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广东省梅州市2012届高三总复习质检试卷数学文(含答案)


梅州市高三总复习质检试卷( 梅州市高三总复习质检试卷(2012.3) )

数学(文科) 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,考试用时 120 分钟 参考公式: 柱体的体积公式 V = Sh ,其中 S 是柱体的底面积, h 是柱体的高. 椎体的体积公式 V =

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

小题, 一、选择题:本答题给你个 10 小题,每小题 5 分,共 10 分。在每小题给出的 选择题: 四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5} ,集合 A = {2, 3, 4}, B = {2, 5} ,则 B U ( CU A ) = A. {5} B. {1, 2, 5} C. {1, 2, 3, 4, 5} D. ?

2.函数 f ( x ) = 2 x 3 的图像 A.关于 y 轴对称 C.关于直线 y = x 对称 3.已知 sin( B.关于 x 轴对称 D.关于原点对称

π
3

? x) =

3 5π , 则 cos( ? x) = 5 6 4 5
C. ?

A.

3 5

B.

3 5

D. ?

4 5
a a a
侧(左)视图 左 视图

4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

a3 A. 2

a3 B. 6

a3 C. 12

a3 D. 18

5.已知向量 a = (1, 2), b = ( ?3, 0), 若 2a + b / / a ? mb , 则 m =
第4题图 题图

r

r

(

r

r

) (

r

r

)

正(主)视图 主 视图

1 A. ? 2

1 B. 2

C. 2

D. ?2
俯视图

6.过点 F (1, 0) 且与直线 x = ?1 相切的动圆圆心 P 的轨迹方程为 A. y 2 = 4 x B. y 2 = ?4 x C. y 2 = 2 x D. x 2 = 4 y

7.如图给出的是计算

1 1 1 1 + + +L+ 的值的一个框图, 其中菱形判断框内应填入的条件 2 4 6 20
B. i > 9? C. i > 10? D. i > 11?

是 A. i > 8?

8.通过随机询问 110 性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计
2

女 20 30 50

总计 60 50 110

40 20 60

开始
s = 0, i = 1

n(ad ? bc )2 2 由K = ,算得 K ≈ 7.8 (a + b)(c + d )(a + c )(b + d )
附表:

s = s+

1 2i

i = i +1


P( K 2 ≥ k )
k

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

是 输出s 输出 结束 第7题图 题图

参照附表,得到的正确结论是 A. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与 性别有关” B. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与 性别无关” C. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

9.铁矿石 A 和 B 的含铁率 a ,冶炼每万吨铁矿石的 CO 2 排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表:

a
A B 50% 70%

(百万元) b (万吨) c 1 0.5 3 6

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)贴,若要求 CO 2 的排放量不超过 2(万吨) ,则购买铁矿 石的最少费用为 A.14 百万元

B.15 百万元

C.20 百万元

D.以上答案都不对

10.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点, 焦点在 x 轴上, 右焦点分别为 F1 , F2 , 左、 且它们在第一象限的交点为 P , △PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,双曲线的离心率 的取值范围为 (1, 2) ,则该椭圆的离心率的取值范围是

A. ? 0, ?

? ?

1? 3?

B. ?

?1 1? , ? ? 3 2?

C. ?

? 1 2? , ? ?3 5?

D. ?

?2 ? ,1 ? ?5 ?

小题, 小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 填空题: 必做题( 小题) (一)必做题(11~13 小题)
11.设 i 是虚数单位,复数

1 + ai 为纯虚数,则实数 a = 2?i



12.公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 。若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项, S8 = 32 , 则 S10 等于 。

13. 在 区 间 [ ?π , π ] 内 随 机 取 两 个 数 分 别 记 为 a , b , 那 么 使 得 函 数

f ( x ) = x 2 + 2ax ? b 2 + π 2 有零点的概率为



考生只能从中选做一题) (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 选做题(
14.(坐标系与参数方程选做题)过点 A(2, 3) 的直线的参数方程 ? 若此直线与直线 x ? y + 3 = 0 相交于点 B ,则 | AB | = 15. 集合证明选讲选做题) ( 如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是半圆 O 上异于 A, B 的点, CD ⊥ AB ,垂足为 D ,已知

