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河北省普通示范高中2014届高三考前强化模拟训练数学理7


河北省普通示范高中 2014 届高三考前强化模拟训练数学理 7 第I卷(60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题 目要求的。 1.设a∈R,i是虚数单位,则当 A.

1 2

a?i 是纯虚数时,实数a为 1? i 1 B. - 1 C. 2

D. 1



2.设全集U=R,A=:{x | y ?

1 x ? 3x
2

} ,B=

{x|y=lg(1+x)},则下图中阴影部分表示的集合为 A. {x|-3 <x <-1} B. {x|-3 <x <0}

C. {x|-3 ≤x <0} D. {x|x <-3} 3. 已知函数f(x)= ln( A.充分而不必要条件 C. 充要条件

2 ? a ) ,其中a为常数.则“a=-1”是f(x)为奇函数”的 1? x
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A. 1 C. B.

1 2

1 3 3 D. 2
2 a10 a14

5.在等比数列{an}中,若 a2a3a6a9a10 =32,则

的值为

A.4 C. -2

B. 2 D. -4

6. 用数字 1,2,3,4 组成数字可以重复的四位数,其中有 且只有一 个数字出现两次的四位数的个数为 A, 144 C.108 B.120 D.72

7. 算法如图,若输入m=210,n= 117,则输出的n为

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A.2 C,7 8. 函数 f(x)=

B.3 D.11

A sin(?x ? ? ) (其中 A>0, | ? |?

?
2

)的图象如图 所示,为了得到 g(x

=cos2x

的图象,则只需将 f(x)的图象

A. 向 右 平 移 B. 向右平移

? 个单位长度 12 ? C. 向左平移 个单位长度 6 ? D. 向左平移 个单位长度 12

? 个单位长度 6

9.若抛物线C1: y2=2px(p >0)的焦点F恰好是双曲线C2: 点,且它们的交点的连线过点F,则双曲线的离心率为 A.

x2 x y ? ? 1 (a>0,b >0)的右焦 a2 b2

2 ?1

B.

2 ?1

C.

6? 2 2
0

D.

2 ?1 2
= -2, 则 的最小值是

10.已知点G是Δ ABC的重心, ? A = 120 ,

A.

3 3

B.

2 2

C.

2 3

D.

3 4

11.把一根长度为7的铁丝截成任意长的3段,则能构成三角形的概率为 A.

1 2

B.

3 4

C.

4 5

D.

1 4

12.已知f(x)=

? a ? x 2 ? 2 x ( x ? 0) ,且函数y=f(x)+x恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是 ? ? f ( x ? 1)( x ? 0)
A. ( ? ? ,l] B. (O,1] C. ( ? ? ,O] 第II卷(90分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题?第21题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第22题?第24题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. D. ( ? ? ,2]

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13.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5次试验.根据 收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归方程 y ? 0.67x ? 54.9

?

现发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为______ 14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a = -15 ,a4 + a6 = 14,则当Sn取最小值时,n等于________ 15.以双曲线:

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是______ 8
=90。 ,2AB +BD =4,若将其沿 BD 折成直二面角 A-BD-C,
2 2

16.如图, 在平行四边 ABCD 中,

则三棱锥 A—BCD 的外接球的体积为_______.

三、解答题..解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分)已Δ ABC 的内角 A,B,C 对的边分别为 a,b,c

m = (2a,C -26) ,

n = (cosC,l),且 m 丄 n .
(I)求角 A 的大小; ( II )若 a = 1,求 b +c 的取值范围.

18.(本小题满分12分)某大学体育学院在2012年新招

第 3 页 共 11 页

的大一学生中,随机抽取了 40名男生, 他们的身高(单位:cm)情况共分成五组:第1 组[175,180),第 2 组 [180,185),第 3 组 [185,190),第 4 组[190,195),第 5 组[195, 200) .得到的频率分布直方图(局部)如图所 示,同时规定身高在185cm以上(含185cm)的学生成为组建该校篮球队的“预备生”.

