

=4a1,

故选 A 点评: 本题考查等比数列的通项和基本不等式,实际上应用基本不等式是本题的重点和难 点, 注意当两个数字的和是定值, 要求两个变量的倒数之和的最小值时, 要乘以两个数字之和.

7. (5 分)设双曲线 C:

=1(a,b>0)的一条渐近线与抛物线 x=y 的一个交点的横

2

坐标为 x0,若 x0> ,则双曲线 C 的离心率的取值范围是() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 将 ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线方程与抛物线 x=y 的联立,求
2

得其交点坐标,利用交点的横坐标

> ,即可求得双曲线 C 的离心率的取值范围.

解答: 解:∵



=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为:y= x(另一条为 y=﹣ x) ,

∴由

得:x=

或 x=0(舍去) ,

∴这条渐近线与抛物线 x=y 的一个交点的横坐标为 ∴2a >b ,又 a +b =c , 2 2 2 ∴2a >c ﹣a ,
2 2 2 2 2

2

=

> ,



<3,又

>1,

∴1<

<3,

∴1< <



又离心率 e= , ∴1<e< 故选 B. , 是关键,

点评: 本题考查双曲线的简单性质,考查分析与计算能力,求得交点的横坐标 属于中档题.

8. (5 分)已知函数 f(x)=kx+1,其中实数 k 随机选自区间[﹣2,1].对?x∈[0,1],f(x)≥0 的概率是() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由题意知本题是一个几何概型,概率的值对应长度之比,根据题目中所给的条件可 求 k 的范围,区间的长度之比等于要求的概率. 解答: 解:由题意知本题是一个几何概型,概率的值对应长度之比, ∵﹣2≤k≤1,其区间长度是 3 又∵对?x∈[0,1],f(x)≥0 且 f(x)是关于 x 的一次型函数,在[0,1]上单调



∴﹣1≤k≤1,其区间长度为 2 ∴P= 故选 C 点评: 本题主要考查了几何概型,以及一次函数的性质,概率题目的考查中,概率只是一 个载体,其他内容占的比重较大,属于基础题.

9. (5 分)x、y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则

实数 a 的值为()

A. 或﹣1

B. 2 或

C. 2 或 1

D.2 或﹣1

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线 y=ax+z 斜率的 变化,从而求出 a 的取值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=y﹣ax 得 y=ax+z,即直线的截距最大,z 也最大. 若 a=0,此时 y=z,此时,目标函数只在 A 处取得最大值,不满足条件, 若 a>0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a>0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 2x﹣y+2=0 平行,此时 a=2, 若 a<0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a<0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 x+y﹣2=0,平行,此时 a=﹣1, 综上 a=﹣1 或 a=2, 故选:D

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.注意要对 a 进行分类讨论,同时需要弄清楚最优解的定义. 10. (5 分)对于函数 f(x)和 g(x) ,设 m∈{x∈R|f(x)=0},n∈{x∈R|g(x)=0},若存在 m、 n,使得|m﹣n|≤1,则称 f(x)与 g(x)互为“零点关联函数”.若函数 f(x)=e 2 (x)=x ﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数”,则实数 a 的取值范围为() A. B. C.[2,3] D.[2,4]
x﹣1

+x﹣2 与 g

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先得出函数 f(x)=e +x﹣2 的零点为 x=1.再设 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 的零点为 β, x﹣1 2 根据函数 f(x)=e +x﹣2 与 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数”,及新定义的零点关 2 联函数,有|1﹣β|≤1,从而得出 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 的零点所在的范围,最后利用数形结合法 求解即可.
x﹣1 2

解答: 解:函数 f(x)=e +x﹣2 的零点为 x=1. 2 设 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 的零点为 β, x﹣1 2 若函数 f(x)=e +x﹣2 与 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数”, 根据零点关联函数,则|1﹣β|≤1, ∴0≤β≤2,如图. 2 由于 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 必过点 A(﹣1,4) , 故要使其零点在区间[0,2]上,则

x﹣1

即 解得 2≤a≤3, 故选:C.

点评: 本题主要考查了函数的零点,考查了新定义,主要采用了转化为判断函数的图象的 零点的取值范围问题,解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,请按要求作答 5 小题,共 25 分,把答案填写在 答题卡相应位置上) (一)选考题;考生注意:11 至 13 题为选做题,请从中任选两题作答, 若三题全做,按前两题给分. 11. (5 分)如图,PAB、PCD 为⊙O 的两条割线,若 PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则 BD 等于 6.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设 PC=x,由割线定理得:5×12=x(x+11) ,解之得 x=4(舍去﹣15) ,再根据圆内接 四边形性质,得到△ PAC∽△PDB,最后由对应边成比例,列式并解之即得 BD=6.