?x = 2+ t ( t 为参数) , ? y = 3 + 2t


C

AD = 2 , CB = 4 3 ,则 CD =



A

D O
第15题图 题图

B

个小题, 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 80 分。解答 解答题: 应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = sin 2 x +

3 3 sin x cos x + . 2

(1) 求 f ( x ) 的最小正周期 T ; (2) 已知 a、b、c 分别是 △ABC 的内角 A、B、C 所对的边, = 2 3, c = 4 ,A 为锐角, a 且 f ( A) 是函数 f ( x ) 在 ? 0,

? π? ? 上的最大值,求 A、b. ? 2?

17.(本小题满分 12 分) 某学校共有教职工 900 人,分成三个批次进行继续教育培训,在三个批次中男、女教职工人 数如左表所示。 已知在全体教职工中随机抽取 1 名, 抽到第二批次中女教职工的概率是 0.16. (1) 求 x 的值; (2) 现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取 54 名做培训效果的调查,问应在第三批次中 抽取教职工多少名? (3) 已知 y ≥ 96, z ≥ 96 ,求第三批次中女教职工比男教职工多的概率. 第一批次 女教职工 男教职工 196 204 第二批次 第三批次

x
156

y z

18.(本小题满分 14 分) 如图,在多面体 ABCDEFG 中,平面 ABC //平面 DEFG , AD ⊥ 平面 DEFG ,

AB ⊥ AC , ED ⊥ DG , EF // DG ,且 AC = EF = 1, AB = AD = DE = DG = 2 .
(1) 求证:平面 BEF ⊥ 平面 DEFG ; (2) 求证: BF //平面 ACGD ; (3) 求三棱锥 A ? BCF 的体积.

A
B

C

D E
19(本小题 14 分) 设椭圆 x +
2

G

F
第18题图 题图

y2 = 1(0 < b < 1) 的左焦点为 F ,左、右顶点分别为 A、C ,上顶点为 B ,过 b2

F 、B、C 三点做 P . (1) 若 FC 是 P 的直径,求椭圆的离心率;
(2) 若

P 的圆心在直线 x + y = 0 上,求椭圆的方程。

20.(本小题 14 分) 数列 {bn } 的首项 b1 = 1 ,前 n 项和为 Sn ,对任意的 n ∈ N ? ,点 ( n, S n ) , (4,10) 都在二次 函数 y = ax 2 + bx 的图像上,数列 {an } 满足
?

bn = 2n . an

(1) 求证:数列 {bn } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2) 令 cn = (1 ?

1 1 1 1 1 1 ) ? , Rn = + + + L + ,求对 ?n ∈ N ? , m > Rn 都成 n + 1 an c1 c2 c3 cn

立的最小正整数 m . 21.(本小题 14 分) 设函数 f ( x ) =

a + x ln x , g ( x ) = x 3 ? x 2 ? 3 . x

(1) 当 a = 2 时,求曲线 y = f ( x ) 在 x = 1 处的切线方程; (2) 如果存在 x1 , x2 ∈ [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ M 成立,求满足上述条件的最大整数

M;
(3) 如果对任意的 s , t ∈ ? , 2 ? 都有 f ( s ) ≥ g ( t ) 成立,求实数 a 的取值范围. 2

?1 ?

? ?

梅州市高三总复习质检试卷( 梅州市高三总复习质检试卷(2012.3) ) 数学(文科)参考答案与评分意见 数学(文科)
1 B 11 2 2 D 3 C 12 60 4 A 5 A 13 6 A 7 C 14 8 C 9 B 15 10 C

1?

π
4

2 5

2 3

三、解答题: 16.解: f ( x ) = sin x + (1)
2

3 sin x cos x +

3 3 3 sin 2 x + = sin 2 x + 2 2 2

…………2 分

=

1 ? cos 2 x 3 3 sin 2 x + + 2 2 2

…………4 分

= sin(2 x ?

π
6

)+ 2

…………5 分

∴最小正周期 T = π (2)由(1)知 f ( A) = sin(2 A ?