(I)求 第 四 组 的 并 补 布 直 方 图 ;
(II)如果用分层抽样的方法从“预备生”和 “非预备生”中选出5人,再从这5人中 随机选2人,那么至少有1人是“预备 生”的概率是多少? (III)若该校决定在第4,5组中随机抽取2名学生接受技能测试,第5组中有ζ 名学生接受 测试,试求ζ 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分12分) 如图,在三棱锥P -ABC中,点P在平面ABC上的射影 D 是 AC 的中点.BC =2AC=8,AB = 4 5 (I )证明:平面 PBC 丄平面 PAC (II)若 PD = 2 3 ,求二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值.

20. (本小题满分12分) 已知椭圆C:

x2 x y ? ? 1 (a>b>0) 的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上. a2 b2

(I)求椭圆C的方程; (II)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A,B两点.试探讨k为何值时,三 角形OAB为直角三角形.

第 4 页 共 11 页

21. (本小题满分12分)
已知函数

f ( x) ?

mx (m, n ? R ) 在点(1,f(1))处的切线方程为 y = 2. x ?n
2

( I ) 求f(x) 的解析式; (II)设函数 g ( x) ?

e ax 若对任意的 x

, 总 存 唯 一 f τ的

g(x2) = , 使 得

f(xl),求实数a的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图所示,PA 为 0 的切线,A 为切点,PBC 是过点 O 的割线,PA =10,PB =5、

(I)求证:

AB PA ? ; AC PC

(π )求AC的值.

23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已

1 ? ? x ? ? t cos a 知直线I的参数方程为 ? (t为参数,O < a 2 ? ? y ? tsiina
< ? ),曲线C的极坐标方程为 ? ?

2 cos ? sin 2 ?

(I )求曲线C的直角坐标方程; (II)设直线l与曲线C相交于A ,B两点,当a变化时,求 | AB | 的最小值.

第 5 页 共 11 页

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5: 不等式选讲
设函数 f(x)=|x-1| +|x-a|, x ? R .

(I)当 a =4 时,求不等式 f(x)

f ( x) ? 6 的解集;

(II)若 f ( x) ? 2a 对 x ? R 恒成立,求a的取值范围.

理科数学答案 一、选择题:每题 5 分共 60 分 1-5 DDCBB 6-10 ABDBC 11-12 DA

二、填空题:每题 5 分,共 20 分 13、68;14、8;15、 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1;16、

4? . 3

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(12 分) 解: (I)由 m ⊥ n ,得 2a cos C ? c ? 2b ? 0 , 再由正弦定理得: 2sin A cos C ? sin C ? 2sin B ?????2 分 又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 所以 sin C ? 2 cos A sin C ?????4 分

sin C ? 0,? cos A ?


0 ? A ? ? ,? A ?

?

1 2
?????6 分

3

(II )由正弦定理得 b ?

a sin B 2 2 ? sin B, c ? sin C sin A 3 3

b?c ?

2 2 (sin B ? sin C ) ? ?sin B ? sin( A ? B)? ??8 分 3 3

? 2(

3 1 ? sin B ? cos B) ? 2sin( B ? ) ??10 分 2 2 6

第 6 页 共 11 页

A?

?
3

,? B ? (0,

2? ? ? 5? ? 1 ),? B ? ? ( , ) ? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 6 6 6 6 2

故 b+c 的取值范围为(1,2]. ??12 分 18.(12 分) 解: (Ⅰ) 其它组的频率和为 (0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.8, 所以第四组的频率为 0.2??3 分

(Ⅱ)依题意“预备生”和“非预备生”的人数比为 3:2,所以采用分层抽样的方 法抽取的 5 人中有“预备生”3 人, “非预备生” 2 人,记从这 5 人中选 2 人至少有 1 人是“预备生”为事件 A
2 C2 1 9 ? P( A) ? 1 ? P( A) = 1 ? 2 ? 1 ? ? . C5 10 10

????6 分

(Ⅲ)由频率分布直方图可知,第四组的人数为 8 人,第五组的人数为 4 人 ? 的所有可能取值为 0,1,2

P(? ? 0) ?

1 1 2 C82 14 C8 C4 16 C4 1 , , ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 C12 33 C12 33 C12 11

????9 分

? ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

14 33

16 33

1 11

?E (?) ? 0?