解答: 解:设 PC=x,则根据割线定理得 PA×PB=PC×PD,即 5(5+7)=x(x+11) ,解之得 x=4(舍去﹣15) ∴PC=4,PD=15 ∵四边形 ABDC 是圆内接四边形 ∴∠B=∠ACP,∠D=∠CAP,可得△ PAC∽△PDB ∴ ,即 ,可得 BD=6

故答案为:6 点评: 本题给出三角形被圆截得内接四边形,在已知一些线段长的情况下求圆的一条弦长, 着重考查了圆中的相似三角形和割线定理等知识,属于基础题. 12. (5 分)在直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若 极坐标方程为 4ρcosθ=3 的直线与曲线 (θ 为参数)相交于 A、B,则|AB|= .

考点: 圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 把参数方程、极坐标化为直角坐标方程,把直线方程和圆的方程联立,求得弦长. 解答: 解:直线 4ρcosθ=3,即 4x=3,曲线 把 x= 代入圆的方程求得 y=± 故答案为: . ,可得|AB|= , (θ 为参数) ,即 (x﹣1) +y =1,
2 2

点评: 本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法,求直线被圆截得的弦 长,属于基础题. 13.若存在实数 x 使|x﹣a|+|x﹣1|≤3 成立,则实数 a 的取值范围是[﹣2,4]. . 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 利用绝对值的几何意义,可得到|a﹣1|≤3,解之即可. 解答: 解:在数轴上,|x﹣a|表示横坐标为 x 的点 P 到横坐标为 a 的点 A 距离,|x﹣1|就表示 点 P 到横坐标为 1 的点 B 的距离, ∵(|PA|+|PB|)min=|a﹣1|, ∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3 成立,只要最小值|a﹣1|≤3 就可以了, 即|a﹣1|≤3, ∴﹣2≤a≤4. 故实数 a 的取值范围是﹣2≤a≤4. 故答案为:[﹣2,4]. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,考查绝对值的几何意义,得到|a﹣1|≤3 是关键,也是 难点,考查分析问题、转化解决问题的能力,属于中档题. (二)必做题(14 至 16 题)

14. (5 分) 将函数 再将所得的函数图象向左平移 .

图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 个单位,最后所得到的图象对应的解析式是

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 首先根据将原函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍奇周期变为原来的两 倍,得到函数 解答: 解:由题意可得: 若将函数 变为原来的两倍, 所以可得函数 再将所得的函数图象向左平移 . 所以答案为 . , 个单位,可得 ,所以 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 即周期 ,再根据平移原则左加右减上加下减得到函数解析式.

点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查计算能力,三角函数的平移原则为 左加右减上加下减. 15. (5 分)设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根 据一组样本数据(xi,yi) (i=1,2,…,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x﹣85.71, 给定下列结论: ①y 与 x 具有正的线性相关关系; ②回归直线过样本点的中心( , ) ; ③若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg; ④若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg. 其中正确的结论是①②③. 考点: 最小二乘法;线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据回归方程为 =0.85x﹣85.71,0.85>0,可知①②③均正确,对于④回归方程 只能进行预测,但不可断定. 解答: 解:对于①,0.85>0,所以 y 与 x 具有正的线性相关关系,故正确; 对于②,回归直线过样本点的中心( , ) ,故正确;

对于③,∵回归方程为 =0.85x﹣85.71,∴该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg,故正确; 对于④, x=170cm 时, ═0.85×170﹣85.71=58.79, 但这是预测值, 不可断定其体重为 58.79kg, 故不正确. 故答案为:①②③. 点评: 本题考查线性回归方程,考查学生对线性回归方程的理解,属于中档题.

16. (5 分)向平面区域 Ω= 点落在曲线 y=cos2x 下方的概率为 .

内随机投掷一点,则该

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 平面区域 Ω 为 x 轴上方的一个一个矩形区域,曲线 y=cos2x 在该区域恰好半个周期, 计算面积,即可求出概率. 解答: 解:平面区域 Ω 为 x 轴上方的一个一个矩形区域,面积为 ,

曲线 y=cos2x 在该区域恰好半个周期,面积为 2

cos2xdx=2( sin2x)

=1,

∴该点落在曲线 y=cos2x 下方的概率为

=



故答案为:



点评: 本题考查几何概型,考查利用定积分求面积,考查学生的计算能力,属于中档题. 三、解答题:本大题共小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2cos(B﹣C)=4sinB?sinC ﹣1. (1)求 A; (2)若 a=3,sin = ,求 b.