…………6 分

π
6

)+ 2

当 x ∈ ? 0,

π π 5π ? π? ? 时, ? 6 ≤ 2 x ? 6 ≤ 6 ? 2? π
6
= =

…………7 分

∴当 2 x ?

π
2

时, f ( x ) 取得最大值 3

∴ 2A ?

π
6

π
2

,即 A =

π
…………9 分

3 1 ,解得 b = 2 2

由余弦定理,得: 12 = b 2 + 16 ? 2 × 4b ×

…………12 分

17.解:(1)由

x = 0.16 ,解得 x = 144 900

…………3 分

(2)第三批次的人数为 y + z = 100 ? (196 + 204 + 144 + 156) = 200

…………5 分

设应在第三批次中抽取 m 名,则

m 54 ,解得 m = 12 = 200 900

∴应在第三批次中抽取 12 名。 …………7 分 (3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为 A,第三批次女教职工和男教职工数记为数 对 ( y , z ) .由(2)知 y + z = 200( y , z ∈ N ? , y ≥ 90, z ≥ 96) ,则基本事件总数有:

(96,104),(97,103),(98,102),(99,101),(100,100),(101, 99),(102, 98),(103, 97),(104, 96),
共9个 …………10 分

而事件 A 包含的基本事件有 (101, 99),(102, 98),(103, 97),(104, 96) 共 4 个

∴ P ( A) =

4 9

…………12 分

18.解:(1)平面 ABC //平面 DEFG ,平面 ABC I 平面 ADEB = AB , 平面 DEFG I 平面 ADEB = DE ,∴ AB // DE ,又 AB = DE , ∴ ADEB 为平行四边形, BE / / AD 又∵ AD ⊥ 平面 DEFG ,∴ BE ⊥ 平面 DEFG …………3 分 …………5 分

(2)取 DG 的中点 M ,连接 AM , FM ,则由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边形, ∴ DE / /FM ,又∵ AB / / DE , AB / /FM . …………7 分

A B

C

∴四边形 ABFM 是平行四边形,即 BF / / AM ,又 BF ? 平面 ACGD ,故 BF //平面 ACGD …………10 分 (3)∵平面 ABC //平面 DEFG ,即 F 到平面 ABC 的距离为 AD

VA? BCF = VF ? ABC

1 1 1 2 …14 分 = S△ABC ? AD = ? ( ? 1 ? 2) ? 2 = 3 3 2 3

D
E F
……1 分

M

G

19.解:(1)由椭圆的方程知 a = 1 ∴ B(0, b ), C (1, 0), 设 F ( ? c , 0) ∵ FC 是

P 的直径,∴ FB ⊥ BC , b b , ∴ ? b ? = ?1 , c c
…………2 分

∵ k BC = ? b, k BF =

∴ b 2 = c = 1 ? c 2 , c 2 + c ? 1 = 0 ,解得: c =

5 ?1 2

…………5 分

∴椭圆的离心率 e = (2)解:∵

c 5 ?1 = a 2

…………6 分

P 过点 F , B , C 三点,∴圆心 P 即在 FC 的垂直平分线,也在 BC 的垂直平分 1? c …… …… ① 2

线上。 FC 的垂直平分线方程为 x =

…………7 分

∵ BC 的中点为 ( , ) , k BC = ? b 。

1 b 2 2

∴ BC 的垂直平分线方程为 y ?

b 1 1 = ( x ? )……② 2 b 2

…………9 分

由①②得: x =

1? c b2 ? c 1 ? c b2 ? c ,y= ,即圆心 P ( , ) 2 2b 2 2b

…………11 分

1 ? c b2 ? c ∵ P 在直线 x + y = 0 上,∴ + = 0 ? (1 + b )(b ? c ) = 0 2 2b
∵ 1 + b > 0 ,∴ b = c ,由 b = 1 ? c ,得 b =
2 2 2

1 2
…………14 分

∴椭圆的方程为 x + 2 y = 1
2 2

20.解:(1)证明:∵ b1 = 1 ,∴ S1 = 1 ∴点 (1,1),(4,10) 都在二次函数 y = ax 2 + bx 的图像上,

∴ a + b = 1,16a + 4b = 10 ,解得: a = 1 2 1 n + n 2 2

1 1 ,b = 2 2

…………1 分

∴ Sn =

…………2 分

则 n ≥ 2 时, Sn ?1 =

1 1 ( n ? 1)2 + ( n ? 1) 2 2

∴ bn = S n ? S n ?1 =

1 2 1 1 ?1 ? n + n ? ? ( n ? 1)2 + ( n ? 1) ? = n ; 2 2 2 ?2 ?
?