14 16 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 33 33 11 3

??????12 分
z

19. (12 分) 解:(Ⅰ)证明: 点 P 在平面 ABC 上的射影 D 是 AC 的中点, ? PD⊥平面 ABC,PD ? 平面 PAC ? 平面 PAC⊥平面 ABC ??????2 分 BC=2AC=8,AB=4 5

P

C A
x D

? AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,故 AC⊥BC ???4 分
又平面 PAC ? 平面 ABC=AC,BC ? 平面 ABC BC⊥平面 PAC,又 BC ? 平面 PBC ? 平面 PBC⊥平面 PAC???6 分
第 7 页 共 11 页

B
y

(Ⅱ)如图所示建立空间直角坐标系,则 C(0,0,0) ,A(4,0,0) ,B(0,8,0) ,P(2, 0, 2 3 ) ,B P ?2 , (2 8 ,? 3 ,)

(0 8 ) , 4A B ??

.???8 分

设平面 PAB 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 )

? ?2 x1 ? 8 y1 ? 2 3z1 ? 0 ? ? ??4 x 1 ?8 y1 ? 0
令 y1 ? 1, 则x1 =2,z1 ?

2 3 2 3 ) ? n ? (2,1, 3 3

设平面 PBC 的法向量为 m ? ( x2 , y2 , z2 ) , CB ? (0,8,0) CP ? (2, 0, 2 3)

? ?2 x2 ? 2 3 z2 ? 0 ? ? ?8 y2 ? 0
令 y2 =0, z2 =1, x2 =- 3, m ? (- 3, 01) , ???10 分

cos m,n ?

m ? n 2 19 ? m n 19

? 二面角 A ? PB ? C 的平面角的余弦值为
20.(12 分)

2 19 ???12 分 19

b ? c ? 1 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 x2 ? y 2 ? 1???4 分 所以椭圆方程为 2
解: (Ⅰ)

(Ⅱ)由已知直线 AB 的斜率存在,设 AB 的方程为: y ? k ( x ? 2)

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? 2
,得: k ?
2

得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0
2 2 2 2

1 2 2 , ) ,即 k ? (? 2 2 2

-------6 分

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

8k 2 8k 2 ? 2 x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

(1)若 O 为直角顶点,则 OA ? OB ? 0 ,即 有x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,

y1 y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ,所以上式可整理得,

第 8 页 共 11 页

8k 2 ? 2 4k 2 5 2 2 ? ? 0 ,解,得 k ? ? ,满足 k ? (? , ) -------8 分 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 5 2 2
(2)若 A或 B 为直角顶点,不妨设以 A 为直角顶点, kOA ? ?

1 ,则 A 满足: k

? 2k 2 1 x ? ? ? ? ?y ? ? x k 2 ? 1 ,代入椭圆方程,整理得, k 4 ? 2k 2 ? 1 ? 0 ,解得 k ? ? ? y ? ? 2k ? y ? k ( x ? 2) ? ? k 2 ?1 ?
解得, k ? ?

2 ? 1 ,满足 k ? (?

2 2 , ) -------10 分 2 2

?k ??

5 或k ? ? 5

2 ? 1 时,三角形 OAB 为直角三角形. -------12 分

21. (12 分)

解: (Ⅰ) f ?( x) ?

m( x 2 ? n) ? 2mx mx 2 ? 2mx ? mn ? ( x 2 ? n) 2 ( x 2 ? n) 2

-----------2 分

, 由 f ( x) 在 点 ( 1 f

( 1处 ) )的 切 线 方 程 为 y ? 2 , 得 f ?(1) ? 0 , f (1) ? 2 即

? mn ? m ?0 ? 4x ? (1 ? n) 2 , 解得 m ? 4, n ? 1 .故 f ( x ) ? 2 ----------------4 分 ? x ?1 ? m ?2 ? ? 1? n
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ?( x ) ?

4(1 ? x )(1 ? x ) ( x ? 1)
2 2

,故 f ( x ) 在 ( ,1) 上单调递增,在 (1,2)

1 2



单调递减,由 f (1) ? 2, f ( 2) ? f ( ) ?

1 2

8 ?8 ? ,故 f ( x ) 的值域为 ? ,2? 5 ?5 ?