考点: 正弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题. 分析: (1)由已知利用两角和的余弦公式展开整理,cos(B+C)=﹣ .可求 B+C,进而 可求 A

(2) 由 sin

, 可求 cos =

, 代入 sinB=2sin cos 可求 B, 然后由正弦定理



可求 b 解答: 解: (1)由 2cos(B﹣C)=4sinBsinC﹣1 得, 2(cosBcosC+sinBsinC)﹣4sinBsinC=﹣1,即 2(cosBcosC﹣sinBsinC)=﹣1. 从而 2cos(B+C)=﹣1,得 cos(B+C)=﹣ . ∵0<B+C<π ∴B+C= ,故 A= . …6 分 …4 分

(2)由题意可得,0<B< π ∴ 由 sin , ,得 cos = . , …10 分 ,∴ ,

∴sinB=2sin cos = 由正弦定理可得

解得 b=



…12 分.

点评: 本题主要考查了两角和三角公式的应用,由余弦值求解角,同角基本关系、二倍角 公式、正弦定理的应用等公式综合应用. 18. (12 分)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子 里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在 1 次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X) . 考点: 离散型随机变量的期望与方差;互斥事件与对立事件;古典概型及其概率计算公式; 离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (I) (i)甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这 2 2 些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,事件数是 C5 C3 ,摸 出 3 个白球事件数为 2 1 1 C3 C2 C2 ;由古典概型公式,代入数据得到结果, (ii)获奖包含摸出 2 个白球和摸出 3 个白 球,且它们互斥,根据(i)求出摸出 2 个白球的概率,再相加即可求得结果,注意运算要正 确,因为第二问要用本问的结果. (II)连在 2 次游戏中获奖次数 X 的取值是 0、1、2,根据 上面的结果,代入公式得到结果,写出分布列,求出数学期望.

解答: 解: (Ⅰ) (i)设“在一次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i=,0,1,2,3) ,则 P(A3)= ,

(ii)设“在一次游戏中获奖”为事件 B,则 B=A2∪A3,又 P(A2)= ,

且 A2、A3 互斥,所以 P(B)=P(A2)+P(A3)= (Ⅱ)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2. P(X=0)=(1﹣ P(X=1)=C2 P(X=2)=(
1



)= (1﹣

2

, )= , ,

)=

2

所以 X 的分布列是 X 0 p X 的数学期望 E(X)=0×

1

2



点评: 此题是个中档题.本题考查古典概型及共概率计算公式,离散型随机变量的分布列 数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力. 19. (12 分) 如图, 四边形 ABCD 中 (图 1) , E 是 BC 的中点, DB=2, DC=1, (图 1)沿直线 BD 折起,使二面角 A﹣BD﹣C 为 60°(如图 2) (1)求证:AE⊥平面 BDC; (2)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (3)求点 B 到平面 ACD 的距离. , . 将

考点: 点、线、面间的距离计算;异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题.

分析: (1) 取 BD 中点 M, 连接 AM, ME. 因 , 故 AM⊥BD, 因 DB=2, DC=1, 2 2 2 满足:DB +DC =BC ,所以△ BCD 是 BC 为斜边的直角三角形,BD⊥DC,因 E 是 BC 的中点,所以 ME 为△ BCD 的中位线 ,由此能够证明 AE⊥平面 BDC. ,

(2) 以 M 为原点 MB 为 x 轴, ME 为 y 轴, 建立空间直角坐标系由 B (1,0, 0) , ,D(﹣1,0,0) ,C(﹣1,1,0) ,知

,由此能法度出异面直线 AB 与 CD 所成 角. (3) 由 , 知 满足,

, 是平面 ACD 的一个法向量,由此能求出点 B 到平面 ACD 的距离. 解答: 解: (1)如图 1 取 BD 中点 M,连接 AM,ME.因 ∴AM⊥BD(3)…(1 分) 因 DB=2,DC=1, 满足:DB +DC =BC , 所以△ BCD 是 BC 为斜边的直角三角形,BD⊥DC, 因 E 是 BC 的中点,所以 ME 为△ BCD 的中位线 ∴ME⊥BD, …(2 分) ,
2 2 2



∴∠AME 是二面角 A﹣BD﹣C 的平面角, ∴∠AME=60°…(3 分) ∵AM⊥BD,ME⊥BD 且 AM、ME 是平面 AME 内两相交于 M 的直线 ∴BD⊥平面 AEM∵AE?平面 AEM, ∴BD⊥AE…(4 分) 因 . ,DB=2, ∴△ABD 为等腰直角三角形, ∴ ,