又 b1 = 1 也适合,所以 bn = n( n ∈ N ? ) ,则 bn ? bn ?1 = 1 ∴数列 {bn } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列 …………6 分



bn n = 2n ,∴ an = n an 2
1 1 2n 1 n+1 )? = ,∴ = n n + 1 an n + 1 cn 2

…………7 分

(2)Q cn = (1 ?

…………8 分

∴ Rn =

1 1 1 1 2 3 4 n+1 + + + … + = + 2 + 3 +…+ n , ① c1 c2 c3 cn 2 2 2 2



1 2 3 4 n+1 Rn = 2 + 3 + 4 +…+ n +1 , ② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n+1 3+ n Rn = 1 + 2 + 3 + …… + n ? n+1 ,∴ Rn = 2 ? n ……12 分 2 2 2 2 2 2

两式相减,得:



3+ n > 0,∴?n ∈ N ? , Rn < 3,∴ m = 3 n 2

…………14 分

21.(1)当 a = 2 时, f ( x ) =

2 2 + x ln x , f ′( x ) = ? 2 + ln x + 1 , f (1) = 2, f ′(1) = ?1 …2 分 x x

所以曲线 y = f ( x ) 在 x = 1 处的切线方程为 y = ? x + 3 (2) ?x1 , x2 ∈ [0, 2], 使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ M 成立,等价于 [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ≥ M …4 分 考虑 g ( x ) = x 3 ? x 2 ? 3, g ′( x ) = 3 x 2 ? 2 x = 3 x ( x ? )

2 3

x
g ′( x ) g( x )

0

2 (0, ) 3


2 3
0

?1 ? ? 3 ,2? ? ?


2

0

?3 2 3

递减

极(最)小值 ?

85 27

递增

1

由上表可知, g ( x )min = g ( ) = ?

85 , g ( x )max = g (2) = 1 …………………………7 分 27 112 27
…………………………8 分

[ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max = g ( x )max ? g ( x )min =
所以满足条件的最大整数 M = 4

(3)对任意的 s , t ∈ ? , 2 ? ,都有 f ( s ) ≥ g ( t ) ,等价于:在区间 ? , 2 ? 上,函数 f ( x ) 的最 2 2 小值不小于 g ( x ) 的最大值。 …………………………9 分

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

有(2)知,在区间 ? , 2 ? 上, g ( x ) 的最大值为 g (2) = 1 2

?1 ?

? ?

f ( x) =

a + x ln x ≥ 1 ,等价于 a ≥ x ? x 2 ln x 恒成立…………………………10 分 x
2

记 h( x ) = x ? x ln x , h′( x ) = 1 ? 2 x ln x ? x , h′(1) = 0

…………………11 分

记 m ( x ) = 1 ? 2 x ln x ? x , m ′( x ) = ?2 ? 2 ln x , 由于 x ∈ ? , 2 ? , 2

?1 ?

? ?

?1 ? ∴ m ′( x ) = ?3 ? 2 ln x < 0 ,所以 m ( x ) = h′( x ) = 1 ? 2 x ln x ? x 在 ? , 2 ? 上递减, ?2 ?
当 x ∈ ? ,1 ? 时, h′( x ) > 0 , x ∈ (1, 2] 时, h′( x ) < 0

?1 ?2

? ?

即函数 h( x ) = x ? x 2 ln x 在区间 ? ,1 ? 上递增,在 (1, 2] 上递减, 所以 h( x )max = h(1) = 1 ,所以 a ≥ 1 。

?1 ?2

? ?



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