------6 分

依题意 g ?( x) ?

axe ? e x2
ax

ax

1 e ax a ( x ? ) a ,记 M ? ? 1 ,2?, ? 2 ? x ?4 ? ?

8 ? ? g ( 2) ? 5 1 (ⅰ)当 a ? 时, g ?( x ) ? 0 , g ( x) 在 M 上单调递减,依题意由 ? 得 1 2 ?g ( ) ? 2 ? 4

? 4 ln 2 ? a ? ln

1 16 16 ? e 故此时 ? 4 ln 2 ? a ? ---------------------8 分 , 5 5 2

第 9 页 共 11 页

(ⅱ)当

1 1 1 1 1 1 ? a ? 4 时, 2 > > 当 x ? ( , ) 时, g ' ( x) < 0 ,当 x ? ( ,2) 时, a 4 2 4 a a

g ' ( x) > 0 .依题意得:
?1 ?1 ?2 ? a ? 4 ?2 ? a ? 4 ? ? 1 16 8 ? 1 ? 1 ? a ? ln 或 解得 -----------------------10 分 g ( ) ? 2 ? ?g ( ) ? 2 5 4 4 5 ? ? ? g ( 2) ? 8 ? g ( 2) ? 2 ? ? 5 ? ? 1 1 ' (ⅲ)当 a ? 4 时, ? ,此时 g ( x) > 0 , g ( x) 在 M 单调递增.依题意得 a 4

? ? a?4 ? ? a 即 ? e ? 2 此不等式组无解----------11 分 ? ?e a ? ( 2 ) 4 ? 5 ? 4 5 综上,所求 a 取值范围为 [?4 ln 2, ln ] -----12 分. 5
? ?a ? 4 ? ? ? g (2) ? 2 ? ?g ( 1 ) ? 8 ? 5 ? 4
选做题 22. (10 分) 解: (Ⅰ)∵ PA 为⊙ O 的切线,∴ ?PAB ? ?ACP ,

AB PA ? .???????4 分 AC PC 2 (Ⅱ)∵ PA 为⊙ O 的切线, PBC 是过点 O 的割线,∴ PA ? PB ? PC .
又 ? P ? ? P ∴ ?PAB ∽ ?PCA .∴ 又∵ PA ? 10 , PB ? 5 ,∴ PC ? 20 ,BC ? 15 ?7 分

AB PA 1 ? ? ,∵ BC 是⊙ O 的直径, AC PC 2 ? 2 2 2 ∴ ?CAB ? 90 .∴ AC ? AB ? BC ? 225, ∴AC= 6 5 ?????10 分
由(Ⅰ)知, 23、 (10分) 解: (1)由 ? ?

2 cos ? 2 ,得 ( ? sin ? ) ? 2? cos? 2 sin ?
????4分
2

? 曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 2x
2

(2)将直线 l 的参数方程代入 y ? 2 x ,得 t

sin 2 ? ? 2t cos? ? 1 ? 0
2 cos ? 1 , t1t2 ? ? 2 , ???7分 2 sin ? sin ?

设A、B两点对应的参数分别为 t1 , t2 , 则 t1 ? t2 ?

第 10 页 共 11 页

4 cos2 ? 4 2 | AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ? ? 2 ? , 4 sin ? sin ? sin 2 ?
2

当? ?

?
2

时,|AB|的最小值为2.

????10分

24.(10 分) 解:(Ⅰ) x ?1 ? x ? 4 ? 6 等价于

?x ? 1 ? ??2 x ? 5 ? 6
解得: x ? ?

或?

?1 ? x ? 4 ?3 ? 6

或?

?x ? 4 , ?2 x ? 5 ? 6

1 11 或x? . 2 2 1 11 或x ? }. 2 2
??5 分

故不等式 f ( x) ? 6 的解集为 { x x ? ?

(Ⅱ)因为: f ( x) ? x ?1 ? x ? a ? ( x ?1) ? ( x ? a) ? a ?1 (当 x ? 1 时等号成立) 所以: f ( x)min ? a ?1 由题意得: a ?1 ? 2a , 解得 a ? ,∴ a 的取值范围 (??, ] . ??8 分

1 3

1 3

??10 分

第 11 页 共 11 页


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