∴AE +ME =1=AM , ∴AE⊥ME…(6 分) ∴BD∩ME,BD?面 BDC,ME?面 BDC, ∴AE⊥平面 BDC…(7 分) (2)如图 2,以 M 为原点 MB 为 x 轴,ME 为 y 轴,建立空间直角坐标系, (8 分) 则由(1)及已知条件可知 B(1,0,0) , D(﹣1,0,0) ,C(﹣1,1,0) , ,…(9 分) , ,

2

2

2

设异面直线 AB 与 CD 所成角为 θ, 则 …(10 分)

= (3)由 可知

=

.…(11 分) , 满足, , 是平面 ACD 的一个法向量,…(12

分) 记点 B 到平面 ACD 的距离 d, 则 则 在法向量 方向上的投影绝对值为 d …(13 分) ,

所以 d=

…(14 分)

点评: 本题考查直线和平面垂直的证明,求异面直线与直线所成角的余弦值,求点到平面 的距离.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.

20. (13 分)已知数列{an}是首项 a1= ,公比为 的等比数列,sn 为数列{an}的前 n 项和,又 bn+5log =t,常数 t∈N ,数列{Cn}满足
*

×bn.

(Ⅰ)若{cn}是递减数列,求 t 的最小值; (Ⅱ)是否存在正整数 k,使 ck,ck+1,ck+2 这三项按某种顺序排列后成等比数列?若存在, 试求出 k,t 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 数列递推式;数列的函数特性;等比关系的确定. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法.

分析: (I)先根据条件求出数列{an}与数列{bn}的通项,从而求出{cn}的通项,再根据{cn} 是递减数列则 cn+1﹣cn<0 恒成立,从而可求出 t 的最小值; (II)分别以 ck,ck+1,ck+2 为等比中项建立等式,然后解方程,看其是否有正整数解,从而 可判定排列后是否成等比数列.

解答: 解: (Ⅰ)由题意知,an=

,∴Sn=

=1﹣



∴bn=t﹣5log2(1﹣Sn)=t﹣5log2 ∴{cn}是递减数列, ∴cn+1﹣cn=( ﹣5n﹣t)

=5n+t,∴cn=(5n+t)



<0 恒成立,即 t>﹣5n+5 恒成立,

∴f(n)=﹣5n+5 是递减函数,∴当 n=1 时 f(n)取最大值 0, * ∴t>0,又 t∈N ,∴tmin=1. (Ⅱ)记 5k+t=x,则 ck=(5n+t) ( ) =x( ) ,且 x∈N , ∴ck+1=(5k+5+t) ( )
k+1 k k *

…(6 分)

=(x+5) ( )
2

k+1

,ck+2=(5k+10+t) ( )

k+2

=(x+10) ( )

k+2



①若 ck 是等比中项,则由 ck+1?ck+2=ck 得: (x+5) ( )
k+1

?(x+10) ( )

k+2

=x ( )
2

2

k+2

,化简得:7x ﹣15x﹣50=0,显然不成立.

2

②若 ck+1 是等比中项,则由 ck?ck+2=ck+1 得: x( ) ?(x+10) ( )
k k+2

=(x+5) ( )
2

2

2k+2

,化简得:x(x+10)=(x+5) ,显然不成立.

2

③若 ck+2 是等比中项,则由 ck?ck+1=ck+2 得: (x+5) ( )
2 k+1

?x( ) =(x+10) ( )

k

2

2k+4

,化简得:7x +20x﹣100=0,
*

2

因为△ =20 +4×7×100=32×100 不是完全平方数,因而 x 的值是无理数,与 x∈N 矛盾. 综上:不存在 k 和 t 适合题意.…(12 分) 点评: 本题主要考查了等差等比数列的通项与求和,同时考查了运算求解的能力和分类讨 论以及转化的数学思想,属于中档题.

21. (13 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,其长轴长是短轴长的两倍,以某短轴顶点和

长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为 π. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,设直线 OA,l,OB 的斜率分别为 k1,k,k2(其中 k>0) .△ OAB 的面积为 S,以 OA,OB 为直径的圆的面积分别为 S1,S2,若 k1,k,k2 恰好 构成等比数列,求 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.

专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由题意知 a=2b,且 ,由此能求出椭圆方程.

(2) 设直线 l 的方程为 y=kx+m, A (x1, y1) , B (x2, y2) , 由

, 得 (1+4k ) x +8kmx+4

2

2

(m ﹣1)=0,由此利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出 解答: 解: (1)由题意知 a=2b,且 解得 a=2,b=1, ∴椭圆方程为 . ,

2

的取值范围.

(2)设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 ,得(1+4k )x +8kmx+4(m ﹣1)=0,
2 2 2

由韦达定理有:

,且△ =16(1+4k ﹣m )>0,…(6 分)

2

2

∵k1,k,k2 构成等比数列,∴k =k1k2= 即:km(x1+x2)+m =0, 由韦达定理代入化简得:
2 2

2



.∵k>0,∴k= ,…(8 分) ) .

此时△ =16(2﹣m )>0,即 m∈(﹣ 故 S= = |x1﹣x2|?

= = 又 S1+S2= .…(10 分)

?|m|

=

=

[(x1+x2) ﹣2x1x2]+ =

2

=

为定值.



?





当且仅当 m=1∈(﹣ 综上: ∈[

)时等号成立. ,+∞) .…(12 分)

点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查两圆面积和与三角形面积的比值的取值范围的求法, 解题时要认真审题,注意弦长公式的合理运用. 22. (13 分)已知函数 f(x)=(xlnx+ax+a ﹣a﹣1)e ,a≥﹣2. (I)若 a=0,求 f(x)的单调区间; (II)讨论函数 f(x)在区间 上的极值点个数; 上与 x 轴相切?若存在,求出
2 x

(III)是否存在 a,使得函数 f(x)的图象在区间 所有 a 的值,若不存在,说明理由.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点 切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)若 a=0,求函数的导数,利用导数求 f(x)的单调区间; (II) 利用导数分别讨论 a 的取值, 进而讨论函数 f (x) 在区间 (III)假设存在 a,使得 f(x)在区间( 上的极值点个数;

)上与 x 轴相切,则 f(x)必与 x 轴相切于

极值点处,利用导数与极值之间的关系进行讨论. x 解答: 解: (1)当 a=0 时:f(x)=(xlnx+﹣1)e , (x>0) x x 故 f'(x)=(lnx+1+xlnx﹣1)e =lnx(x+1)e , 当 x=1 时:f'(x)=0,当 x>1 时:f'(x)>0,当 x<1 时:f'(x)<0. 故 f(x)的减区间为: (0,1) ,增区间为(1,+∞) . 2 x (2)f'(x)=(lnx+xlnx+ax+a )e , 2 令 g(x)=lnx+xlnx+ax+a , 故 g'(x)= ,g“(x)=﹣ ,

显 g''(1)=0,又当 x<1 时:g''(x)<0.当 x>1 时:g''(x)>0. 故 g'(x)min=g'(1)=2+a, ∵a≥﹣2,∴g'(x)≥g'(x)min=2+a≥0. 故 g(x)在区间( )上单调递增,

注意到:当 x→+∞时,g(x)→+∞, 故 g(x)在( )上的零点个数由 g( )=(a﹣1) (a+1+ )的符号决定.

①当 g( )≥0,即:﹣2 即 f(x)无极值点. ②当 g( )<0,即:﹣1﹣ 即 f(x)有唯一极值点. 综上:当 2 当:﹣1﹣

或 a≥1 时:g(x)在区间(

)上无零点,

时:g(x)在区间(

)上有唯一零点,

或 a≥1 时:f(x)在( 时:f(x)在(

)上无极值点.

)上有唯一极值点. )上与 x 轴相切,则 f(x)必与 x 轴相切于

(3)假设存在 a,使得 f(x)在区间( 极值点处, 由(2)可知:﹣1﹣

时.不妨设极值点为 x0,则有:

…(*)同时成立.

联立得:lnx0+a+1=0,即 x 令 t=﹣(a+1) ,则 t

代入(*)可得 e
t

﹣(a+1)

+(a+1)﹣a =0.

2

,h(t)=e ﹣t﹣(t+1) ,

2

则 h' (t) =e ﹣2t﹣3, h'' (t) =e ﹣2, 当 t

t

t

时,

(∵

) .故 h'(t)在 t

上单调递减.

又 h'(﹣2)=e +1>0,h'( )= 零点 t0.

﹣2

.故 h'(t)在 t

上存在唯一

即当 t∈(﹣2,t0)时,h'(t)>0,h(t)单调递增.当 t (t)单调递减. 因为 h(﹣2)=e +1>0,h'( )= 故 h(t)在 t∈(﹣2,t0)上无零点,在 t 由观察易得 h(0)=0,故 a+1=0,即:a=﹣1. 综上可得:存在唯一的 a=﹣1 使得 f(x)在区间(
﹣2

时,h'(t)<0,h

. 上有唯一零点.

)上与 x 轴相切.

点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值,综合性较强,运算量较大,考查 学生的运算能力,是一道难度非常大的难题.


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